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Full text of "Corso di calcolo infinitesimale"

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FRANCESCO D'ARCAIS io 3 

P^rofeesore nella R. XJni-srereltèi di Padova '"44? 

in9 



CORSO 



DI 



CALCOLO INFINITESIMALE 

te » • 

Seconda edizione con aggiunte e modificazioni 



Volume li. 




PADOVA 

Libraio Editore 
1901 



Proprietà leiieraria 



Padova - R. Stab. Prosperini 









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■». 



Tra le modificazioni ed aggiunte contenute in questo 
secondo volume notiamo un breve cenno delle funzioni :/? 

analitiche secondo il concetto del Weierstrass, una di- 
mostrazione dell' esistenza dell' integrale per le equazioni 
differenziali di primo ordine, ed il metodo di integrazione 
per approssimazioni successive pei sistemi di queste 
equazioni. 

Oltre alle opere già citate nella prefazione del primo 
e di quelle citate nel testo di questo secondo volume, 
servirono utilmente nella compilazione del presente volume 
le opere seguenti : 

FoRSYTH — Treatise on differential equatioìis, 
BooLE — A treatise on dijferential eqtiations. 
Laurent — Traité ci* ana/yse, 
SoHNCKE — Satnvihmg von Aufgaben aus der Diff," 

und Integrai— rcchnihig, 

lOMASELLI — Esercizi sulle equazioni differenziali, 
Meyer — Vorlesuncren ilber die Theo rie der be- 

stimmten Integrale. 



INDICE 



Nunic^ Pagine 

X. — Applloaiioni geometriche 
del calcolo differeniiale 

1-5. Curve piane — Tangenti e normali . » i 

6-8. Assintoti » 10 

9-13. Convessità e concavità — Flessi » 'S 

I4>i7. Punti singolari delle curve piane — Descrizione delle 

curve » 24 

18. Curve riferite a coordinate polari . . . . » 57 

Esercizi » 41 

19-21. Lunghezza d'arco di curva piana, e formole relative . » 47 

22-26. Curvatura delle curve piane » 31 

27-28. Contatto delle curve piane 63 

Esercizi » 67 

29-32. Curve gobbe o a doppia curvatura — Tangente — 

Piano normale — Arco di curva gobba ...» 70 
33*34. Piano osculatore di una curva gobba — Normale prin- 
cipale — Binormale * . » 76 

35-38. Curvatura delle curve gobbe » 79 

Esercizi » 88 

39-40. Superfìcie — Piano tangente — Normale ...» 89 

41 44. Curvatura delle sezioni normali — Lìnee di curvatura » 92 

43. Limiti di figure variabili . ' y 102 

46-48. Curve inviluppi » 105 

49- )0. Superficie inviluppi » 1 1 3 

Esercizi » 120 

ZI. — ZnteflrraU defluiti 

•64. Alcuni teoremi sugli integrali definiti . . . . » 126 

Esercizi » 147 



VI 

Numeri Pagine 
65-74. Integrali defìniii pei quali la funzione integranda non 
si mantiene Enita neir intervallo di integrazione, e in- 
tegrali defìniti con limiti infiniti » 149 

Esercizi » 182 

73-79. Integrazione per serie » 185 

Esercizi » 204 

80-83. Alcuni teoremi sulle funzioni a due o più variabili 

indipendenti » 208 

84-96. Continuità, derivazione e integrazione degli integrali 

defìniti rispetto ad un parametro » 213 

Esercizi » 249 

97-100. Calcolo di alcuni integrali definiti. Proprietà fonda- 
mentali degli integrali Euleriani » 25^ 

Esercizi . » 26$ 

1 01-102. Rettificazione delle curve » 270 

105-105. Qjiadratura delle curve piane » 279 

Esercizi » 284 

106- 113. Integrali doppi definiti estesi ai punti di un campo » 288 
1 14-116. Integrali doppi definiti pei quali la funzione integranda 
non si mantiene finita nel campo di integrazione e 

integrali doppi estesi ad un campo infinito » 308 

Esercizi . ^ » 319 

1 17-122. Applicazione degli integrali doppi allo spianamento 

delle superficie, ed alla cubatura dei solidi . . » 323 

e 23 -124. Integrali tripli — Cubatura dei solidi . . » 334 

Esercizi ... » 340 

125. Integrali multipli » 346 

Esercizi . » 354 



126-132. 

138-149. 
150-155. 
156-159. 
160-164. 
163-168. 

169-170. 



IH. — Elementi della teoria 
delle fauBioni di variabili complesse 

Nozioni preliminari — Serie a termini complessi — 
Le trascendenti elementari ad argomento complesso 
Concetto di funzione» di variabile complessa 
Serie di potenze — Funzioni analitiche 
Integrali delle funzioni di variabili complesse 

Teoremi di Cauchy 

Serie del Taylor e del Laurent .... 
Teorema sulle serie di funzioni — Considerazioni 
sulle funzioni analitiche e sulle espressioni aritmetiche 
Residui — Calcolo di alcuni integrali . 



» 


557 


» 


366 


» 


377 


» 


593 


M 


404 


» 


409 


» 


418 


» 


427 


» 


456 



Nomerì 



171-173. 

174-176. 
177-180. 
181-186. 
187-190. 

191- 194. 



J9S- 
196-198. 

199-201. 

202-204. 



205-213. 

214-216. 
217. 

218-220. 
221-222. 
223-228. 



vit 

Pagine 
IV. — Equaiioni differeniiali 

Integrazione delle espressioni differenziali con due o 

più variabili » 442 

Esercizi . . . . . . . » 450 

Equazioni difìTerenziali. Equazioni differenziali ordinarie 

di primo ordine » 452 

Dimostrazione delP esistenza dell' integrale generale 
per le equazioni differenziali di primo ordine ,- . » 456 
Integrazione delle equazioni differenziali di primo or- 
dine risolute rapporto alla derivata .... » 469 
Del fattore integrante o moltiplicatore delle equazioni 

differenziali Mdx -{- Hdy = » 479 

Esercizi d 484 

Equazioni differenziali di primo ordine non risolute 

rapporto alla derivata » 490 

Esercizi » 500 

Equazioni differenziali d'ordine superiore al primo . a 502 

Alcune operazioni coi simboli D e xD . . . » 304 

Equazioni differenziali lineari d'ordine n . . . » 510 
Equazioni differenziali lineari d'ordine n a coefficienti 

costanti o a coefficienti funzioni speciali di x . » 517 

Esercizi » 5 30 

Integrazione di alcune equazioni differenziali d' ordine 

superiore al primo » 533 

Esercizi » 554 

Applicazioni geometriche » 556 

Esercizi » 566 

Soluzioni singolari delle equazioni differenziali di primo 

ordine . . . . , » 572 

Esercizi » 576 

Equazioni a differenziali totali )> 577 

Esercizi » 585 

Sistemi di equazioni differenziali simultanee . . » 586 

Esercizi » 595 

Metodo di integrazione per approssimazioni o inte- 
grazioni successive. Integrazione per serie delle equa- 
zioni differenziali >> 59^ 

Esercizi » 624 

Integrazione di equazioni differenziali mediante inte- 
grali definiti » 627 

Esercizi » 631 












ii: 









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^*^ 






V.il 






vili 

Numeri Pagine 

230-232. Equazioni a derivate parziali che conteagono le deri- 
vate rapporto ad una sola delle variabili ÌDdipendenti, 
ed equazioni a derivate parziali lineari con tre o più 

variabili * ^35 

Esercizi » 642 

233-234 Equazioni a derivate parziali di primo ordine non 
lineari fra tre o più variabili. Integrale completo, sin- 
golare, generale » ^45 

235-236. Integrazione delle equazioni a derivate parziali di primo 
ordine fra tre variabili. Metodo di Lagrange-Charpit. 
Integrazione di alcune equazioni a derivate parziali di 
primo ordine fra quante si vogliono variabili . » 652 
Esercizi » 665 

V. — Elementi del Calcolo delle ▼ariailoni. 

237-238. Variazioni — Variazione prima di un integrale sem- 
plice » 669 

239-242. Problemi di massimo e di minimo relativi al calcolo 

delle variazioni » 674 

243. Problemi di massimi e minimi relativi, nel calcolo 

delle variazioni . . . ' a 692 

244. Variazione di un integrale multiplo col campo di inte- 
grazione fìsso e con valori dati delle funzioni sul 
contorno del campo stesso, e quando sotto il segno 
integrale compariscono le sole derivate prime — Rela- 
tivi problemi di massimo e minimo .... » 698 
Esercizi » 703 



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I. Applicazioni geometriclie del Calcolo Differenziale. 



Curve piane. — Tangenti e normali. 



•■fc-*' ^ 



■'■■■ Ji 












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I. Ci limiteremo alle più semplici e fondamentali applicazioni 
geometriche del calcolo differenziale, poiché esse sono così estese ed 
importanti da formare un corpo di dottrina a se, come si è già anche 
riconosciuto nell' insegnamento universitario. 

Preso un sistema di assi coordinati ortogonali nel piano, comin- 
ciamo dal precisare ciò che si intende per angoli di una retta cogli 
assi. 

Sopra una retta distinguiamo le due direzioni opposte lungo le 
quali essa può venire percorsa a partire da un suo punto, fissandone 
una come direzione positiva. Parte positiva della retta, a partire da 
un suo punto, è quella che viene percorsa da un punto che si muove 
nella direzione positiva. 

Immaginiamo descritto col centro nelT origine delle coordinate 
un cerchio di raggio uno] A, B i punti d'incontro di esso colle 
parti positive dell'asse delle x e delle y. Per direzione positiva degli 
archi che misurano gli an<;oli che le rette uscenti dall'origine fanno 
colla parte positiva dell' asse x^ suole scegliersi quella per la quale 
si muoverebbe un punto che da A va a B lungo il quadrante AB, e 
direzione positiva degli archi, che misurano gli angoli colla parte 
positiva dell'asse^, quella per la quale si muoverebbe un punto che 
Ha B va ad A lungo il quadrante BA. 

Per angolo, cogli assi, di una retta, che passa per 1' origine, si 
ende 1' angolo che la parte positiva della retta, a partire dall' ori- 
le, fa colla parte positiva degli assi, misurato nel modo sopra 
licato. 






4 












..M-^ti 



I-ù-m ~ -»M 






• • • • • . ^ 



1 



^^^ 



2 

Per angolo di una retta qualunque cogli assi si intende l'angolo 
che la parallela ad essa, condotta per l'origine, fa cogli assi, avendo 
preso su questa parallela per direzione positiva la stessa della retta 
data. 

Segue da ciò che, indicati con a,{j gii angoli che una retta fa 
rispettivamente coli' asse delle x e delle ^, è sempre 
cos a = sen 3 , cos ? = sen a , cos- a -f cos- ^ z= 1 , sen'^ a -}- sen* li = l . 









^K- 



2. E noto come, facendo uso di un sistema di coordinate carte- 
siane, che per semplicità supporremo ortogonali, p)ossa venire, in 
generale, rappresentata geometricamente una funzione y z=j'{x). Noi 
supporremo che neir intervallo di valori per x, che si dovrà consi- 
derare, la jf{x). sia, o sia ridotta ad essere, univalente e generalmente 
(fatta cioè eccezione di un numero finito di punti) ammetta derivata 
determinata e finita (^). 



(*y Intorao alla rappresentazione geometrica delle funzioni osserviamo che 
(Vedi « Harnack, Die Elemente der Differential-nnd Integraìrechnun^ » pag. 2'^ 
ad ogni valore di x, e al corrispondente valore di y corrispondendo un punto 
del piano (l'estremo della ordinata y) per ogni valore x dell'intervallo che si 
considera si può sempre determinare il corrispondente punto del piano. L* in- 
sieme dì questi infiniti punti ci danno la curva rappresentata da y--yx] Ma 
poiché materialmente non possiamo costruire una curva assegnandone tutti gli 
infiniti suoi punti, così ci procuriamo una immagine dell' andamento della fun- 
zione segnando quanti si vogliono punti, corrispondenti ad altrettanti valori 
della funzione, e congiungendo questi punti successivamente con rette, otte- 
nendo così un poligono di quanti si vogliano lati e che ci darà un' immagine 
tanto più approssimata ed esatta della curva corrispondente alla funzione, quanto 
maggiore è il numero dei punti che si sono costruiti; ma nelle sue parti più 
piccole questa rappresentazione non sarù giammai esatta. In particolare poi i 
punti che rappresentano geometricamente la funzione possono, nelle vicinanze 
di un punto speciale, succedersi in modo così ondulato, che quella immagine 
rappresenterà molto incompletamente la funzione, e subirà notevoli cambia- 
menti quanti più punti verranno a costruirsi in vicinanza di questo punto spe- 
ciale; la vera immagine della funzione in questo luogo non potrà in alcun 
modo fissarsi. 

Il eh. prof. Dini a pag. 54 della sua opera « Fondamenti per la teorica delle 
funzioni di variabili reali » osserva ancora che « Q.uaiido il numero dei tratti 
di invariabilità di una funzione sia infinito, ben si intende che non potrà co- 
struirsi per essa una curva rappresentativa, e solo col pensiero potremo talvolta 
riferirci a una curva rappresentativa con un numero infinito di vertici. S' intende 



\ 



H 

Così per la funzione a due valori ^ := x\/a^ -f- x- si consi- 
dereranno separatamente i due rami univalenti della funzione, 

/ — ^ x\/a^ -h X' ,^ = — x\/à' -f- X', cui corrispondono due rami di 

carva, il cui insieme costituisce la curva y — x\^a' -t- x\ In pratica 
però, eccettuati casi speciali che diano luogo ad ambiguità, questa 
separazione della funzione nei rami suole sottintendersi, anziché pro- 
priamente effettuarla. 

Se la V è funzione implicita di x data dalla equazione f(x ,^) 0, 
si sappone che questa definisca, nell' intervallo di valori che si con- 
sidera, una funzione univalente (o più rami distinti di una funzione) 
che ammetta generalmente derivata. 



poi che questa mancanza di una rappresentazione geometrica può presentarsi 
anche quando la funzione sempre continua in tutto V intervallo non ha tratti 
di invariabilità o ne ha soltanto un numero finito, come p. es.: quando la fun- 
zione sìa tale che per essa non possa pensarsi che una curva rappresentativa 
costituita dalla porzione di un poligono i cui lati sono in numero infinito e 
non sono né perpendicolari né paralleli all' asse delle x ». Supponendo però 
che la funzione, che si considera in un certo intervallo, sia in esso continua 
ed ammetta in ogni punto derivata a destra e a sinistra e non abbia infiniti 
massimi e minimi o infiniti tratti di invariabilità, potremo asserire che essa 
sarà, in queir intervallo, rappresentabile geometricamente mediante una curva 
intuitiva; o, se si vuole, si potrebbero chiamare funzioni rappresentabili geome- 
tricamente quelle che soddisfanno alle precedenti condizioni. E si intende che 
potrà avvenire che, tolti da un intervallo alcuni punti, in numero finito, me- 
diante intorni comunque piccoli, negli intervalli parziali restanti la funzione 
sia rappresentabile geometricamente ; come avviene, in qualunque intorno che 

contenga il punto zero, per la funzione che per x diversa da zero è yr=r x sen — 

e oer X rz: é zero, per quella che per x diversa da zero è ^^ = .\-2 sen — e 

per jc r=: è zero, le quali hanno un numero infinito di massimi e minimi in 
un intorno qualunque del punto zero, e la prima delle quali non ammette deri- 
vata, né a destra né a sinistra, per x zrz 0. 

Su questo soggetto tra altri si potranno consultare i lavori seguenti: Klein: 
Ueber den allgemeinen Functionsbegriff etc. Math. Annalen, voi. 22 pag. 249 ; 
du scritti di Kòpcke nei Math. Annalen, volumi 29 e M, pag \Z\ e 161 ; 
r . nìeiiung in die Dijf. uni Inlegralrechnung del Pasch ; G. Ascoli, Le curve li- 
m; di mia varietà di curve, voi. IS Atti Acc. dei Lincei (serie 3.*; ed « Osser- 
va mi critiche alla medesima» ddlo stesso autore nel voi. 1 1 serie 2.*; dei Ren- 
di nti del R Istituto Lombardo di Scienze e lettere. 



?^ 






1 



-.V ' 



1^ ■ 



'■U . 



;V' . 









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■•X 



A questi rami univalenti della funzione corrispondono rami della 
curva, il cui insieme costituisce la curva /(.^ , ;v) =z: 0. Ogni retta pxi- 
rallela all'asse delle ^ incontra ciascuno di questi rami al più in un 
punto. 

1 valori di x ,/, dati dalle equazioni x -=z x{t)^ y ^=^y(f) corrispon- 
denti allo stesso valore di /, si possono considerare come coordinate 
dei punti di una curva, definita da quelle due equazioni. E qui pure si 
suppone che le x(t\ y(t\ siano univalenti e continue e che ammettano 
derivate determinate, in generale, pei valori di / appartenenti ad un 
certo intervallo. 

Consideriamo sulla curva, rappresentazione geometrica della 

nostra funzione, un punto M di coordinate x ^y\ ammesso che esista 

dy 
e sia tìnita la corrispondente derivata -j-, l'equazione della tangente 

alla curva nel punto M è (Vedi Voi. 1. n. :^) 



v-^=^(x-.), 



O 



dx dy 



indicando X , Y la coordinate correnti. 

La J-. e i //jf,^ si ricavano dalla equazione della curva ^' i_r/(A:); 

o dalle x •=. x(t\ y ^= y(t)^ nel caso che le coordinate dei suoi punti 
venissero espresse così mediante il parametro /. 

Se la equazione della curva fosse in forma implicita f\,x , y) =0, 

il. 

sostituendo per - - il valore — --- , si avrebbe l'equazione della 



'òy 



' v, 



della tangente 



(X-.)3{-(Y-^,| = 0. 

La equazione della normale alla curva nel punto M, cioè della 
retta perpendicolare alla tangente e che passa per M, risulterà su- 
bito la 

dx 



oppure 

(X-X)-^-^ _ (Y - i;) -^ :=: 0. 

3. Indicati con a , ji gli angoli della tangente, nel punto M(.v , r), 
cogli assi abbiamo tg a rzi -^ ^ qualunque sia la direzione che si scelga 
come positiva sulla tangente e 

Jx dy 

COS a zz: sen ? rr:: H- — — ^ seu a ::= COS ^ z=z zìz 



nelle quali dobbiamo prendere contemporaneamente il segno supe- 
riore o l'inferiore. Questo segno dipende dalla direzione che si sceglie 
come positiva; così se si sceglie per direzione positiva quella, nella 
quale si dovrebbe muovere un punto sulla tangente per percorrere, 
a partire dal suo punto d' intersezione coli' asse delle ascisse, la parte 
di essa che è situata, rispetto a quest' asse, dalla stessa parte ove è 
situata la parte positiva dell'asse delle ordinate, il coseno di ,3 è posi 
tivo e dovremo quindi prendere quello dei due segni che rende posi 
tivotV)5,5; se si prendesse per positiva la direzione opposta, dovremo 
scegliere quel segno che rende negativo cds ,3. 
Possiamo anche scrivere 

COS a = rt — -zzz: j COS ? = zìz 



\/l 4-.V'' Vi -i-y' 

dy 
dove y -^ j , e, se l'equazione della curva è /(a- ,^i 1= (», 
dx 

3/ ?/ 

cos a =z -*- - - , cos i3 "^ » -_— _ 

dove dobbiamo prendere contemporaneamente i segni superiori o gli 
ir riori. 

Indicati con n,v gli angoli della normale cogli assi, abbiamo 

t^ ^^ — -, qualunque sia la direzione che sopra di essa si scelga 






.1 . 



>■• 



tV'.' 



FU- ' 



¥■*■*■ 






-V. 



6 

come positiva, e 



cos ti = sen v = zfc 



Jj^ 



3/ 



ydx- + dy Vi+y* 



KD'-(-^y 



^.^ 



1 



sen «1 z- cos v zn zp 






V<*f* + df 



Vi +/' 



rd)Hiy 



nelle quali forniole dovremo prendere contemporaneamente il segno 
superiore o l' inferiore, e questo segno dipenderà dalla direzione che 
si sceglie come la positiva sulla normale. 

Inqueipunti.,^ ove la derivata -f risulta comunque intiniu 

(si tenga presente quanto fu dimostrato al n. f)0 del voi. 1) la tan- 
gente é parallela all'asse delle j e la sua equazione è X::^^-, e la 
equazione della normale è Y =y. 

4. Si chiamano tangente geome trini lunghena della tangente^ 
e normale geometrica lunghena della normale le parti di tangente 
e di normale comprese tra il punto M sulla curva e il punto d* in- 
tersezione della tangente, e della normale con uno degli assi p. e. 
coli' asse ;t; e si chiama sottotangente la porzione di asse compresa 
tra il piede della coordinata abbassata da M sull' asse ed il punto 
nel quale la tangente interseca l'asse, e sottonormale la porzione di 
asse compresa tra il piede della coordinata e il punto nel quale la 
normale interseca l' asse stesso. 

Così indicando con Lf,L„ 
S/ , S« la lunghezza della tan- 
gente e della normale, la sot- 
totangente e sottonormale re- 
lativamente all'asse ^, avremo 

U — MT, U :r: MN , S/= TP, 
S„=rPN. 

Convenendo di consic ;- 
rare la sottotangente posit ^a 
se il punto P è alla destra di T e negativa se alla sinistra; e la » t- 




7 

tonormale positiva se il punto P è alla sinistra del punto N e nega- 
tiva se alla destra, i triangoli MTP, MPN ci danno, qualunque sia la 
mutua posizione dei punti M, T, P, N, 

Gli stessi triangoli ci danno altresì 



ed i segni nei secondi membri di queste due ultime formole si so- 
gliono prendere in modo che le corrispondenti espressioni di ht , L„ 
risultino positive. 

5. Applichiamo la teoria a qualche curva particolare. 

\) Cicloide, — La cicloide è la curva generata da un punto di 
una circonferenza, la quale, mantendosi sempre nel suo piano, rotola 
senza strisciare sopra una retta indefinita, alla quale si mantiene sempre 
tangente. Dal modo di generazione di questa curva risulta subito, 
che essa è composta di un numero infinito di rami tutti uguali aventi 
per base una parte della retta uguale in lunghezza alla circonferenza 
del circolo generatore. 

Per determinare 1' equazione di questa curva prendiamo per asse 
delle X la retta sulla quale rotola il circolo e per asse delle y una 
retta ad esso perpendicolare e che passi per uno qualunque dei punti 
nei quali la curva è incontrata dall'asse delle x^ punto che si può 
riguardare come origine del movimento. Consideriamo un punto M 
della curva e siano x ^y le sue coordinate. Immaginiamo il circolo 
generatore, di cui indichiamo con a il raggio, nella posizione che 
ha dovuto assumere affinchè il punto generatore sia venuto in M. 

Avremo allora arco BM = OB essendo B il punto di contatto 
del circolo colmasse x. Designando con / l'angolo M AB, contato nel 
verso indicato dalla freccia nella annessa figura, essendo A il centro 
del circolo, avremo 

a: = OP = OB ^ PB 13= arco MB — OA 

^=z at — a cos (M AQ ziz at — a sen /, 

y = Q? ^ MQrr:: ^ -h a sen (M VQ) ^a — a cos /. 



Le coordinate i- ^y 
l'ariabile / dalle forinole 



(1) 



vengono quindi espresse [ 
i A- ^a{i — sen /). 



= .(l-c 



«/ T VT' 



- cos i). 

L'angi 
tra e t: 
dellacurv 
l' arco 
vertice o 

\ / rispetto ali' asse x, della 

curva stessa e, pei punti 
dell'arco VO',/ è com- 
preso tra - e 2". Si ottengono tutti i punti della curva facendo v.i- 
riare / da — oo a — qo. 

Se si vuole la equazione della cicloide in coordinate cartesiane 
basterà eliminare / tra le equazioni (1). A tale scopo dalla seconda 
di esse ricaviamo 

cosi — ''-~~, / = arccos-~''', sen t — -*- —\'2a~r~--y- 

e la prima delle (1) diviene quindi 

(L') X :=a are cos — — -iz \'2i{y — v- 

che è l'equazione della curva, nella quale dobbiamo prendere il segno 
superiore pei punti pei quali sen tè positivo cioè pei punti dell'arco 
tiV, e il segno inferiore pei punti pei quali sen / è negativo cioè 
pei punii dell'arco VlV, 

Per determinare ora il ;-, ed i 



e cosi l'equazione della 
;a dalla equazione (2) della e 



A'" 

gente, invece di ricavare questa derivi ^ ^_, 

in coordinate cartesiane, giova meglio ricavarla dalle (1), dalle qua\Ì 

dx^a{ì — così) di —y di, dy = a sen t dt — \2ay- 
dove nella seconda formola 



dv 



sottinteso il ! 
\'tay- 



s quindi 



9 

e per conseguenza le equazioni della tangente e della normale sonò 
rispettivamente 

y \l2ay—f- 

Abbiamo inoltre 



St -^ ^' , S, = \l2ay -y\ L, =/ ]l ~ L, ^y^ay. 



La formola che dà la sottonormale può scriversi. 
Sn — \yi^2a --y) = V^P • CE) = \/DB . CD 3= MD = PB. 

Quindi la normale si ottiene immediatamente unendo il punto 
M col punto B, ed in conseguenza la tangente unendo M con C : 
per cui la tangente e la normale in un punto della cicloide vengono 
con molta semplicità determinate mediante il circolo generatore nella 
posizione che ha assunto quando il punto generatore è venuto nel 
punto che si considera. Ci si può anche risparmiare di descrivere 
il corrispondente circolo per ogni punto nel quale si vuol condurre 
la tangente; basta di questi circoli averne tracciato uno, p. es. il 
circolo VHF, perchè, volendosi ad es. la tangente e la normale nel 
punto M', basta condurre per M una parallela all'asse x sino ad 
incontrare in H il circolo, unire H con V ed F, essendo VP il dia- 
metro del circolo parallelo all' asse _)', e le rette MT' e M'N' rispet- 
tivamente parallele alle HV, HF sono la tangente e la normale nel 
punto M'. 

2) Catenaria. Consideriamo la curva che ha per equazione 

y=-(e^' ^e /') 

dove prenderemo h positiva. Si scorge che questa curva è situata 
tutta al disopra dell' asse x (cioè nella parte del piano che contiene 
Ja parte positiva dell' asse delle ^), che è simmetrica rispetto all' asse 
y B che // è l'ordinata del punto nel quale la curva taglia l'asse 
e le /, il qual punto è il punto più basso della curva, perchè per 
J -() abbiamo un minimo per la funzione/, come facilmente si può 
"^ ficare, e non abbiamo minimi per nessun altro valore di x. Questa 



iX" 



■-\ 



\ 



f. 



> 



10 

curva notevole si chiama catenaria, perchè, come si dimostra in mec- 
canica, è la curva lungo la quale si dispone un filo pesante tìessibile 
e inestendibile quando venga sospeso a due suoi punti; la quai 
h è allora la tensione orizzontale che ha luogo nel punto più h 
del filo. Per condurre la tangente in un punto M di questa e 






# = i«--.-^) 




-dh 



-K(i)" 



i=±w- 



( nella qual form ola dovremo prendere II s< 
- quando x è positivo, il segno — quando x è negativo, pe 

H ^e * ) è positiva per x posisìvo, negativa per x 



'0' _±,^ 

gativo. 

Ora col centro net punto più basso V 
MP:=_j' descriviamo un circolo che taglia i 



e con raggio ugua 
Q. l' asse x ; abbi: 
OQ.— |/V^' — VO' = yy~l? e quindi tg Q.VO — tg a. Pere 
MT perpendicolare alla VQ. sarà la tangente nel punto M alla ( 
nana e la MN parallela alla VQ sarà la normale. 



Assintott 



6 Ricordiamo che una retta d'icesi asstn tota d'una curva, avente 
rami che si estendono all'intìnito, se la distanza tra un punto M 
della cur\'a e la retta converge a zero, quando il punto M si allon- 
tana indetìnitamente rimanendo sempre sulla curva. 

Per riconoscere se una curva ha assintoti paralleli all'asse delie 
X (o delle )'), si osservi se l'equazione della curva è soddisfatta da 



qualche valore finito per y (o per x) quando si faccia efescere inde- 
linitamente la * (o laj"). Cosi ad esempio l'equazione x'f ■^^a'i.x' — y'') 



.,ay=..(i->I). 



soddisfatta da x ìntinito e da y' =:<>', 



esprìmendo brevemente con ciò che, quando * cresce indefìnitamente, 
il valore di f che soddisfa alla equazione converge verso a'; la cor- 
rispondente curva ha quindi gli assintoti y:=a, y^=^-a, paralleli al- 
l'asse delle X. Cosi ancora riconosciamo che la curva_y'(jr — %ì)-:=3^ — a* 

ha l'assintoto *=: 2a, parallelo all'asse delle/; che la curva/ = 

ha l'asse delle x per assintoto; che la curva }? -h f — axy^^'ÌS non 
ha assintoti paralleli ad alcuno degli assi. 

Vediamo ora come possano determinarsi gli assintoti non paral- 
leli all'asse delle/. Affinchè la retta 

sìa assintoto della nostra curva occorre che la distanza dal punto 
M(x,/) a questa retta, distanza che è data dal valore assoluto della 
espressione 

y — gx - U 

converga a zero quando * cresce indetìnilamente per valori positivi 
o per valori negativi. Dovremo quindi avere/ ~gx — A = i, essendo 
» quantità che converge a zero quando * cresce, ossia y^zgx ^-h + ^, 

— ■^gA, , e quindi g ^\\m — . Determinato cosi g, la 

h^-.y — gx-^i ci dà h-:^Van{y — gx\. 

Ad esempio, per la iperbole — ; 77 ^^ 1 ossia 






|j una curv 

procedendo 



dimostrano 
e, e che noi 



meri qualu] 

»>P>9: 

termini on 

love le fur 
:, e che air 
iderare. 

[nazione t( 



non abbian 
e » -1 — 



Y^g\- 



1) La curva ^ —:w + \V +y- — a=;0, perlaqualeT(^)^f — ',ì, 

ri — 1:^()<-^- non ha assintoti di equazione Y^=gX — fi. 

2) La cuTvi y{x — 2ii] = x' — a^, per \n quale ¥(j)^{' — i, 

K<l - — '^"iS X(ti — <r\ ii — -},pz--2, <j^\*, g-=-^ 1, ?'(H= 1) = ^r ■*, 

■ (± I) 
— — ■ ^ ip ^, w — I rr 2^p, ha gli assintoti 

Y = X + ^, ,¥ = — X — tf. 
;{) La curva ^(j; — ia) ^^ — x' ~ a^, per la quale ì({) — ^- -I- 1, 
g^'^-\ — 1 non ha assìntolì di equazione Y =: gx -\- /i. 

4) La curva x' — y' -r- ' ( sen - - — 1 I ^ 0, per la quale » = 2 , 

p^\, „-\=p, t{<)^I-t'. *({I r^ sen f - 1, g^-*--]. 
;'(+ 1) = -b2, '-K"^ 1)=: -'- sen I — 1, ha gli assintoti 

Y— X — 0,o7!tti>5..., Y = — X-;-0,i>-iii7:t5... 

5) La curva *y' — ii*^ -^-y -r-bx + e r=:nhagliassintoti_f'3^-Ha;'\/a. 



Se poi g, radice di j(j)=:^0, annulla anche la derivata prima 
i'({) ma non la seconda, cosi che sia ?|^|=:0, ?'|^):^0. v"'^)^'*, 
allora, in generale, se « — 2<;^ non vi è asstntolo di equ; 
Y = ^X ~ // ; se w — 'Z^-. p vi è l' assintoto 



^i^--\-^t 



'■(«1 " 

Dosto — ~, ^ >0: e se ti — •2> p abbiamo l'assintoto Y^^X, 



W.i 






i-i 

'ì'- 



K- . 



14 

E così di seguito, si potrebbero considerare i casi in cui ?(^)-=0, 
(f'(^)=ì:0, !?"(^) = (), qp"'(^)^ 0, etc. ma non ci estenderemo più 

oltre. — Cosi ad esempio riconosciamo subito, applicando queste re- 
gole, che la curva 

xHjy — xY ^ ay^ -h bx-^ ^ ex -\- dy -h e =zO 

non ha assintoti di equazione Y =gX-\- h] che la curva 

x^x — ^)-— <2*(j(r* 4-^*)= ha gli assintoti Y:=X±a\/2 (vi sono 
anche i due assintoti, paralleli all'asse delle ^,X=:db^); che la 
curva x\y -t- 2x)' -h ax' ^by^d = i) ha V assintoto Y — — 2X. 



• * . 



8. Dimostriamo ora che, se la tangente alla curva in un pnnto 
M(a:,^) converge verso una retta limite, quando M si allontana inde- 
finitamente sulla curva, questa retta limite è un assintoto. 

Scriviamo la equazione 



della tangente nella forma 



Y-- 



dx 



dy 



'^-(^-f) 



e supponiamo che sia 

a) 



dv 



4-=:-x 



lim (; 



dy \ 



dx 



)= 



*', 



cosichè la retta limite delle posizioni della tangente sia la 

y = g-X ^- //. 

y 

Dico che è ^' = lim—, h' :=i\\m{y — g x\ e allora questa retta 

sarà appunto un assintoto. 

Basta perciò osserv^are che, applicando la regola di l' Hospital, il 
che può farsi dietro la supposizione dell'esistenza dei limiti (1), si ha 



r y 

uni -^ 

x-v. X 



dv 

Ix 
im -j-=^, 



r 



15 



X X' 

lini (y — gx) = lim - -- = lim 

jr=:QC 1 A 



^'™(-^-*-|) = ''' 



Notiamo che. ove al crescere di jc la ^- o la espressione 

dy 
y ~^^ ~r- non avessero limiti determinati (ed allora la tangente non 

1 convergerebbe verso una retta determinata), potrebbe ciò non ostante la 

I curva avere asisntoti. Ciò accade ad es. : per la curva y = , che 

' ha per assintoto 1' asse delle x. 



Convessità e concavità — Flessi. 

9. Premettiamo le seguenti considerazioni. 

Sia /(x) hinzione ch^ ammette derivata n esima nel punto x^j 
cosichè esiste un intorno e di x^, per tutti i punti del quale esistono 
e sono continue le derivate degli ordini precedenti. La funzione di h 

?(*'= ^ '^ ' 

! dove x^ -4- h appartiene all' intorno t, è il rapporto di due funzioni 
[ di A, che si annullano per /r^=0 insieme alle loro derivate l."2\... 
(« — 1)'"^ ; avremo quindi 

lii t(A) = lim z — : — , 



+ *) -/•(«„! — */■'(«,' — ■ 
Mti—t}li- 

''*' = , ri ''"'"' ''•'+■'"« 

le converj;e a zero con A, e 

?(*) = , jL/™(«.i + 'l, 

:he converge a zero con A. 



:./,V-/'/'Kì---:n/"( 



ova forma di resto dello svi 
-'irva j> =_y(x) o f{x ,y) — 0; 
, dove supponiamo y posii 
o negativo, e paragoniamo 
uella della tangente. Y/, corr 



if-X')=yw(X-*i 

)unto M, supposto X ~ a: -i- 

-V, =/(*+. *)-><*]-*, 
i:he nel punto x esista la 



- Calcolo Differeniiale, pag. X 
ins la forinuie Je Taylor, Malh 




17 
avremo Yc — Y/ "^-^ [^"W + ^] ^^ esisterà un intorno e di questo 

punto, per tutti i punti dei quale \c — \t avrà lo stesso segno di y\x)^ 
ed ove inoltre Yc e Y/ saranno positive, perchè le funzioni y{x) e 
y(x) -^ hy{x) sono continue e positive nel punto x Ai punti di f, sul- 

Passe delle x^ corrispondono sulla curva punti che costituiscono un 
tratto di curva, che potremo chiamare intorno del punto M, e pei 
punti di quest' intorno Yc — \t ha lo stesso segno di y\x). 

Se èy'(*)>0, le ordinate della curva, in quest'intorno di M, 

essendo maggiori delle corrispondenti della tangente, 
l'intorno è tutto nell'angolo ottuso che la tangente 
fa coir asse delle x\ si dice allora che la curva nel 
punto M volge la sua convessità all'asse delle x o che 
X è convessa verso quest'asse. 

Se è yXx) < 0, le ordinate della curva sono minori delle corri- 
spondenti della tangente ; l' intorno del punto M è nell' angolo acuto 

della tangente colmasse delle x; si dice allora che la 
curva nel punto M volge la sua concavità all'asse delle 
X o che è concava verso quest' asse. 

Se la ordinata del punto M fosse negativa, segui- 
~ terebbero a sussistere le formole precedenti, e, poiché 

possiamo prender l'intorno e in modo che Yc e \e siano negativi, 
si scorge facilmente che, sey(x)^0^ l'intorno del punto M è nel- 
l' angolo acuto della tangente coli' asse x, e la curva è in M concava 
verso quest' asse ; e se y(x) < la curva è convessa. 

Da ciò si raccoglie che : Se la ordinata y di un punto M d* una 

dV 
curva non è {ero, e se la -y- , corrispondente a quel punto, e pure 

diversa da {ero, la curva in M è convessa oppure concava verso l'asse 
delle X secondoehè y(x) e y"(x) sono dello stesso segno oppure di segno 
diverso; ed in entrambi i casi vi è un intorno del punto M sulla 
curva tutto dalla stessa parte rispetto alla tangente in M, o, come 
suol dirsiy la curva è nelle vicinanic del punto M tutta dalla stessa 
parte della tangente. 

Se una curva è convessa o concava in tutti i punti di un suo tratto, 
e dicesi convessa o concava in tutto quel tratto verso l'asse delle x. 

Se la ordinata y del punto M è zero, cioè il punto M e sull'asse 
e e jf, le formole trovate rimangono inalterate. 



•T-" 




Se è y'(x) > 0, i punti dell' intorno di M che sono al disopra 
' asse delle y sono nell' angolo ottuso che la tangente in M fa 
asse stesso j diremo allora che la curva è, nel punto M e al di- 
3 dell'asse *, convessa verso quest'asse. I punti dell'intorno di 
he sono al disotto sono invece nell'angolo aculoj diremo che la 
a è, nel punto M e al disotto dell'asse *, concava verso questo 
L' inverso avviene se y(x) < 0, 
Laonde possiamo dire che: 

d*v 
Se ti punto M è su li' asse dalle x e in esso - --,- è diversa da 

, la curva nel punto M e al disopra dell' asse delle x è convessa, 
disotto concava verso Quest'asse se in M f . ' >0.- ed è con- 

' dx* 

d'y 
al disopra e convessa al disotto se — „- < 0. In entrambi i casi 

dx' 
rva è nelle vicinarle del punto M dalla stessa parte della tangente. 
Nelle precedenti ricerche si è tacitamente supposto che nel punto 
ay(«) diversa da zero. Sa ciò accadesse il valore ^(*) sarebbe 
imo o miDÌmo, e potremo chiamare il punto M punto di mas- 

d^y d'y 

o di minimo, secondochè in M è -j--^ < o -j-y > 0. 

d'y 
u. Si supponga ora che nel punto M sia -3-7 ^0 e che esista 

— nel punto x. Allora possiamo 

Se la y'\x) è diversa da zero, avremo un intomo del punto 
lindi un corrispondente intorno del punto M sulla cur^■a, per 
i punti del quale la quantità tra parentesi ha lo stesso segno 
'{*); in conseguenza \c — V( cambia segno con A, Considerando 
intorno di M le due porzioni che stanno da una parte e dal- 
a del punto M, si vede così che se una di queste porzioni è 
na parte rispetto alla tangente, 1* altra è dall' altra parte. La tan 

gente attraversa la curva nel punto di contatto. 

Questi punti M si chiamano /ìessi o punti di infli 



r 



19 



12. Abbiamo nelle precedenti ricerche escluso che la tangente 

nel punto M fosse parellela all' asse delle y^ caso che corrisponde- 

dy 
rebbe all' essere infinita la -^ nel punto M. Ora se ciò appunto av- 

Ux 

viene, si intende che non potremo parlare nel punto M di convessità 
o concavità della curva verso l' asse delle x. Però, se la derivata è 
infinita e indeterminata di segno, sappiamo allora che (Vedi n. 175, 
voi. I) il punto M è punto di massimo o minimo, e la tangente in 
M non attraversa la curva. Se invece la derivata è infinita e deter- 
minata di segno, i due rapporti incrementali 

j^x^h) — y(x) yix — h) —y{x) 

^ , 



finiranno per essere dello stesso segno e quindi i loro numeratori 
di segno diverso; da ciò è facile riconoscere che la tangente nel 
punto M attraversa la curva. Il punto M è quindi un flesso, 

dy d^y d^y 

13. Se nel punto M è -—diversa da zero, -^V =0, -^ = 0, 

dx dx^ dsr 

(f» — ^y d^y 

....— r=0 e —i — diversa da zero, osservando che allora 

ftr**— * dx^ 

^' - ^' = 1-5 — ;^ [^""W + *]' 

si riconosce subito che: se va è pari la curva è nel punto M con- 

d'**y 
vessa concava verso V asse delle x secondochè y e , ' sono dello 

^ dx»" 

stesso segno di segno diverso: se va è dispari il punto M è un flesso. 

dy 
Se poi fosse anche —- = nel punto M, allora, se m è pari il 

dx 

Punto M è punto di massimo minimo \ se m è dispari il punto M 
è un flesso. 

Esempi 

1 Sia la curva y = sen x (sinussoide). Poiché sen x è funzione perio- 
di i col periodo 2- basterà esaminare la curva per V intervallo (0,2r.) 
di r. A questo intervallo corrisponde un tratto di curva, la quale 



a totalità è composta di intiniti altri 
ichè y =: cos x, y" -^ — sen x, y" ^ — 
concava all' asse delle x nell' interva 
; sono positive ed è pure concava nel 
ì ordinate sono negative; per ;if=::n, t 
ili* asse delle x. La curva è facilment 

la curva y^x' — «' ^= *'{1 — x*) abl 

y=2x{\ —2*')./ = 2(1— ti*' ,; 

curva è simmetrica rispetto all'assedi 

} valore per i valori di x ugnali e di 

inti 0, I, — 1 dell'asse delle AT. Ha due 
risponde y --- —. Il punto {x^i% y =i 

simo. Il tratto di curva corrisponde 

— , — ^ l di * è convesso verso l' ass 

fi V fi / 

enti agli intervalli | — -s , Il . ( — I 

IVfi / l 

quelli corrispondenti agli intervalli (1 
L verso queir asse. 

la curva y^ ^: ax^ ossÌa> ^zr \/ u * ■' {par 
; sempre positiva, supposto a > 0, e pe 



1^^ 



per X diverso da zero, > 



Ito concava verso l' asse delle x^ e per 
ndeterminata di segno (Vedi n. 177, e 
imo, e non vi sono flessi perchè, inoli 
r alcun valore Hnito di x. 
la curva y:^3fi — x* -t- x + j abbiami 
y =: tìx- — 4^ + ], y':=zt'a 

y" ^^ 24 *(a»;* — I ), y"" i^ 2^ 



r 



21 

Li y si annulla per x = i), x=i±h - - ; ai due ultimi valori di x 

corrispondono due flessi ; pel primo, essendo ancora ^"'.1= 0,/"" ^ — 24, 
non si ha flesso, e poiché è ivi ^ ir: 1, la curva è concava verso l'asse 

1 / Y 1 ■''2 

delle X. Inoltre negli intervalli per x da. — 00 a — l-^ e da I -- 

air 00 è/>0; nell'intervallo (- |' |, )/ | ) ^/<^- P^^^*^^ 

y'iO) = 1, <y II — I < 1, la y è positiva e decrescente da x=:() 

1 2^ i/¥ 

a x:=l'^rì positiva e crescente da, x = l- -y a. xzzzoo-^ ed essendo 

^•(0) = 1 la ;v è quindi sempre positiva e crescente da x:=^0 a x^gc, 
e il tratto di curva dal punto (0, 1) al flesso è concavo verso Tasse 
delle :r, quello da (0,1) all' infinito è invece convesso. Applicando 
inoltre opportunamente noti teoremi di algebra, si riconosce, senza 
difficoltà, che /{x) ha una sola radice negativa, che chiameremo — a, 



f'i 



situata tra Jir= — 1 e x^=z — [/-— ; che y(x) è sempre negativa nel- 

r intervallo ( — 00, - j), sempre positiva nell' intervallo (— a , 00). La 
funzione ^"(jc) si annulla per jr^r— I ;da^ = — ooaA:= — le sempre 
positiva e decrescente, è negativa per a: = — a dove ha un minimo, si 
annulla nuovamente per un certo valore x:=: — b compreso tra — a e 

1 2^ 

— I —, è positiva nell' intervallo (— - 6, 00). Per cui la curv^a è con- 

vessa nel tratto corrispondente all' intervallo ( — 00, — I ; di a-, è con- 
cava nel tratto corrispondente all' intervallo ( — 1, — b\ convessa pel 

tratto corrispondente all' intervallo I — é, — (/■^l ? concava pel tratto 

corrispondente all' intervallo I — y— , j . 
5) Sia la curva 

f{x,y)=f^v^-^{x)^{), 

d 'e ^(;v) è funzione univalente finita che ammette derivata prima e 
s inda. 



e poiché -r^ non si annulla mai per alcun valore (reale) di> e di *, 

\i f{x ,^)-:=0 definisce una funzione univalente finita e che ammett 
derivata; e si riconosce che essa è formata da una solo ramo, perché 
se ad un certo valore di x potessero corrispondere tre radici reali _ 
Af\\i f{x ,y) = f^, tra due di queste radici dovrebbe esservene un 

della —^0, che non ha mai radici reali. Per ogni valore di . 

abbiamo quindi un sol valore (reale) di y definito dalia f{x ,y) = C 
Osservando che (Vedi n. IM!, voi. 1) 

■ = _ -{Mì^y +(3/+i)'t"(: *) 

^ (1 + 3/)' 

e introducendo in questa forinola le coordinate del punto che s 
considera sulla curva, si riconosce se essa in quel punto sia concav 
o convessa verso l'asse delle x. 

Se p : es : fosse ?(*) 7=ax ■*- b, si avrebbe 

, a „ _ 6à'y „ 6ay 

^ ~~ 1 + .y ^ —~ (rrV)"''^'^ ^ ~ (I + 2/)* 

e la curva sarebbe sempre concava verso l'asse delle x. Per y-:=i 

cui corrisponde x^:. , cioè nel punto ix=: ■, ^n;Ol, 1; 

curva ha un flesso, perchè è /"^O e y" è diversa da zero; e noi 
ne ha altri, perchè y" non si annulla per altri valori di y, e y noi 
è mai infinita. 

Notiamo però che la ricerca dei flessi e della convessità e con- 
cavità d'una curva, la cui equazione sia data in forma ìmplicit: 
fix ,y)-=.(i^ riesce quasi sempre malaj^evole. 
6) Siano x =: t ■{- 1', y ^ t' + t^ \g coordinate dei punti di una cun 
Essendo 

dx^{\+ 2t)dl, dy ^ (2? + ■Ar-)dt, d*x = 2dl', d'y = (2 + 6/)A*, 



„ _ dxd'y — dyiPx _ ^ 3(* + «/+ 1 
*' ~" rf*" ^~ (1+2/)» ■ 

dici della equazione St- + Sl +ì ^=tt sono 
>n vi saranno tiessi provenienti dall' annul- 
ncora vedere che>" non può cambiar segno, 
a il denominatore del suo secondo membro, 

11' < ; ossia èy' > per / > — — , è ^'' < 

= /'(/+ 1 ) è > per (> — i, è < per 
valori di / da — 00 a — 1 la curva è con- 
pei valori di / da — 1 a — — è concava, 

- 1» è convessa. 

^ell' andamento della curva, si osservi che 
ri da <M a zero, quando t passa da — <xi 
— 00 a zero, cosichè abbiamo un ramo di 
positìvo delle x che passa per l' origine 
come si è visto, sempre convesso verso 

. o-"'** ^ questo ramo nell'origine fa coli' asse 

delle * un angolo la cui tangente trigonometrica è — l, come ri- 
sulta dal valore di y per /=- 1; la tangente è la bissettrice dell'an- 
golo retto formato dalle parti negative degli assi coordinati. La x 

assume l' unico valore minimo — — per /:=—--; per i valori 



, come abbiamo visto, concavo verso l'asse delle x; per i va- 

/alori da -a zero e la 



isìoDe di valori positivi da -- a zei 

le ramo di curva, convesso verso l'asse delle x. Per 

— , ^ =r — K la tangente è parallela all'asse delle j', 

O.yz^V), la tangente è l'asse della ;ir. Infine pei \-a- 
) a 4-0° la * prende i valori da zero a -h se, la_>' i 

+ 06 e si ha un i-amo di curva convesso all'asse 
; nell'origine all'asse delle x, 

' equazione della curva in coordinate cartesiane si eli- 
azioni X = t + I' ,^ =: f + fi^ perciò, osservando che 

il valore di t dalla prima equazione e si sostituisca 
Elevando poi al quadrato si ottiene ;_>''+*)' — *^ ^: 0. 



ri delle curve piane — Descrizione delle curve. 

ono chiamare punti singolari d'una curva piana i 
ndiamo a considerare. 

Iella curva, che sono stati precedentemente studiati. 
arresto o di fermata. Sono punti nei quali un ramo 
brtiscamente a fermarsi. Ad es. la curva, la cui equa- 
ig X per X diverso da zero e _i' ^ per x^=0, ha per 
a l'orìgine delle coordinate, perchè per valori nega- 
zione X log* non ha alcun valore (reale). Lo stesso 

i_ 

:urva_ji = ^ -■", (x'^O), e y:=(ì per x:=iì; il ramo 
ssa per l' origine si arresta ivi bruscamente. 
^ S) Punii salienti o angolosi o vertici. Sono 

— punti di un ramo di curva, nei quali vi è una 
tangente da una parte distìnta dalla tangente dal- 
v(_x) è l'equazione della curva, yix) funzione univalenie, 
rispondono a quei valori di x pei quali la ji^x) non 
inaria, avendo però una derivata a destra e una a si— 
a loro. Ad es. : l'origine delle coordinate, per la 
- , (* 5 0), e / — 1} per *■ = 0, e per la cur\a 

(at^C), e^ = per * = 0, è un punto saliente. 



no punti ie cui coordinate sod- 
disfanno all'equazione di una curva, ma pei quali esiste un intorno 
dove non cade alcun altro punto della curva. Ad es: perja curva 
_;=*!*' — I) l'origine è un punto isolato perchè le sue coordinate 
x — D._y=zH soddisfanno alla equazione della curva, mentre poi solo 
attribuendo alla * valori tali che sia j'^ 1 sono possibili corrispon- 
denti valori (reali) per ji. 

Per la curva/*—* sen'* sono punti isolati tutti quelli le cui 
coordinate sono / — 0, a: — — Ait, essendo k intero positivo. 

/ 5) Punti di regresso o cuspidi o punti sta^iovari 

/^,,f^ sono quelli nei quali vengono ad arrestarsi due rami 

*C^^^ di curva e dove essi hanno una tangente comune. Ad 

es. ; per la curva y r:=.y[x), y{x) essendo univalente, ai 

valori di x, pei quali la derivata è inlinìta e indeter- 

J y minata dì segno, corrispondono punti di regresso. 

^^ Sia ancora la curva_j' = ( I +x)^ +V^' > ^°' radicale 

consideriamo i due valori reali 4-V*S ■ -V*'i cosichè_>i=;(l+ar)'±V*' 
dove allora V indica il valore aritmetico della radice quarta di j'. 
Ad ogni valore di x jjositivo corrispondono due valori per ji ; pier * 
negativo la/ non è realej e ì due valori reali di/ diventano uguali 
tra loro e ugtiali a uno per xr=(i. Quindi i due rami della curva 
vengono a riunirsi e ad arrestarsi nel punto (0,1). Inoltre essendo 

y ^ 2lx -^ 1 ) db — \'' * è /'(O) -:; 2; quindi vi è una sola tangente 
comune ai due rami di curva nel punto {(',!), che è perciò effetti- 
vamente un punto di regresso. 

Si sogliono anche distinguere i regressi di primo genere o prima 
specie, che sono quelli pei quali i due rami di curva stanno da una 
parte e dall' altra della tangente comune, e quelli di secondo genere 
seconda specie, pei quali i due rami di curva sono dalla stessa parte 
della ungente comune. 

6) Punti multipli. Son quelli nei quali si incon- 
trano due o più rami della curva. In particolare sono 
punti doppi, tripli,. .. quelli pei quali passano due, tre,... 
rami della curva. La curva ammette, in generale, più 
' tangenti in questi punti. 

Ad es. ; sia la curva / := ± *\ 1 — *-. Essa è sim- 
lica rispetto agli assi. Ad ogni valore di * dell' intervallo 




J •• 



I 

I ■ 
l' 




26 

( — 1, 1) corrispondono per ^ due valori uguali e. di segno contrario; 
questi valori diventano uguali tra loro e uguali a zero per x=:0'y 
nell' origine delle coordinate passano quindi due rami della curva. 
Inoltre, essendo 

./ 3 ^' ^ ì—2x' 

Vi— ^' \/i-x' 

è ^'(0) = db 1 ; vi sono quindi due tangenti distinte nell'origine delle 
coordinate, e sono le bissettrici degli assi. 

Essendo poi ancora /' = ± r-, 

ó 



X') 



2^2 



i ± 



_ ^ (6jg — 3) (1 — xy 4- 3^(ay' —Sx) (l— x') 



e quindi y(0) = 0, y{0) = ^z3, si vede che l'origine è anche un 
flesso per ciascuno del due rami della curva che passa per esso. 
Questa curva ha la forma di un otto rovesciato, oo. 

15. Sia la equazione della curva data sotto forma implicita 
/{^x jjf) = 0, dove supponiamo la f(x ,7) funzione univalente finita delle 
due variabili x ,y ^ che ammetta tutte quelle derivate parziali, che 
man mano si presenteranno, e tutte queste funzioni siano continue 
per i sistemi dei valori per x ^y che dovremo considerare. Affinchè 
il punto di coordinate x^ ,^q, appartenente alla curva, sia punto mul- 

tiplo occorre che le — , -^ siano entrambe nulle per ocz=x^ j^'^^o» 

3* oy 

Infatti se /'y(^^, ,;Vo) è diverso da zero, pel teorema al n. 89, voi. 1, 
esiste un intervallo {x^ — A , ^0 + ^)> P®^ *"**^ ^ punti x del quale 
la f{x ^y) = definisce una unica funzione univalente y ^rr.y{x\ che 
per x=iXf^ prende il valore y^z=zy{x^)\ cosichè pel punto (x^^y^) 
passa un solo ramo di curva, quello corrispondente a questa fun- 
zione y T=:y{x), 

Sia dunque fìJix^ ,^q) = ; ma dovrà anche essere fj^x^ ^y^) = 0, 
affinchè (x^ ,^q) possa essere punto multiplo : perchè se ciò non fosse 
la J{x ,y) = definirebbe in un certo intervallo (^^ — k^yQ -r-k) di ^ 
una funzione x = x{y) univalente di y etc. 

Vediamo così che le coordinate dei punti multipli d'una curva 



27 
/{x,_f}zr-.u devono, oltre che all'equazione della curva, soddisfare 
alle due equazioni — ^ 0, — = 0. 
Supponiamo adunque sìa 

* /'**(*o )^») diverso da zero. 

Avremo, applicando la formola del Taylor relativa al caso di 
due variabili indipendenti, 

(1^ /(*„ -,- h,j>, + à) = j lA'/VU^o + »fi,y^ + W) 

dove < « < 1. 

Supponiamo esista un intorno del punto {«■,, ,^o) per tutti i punti 
del quale, escluso al più il punto {x^ ,y^), sia 

(21 f{x ,y) =s. [ r.-rU* ,y)]' -/-.r»(* ,y) / »(* ,/) > ; 

e poiché vi è pure un intorno di («o,/») nel qua\e f\i(x ,y) ha 
sempre lo stesso segno di /"»v(*o iAX avremo un intorno e nel quale, 
olire a quest'ultima condizione, sarà ancora verificata la (2). I valori 
di A , J6 che compariscouo nella (1) siano, tali che i punti tx^+h,ji,-hk) 
appartengano a <:. La (1) può scriversi cosi: 

/K + A, ^B + k) 



dove 


il* 










»4H 


-Vi(»."+« 


y. + '£' 




>^.+"*> 








,j,^^t. 



Fissiamo un valore k^k„ positivo. Potremo anche (issare Aj, in 
a che, per \h\^h^,'k\^k^,si3. |i(A,4), <*„ j^fA, i)| <i„: co- 
é, essendo perciò 

i, — a(/i , *,) > 0. ~K — =i(A, — Q < 0, 



almeno un valore i, di i, compreso 

k^ — ■x{h , k^) = 0. 

modo analogo si vede che dovrà esse 
e che 

^, — X/',i,)-0. 
□ ciò rimane dimostrata l' esistenza 
„ *(, -f hf,) del punto *■„, tale che ad og 
indoQO per^ almeno due valori disti 
liti 

. di questi valori non possono esserv 
ve per un terzo valore _>>„ -T-k^ fosse j 
«Simo y^ + ^1 1^0 "*" '^l 'A + ^3 i" ordii 
' ^ì ^ y»"^ K dovrebbe esservi un vai 
A, jj + i') = ; tra ^o + lis e /„ t k 
*■« + fiy J'o + k") = ; ed allora altres 
1", + k'" tale che fosse /"ys(*n + ^j >' 
ere. 

ssiamo adunque dire che nell' interva 
ne f{x ,y) = definisce due funzioni _j 
i: Xn divengono entrambe uguali a y^,, 
riconosce subito che queste due funzic 
i può scegliere piccolo quanto si vuol 
:he una qualunque di queste due funz 
[ue dell' intervallo {Xf, — /;„, x,, + /;„) t 
Jjiindi k^ e i, convergono a zero co 
i ammettono derivata nel punto [x^ ,_; 

Il ~ j 
■^1,. >,)_-/■ .4, 



lueste considerazioni, telali ve al caso in 

0, ^ — 0, e che servono di complemento al teorema del n. ti9, voi. 1, 
[e dalla tesi per 1' abilitazione all'insegnamento «5111111 teoria delle fun- 
'^icitet presentata da! Doit. Elda Sadun alla R. Scuola Normale su- 
li Pisa e stampata nel volume 4" degli Annali della Scuola medesima. 



2t* 

Il punto (*^| ,^^) è quindi un punto doppio, perchè per esso pas- 
sano i due, e due soli, rami di curva _>'i ^_j'i(ar), /,—/,{x). 

I valori precedenti di y,ix„), /iC^o) sono ì coefficienti angolari 
delle due tangenti in (x^ jji^) ai due rami di curva. Se fosse, in par- 
ticolare, ^(*o,^o) = 0, i due rami di curva avrebbero la stessa tao- 
gCQle, ossia sarebbero tangenti tra loro nel punto doppio 

La condizione dell' esistenza di un intorno di (x^ ,^o) P®' punti 
del 4uale sia ¥{* ,^) > è soddisfatta se -^(j;, ,^„) > 0. Se invece si 
suppone :;{x^ ,/„) < vi è un intorno del punto (*„ ,/„) pel quale è 
i(x,y><(i; ma la (1) può scriversi cosi: 

/(,, + *, j,, + i) 

- /'M«. + «* ■>. + ti) I 

l/",X'o f •'" ,>. + »*)l' < ' 

e si vede perciò che l' equazione /{x^ + b, y^ + i) =r non puO es- 
sere soddisfatta da alcun sistema di valori à\ h,k eccettuato il si- 
stema A =: 0, k^=(i. Pel punto (x^^y^ non passa quindi alcun ramo 
di curva; esso è perciò un punto isolato. 

Se poi è q;(*, ,^|,);rzO non possiamo subito deciitere nulla in- 
torno alla natura della curva nel punto {x„ ,_>>„). Se esiste un intorno 
àì(x^,y^) per tutti i punti del quale è ?(ar,^)>0 allora siamo nel 
caso accennato piii sopra, e il punto {*„ ,y^) è un punto doppio dove 
i due rami di curva si toccano. Se esiste un intomo nel quale 
T(jr,^)<ii il punto {Xf,-,y^) è punto isolato. Se poi, condotta pel 
punto Wb,^,) una parallela all'asse delle _ji, si trova che vi è un in- 
torno del punto t.^oi.J'o) ^^ ^^^ parte di questa parallela, nel quale 
tIj^,_ji)>0, e uno dall'altra parte, nel quale ;f(jr,^) <(), allora i due 
rami di curva sì arrestano nel punto (*„ ,y^) ed hanno ivi una tan- 
gente comune ; il punto (*„ ,/o) è quindi un punto di regresso. No- 
tiamo però che queste condizioni sono sufficienti, non necessarie, af- 
finchè si abbia un punto doppio coi due rami che si toccano, o un 
pu o isolato, o un punto di regresso. 

Da tutte le considerazioni precedenti, ritenute per la f{x ,y) le 
ce .izioni poste in principio, risulta il teorema: 

Sia {x„ , y„) un sistema di valori che soddisfa alle equazioni 



; . 



30 

gf gf g«f 

f(x , y) = 0,-;-' =0, ---=zO e sia -—r- diverso da zero per xrrXo, y^=yiQ» 
3x 3y 9y' t ^ U7y « 

/l/^r^ 5^ «^/ /«;//() (xo , yo) ^ ( g|^) ^ ^^^^^ ''^^"''^ 

ìXq , yo) è putito doppio delia curva f(x , y) r= e le tangenti trigono- 
metriche degli angoli, che le due tangenti nel punto (x^ , y^) fanno 
coir asse delle x, 5/ ottengono dalla espressione 



''f ì 3xay V\ax3y/ 



3'f 3*f 



3>' 



3x' 3y 



.« 



,2 



Se 



facendo in essa x =r Xq, y==yo. 

(g2f \S g«f gif 

/ tt« punto isolato. 

(g«f \« g«f g2f 
-^^— j — — — = nel punto (x^ , y^,), ^i/^s/(? ^, ^^?«^r/i/. 

mente j o un punto isolato o un punto di regresso o un punto doppio 
in cui si toccano i due rami di curva che passano per esso ; ed occorre 

studiare come si comporta la f{x ^y)o la espressione l — j — —^ —^ 

\ 3x 3y / 3x 9y" 

itegli intorni di (xq , Vq). 



ay 



ay 



i6. Se nel punto (x^^ ,^q) è — ^ =:= 0, ma è diversa da zero —j , 

si intende subito come, prendendo per variabile indipendente la j'y 
ì ragionamenti precedenti seguitino a sussistere, e come si possa de- 
cidere, in modo completamente analogo, intorno alla natura del 
punto {Xq ,y^). 

Ove poi nel punto {xq ,^o) ^^^sse contemporaneamente — - j = 0, 

3**" 
gy gy 

- - =0 ma — — diversa da zero, allora può giovare, per deci- 

3y 3* 3^ r o 7 r 

dere della natura del punto (a^ ,jVo), fare ruotare gli assi intorno s - 

1' origine di un angolo qualunque a, che può venire poi conveniei - 

temente scelto secondo i casi; indicate con x ^y le nuove coordinai ? 

cartesiane, e con ¥(x ,y ) =: l' equazione cui si riduce la f(x ,^) 1= > 



»1 

mercè le note relazioni , 

a; ^*' cosa — y sen a, y^=x' sen a +y cos*, 
e con (*'(, ,y\) le coordinate del punto (x^ ,_?„) relativamente al nuovo 
sisleoia di assi, le formule 



8F 

a»' 


I-- 




»-, 


3F 

3/ 


V 

3* 


.n. 


-1 


.OS. 




8T 
"9F 


= f- 


«-2 


37 
3-3> 


sen a cos a + 


3'/ 
3?' 


COSd 






nostra 


no che nel 


punto (*'o i^ 


.-€ 


= 0, 


3F' 
-a,-' " 


= 0(le 


quali 


prò- 



vano, come era da prevedersi, essere i punti singolari che stiamo stu- 

9*F 
diaado indipendenti dalla posizione degli assi coordinati) e che —i^ 

o>' 
k diverso da zero, riducendosi a — %f'^{x^ ,_yo) sen « cos ». Possiamo 
quindi applicare alla funzione ^{x ,y") l'analisi che ci ha condotto 
al teorema del n. precedente. 

Qualora poi fossero zero tutte e tre le derivate parziali di se- 
condo ordine della y(,)c,_y) <^t.t x^=.x^yy:^y^, ma fosse diversa da 

3"/ 
zero la -r-j-j allora si potrebbero istituire ricerche analoghe a quelle 

del n, 15, e saremo cosi condotti a risolvere la equazione 

%f\dxì^'èf^x\dxì^'' a^&v' dx ^ 3*^~"' 

. - - 1.^. ^/ul..^, ^-i, ,^oM ""' l'esame accurato di 

questo caso e degli altri più complicati, che ancora possono presen- 
liirsi, ci porterebbe troppo in lungo. 

Sia la curva /= {x' +y — bxf — a\x^ +_)■') ^ d. 
abbiamo -|^ = 2(2*r — V) (p? + / - hx) - 2a'x, 



■ vi sono valori di * ,/ che soddisfacciano a tutte e 
"= 0, -^ = 0, -^ = 0. Dalle due ultime abbiamo 

,y che la annullano soddisfanno alla equazione 
oppure alla y^O. Pei valori che soddisfanno alla 
iviene *' -\-y*z=f) che è solo soddisfatta da ^^0, 

>ri soddisfanno alle tre /—O, -^=^0,1^=0. Per 

iviene x^\{x — Aj* — a*^|;:rO, che è soddisfatta da 
)onde la soluzione precedente * z= 0, ^ := 0) e da 

il y^=i)^ x:=b±a\s. -— diviene ± 2a{h ± a)*, che 

aso di a ^r: è, e quando si prenda il segno inferiore; 
Vediamo adunque che in ogni caso le sole soluzioni 

zioni /=0, -i^^O, -^-^=0 sono ^.^.),/=0. 
^ ■Sx ' ^y 

.Itre 

^ + -Zy^^bx + b^^a\ ^^^4yipc-.b), 

/ a*' a/ ^ ' 

> a' l'origine delle coordinate è un punto doppio, se 

o isolatole le tangenti nel punto doppio fanno angoli 

Ve*"— a' 
le cui tangenti trigonometriche sonorfc — — . 

il caso é* =; a*. Abbiamo 



\dxdy/ 



af - 8{3ar' +y' - 3ax) [2x{x - a) + 6/ - 
+ 6y^ — a' diventa — a* per xi=0, y^=^( 



33 
0) nel quale questa espressione è negativa ; 

intorno, dove è Jc^O, è '.ìx* + f — Aix > n 
unti di c„ escluso (0,0,, è T(*,^)>0. Se 
3e nella parte dell'intorno e dove *^0., 

due rami di curva situati da una parie ri- 
he passano per l'origine delle coordinate ed 
Line l'asse delle x. 

mento della curva per *>0, oppure per^<(l, 
a <0, osserviamo che dall'equazione della cur- 

+ y^ ^ 0, risolvendola rispetto a j-' -i-_>'' dopo 
', si ottiene ?(*' -(->') ^=a*-\- 2ax ± \/a' + 4a*x 

ì di curva che passano per l'origine corri- 
spondono al segno —, e quindi avremo per essi 

2/ r=a' + 2ax — 2x= — \/à' ■+- i<r^x] 

ma (a- 4- "iai- — 2x-y == a' + 4a^x — Ax{2a — x) è < a* + 4a*x per 
x<2a se '»>{), e quindi a^ + 2ax — 2jr' < it\/a* -i- 4flx, e perciò 
nelle vicinanze dell'origine, per x positivo, > non può essere reale. 
Allo stesso modo si vede che, se a<,Q,y non può essere reale per 
X negativo. 

Da tutto ciò si conclude che l'origine delle coordinate è un punto 
di regresso per la nostra curva nel caso a" ^ b'. 

La curva che abbiamo studiato si chiama Lumaca di Pascal ; quella 
corrispondente al caso a- ^= b' si chiama anche cardioide, perchè ri- 
corda la forma di un cuore. 

Si abbia nel piano una curva C, un punto O ed una retta di 
determinata direzione positiva che passa per O; a partire dal punto 
B nel quale questa retta incontra la curva C, e nella direzione posi- 
tiva, si porti una lunghezza costante a; si otterrà cosi un punto M. 
11 luofjo geometrico del punto M, quando la retta che passa per O 
TUota di un angolo uguale a due retti intorno ad O, chiamasi con- 
coide della curva C rispetto al polo O. 

La lumaca di Pascal è la concoide di un circolo di diametro h 
r -«tto ad un punto O della sua circonferenza, preso come polo. Per 
r moscere ciò, si faccia uso di un sistema di coordinate polari col 
( 1 nel punto 0, e il cui asse polare sia il diametro del circolo che 
I ;a per O. Allora si ha p — u -|- ^ cos " (^ raggio vettore, " angolo 
p ire). Passando poi al sistema cartesiano ortogonale, coli' origine 



^f.^r^Z 



V : 

■5 ■> •' 



t^^ 






m 






Il . 
I*. 









'y 



34 

in e coli' asse delle x coincidente coli' asse polare, mediante le note 
formole x = ^ cos ^^ y=zp sen H, otteniamo la equazione / = 0. 

2) Sia la curva / = x\x^ +y) — ^%y — •*")* = 0. Le equazioni 

/= 0, - := 0, ^^ rr: hanno la sola soluzione comune jf == 0, y = 0, 
3^ 3^ 

d'f 
pei quali valori--,- è diversa da zero; inoltre, essendo 

^{x ,y) = 4 [òxy 4- a\2x -^yf -h ^x\à' — 2a:'')1, 

è -^(0,0) =0. Ma per 2**<a* è sempre <f(^,^)>0; inconseguenza 
l'origine delle coordinate è un punto doppio nel quale i due rami 
di curva hanno tangente comune^ che è, come si riconosce subito, 
la bissetrice dell' angolo retto formato dalle parti positive degli assi. 

3) Per la curva f=x^-hy — 3*!?*^ = (Folium di Descartes) 
abbiamo l'unica soluzione ;r=:0, ^^rrO comune alle equazioni 

/=0,|^ ^ 0, ?^ = 0, e per essa è -^ z= 0, ^'^ = 0, -^- = -\U 
a^ 3^ 3** 3jv* ' 3Jf 3/ 

Per decidere sulla natura del punto singolare (0 , 0) faremo qui un 
cambiamento di coordinate, passando dal sistema di coordinate (x , v) 
attuale ad un altro {x ^y) tale che l' asse delle x faccia coli' asse 
delle X un angolo semiretto, mediante le note formole 

x=-^(x- -/), y = - --_ {x' .r,v'). 
V 2 \/ 2 

L' equazione della curva diviene : 

F = V 2 x^ -h 3 \/2x y^ — 34^' —y^) ~ 0, 
ed allora per ;if' zr: 0, y = è 



3^F 



"" ^'"^ 3/^ ^ ^^' a^a/ ^ ^' '^^^ ' ^* ^ '^^^ ' 



l'origine delle coordinate è quindi un punto doppio e le due ti i 

genti in esso alla curva fanno coli' asse delle x angoli le cui ta i- 

genti trigonometriche sono =t 1 ; cioè le due tangenti sono i prin i- 
tivi assi delle x^y. 



—.^..r^-^-.^ 



35 
4) Sia la curva /=:^'^ — ^ = Supposti x ^y positivi abbiamo: 

df df 

-^ =jK* log>' —yx^-\ -^ =r xjy'^-' — ^ log x, 

- =/"--' — ^l'-i -(- ;cv'-i log^' — >rx3'-> log X. 



9/ 3/ 

Le equazioni /= 0, - := 0, — =0 sono soddisfatte da xz=ie^ 

cx oy 

yzzzeyQ non vi sono altri valori che le soddisfacciano. Inoltre le prece- 

3 Y(^ , e) 
denti funzioni sonò tutte continue per x ,y positivi e ^ - = — e^^—^^ 

e ?(<? , ^) = ^8«^— < ; il punto (e^e) è quindi un punto doppio e le tan- 
genti fanno coli' asse delle x angoli le cui tangenti trigonometriche 
sono -hi e — 1 . 

Si noti che la retta ^ = ;Cj cioè la bissettrice dell'angolo retto 
formato dalle parti positive degli assi, fa parte della nostra curva, 
perchè la / = è soddisfatta ponendo y = x, Qjiesta retta costituisce 
uno dei rami di curva che passano pel punto doppio {e , e). Per de- 
terminare facilmente quanti si vogliano punti dell' altro ramo pel 
quale .r è diverso da^, si ponga ^::i= tx\ allora dalla equazione ^=:Ar2' si 

ottiene /** x*" = .r'*", dalla quale, elevando alla potenza —, si ha fxzir x\ 

-!- -i- 1 

e quindi jt = /^— ', v = /'— '. Ponendo ancora /— 1 = — sì ha 

u 

l\u / 1 \tt+» 



'=('-!)' ^=("4) 



che esprimono le coordinate del ramo di curva mediante la varia- 
bile M. Facendo ad es. : m = 1, 2, 3, 4.... abbiamo 

_.^ _ _^ __27 _()4 _ 250 _ 625 _2125 

^^L,^--4;^--,^-.-; ^-^^, ^ - - -- ;^ _ --^^^. ,^ _ ^^^^ ;.. 

) Sia la curva y=zx^ — . Per x'^ è^>0 e per calcolare v 
p remo usare la equazione log^ = x log x^ che ricaviamo dalla 
a azione della curva. Per x=:() abbiamo il valore indeterminato 0*^ : 
ri ^rdando che lim ;t'^ = 1 (n. 173, voi. I) attribuiremo alla y il va- 



"'n 



'■(i)' 



!ore uno per * ^ 0. Per x r= 1 abbiamo / :^ 1 ; h y =. x^(] -\- log x) 
si annulla per *~ — — 0,3fi7S7!)44... e la_>''èseinpre positiva, quindi 
z 0,(1022005... è la ordinata minima. Attribuendo ad * i 
valori da zero a — l'ordinata diminuisce sempre e pei valori di x 
da — a 00 la ordinata cresce sempre; la curva è sempre convessa al 

Tasse delle x. Se alla espressione x' attribuiamo il signitìcato che ri- 
sulta dalla definizione data al n. 10 voi. 1 per k funzione esponen- 
ziale, non potremo dare alla x valori negativi; rimane così esaurita 
la curva e il punto (0, l| è un punto d'arresto. 

Sappiamo però che la espressione {—xy {x positivo) ha un si- 
gnitìcato determinato per infiniti valori di x, cioè se * è intero, o 
è una frazione avente pari ti numeratore, o una frazione avente dispari 
il numeratore e denominatore. In questi ca.si è (—x—'^^ ' ~~V *^ 
quindi ( — ^ri-"" ha un significato determinato, e un unico valore, perchè 
qui dei radicali si deve considerare il valore aritmetico. Se dunque 
vogliamo prendere in considerazione anche questi valori di x, la curva 
avrà un numero infinito di punti, che non costituiranno una successione 
continua, ma un numero infinito di punti discreti, te cui coordinate 
soddisfanno alla equazione della curva. E, attenendosi alla defini- 
zione che abbiamo data dei punti isolati, non potremo neanche chia- 
marli punti isolati, perchè in qualunque intorno comunque piccolo 
di ciascuno dì essi vi sono sempre di tali punti, cioè punti della 

Se, inoltre, consideriamo tutti i valori reali che hanno i radicali, 
avremo ancora un numero infinito di punti discreti, le cui coordi- 
nate soddisfanno alla equazione della curva, e che corrispondono 
anche a tutti i valori positivi di x uguali ad una frazione col deno- 

Questo esempio mostra l'esistenza dì un altra specie di punti 
singolari, e come sia necessario precisare bene il signitìcato delle quan 
tità che compariscono nell'equazione dì una curva, onde evitare pos- 
sibili equivoci. Cosi, ancora ad es.: la equazione _>> ^= \/ *, ove al ra 
dicale si attribuisca il suo significato più generale -t- \'' * o — \'' , 
rappresenta la parabola y =^ x, mentre, se col radicale intendiam 



r '.'*•*■' • ■ 



il valore aritmetico -h V ^? ^* rappresenta una curva (la parte della 
parabola al dissopra dell'asse delle x)^ che ha un punto d'arresto 
nell' origine delle coordinate. 

17. Data una curva mediante la sua equazione^ =A.^) ^/{^ì^Ì^^ì 
occorre spesso costruirla, o almeno avere una idea della sua forma. 
Senza entrare in particolari su questo soggetto, quanto abbiamo fi- 
nora esposto è spesso sufficiente a questo scopo (^). 

Mediante l'equazione della curva si comincino a segnare quei 
punti, che, dalla ispezione della equazione stessa, appariscono subito 
appartenenti alla curva. Poi si potranno cercare gli assintoti e i punti 
singolari. Lo studio delle derivate ci farà conoscere le tangenti e se, 
e in quali tratti, la ordinata sia crescente o decrescente e se la curva 
sia concava o convessa verso l' asse delle x o delle y. Si determine- 
ranno anche i punti di massimo e di minimo. Questi procedimenti 
sono stati adoperati negli esempi che abbiamo dato nei n. precedenti, 
e quindi li riteniamo con essi sufficientemente sviluppati. 



Curve riferite a coordinate polari. 

18. Sia P =/(e), o 9(P , ^) = 

l' equazione di una curva in coordinate polari, dove p indica il raggio 
vettore, e « l' angolo polare ; facciamo per le funzioni /(H) e cp(p , tì) 
supposizioni analoghe a quelle del n. 2. 

Le formole che servono a passare dal sistema cartesiano al po- 
lare, quando il polo è 1' origine delle coordinate cartesiane e l' asse 
polare è la parte positiva dell'asse jt, sono, come è noto, 

x:= P cos H, ^ = P sen B. 



(}) Nel caso delle curve algebriche sono state, già da lungo tempo, date 
r jle assai utili praticamente per la loro costruzione, ma che non formano 
i licazione diretta del Calcolo differenziale. — Si vedano, tra altre, le opere di 
i ^mer, Iniroduction à V Analyse des courbes planes algebriques, 1750; lohnson, 
< ;ve Tracing, 1885, Reuschle, Praxis der Kurvendìskussion, 1886: e le opere 
( trattano analiticamente le curve di ordine superiore. 



cos H — p sen h 






do l' angolo della tangente nel punto M coli' asse x 



df 
, --j- sen 9 + p 
dy ^ d» ^ 

di^lf. ~~ 



* __ 1 + tg a tg H __ ^1 

d» P"'tga_""tgtì —'•' tg(a-ir)- 

:on 11 l'angolo che il raggio vettore fa colla tan- 
gente nel punto M contato dal raggio vettore 
alla tangente nel verso nel quale è contato l'an- 
golo ", verso indicato dalia freccia nella tìgura; 

-> allora, qualunque sia la posizione del punto M 
e della tangente MT e la direzione positiva sulla 
tangente, a — «è l'angolo della tangente col 
raggio vettore, cioè ji z= a — H, ed in conse- 

d^_ i. _ ^ 

"rftt"~ tg"r. ■'*""''</?■ 

za dell'angolo |i, che rimane determinato mediante 
■isolve il problema di condurre la tangente alla curva 

considera. 
O conduciamo una perpendicolare al raggio vettore 

segnamo i punti T,N nei quali viene intersecata 
dalla normale alla curva nel punto M. Il segmento 
totatigetttc polare, il segmento ON sotfonormale po- 
rto di riguardare positiva la sottotangente polare S/ 
T rimane alla destra di chi, situato in O. guarda da > 
lositiva del raggio vettore, e negativa quando Ìl pui a 
stra ; e positiva la sottonormale polare quando il pui o 

negativa quando è alla destra nel modo indica .. 



■AM 
Allora, qualunque sìa la posizione dei punti M , N , T e qualunque sia 
la direzione positiva sulla tangente, i triangoli OMT, OMN ci danno 



S, = P' 



Esempi 



Applichiamo la teoria ad alcune curve spirali, cosi chiamate dai 
ripetuti avvolgimenti che fanno intorno ad tjn centro o polo. 
1) Spirale d* Archimede, la cui equazione è 9:=an. 

^ Per costruirla si descriva col centro nel 

polo un circolo di raggio a; l'arco AB di 
questo circolo, contato a partire dall'asse po- 
lare fino al punto B nel solito verso, è la lun- 
ghezza del raggio vettore che passa per B. 
Quando a è positivo facendo variare " tra e oo la curva fa un nu- 
mero infinito di giri intorno al polo; variando H da a — 30 sì ot- 
tengono punti che formano un altro ramo di curva simmetrico al 
precedente rispetto alla perpendicolare all'asse pwlare che passa pel polo. 
Per questa curva abbiamo 

i/e p ^ ., da p^ ^ d? 

la quale ultima formola mostra che per la spirale d' Archimede la 
soitonormale polare è costante ed uguale ad a, e ci porge quindi un 
mezzo molto semplice di condurre la tangente e la normale in un 
punto qualunque della curva. 
■,') Spirale iperbolica, cosi chiamata perchè la sua equazione 

ha la forma dell'equazione della iperbole riferita ai suoi assintoti come 
as.si coordinati cartesiani. 

Per « convergente a zero p converge all' infinito e ^ decresce 
quando 4 aumenta, e converge a zero per " crescente indefinitamente; 
la curva fa quindi un numero infinito di giri intorno. al polo avvi- 
cinandosegli indefinitamente. 

/ Essa ha per assintoto la retta parallela 

li^ "" all'asse polare distante da esso della lun- 

yjOji ghezza a\ perché la equazione di questa retta 

essendo p' sen 1' — a ^ (p' , h' coordinale cor- 
ni), la distanza tra essa e il punto {p,"l è il valore assoluto di 






Ai) 



P sen H — a. che, se questo punto è sulla spirale, diviene a l — ; — ^ i \ 

che ha per limite zero quando, tì convergendo a zero, p cresce in- 
definitamente. 

Abbiamo poi 



tg\iZZZ 



pb' 



a 



=z — 0^ S/ rz: — a, S„ = — 



a 



La sottotangente è costante ed uguale a — a] perciò la costru- 
zione della tangente e della normale è, anche per questa curva, molto 
semplice. 

3) Spirale logaritmica o logistica. La sua equazione è 

P = ae^^. 

Per H=r() abbiamo ^ = a^ e p cresce con O; attribuendo a ^ dei 
valori negativi p diminuisce. Qiiindi la curva fa un numero infinito 
di giri intorno al polo, allontanandosene e avvicinandosegli indefi- 
nitamente. 

Per questa curva è costante 1' angolo ^L, poiché abbiamo 

__ i« _ P _ 1 
dp ame^^^ m 

4) Lituus^ ta cui equazione è p*8 z= a-, cosi chiamata da Cotes (Har 
monia mensurarum, anno 1722). p cresce indefinitamente per h con- 
vergente a zero, e converge a zero per ^ crescente indefinitamente 
Fa un numero infinito di doppi giri intorno al polo ed ha per assin- 

toto l'asse polare, perchè la distanza 

a^ sen H 
P sen B T=: da un suo punto 

pH 

(p , 6) all'asse polare ha per limite zero 
al diminuire indefinitamente di 8. La 
curva ha due flessi, che si determinano nel modo seguente, che può 
usarsi per una qurva qualunque in coordinate polari. 

Sia / —^(;r) l' equazione della curva in coordinate cartesiane; 




osserviamo che y"(x) 



dxdy — drd^x 



dx^ 



, ove si cambino le coord 



dinate cartesiane nelle polari colle fòrmole x =ip cos tt, ^' = p sen h 



41 



si assuma ^» come variabile indipendente, diviene 

d'i 



m-" 



p 



d^' 



+ p' 



d? -^ 

cos tì — p sen B 






) 



l flessi della curva, riferita al sistema polare, corrispondono quindi 
ai valori di B che soddisfanno alla equazione 



\dò) 



d'p 




0. 



Ora nel nostro caso, in cui p nz — ^:^, la precedente equazione 

diviene (4 — ) = 0, che è soddisfatta dai soli valori finiti, 

di <», 0--=t _-. Abbiamo così i due tiessi 

(o = l,p=^V2"), (e=-2-, P = -«V2)- 

La curva ha la forma della annessa figura (lituus, bastone augu- 
rale degli auguri romani); A,B sono i flessi. 

Esercìzi. 

I. La perpendicolare dall'origine delle coordinate sulla tangente 



»> 



nel punto {x ^y) alla curva x '' -\-y''^ r-- ^ ^ (astroide) è uguale al va- 
ti 

lore assoluto di \/axy, e la parte di tangente compresa tra gli assi è 

uguale ad a. Indicando con a 1' angolo che la normale alla curva nel 

punto (x ,y) fa coli' asse delle x^ alle equazioni della normale e della 

tangente in quel punto si può dare la forma, rispettivamente: 

Y cos a — X sen 0L^=za cos 2^, Y sen a -}- X cos olz=: a (ì — sen 2a). 

2. Tutte le curve rappresentate dalla equazione { - ) ~^~ ( x ) ^=2? 

a ibuendo in essa ad n qualunque valore, hanno comune la tangente 
I punto (a , b), 

. Determinare n in modo che l'area triangolare, racchiusa tra la 
t ^ente e gli assi, sia costante per tutti i punti della curva j>'** = a'^—^x. 



'^^ 

«i 



n 



'equazione d'una curva sia della forma 

:>i, Un, Mp,.. indicano funzioni omogenee delle x ,_y di grado 
0, ..,, e »> m> p^ essendo h ,m ,p numeri qua- 

dimostri che: 

Ur equazione della tangente nel punto {x ,_>■) alla cur\'a può 
1 forma 

e da un punto di coordinate {h,i) si conducono le tangenti 
rva, ì punti di contatto sono situati sopra la curva 

ui {x,j/) indicano le coordinate correnti. 

lesta curva possiamo chiamarla la prima polare o semplice- 
la ^/i7re del polo {h,i) rispetto alla curva /=0; poiché 

particolare che la / r= sia curva algebrica (e l' equazione 
lunque curva algebrica si può sempre ridurre alla forma/— =0) 
si chiama \a polare del polo ih ,k) rispetto alla /:=Q. 

iC il polo (A, A) è sulla /^^rO, la polare passa p>el polo, ed 
la tangente in comune colla/i^O, escluso il caso di tt=\. 
» ^ 1 la polare ha nel polo una singolarità la cui natura dì- 
dalia espressione 

!/•,.('', *)v-y,,<'',»i/-4*,*). 

la polare passa pel polo, questo è sulla /=:0, eccetto il caso 

nel quale la polare passa sempre pel polo. 

luogo geometrico dei piedi delle perpendicolari abbassate da 
ito sopra le tangenti d' una curva chiamasi pedale della curva 
< al punto 0. Consideriamo come corrispondeniesi il punto M 
irva e il punto ;i della pedale, piede della perpendicolare da 
tangente in M. 

1 y ^y{x) la curva e sia l'orìgine delle coordinate; y{x\ ai 
lerìvata prima e seconda. Si dimostri che la tangente ir 



ircelo descritto su OM 

della pedale, si espri- 
li il ~- relativo al punto [i. Si trovi la 

ha per diametro OM, e si pro\i che il 
: uguale al valore di -z-, relativo al punto 
oordinate correnti del circolo). 
= -— -r- hanno, nei punti corrispondenti alla 
nti uguali e di segno contrario ; e le curve 

hanno uguali le sottonormali, 
rve seguenti: 

i-xy — a*-=:Oj xy' -k-yx^ ^ a* ; 

\tm di Descartes) ; **_y* — a'(r' +yj — (I ; 

^ ,-^ , ..., _^ ò;(y-2x){f-x')-a(y-xf + Ab{x^y) = c; 

/ -T- A^ (arctg — — 1 I — A* + *sen— + vsen — 4-a— 0: 
\ ^ X } X ■" y 

f[x—y'i'^a'x{x—y) — Sa'y* — h—(ì;y\x—y)^ — a'{x—y) + ^ — 

sono rispettivamente: 

x-z:^\\ ,yT=(i ,y^x; Arn:0 .y^(\,y^'~x\ y + *-j-j — 0; 

* — ±.j,> = ±a; ay + bx ~2a*r=iì-j y^^x , 'M,y + *) -- 2^, 

:*»- — tu — fl = l); 25(i)' — tM^(4)t + \)x-hT.\Ak+ 1)* — 2~:*\=zU,k 

intero qualunque; y-=^x± a\/'.i ; ^ ^ tt a, _>> nr *. 

8. Aftinché gli assi delle * e delle y (il sistema può essere anche 
non ortogonale, perchè le considerazioni del n. 7 valgono in ogni 
caso) siano assintoti per la curva di 2° ordine 

ay'- + (ex + c)y + Jx* + rx +/— 

ogna che sia a:^u, c:^(), J^i^O, e^:0; quindi, se una curva di 
■- ondo ordine si riferisce ai suoi assintoti come assi, la sua equa- 
ne sarà della forma àxy + /^ 0. 



44 

'-t. Dimostrare che, se una curva di terzo ori 

assimoti come assi, la sua equazione si ridurrà 

xylax -\- hy + e) + a'x + b'y + i 

e vi sarà un terzo assìntoto la cui equazione è 

10. I punti singolari delle curve seguenti: 

p_ 

y = ^,{x)±{x — a) i,x — b) v,/.,^ numeri inte 

J- p 

y = %{x)^\(x){x — a)*-l , p,q mteri, ^- > I 

{x' -ì- y'y = a\x' — y*) {Lemniscata di Bcrnouìi 
{xy^ \f + {x—\f(x — 2) — 0;y*--Axy' + x' 
x* — 2ay> — ■.ìaY — 2a*x* -f- a' — ; X* -h -Zayx' 
x* + -Zaxy+y*^2ay^ = (i;x' — axy — a^ +( 
< a -^ * e quando 4è* < Sa" ; 
sono rispettivamente ; 

se ii>é, il punto;t^a,_>'^3;¥(ai è punto doppio,; 
se j^ Spunto di regresso; x^/i,y::=f{aì punto d 
punto isolato se a > 0, punto doppio se n < 
gresso se a^(* e tg n^=0, essendo i angolo 
o della tangente coti' asse delle x ; x=(ì,y 
flesso, tg I =^ ± I ; x=:l ,y ■— — 1 regresso, t, 

punto triplo, tgi- l,-""'^^— ;((»,-. 7), (a, ( 

I ¥ 

e rispettivamente ig a := dr I. - , ig a ^^ --t 

x — tì,y^O punto triplo e Ig a — , rt \^2 

triplo e tg ce --=: , ± 1 ; se 0<a <b, pel pun 

rami di curva che hanno per tangente comune l'asse del e a:, e se 

4^'<Sa- il punto (0,0i è punto isolato. 

1 1 . Si dimostri che, onde la curva xy'^ -+- ax' + bx^ -\- ex -t-d=:Q 
abbia punti singolari (esclusi i flessi), occorre sia d~0, ed allora 
la curva è composta dalla retta *:^0 e da una curva di secondo or 
dine e i punti d' incontro di questa colla retta sono i punti doppi, se 
iX); oppure occorre sia 

:trt 2b ,■ = 27 a'^ + 4aà -r 4b^d — b'c' — I Sabcd z^ 

. (I Sa 2h 



■i 



K^ 



45 



Si determinino, in questo caso, i punti singolari della curva, 
12. Si abbia una curva /=0, come all'esercizio 4. 
Si dimostri che la curva (la Hessiatia di /-^O) 



H(* ,>) = 



/" 



orcr 



J ory J :■ 



zz: 



/ I/a* J yy J y 

(n-\)f. {n-Wy nf 

passa pei flessi e pei punti doppi, isolati e cuspidi della /=0 (si 
eccettui il caso » = 1, nel quale la/=:0 fa parte della Hessiana); 
e che i punti isolati e doppi della /^i=0 sono punti isolati e doppi 
della H = '\ nei quali ultimi la H=0 e la/=0 hanno le stesse 
tangenti (eccettuato, oltre il caso « = 1, anche il caso n -—2). 

13. Si descrivano le curve seguenti : xy^ — a^y — ^^ z= ; 
y = a^ (logaritmica o logistica)'^ y = tgx; 

jc» -^ bx* — o^^' = ; ay r= jr« — 3a V -h 8^ V — a^ ; 

fix^ - a^) — x^x^ — 2a^) =();/— Ì2y'x — :i2/ -f 4jk« == ; 

xy — 2bxy - by — "la^xy -h ^V -f Wy -h 2a^bx 1- 2a^ — h^ — ^', 

^a — x)y'^'^o^z=z{S 

/ a\^ a^ 

(Cissoide di Diocle. Dato il circolo ( x — ) -f- y* = , essa è 

\ 2 / 4 

il luogo geometrico dei punti M tali, che, se per ciascuno di essi 
si tiri la OM dall'origine O sino a tagliare la periferia in D e si 
abbassino le MPjDQ, perpendicolari all'asse delle ;if, le intercette dal 
centro CP , CQ siano sempre uguali tra loro) ; xy^ — a'^.{a — ;c) -:= 
(versiera, curva di Agnesi. Dato il circolo precedente, è il luogo geo- 
metrico dei punti M tali, che condotta MP perpendicolare all' asse 
delle JT, che taglierà la periferia in 1), sia OP : PD : : a: MP) ; 
\x^^y'^){x — ^)* = tfV (concoide di Nicomede, o concoide della retta 

y^=^b^ rispetto all'origine delle coordinate come polo) '^ y = ; 

log^ 

1 ^^ 

sen X seny = —^ ; y =^ — ; 2 sen^ — sen x ^^0 ] 

2 X , 

y* 4- 2(jr* -f- c'^) y^ -f- {x^ — t'}* — ^^ := ( Curva di Cassini ; luogo geo- 
m .rico dei punti tali che il prodotto delle loro distanze dai punti ic , 0), 
( - ^ , 0) è sempre uguale ad a^ ; si studino i vari casi ^ < ^ ; a^=c 
le iscata di Bernoulli\ a ^c e <ic'\/2\ a^=^c\/2'j a^c\/2). 

. Per la lemniscata di BernouUi, la cui equazione in coordinate 




* cos 2'i, r angolo che la normale in un punto di coor- 

col raggio vettore è il doppio di 
ndicano i raggi vettori dei punti M , N di due curx-e, 
d uno stesso angolo ", ed è ?p^-^k',k costante, le 
si I' una inversa dell'altra rispetto al centro d" inver- 
lel sistema polare), o 1' una la trai/ormata dell altra 
■i reciprici. Chiamiamo M , N punti corrispondenti, 
gli angoli interni (e quindi anche gli esterni), che 
punti M e N alle due curve fanno col raggio vet- 
per essi, sono uguali. 

de d' una cur\'a rispetto al polo O di un sistema po- 
; polo della concoide, ha la stessa sottonormale f>o- 
Si determini, in conseguenza, la tangente in un punto 
concoide dì Nìcomede, e della lumaca di Pascal. 
p,(()}, ?, ^=Pt{H) due curve; la sottonormale polare alla 
1, (che potrà chiamarsi cissoide, p)erchè la cissoide di 
> particolare) è uguale alla somma o differenza delle 
ari delle due curve. Per la cissoide di Diocle, una 
è un circolo che passa pel polo col centro sull'asse 
è la perpendicolare, nell'altro estremo, al diametro 
>lo. Se ne deduca il modo di condurre la tangente 
1 cissoide di Diocle. 

«ano le curve seguenti ; f,'' ^= a'u {spirale parabolii:a)-. 
sane a quattro rami, luogo geometrico del piede della 
bbassata dal polo sopra una retta di lunghezza Su, 
uoi estremi sull'asse polare e sulla perpendicolare ad 
^■= e cos H — a cos 24 [scarabeo, luogo geometrico 
perpendicolare abbassata dal polo sopra una retta di 
le scorre sopra i lati di un angolo retto, il cui ver- 
polare e distante di e dal polo e del quale l' asse pò- 

■ice) ; p =r 4 -I- cos 5f ; f. =r fl(tg w — I ); p sen ^ - - 

Dinostrato. Descritto col centro nel polo un circolo 
tagli in B l'asse polare, essa è il luogo geometrico 
che il raggio vettore tagli il quadrante, che ha o"- 
stesso rapporto come la parallela all'asse, che pa; 
raggio del circolo perpendicolare all'asse. La cun 
n numero inlinito di rami che hanno per assinti 
■ all' asse e distanti da esso di ± 2d, ±-. 4a, riz tij. , 



4/ 

Come si riconosce facilmente, mediante questa curva si può di- 
videre un angolo dato in quante si vogliono parti uguali, quindi 
anche in tre, e con questa appunto Dinostrato risolveva il problema, 
celebre nell' antichità, della trisezione dell' angolo. Se si indica con 
y la ordinata di M rispetto all' asse polare, con e il punto nel quale 
il ramo di curva, cui M appartiene^ taglia 1' asse, si hanno le for- 

ay 2a^ 

mole aki =: ^ <i'ic = _ _ , che servono a calcolare la lunghezza 

OC OC 

di un arco e V area del circolo di raggio a. Da ciò proviene il nome 
di quadratrice dato alla curva). 



Lunghezza d' arco di curva piana, e formole relative 

19. Preciseremo ciò che intendiamo ora per linea continua^ indi- 
pendentemente da qualunque rappresentazione analitica della medesima, 
dicendo, con Catitor^ che una linea è continua quando soddisfa a 
queste due condizioni : 

Presi due punti qualunque appartenenti alla linea ed una quan- 
tità 3 positiva, anche comunque piccola, si può sempre inscrivere 
nella linea una poligonale coi iati minori di o, ed avente gli estremi 
in quei due punti ; 

Ogni punto limite di un gruppo infinito di punti, appartenenti 
alla linea, appartiene pure alla linea. 

Porremo allora la seguente definizione: 

Lunghe:i{a d* un arco tratto con tifino di linea è il limite delle 
Iunghe{{e delle linee poligonali inscritte nel tratto ^ cogli estremi negli 
estremi del tratto^ e i cui vertici sono punti consecu'ivi del tratto stesso; 
e, come ben si intende, si dice che 5 è il limite di tali linee se, 
dato a, esiste un 5 tale che risulti \s - L| < a, dove L indica la lunghezza 
di qualunque linea poligonale inscritta i cui lati siano minori di ^. 

Quando esiste tal limite, 1' arco dicesi rettificabile (^). 



(•) Al Prof. Peano è dovuta la seguentr definizione, in virtù delia quale 
og tratto continuo di linea è rettificabile: 

lungheii^a d'un arco continuo è il limite superiore (che sempre esiste) delle 
ini ^e delle poligonali inscritte nelV arco, cogli estremi negli estremi dell* arco e i 
cu ertici sono punti consecutivi itelV arco. 

^ci casi più comuni il limite superiore è il limite di tali lunghezze, e perciò 
ali le due definizioni coincidono. 






5*' 









48 

Supponiamo ora che la curva, riferita ad un sistema di assi or- 
togonali nel suo piano, abbia la equazione^ :=^(jif), essendo ^a-) fun- 
zione univalente nell'intervallo {x^ , *), dove x^ , x sono le ascisse degli 
estremi Mo,M del tratto di curva q x^<:ix^ e che ammette derivata 
tìnita y{x) tale che sia, in detto intervallo, integrabile la funzione 

V 1 r y(x) (*); allora esiste un tal limite, cioè l'arco è rettificabile. 
Sia, invero, M^ Mj Mg... Mr Mr-fi... M, una poligonale qualunque 
inscritta, come precedentemente si è detto, nel tratto di curva, e 
siano {x^ ,^q) , {x^ ,^,) , . . . (^-r ^yr) , • - {x ^y\ le coordinate dei vertici 
Mq , Mi , Mj , . . . Posto 

^r = ^r-J-i - Xr , ii> =>-f , -> =X^'-+l) "i't^»') =A^^ 4" A^r) -y(Xr\ 

? ? / 

A^r -h A/r , e quindi la lunghezza 
della poligonale, che indicheremo con S, è 



s=2/A^;+A^/=i:d..)/i+(|^y. 



Ma 



AjVr 
A^r 

ed in conseguenza 



~y\xr -h «, Aa-.), < Hr <I , 



S = 2 A^r 1/ 1 + ^''(^C^ ^- e^ \Xrf. 



/• 



Ora, poiché per ipotesi è integrabile la funzione y 1 -l-^'(*» 
nelP intervallo {x^ ^x\ si vede subito che esiste il limite di S, essendo 



esso 



l'integrale fV X^yixfdx, Indicando quindi con 5 il limite 



-*■■() 



di S, cioè la lunghezza dell'arco M^M, abbiamo 



= //i +y(-)'^*- /|.A + (^'^o. 



X{\ 



Xy\ 



(^ Come vedremo in seguito, ciò sarà sempre vero se si trova che è . 
tegrabile la y* x . 

-| La lunghezza d'arco di curva si può anche definire del modo seguen 
Decompongasi 1* intervallo '.t,, , x, in parti h^.h^, \,.. /?„.. mediante i pun 
X, , X. ,.X3,.. X,....., e si scelga un punto qualunque m^ nel tratto /;,.; sìa n^ il pun 



r^ 



7"S7^ 



49 
Se si suppone x^ > a:, la lunghezza dell' arco M^ M sarebbe 



/4'-(f) 



-«^0 



ao. Indichiamo ora con s = s(x) la lunghezza d' arco di curva da 
un punto origine M^ ad un punto M di ascissa x (appartenente ad un 
tratto di curva soddisfacente alle condizioni precedenti), e contato 
positivamente in un verso da noi scelto e negativamente nell'op- 
posto ; avremo allora, in ogni caso, 



.=s(.)=d,/^4'i+(-|) 



Se nel punto M la y(x) è continua, avremo 



ds ^ I / T / ^ 



=^h + (-i)==^vi+ys 



nella qual formola dobbiamo prendere il segno superiore se ds e dx 
hanno lo stesso segno, V inferiore se hanno segni contrari ; cioè il 
segno superiore quando l' arco cresce al crescere di x^ V inferiore 
quando Parco cresce al decrescere di x. 

' Indicando ol V angolo, coli' asse delle x, della tangente alla curva 
nel punto M, trovammo 

1 y 

cos 2c = j sen a = 1:^:^^^^ , 

=t Vi +y« zt VI +y« 



sulla curva la cui ascissa è m^, e si conduca in rtr la tangente alla curva; 
si consideri sopra questa tangente il tratto kr determinato dei punti P, — j,?^ 
di incontro con essa delle perpendicolari, all' asse delle x, innalzate nei punti 
Xr-~i,Xr. Facciasi analoga operazione per tutti i tratti f7|, /?{... e si consideri 
la so:nma ^kr', il limite di questa somma, all'impicciolire della h, si definisce 
come la lunghezza dell'arco M,) M. 

Il lettore può vedere facilmente che si arriva alla stessa espre ssione dell3 

lat iczza dell'arco, f dx J \ 4- ( — ) . 

i(a qui si dovrebbe poi dimostrare, il che può farsi facilmente, che tale 
lon ìezza è indipendente della scelta degli assi coordinati. 

4 



juaH forinole, come si riconosce subito, dobbiamo prendere il 
superiore quando, muovendosi un punto sulla tangente nelk 
ne scelta come positiva, l'ascissa del punto cresce, perchè al- 
isi è positivo; ed il segno inferiore quando l' ascissa decresce, 
è se, nel punto di contatto M, la direzione positiva della tan- 
:oincide colla direzione positiva dell' arco di curva che termioa 
si avrà, in ogni caso, 



cosa — 


ds 


wn a 


^ di 


-&■ 




s 




Tx 


dx 


cos 


,^- 


dx 

Ti' »»- = 


d, 


e di continuo uso. 








formola ds r= 


± dx vi +y 


poò 


anche scrìversi 


- d. V''»'+*' 

1*1 


, ossia 







ds = \/dx' + ■/>'* e da questa ds* ■= dx* + dy^, 
irima delle quali si deve sotto in (end e re nel radicale il doppio 
che sarà quello di ds. 

ssando dal sistema cartesiano al solito sistema polare, abbiamo 
l'espressione del differenziale d'arco, o elemento lineare di 
ds. in coordinate polari, 



ds = Vi/p' + pWtf'. 

. Abbiamo poi, per le curve/ =:>(*) che soddisfanno alle con- 
poste in principio, il teorema: 

valore assoluto del limite del rapporto d" un arco infinitesimo 
a corda è /' unità. 
liamando ^s l'arco e e la corda co rrì spendente, i cui estremi 



Ai 



As 



^x 



Va*'- 



-(f^y 



:onvergendo a zero, convergono a zero 4y , Ai 



iv-(t)'! 



vatura delle curve piane. 

MA' di curva, per tutti i punti del quale esista 
razione varii con continuità quando si muova 
» di contatto, e che non contenga flessi della 
: degli archi fuori dì AMA', e presa come di- 
tangentì la direzione positiva dell' arco che ter- 
tto, l' angolo delle direzioni positive delle tan- 
stremi dell'arco AMA' chiamasi la curvatura 
eir arco; e il rapporto della curvatura alla lun- 
i la curvatura media dell' arco, 
avvicinandosi indefinitamente al punto M, le 
archi AM, A'M hanno un unico limite deter- 
ìi la curvatura della curva nel punto M; la 

ido \s converge a zero, avendo indicato con 

stremo in M e con A' l'angolo delle tangenti 
Ito come sopra sì è detto, angolo che, quando 
si angolo di contingenza. 
cerchio, l'angolo che le tangenti agli estremi 
fanno tra loro è uguale all' angolo al centro 
, e quindi la curvatura media è uguale all'in- 
iò la curvatura in ogni punto di un circolo è 
inversa del raggio. 

ì. curvatura media dì un arco corrisponde al 
parola curvatura nel linguaggio abituale ; poiché 
hezza, appartenenti a curve diverse e che hanno 



52 

in un comune estremo la stessa tangente, diciamo che più si incurva, 
che ha maggior curvatura, quello che maggiormente devia dalla tan- 
gente, cioè quello pel quale l'angolo delle tangenti agli estremi è 
maggiore. 

22. Si chiama raggio di curvatura della curva nel punto M il 

raggio r di un circolo la cui curvatura — sia quella della curva in 

r 

M : cosichè è — =: lim - — , r z=z lim — =r -z-, 
' r A5 ^1 dz 

Calcoliamo r quando la curva è data da una equazione y =^y{x\ 
dove, pei valori di x che dovremo considerare, si suppone che y{x) 
ammetta derivata seconda finita ; o, più generalmente, quando le coor- 
dinate X ^y dei suoi punti sono espresse mediante una variabile qua- 
lunque / dalle formole x =:r x{i) , y =y(t)^ dove si suppone anche 
qui che le x{t) , y(t) ammettano derivate seconde finite. 

Indicando con a l'angolo che la tangente nel punto M fa coll'asse 

delle Xj si riconosce subito che =i= A^ = A» e quindi ±dzz= d^. Ma 

dy 
ditferenziando la formola tg a zzz - -- si ha 

dx 



dy. 



dxd^y — dyd^x 



cos"" a 



dx' 



e da questa, ricordando che cos* a = 



dx' 



-t:Jx=Ja=:--^'-^""^^^''^ 



dx^ 4- dy 



- , si ricava 



dx^ -f dy^ 



e quindi, coli' osservare che 



ds^=z^z \/dx^ f ^*, si ottiene infine 



(dx^ 4- dy^) -i 



dxd^y — dyd^x ' 

dove prenderemo dei due segni quello che rende il secondo membro 
positivo, perchè r è quantità essenzialmente positiva ; cosichè, sottin- 
tendendo il doppio segno del radicale, potremo anche scrivere 



r zn 



{dx^ 4- i/) 



_3_ 



dxd^y — dyd^x 

formola valevole qualunque sia la variabile indipendente, che in es \ 
esplicitamente non comparisce. Se fosse xz=x{t\ y=iy{t)j sì dovre - 



.•>.-i^T' 



53 

bero allora sostituire pei ditferenziali di a: e di / quelli che da queste 
formole si deducono. In particolare, se la variabile indipendente è .t, 
come avviene quando la equazione della curva è y -^y^x)^ abbiamo 



A 



{dx^ -f dy') ^ 



dxdy 



[i + {r\'' ' 



dx) J 



d^y 
dx' 



Si intende poi conne in punti speciali ove, non essendo verificate 
le ipotesi precedenti, la curva abbia qualche particolarità relativa- 
mente alle derivate della funzione o delle funzioni che determinano 
le coordinate dei punti della curva, possa esistere una curvatura a 
destra ed una curvatura a sinistra, e corrispondenti raggi di curva- 
vatura, diverse tra loro; e come, quando si considera un tratto di 
curva, negli estremi del tratto, non si possa parlare altro che di curva-^ 
tura solamente a destra o a sinistra. 

24. Se il punto M non è, come ora supporremo, un flesso, vi -è 
un intorno e del punto M tutto da una parte della tangente MT. 
Descrìviamo un circolo di raggio r, tangente in M alla MT e il cui 
centro K, che è sulla normale alla curva in M, sia rispetto alla tan- 
gente dalla stessa parte di e. 

Questo circolo chiamasi circolo di curvatura e il punto K centro 
di curvatura^ relativi al plinto M.^ 

Per un altro punto M' sulla curva conduciamo la normale. Essa 
incontra la normale relativa ad M in un certo punto N, che pos- 
siamo supporre a distanza finita, ove si prenda M' sufficientemente 
prossimo ad M. Ora M' avvicinandosi indefinitamente ad M, dico che 
il punto N ha per posizione limite il punto K, intendendo con ciò 
che la distanza NK ha per limite zero. 

Sia, infatti, y ^=-y(p^ T equazione della curva, {x ,^) le coordi- 
nate di M, {x + A^ ,>' + Ay) quelle di M'. Il punto N essendo la in- 
tersezione delle due normali in M ed M' le cui equazioni sono rispet- 
tivamente 



( 



--^(v-^)f-o, 



^ — X — bkX T- ( V —y — AjF) ( 



dy 
dx 



t)=«' 



'Ih 



»• •• 






■ ^ 



■A*: 



. M 






rn 



ie coordinate del punto N sono i valori di X,^ 
conlem pò rancamente. Allo scopo di cercare quesi 
equazione, in virtù della prima, può scriversi: 



-^-^-(1-^)-'- 



« -'-f(l-%)-<-->iÌ 



per cui ta equazione (2) diviene 

_ 1 -yxx -r 1 i*)y(* -i- i^) - (Y -y)y{x 

dalla quale e dalla (I) ricaviamo 
^■(«■-i-tì \x) y\x + A*) ,, 



X 



Indicando con £ , i] i valori di X,Y al liir 
nenie a zero, abbiamo 

<■<) '--' = ^-,,7,-^. --> = - 



dalle quali, elevando al quadrato e sommando, 



■^(l)T 



m 

per cui, chiamando con K, il punto (; , r,), punto limite delle pò i- 
zioni del punto N, ossia punto d' incontro, come suo! dirsi, de! i 



r 



NT.' 



'V 



55 

normale in M colla normale infinitamente vicina, vediamo intanto 

che MKj è uguale al raggio di curvatura della curva nel punto M. 

Inoltre la seconda delle (3) mostra che tq — ^ ha lo stesso segno 

di -j-jy e quindi lo stesso segno di Yc — Y/, avendo indicato con 

Yc e Y/ le ordinate della curva e della tangente corrispondenti alla 
ascissa x -h iipc. Ma esiste un intorno di M per tutti i punti del quale 
T, — Y/ ha lo stesso segno di tq — ^, giacché r, — Y/ è funzione con- 
tinua di x'y ed in conseguenza, pei punti di quest' intorno, y) — Y/ e 
\'c — Vr hanno lo stesso segno; il punto K^ è quindi, rispetto alla 
tangente, dalla stessa parte di un certo intorno del punto M. Esso 
coincide dunque con K, centro di curvatura del punto M. 

Le formole (3), che ci danno perciò le coordinate S, r, del centro 
di curvatura nella ipotesi che x sia la variabile indipendente, diven- 
tano, quando la variabile indipendente è qualunque, le seguenti: 



4) 



l — x^ 



(dx^ -f d/')dy 



{dx- 4- dyyx 



dxd'y — dyd^x ' • ^ ^ j^j2^ __ ^^jt^ ' 

Supponiamo, in particolare, che la variabile indipendente sia 
l'arco 5 di curva, contato a partire da un certo punto origine sulla 
curva, cosichè le coordinate dei punti della curva siano date dalle 

X = x(s), y =y{s). 

Allora indicando con x ,;c" ^y ,y le derivate di x{s) ^y{s) rapporto 
ad 5, abbiamo dx"^ -{- dy'^ z=z {x^ -\- y-)ds^ : ma essendo iv- -h </y' :== J5*, 
qualunque sia la variabile indipendente, è A;'*-hy*=rl, cosichè la 
formola 

3 






(dx^ + dy^) 'i 



dxdy — dyd'x 



diviene ora 



:\ 






(*' +y') -^ d^ 



(x'/ — xyys" 



I </ 



X y — X y 



64 analogamente, le (4) diventano 






' .« 



X y — X y 



■y 



X y — X y 



i-ri 






'Vi; 






:MS 









il 



■ i 



\ i 



fi . 



5<ì 

Notiamo ancora che in questo caso si ha la relazione 

XX -\-yy =0, 
che si ottiene derivando la x' -\-y^^=^ 1, e quindi 

;t^ — X yf-z^x^y^ -\' x^y- — ^ x y y 

»•> I V9 '9 ''9 r-> irò t\ I ti t tt 

=zx ^ ~\- y^ — x^ x^ — y -y ^ — 2x x y y 

n-1 , Mo / » " 1 ' "\9 'l'i 1 W"» 

= ^ + 7 '^ — (a: a: -\-y yy=zx' -\-y * ; 
cosichè abbiamo quest'altra espressione di r, 

1 



r' = 



X - -\- y * 



Osserviamo infine che le formole del n. 116 a pag. 222 voi. 1, 
che danno il valore della quantità ivi denotata con R, non sono altro 
che la espressione del raggio di curvatura in coordinate polari. 

25. Il luogo geometrico dei centri di curvatura K dei punti M 
di una curva è una curva chiamata la sviluppata o evoluta della curva 
data, la quale, considerata in relazione colla sua sviluppata o evo- 
luta, prende il nome di sviluppante o evolvente o involuta. 

Le coordinate ^ , ri dei punti della sviluppata sono date dalle for- 
mole trovate nel numero precedente e per ottenere una relazione 
tra S , r/, indipendente da x ,^, cioè l'equazione F(i , yj) = della svi- 
luppata in coordinate cartesiane, dove S , tj sono allora le coordinate 
correnti, si eliminerà x ^y tra le equazioni (3) del n. precedente, o, 
cioè che è lo stesso, tra le 

(1) ._, + (^-.)| = 0,l + (f)V(^-.)^=0, 

e la equazione /(Af,^) = () della sviluppante, quando questa sia data 
sotto forma implicita ; oppure si eliminerà x tra le (3) n. precedente 
o tra le (1), quando la equazione della sviluppante è della forma 
y=:zy(x)] oppure si eliminerà tra le i4) del n. precedente quella 
variabile per mezzo della quale sono espresse le coordinate a- ,^ dei 
punti della sviluppante, quando avremo quest' ultimo caso. 

Senza aver bisogno di eseguire tale eliminazione, che natun - 
mente non può effettivamente farsi se non è individuata la svilu - 
pante, si possono però dimostrare le seguenti proprietà della sviluppai : 



57 

1." Le normali alla sviluppai te sotto tangenti alla sviluppala nei 
rispettivi centri di curvatura. 

Infatti, la equazione della normale in M alla sviluppante essendo 

e quella della tangente in K alla sviluppata essendo 

e poiché il punto K è sulla normale in M, basterà, per dimostrare 

il teorema, provare che -j- -i= -r-. Ciò si ottiene subito, perchè 

al dy 

derivando la prima delle (1) rapporto alla variabile indipendente x^ 

si ha 

di i dy dt\\ dy ^ . d'^v 

che in virtù della seconda delle (1), diviene 

di d\ dy , dri dx 

-j — h ~r- - - = ossia --,-== 3- • 

ax dx dx di dy 

2.** La lunghei^a assoluta di un arco di sviluppata è uguale al 
valore assoluto della differenza tra i raggi di curvatura corrispon- 
denti ai suoi estremi, quando per tutti i punti dell' arco medesimo^ 
ossia del corrispondente arco di sviluppante, il raggio di curvatura è 
funzione sempre crescente o sempre decrescente della variabile indipen- 
dente, e che ammette derivata finita. 

Per dimostrare questa proprietà, supporremo che la variabile 
indipendente sia l'arco s di sviluppante, cosichè le coordinate dei 
suoi punti siano date dalle x = x(s\ y =^y(s\ e le coordinate l , ri dei 

punti della sviluppata dalle (5) del n. 24, le quali, posto R = —rir— t; i 

xy — yx 

^ mtano l=:x — yR, r^^^zy -\- x' K; e derivando quest' ultime rap- 

I :o ad 5, ed indicando le derivazioni con apici, abbiamo 

'-y = X — y K —V R , -y- = V — Jif R -h A* R . 
as ds 



Elevando al quadrato e sommando, e avuto 
V'+y =:i, x'x" -r-y'y' zi:0, r* ^= -.,^ — —^ 



iìhiih 



'\ 



ossia di'^ -\-dr,^ = dr*y la quale, indicando ci 
contato a partire da unn orìgine fissa ed essent 
diviene rfS' = dr" ossia rfS — dr rfr. 

In questa formola dovremo prendere il 
riore secondochè i/S e dr hanno o no lo si 
dochè nel punto K di sviluppata, che si e 
raggio di curvatura r crescono e decrescono 
quando esiste un intorno di K sulla svilup; 
del quale S — S, e r — r, abbiano lo stessi 
Si è l'arco che termina in K), l'origine < 
dell' intorno, e r, il raggio dì curvatura ce 

Cosichè, quando per tutti i punti d' u 
verifica costantemente l'uno o l'altro di qt 
dS^=dr oppure dS^= — dr, cioè dS^=:izdr, 
in quel tratto, il segno superiore o l'inferi 
punti di questo tratto di sviluppata è S =* 
certa costante. 

In conseguenza, se, percorrendo un tra 
un estremo all'altro si trova che il raggi 
luppante cresce sempre o decresce sempre i 
valori di r corrispondenti agli estremi K^ , 1 
di sviluppata che terminano in Ku,K,, c< 
supponiamo fuori del tratto Kp , K , , o al j 
avremo 

S, — ± r, 4- C, S, = I 

dalle quali S, — S^--^ H^ l/-, — r^^) ossia |S 
[S, --S,,| ^= [arco Ko K/, per cui 



formola che dimostra il teorema. 

11 quale non è più vero se lungo l' ar 
vatura della sviluppante non varia costantemente nello stesso s 



poiché se, ad es. : lungo l'arco K^K', da K, a K', il raggio di cur- 
vatura cresce sempre e lungo l' arco K'K,, ila K' a K,, decresce 
sempre, essendo K' un punto interno all'arco K|,K,, avremo, pel teo- 
rema ora dimostrato, 

arco K„ K' ^= r' — r^, arto K'K, -=.r' — r, 
e quindi 

arco KflK, 2r'—r„~r, 

dove /■' indica il raggio di curvatura il cui centro è K'. 

Dal teorema precedente si deduce un modo di descrivere la svi- 
luppante per mezzo della sv luppata. 

Supponiamo che lungo il tratto di sviluppata 
"da K, a K, il raggio di curvatura della sviluppante 
sia sempre decrescente. Immaginiamo un (ilo che 
avvolga perfettamente l'arco KjK, e di cui un capo 
fissato in K, e l'altro capo sia in M, sulla svi- 
nante, in modo che la parte rettilinea di filo 
K|M| sia disposta suIIm tangente K,>i, della svi- 
luppata nel punto K,. Immaginiamo inoltre che, 
tenendo sempre teso ii tilo, lo si svolga dalla sviluppata in modo 
che la pane rettilinea risulti sempre tangente alla sviluppata stessa ; 
allora l'estremità libera del filo descriverà l'arco M, M, M, M, di 
sviluppante che corrisponde all'arco K, K,K;|Kj di sviluppata. In- 
fatti, quando la parte rettilinea del filo si sarà disposta lungo la tan- 
gente KfM, nel punto K, alla sviluppata, la sua estremità si troverà 
in un certo punto M',; dico che i punti Mj ed M', coincidono. In- 
fatti abbiamo, evidentemente, K,M', — K|M, + arco K,Kt, e d'altra 
parte, per l'ultimo teorema, arco K, K[ =; K, M, ^ K, Mi ossia 
K,M, = K,.Mi I-arco K,K„ e quindi K,M, = K,MV 

L'estremità del tìlo, svolgendosi nel modo che si è detto, è ve- 
nuta in M„ e così sì dimostrerebbe che essa passa per tutti ì punti 
dell'arco M, Mj di sviluppante. 

A questa proprietà del luogo geometrico dei centri di curvatura 
è ''ovuto il nome, che gli venne dato, di sviluppata o evoluta. 

Si vede poi come ad una data sviluppata possa corrispondere 
t: i infinità di sviluppanti, che si ottengono accorciando od allun- 
^ ido il filo che si avvolge sulla sviluppata. Questa proprietà, del 
r "o. risulta analiticamente, come potremo vedere altrove. 




fio 

36. Diamo ora la sviluppata delle seguenti 
1) Ellisse. Sia la ellisse dì equazione — j- - 

~ ^3 , e da questa, servendocr di questo 

dx ay 

riguardo alla relazione tra j: e / data dalla eq 

3'y h* 

si ricava -, ^ r^ . ^ ; per cui le forinole (3 

dx' ay- "^ 

ovvero, adoperando la equazione della ellisse, 

Per eliminare x ,y tra la equazione della 
scriviamole cosi: 

(«s]~ = i («• - j'r , (»,,p = ''^ [b 

ed allora, elevando ai quadrato e sommando e 
equazione delia ellisse, si ha: 

(^«''" + (*'.)"* =(•'-*•)" 

che è l'equazione della sviluppala richiesta, £. 
coordinate correnti. 

Allo stesso risultato possiamo arrivare anc 
formole 

x^a cos t. y = h sen / 
che esprimono le coordinale x ,y dei punti del 
variabile /; dalle quali, ricavandone dx,d^x,c 
nelle (4) del n, 24, si ottiene 



a sen tia^ sen' t -h fj- cos' ti 



61 



ossia (jc) •* -=: {a^ — ^') ^ cos /, (^yì) * =:r (^' — li*) sen ■* / ; 



ed elevando al quadrato e sommando viene eliminato / e si ha la 
precedente equazione della sviluppata. 

2) Soiluppante di circolo. La curva, le coordinate dei punti della 
quale sono espresse dalle formole 

* 

X ^=z a{cos t -t t sen /ì, ^ = j(sen / — / cos /), 

chiamasi sviluppante di circolo^ perchè, come facilmente si trova col 
processo testé tenuto per la ellisse, la sua sviluppata è il circolo 
p* 4- tj* := a^. 
:'.) Cicloide, Per la cicloide 

(1) x=ia(t — sen /), ^ =z ^(1 - cos t) 
le formole (4) del n. 24 diventano 

g r^ tf(/ -f- sen /), yj := — a{\ — cos /). 

Poiché la variabile / riceve tutti i valori da — oo a f oc, é le- 
cito scrivere in queste formole / + ^ in luogo di /, ottenendo così 

(2) i:=:aTi -\- a{t — sen /), rj j= — a{\ -f cos /). 

Inoltre trasportando gli assi delle coord'nate cartesiane paralle- 
lamente a loro stessi in modo che l' origine venga nel punto di coor- 
dinate X ^=: a^ ^y := — 2<j, chiamiamo x^ ,^i le coordinate dei punti 
del piano relativamente a questo nuovo sistema. Le formole di tra- 
sformazione sono ^ = ATj -I- a^^y =:^, — 2^i, e chiamate €i* , ^^i le nuove 
coordinate dei centri di curvatura della cicloide, le formole (2) di- 
ventano : 

€, = a(t — sen /), r^ =r ^( l — cos /), 

le quali, messe a confronto colie (I), ci mostrano che la sviluppata 
della cicloide é una cicloide identica alla cicloide sviluppante ma 
diversamente situata, e precisamente situata rispetto agli assi delle 
Jt, .^j come la cicloide proposta lo è rispetto a quelli delle x ^y, 
È notevole, per la cicloide, il valore del raggio di curyatura, 

gì :hè si trova subito che r-r^*Z\l2ay^ cioè il doppio della lun- 
gi -za della normale Ln = V^->'j ^^ ^^^ permette di determinare 
fa mente il centro di curvatura di ogni suo punto. 



62 

4) Spirale logaritmica Lai sua equazione in coordinate polari 

p =r ae"^^ diviene nel sistema cartesiano, corrispondente nel solito 
modo al polare, 



A/** -f y 



« 



m arctg ^ -f- vm^i^ 



<7t' 



A' 



, (k intero qualunque) 



od anche 



y 1 

log ^ -h w are tg — -^- 2ntkn — log(jir* -f- j'*) = 0. 

X 2 

Le formole (3) del n. 24 diventano in questo caso ^ = — ntj\ 
f^ = wa: ; le quali, indicando con R , 9 le coordinate polari del centro 
di curvatura (€,'»<) che corrisponde al punto {x ^y) cosichè sia 

^ z= R cos 9, r^ = R sen t, a^ = p cos e, y = p sen 9, 

diventano 

(3) R cos 9 = — >;jp sen H, R sen 9 = wp cos tì, 

tra le quali e la p = ae^^ dobbiamo eliminare p, 6 per avere la equa- 
zione della sviluppata in R e 9. 

Perciò osserviamo che dalle (3) si ricava R ^:= wp e quindi ancora 

(4) cos cp = — sen 0, sen 9 -== cos B, 
e da queste 

cos 9 cos e 4- sen cp sen tì = cos{9 — e) = 0, 

e perciò t — =: db — ; ma dobbiamo prendere 9 — 9 = -— , ossìa 
=2 -h -— , affinchè siano soddisfatte le (4). 

R T^ 

Sostituendo ora p =: — , 9 ^r -^ — nella equazione p nz: a^«»^ 

iti 2 



abbiamo T equazione della sviluppata 



R = ame 



m 



(^-4) 



od anche 

(5) Rz=ae ^ ■'. 

La curva rappresentata da questa equazione è una spirale ugua 



situata. Per riconoscere ciò 



ivo al nuovo asse è ? ^ ?' + — — — — e ìa 

Quindi /a sviluppala deila spirale l garitmica 
uguale, diversamente situata, che fatta ruotare 

— - intorno al poh viene a coincidere colla 



disfacesse alla equazione ^;r — , la (51 

oè la sviluppata sarebbe la stessa spirale svi- 
iche, piìi generalmente, quando m soddisfa alla 



- \Xk — 1) — (k intero qualunque), 

giacché allora la (5) diviene R^a^™!?— -J^i che rappresenta la stessa 
cun-a rappresentata dalla R^af»'. 



che e positiva pei valori di m da (i ad e e negativa per quelli da i 
a +oe; la funzione ~ cresce quindi da — » a — , quando m 

va da ad « e descresce da — a quando m va da « a -f- oo. Quindi 

ad ogni valore positivo intero di k corrisponde un valore di m che 
soddisfa la (6). 

Vi sono dunque inlìnite spirali logaritmiche dotate della note- 
vole proprietà di essere le sviluppate di se stesse. 



Contano delle curve piane; 

37. Siano le due curve 

T,^Y,(X), Y, = Y,(X), 
e e Y,(X), Y,(X) ammettano derivata (w-i-l)' per X = 



Se, per X ^^ *, si ha 

^=Y,W=Y,(A), V,(.)=Y», Y-,(» 

si dice che le due curve nel loro piint< 
fallo d' ordine ««'imo. 

Ciò supposto, avendosi allora (Ve 

essendo e quantità che converge a zen 
nate delle curve, corrispondenti a X 
ordine h + I, se A si prende per intìr 

Inoltre, poiché esiste un intorno» 
quale la quantità tra parentesi nel & 
precedente mantiene lo stesso segno di 
ferenza Y,(* + A) — Y,(;i: -r- h), pei pui 
oppure non cambierà di segno con / 
dispari. Cioè, due curve ch^ hanno in 
pari si attraversano scambievolmente ne 
lìic hanno un contatto d' ordine dispar\ 
di contatto, ciascuna intieramente doli, 
•I, come si dice, te due curve si abbrac 

Sia ora una terza curva Yj =■. \\( 
due precedenti, poniamo colla ì', ^ 
m < ti nel punto (« ,>■). Scrivendo, pe 
Y,(« + A)... abbiamo 

Yj — Y, = (Y3 — Y.) 4- |Y, — Y,), 

ossia 

Y3-Y,_, , A--I.L\..<>»+I)Ì 



1.2. ..(« + !) 1 



e, poiché ìt secondo membro diventa uguale ail uno per A = 0, esiste 
per A un intorno di A =: ossia, un corrisprondente intorno di x, per 
tutti i punti del quale questo secondo membro è positivo, e qui' i 
in esso Y3 — Y, e Yj — Y, hanno lo stesso segno; cioè la cu 
Yj ^ Y3(X) non passa tra la due prime curve nelle vicinanze à 
punto di contatto. Qjiindi, tra due curve, clic hanno in un put 



r^ 



65 



un confatto d' ordine n, non si può far passare^ nelle vicinante del 
punto di contatto^ alcuna altra curva che abhia^ in quel punto^ un 
contatto d* ordine inferiore ad n con una delle due prime, 

28. Siano le due curve 

(1) Y,==Y.(X), 

(2) /(X, Yj, «1 , a, . . . an^i) = 0. 

La seconda equazione contenendo le « 4- 1 costanti a^ , ^j,...<?„_u , 
rappresenta tutte le curve di una stessa specie, i cui individui si ot- 
tengono attribuendo speciali valori alle costanti o parametri ^2, j^^^r'^'t+i- 
Queste costanti potranno determinarsi in guisa che la curva rap- 
presentata dalla equazione (2) passi per un punto {x ^y) della (1 ) ed 
abbia ivi con essa un contatto di un certo ordine w ^ «, perchè le 
equazioni di condizione pel contatto d' ordine m sono in numero di 
w 4- 1 cioè le 

(3) \^{x) = X^{x\ ^^{x) -= V,»,... Yii-'(;r) = Y,('"'(;c), 

intendendo qui con Yj(;c), Yj'(;if)... i valori di V^ e delle sue derivate 
ricavate dalla (2); e a queste equazioni di condizione soddisfarà ognuna 
di quelle curve (2), nella equazione della quale porremo per m -\-\ 
delle costanti a valori che soddisfacciano alle equazioni (3). Avremo 
cosi, in generale, un numero infinito di curve (2) aventi colla curva 
(1) nel punto (x ^y) un contatto d'ordine nK^n^ nessuna, in gene- 
rale, che abbia un contatto d' ordine m^ n ed una sola che ha un 
contatto d' ordine w. Quest' ultima si dice che è, tra le curve della 
specie delle (2), la osculatricc alla curva (1) nel punto (x ,y). 

In punti speciali la curva (2) può avere un contatto d'ordine 
superiore ad «, cioè in quei punti della (I) le cui ascisse x soddi- 
sfanno alla equazione \\^"+^'(.*) ■=:Y^^*^-^y^\x). Per questi punti la curva 
osculatrice (2) ha un contatto d'ordine « -f- 1, giacché essa soddisfa 
alle n -ì- I equazioni (3) (qui è m = n) e alla Vi'«^^^(*') =: Yjt"^ ^{.v)^ 
i** quali tutte sono appunto le condizioni pel contatto d'ordine « t- K 
1 l'ordine del contatto potrà ancora elevarsi se, per speciali valori 
< ar, fosse inoltre 

V,(«+%) = Yj'«4-2.'(;r), Yi'« '-^)(x) = Yjt»-' ^x) . . . 



.> 



Esempi. 

1) Retta osculatrice. Determiniamo le due costa 
zione della retta Y, -:1:a^X-^- a„ affinchè essa 
primo ordine, e con ciò sia osculatrice, nei punK 
curva V, = Y,(X). Le determineremo mediante 
condizione pel contatto di primo ordine, che qi 

V,(«)=^=V,(«) = v+«„ V,Vl = 
la seconda delle quali determina a-^ e dalla pf 
rt, ^^' — x\\'{x), cosichè la retta oscuratrice è 1 

v, = v,wx+>-»v,(,) 

ossia 

V,-7-V,V) (X-;.), 

che è la tangente alla Y, ^ V,(X) nel punto (x 
latrice ad una curva è quindi la tangente, la qi 
tatto di primo ordine colla curva. 

Il contatto colla tangente è di secondo ordii 
curva che corrispondono alle ascisse X tali che 
cioè nei flessi della curva. 

Ed il contatto sarebbe di ordine superiore 
punti pei quali fosse inoltre Y,''(X)=^0, Yi"(^ 

2) Circolo osculatore. Determiniamo le tre co: 
equazione di un circolo 

(4) (X-.,)' + (V, -«,)'-».<: 
affinchè, avendo nel punto \x ,y) della curva Y| 
di secondo ordine, ne sia il circolo osculatore in 
zìoni pel contatto dì secondo ordine sono 

(5) V.(*) = Y,(*), V,'(x) ^ \,\x), Y/(* 
dove nei secondi membri dobbiamo sostituire i 
(4) per V, , Y,' , Y»". Ma alle {ó) possiamo sosti 
zioni che da essa ricaviamo colla derivazione ri 
in esse X ^ jr, e sostituendo per Y, , V,' , Y," i 
Ciò facendo abbiamo 

■=c - «1 + (/-",) Y.W^l 






67 

le quali equazioni in a^^a^ e a^ sono identiche a quelle in g, r^ e r 
cui soddisfanno le coordinate del centro di curvatura ed il raggio di 
curvatura nel punto (at,^) della curva Vi = Yi(X). Cosichè, aven- 
dosi tf j = ^, a^ = T<, af = r, vediamo che il circolo osculatore coinci- 
iide col circolo di curvatura alla curva nel punto che si considera. 

Il circolo osculatore, avendo colla curva, generalmente, un con- 
tatto di secondo ordine, attraversa la curva nel punto di contatto. 

In punti speciali l'ordine del contatto del circolo osculatore potrà 
aumentare di una o più unità. 

Esercizi. 



■; . •**? 



'/m 






•£■: 



'tì 



2 2 2 

1. Per la curva x ^ +jv ^ =za'^ (astroide) il raggio di curvatura r 
nel punto (x ^y) è dato dalla formola r* = S}(axy) ^ , e la sviluppata 

2 2 2 

ha per equazione (s H- >i) ^ + (e — >i) •* = 2a '^ , ovvero, scrivendo qui 

-L 2 2 

e nel seguito ^ e ^ in luogo di g e r,, {x -^-y)^ -{- (x — y) •* = 2<i ^ . 

Facendo ruotare gli assi di un angolo — intorno all'origine, si ri- 

4 

conosce che anche essa è una astroide. 

2. Per la parabola semicubica \iay'^=zx^ si ha r*:= 
la equazione della sviluppata è 



o*,\3 



{2a + '^x) 



8a* 






81/ -f 16[fl* -f StfAT dh V ^ (^ — ^>x) '* ] = 0. 



3. i 2tf — x)y' — :«^ = {cissoide di Diocle) ; r = 



tf\/;t(8^ — :i;e)^ 



d{2a — AT)^ 



sviluppata 



4096 a^x -f 1 152 ^y + 21 y' = 0. 



4. La sviluppata della parabola /* = 2px è la parabola semicubica 
} :^pfz=i21 py''. 

i. In qualunque punto della conica y^ = 2px -f- ^^* (conica riferita 
'< mo dei suoi assi di figura come asse delle x e alla tangente al 
^ ftice come asse delle y) il raggio di curvatura è uguale al cubo 



•*i 






A. 



della lunghezza della normale diviso 
rametro p). 

6. La sviluppata della ellisse — ^ ■+■ ■ 

la sviluppata della iperbole — ^ r^- = 

dove A , B haano i valori precedenti f 

7. jr^:— (i: * +e '') {catenaria) ; 



x==h log 



(>±V/-4F 



2/1 

8. La sviluppata della curva *=:: — 

(trattoria o trattrice) è la catenaria ^^ : 

9. Far la sinussoide y ^= se» :r si ha rT= -- — ^^ — e le coordinate 

2cos'x 



É,ii dei punti della sviluppata sono l^=x a 

sen* ' ' sen* 

si costruisca questa sviluppata. 

10. Per la lemniscata p =: a' cos 2** (p , H coordinate polari) sì ha 
2iJC0S^n 2asen^*) „ . 

l^ — — - . ''i^= , e 1 equazione della sviluppala e 

3Vcos2') :{\/cos2h 

quindi 

1 1 1 1 A 

11. Nei punti {x,y) d'una curva Y3rY(X}, o _/^X,Y) = 0, ei 
quali è verificata la relazione 

aY'(«)YVl'-[l +rm Y"(») = 0, 



69 

ossìa nei quali il raggio di curvatura è massimo o minimo, il cir- 
colo osculatore ha un contatto di terzo ordine colla curva. 

12. Sia la curva Y = Y(X) o/(X,Y)=:0, e <f(X,Y) = Ouna se- 
conda curva che si vuol rendere osculatrice alla prima nel punto (x ^y). 
Per facilitare la determinazione dei coefficienti della osculatrice, giova 
supporre riferita la curva e la osculatrice a due nuovi assi paralleli 
ai primi, la cui origine sia il punto {x ,^), cosichè, indicate con Xj , Yj 
le nuove coordinate, sia X = Xj -{- * , Y = Yi -{-y. Le equazioni prece- 
denti diventano allora Yj -f^ = Y(Xj -\- x) o /(Xj + jc , Yj -^y) = 0, 
e <f(X, -f x^ Yi -{-y) = 4{X, , Y^) := 0. Una delle costanti della 9 si 
determina colla '1(0 , 0) =: ; per determinare le altre si derivi la 
^{Xi , Yi) = tante volte rapporto ad Xj quanti sono i coefficienti 
che ancora rimangono in '^, ossia un numero di volte uguale al con- 
tatto che la osculatrice può generalmente avere colla curva, avver- 
tendo di porre X^ = 0, Yi = nelle equazioni che cosi si ottengono, 
e sostituire in luogo delle derivate di Yj rapporto ad Xj quelle che 
si ottengono dall' equazione della curva data ponendo in esse X =: 0^ 
Y, ^0, le quali non sono altro che Y*(x) , Y"(^).... Le equazioni 
così ottenute determinano i coefficienti, che si sostituiranno nella 
equazione '4>{Xi , Yj) =^0, la quale diventa perciò quella della oscula- 
trice richiesta. Ripassando quindi al primitivo sistema di assi la equa- 
zione dell' osculatrice sarà 4>(X — a?,Y — y) = 0. 

Si applichi questo procedimento per determinare la conica oscu- 
latrice (contatto di quarto ordine). Si trova così che la sua equazione 
e 

A(X -*)* + 2B(X-«) {\—j>) + {Y-yy + 2B(X-x)-h2E(Y-y) = 
dove 

A-Y'» 3(3Y"«-2Y'Y")Y-^ _ SY^ Y" _ 



D — E = 



QVV" ^ J.Y'"* ' ov'Y"" 4Y'"* ' 

con Y'.Y'... intendendo Y'(*), Y'^)--; e la conica osculatrice sarà 
una ellisse, parabola, o iperbole secondochè 5Y'" — SY'T"" risulta 
<-0. =0, o >0. 

La condizione affinchè nel punto (x ^y) la conica osculatrice abbia 
i contatto di quinto ordine è 

Y'[45Y''Y'"Y''' — OY^'Y'"" — 40 V'^ =0. 



70 

Se Y"::^0 e Y"' è diverso da zero il punto (x ,y) è un flesso e 
la conica osculatrice diventa la tangente nel flesso considerata come 
una retta doppia, ossia come una retta dove venga a coincidere una 
altra retta parallela ad essa. 
13. Sia la curva 

r = Jq -f 4aiX -f- (ya^x^ -h ^a^x^ h a^x*. 

Se a^a^ — a^'^ > 0, nel punto corrispondente all'ascissa x r^ la 

conica osculatrice è una ellisse che ha colla curva un contatto di quinto 

a., 3\/<i9<?4 — <i%* 
ordine, e nei punti corrispondenti alle ascisse x=z rt — ^ — 

la conica osculatrice è una iperbole, che ha colla curva un contatto 
di quinto ordine; se a^a^ — ^3"<0, vi è il punto corrispondente al- 
l'ascissa x = — ^, pel quale la conica osculatrice è una iperbole, 

che ha un contatto di quinto ordine; se a^a^ — ^3* = il punto 



X 



:=z " è un flesso. 



a, 



Ciirve gobbe o a doppia curvatura. — Tangente. — 
Piano normale. — Arco di curva gobba. 

29. Designando -^ ,> , { le coordinate cartesiane dei punti dello 
spazio, riferiti ad un sistema di assi che per semplicità supporremo 
ortogonali, è noto che gli infiniti sistemi di valori di ^ ,> , ^ che 
soddisfanno a due equazioni 

(1) /{x,jy,i) = 0, '^(^,^,^)-r.(), 

costituiscono, generalmente, una curva i cui punti non sono, in ge- 
nerale, situati in uno stesso piano, e che chiamasi curva gobba o a 
doppia curvatura; e che ogni curva gobba può venire rappresentata 
da due equazioni come le (1). 

Le funzioni /(x ^y , {), -^(x ,y , {) si suppone siano tali che le { 
definiscano due delle quantità x ^y ,{ come funzioni della terza, ce 
tinue, e che ammettano generalmente derivata, in un certo intervai 
di questa variabile. 



ri" 



?;j 



71 

La tangente, in un punto M(^ ^y , {) della curva, viene anche qui 
definita come la posizione limite di una secante che passa per M e 
per un altro punto M', quando M' si avvicina indefinitamente ad M, 
così che la tangente è quella retta le cui equazioni sono ciò che di- 
ventano quelle della secante al limite, quando M' si avvicina indefinita- 
mente ad M. Indicando con (^ -f- J^^* >^ -f A>' ? -{ + M) ^^ coordinate 
del punto M', le equazioni della secante sono 



V-/= ^^ (X 



X), Z 






(X~A') 



designando con X , V , Z le coordinate correnti. Facendo avvicinare 
indefinitamente M' ad M, /l^r , AjK , A{ convergono a zero e se esistono 

i limiti di . , come generalmente si suppone, cioè se esi- 

dy dz 
stono le ferivate -, , delle >',r considerate come funzioni di x. 

dx dx 

esisterà la tangente e le sue equazioni saranno 



(2) 



Y_^=^^(X -*), Z-^=.^^(X-^)('), 



dalle quali ricaviamo l'altra 

(3) Y -y = I (Z - \\. 

Queste tre equazioni sono le equazioni delle proiezioni della 
tangente sui piani coordinati xy^ x\^ y^. 

Ora se la tangente non è parallela a nessuno dei piani coordi- 
nati, le sue proiezioni non sono parallele a nessuno degli assi e le 

^y ^\ ^y , ^ '. A' A 

.- , --- , - _- esistono e sono tmite e diverse da zero, e viceversa 
dx dx dj^ 






T' 






(') Osserviamo che potrebbe avvenire che esistano i lìmiti di 



àx ' ^x 

soltanto per Ax convergente a zero per valori positivi ed allora si avrebbe sola- 
mente una tangente che potrebbe chiamarsi tangente a destra, oppure soltanto 
p* valori negativi e si avrebbe così una sola tangente a sinistra, oppure esi- 
st i limiti tanto per Ax positivo che negativo ma siano diversi ed allora 
si vrebbero due tangenti diverse, oppure i limiti non esistano e non si avrebbe 
U ingente, ma ciò potrà presentarsi, dietro le supposizioni fatte, solo in al- 
ci punti speciali, che giova ora escludere dalle nostre considerazioni. 



se queste derivate sono finite e diverse > 

non è parallela ad alcuno dei plani eoo: 

Se la tangente è parallela al piano 

pjani xy e XI sono parallele agli assi de 

-^ , , devono risultare infinite: ma li 

ax dx 

equazioni (2| avremo l'unica X— * — ( 
(ri) che seguita a sussistere costituirà il i 

dy dz 
tangente; e viceversa se -^ e -^7 sonc 

versa da zero, la tangente risulterà pa: 
equazioni saranno 

X — ;t^0, \ -y=- 

Se poi la tangente oltre ad essere pa 
parallela all'asse >, allora, riducendosi a 
, ^i 
dx 
dy 
unitamente alia ; e le equazioni della 
dx 

\ — x — i), Z - 

dy dy ■ .- ■ 

e viceversa se ^ , ^ sono iniinite, es 
dx d{ 

tangente è parallela all'asse delle y, e le sue equazioni saranno 

X-* .:0, Z — t=0. 

In ultimo se la tangente è parallela al piano y^ e all'asse {, allora 
dy ^ . dz dz 

potrà anche non esistere la , e saranno infinite le — ,- — e le 
' dx dx dy 

equazioni della tangente saranno in questo caso 
X — ^^(1, V— ^r-(l; 



Avendo presemi questi casi particolari, possiamo in generale 
prendere come equazioni della tangente nel punto M di coordinate 
(*i^i-f) 1^ (2) che possiamo anche scrivere sotto la forma, solit a 
darsi alle equazioni di una retta, 

' ix <fy d^ 



dovranno ricavare dalle equazioni 


della 


vesserò la forma particolare 




). i = ?(A 




V), 5 =.■(.). 




dy 

nerale (1) dovremo ricavare -j- 









àj . ÌJ ay -dj ai 



per sostituirli nelle (2); od anche potremo ricavare dalle {'i)\ valori 

di -;— , —r- per sostituirli nelle (4), il che facendo otteniamo subito 
dx dx ' 

le equazioni della tangente nella forma 

|,X_,)+|l,Y-„+|i,Z-„=0, 

ove è a notare che qui si suppone le coordinate x,y ,i del punto 
M non soddisfacciano alle equazioni 



3/ 


5/ 


V 


S« 


^ a? 


3( 


3? 


3? 


3» 


3» 


ìy 


S{ 



ove ciò fosse quelle equazioni non individuerebbero più una retta, 
p che si ridurrebbero ad una sola equazione. 

Le coordinate dei punti della curva gobba potranno venire espresse 
p mezzo di una variabile f, cioè si potrà avere 

*=*(/), y=y{t), {={(0; 



74 
allora 

dx = x\f)di, (fy=y(t)dt, 
e le equazioni (2)' diventano 

Al) yV) 

30 1 coseni degli angoli ay^,7 che 
tangente forma colla direzione positiva 
avuto riguardo alle equazioni della lang 



\/dx* -A- df + 1/{' 



ydx-- + d_ 

nelle quali si deve prendere conteinporai 
o l'inferiore; ed il segno dipenderà da 
tangente. Cosi ad: es: se si prende per 
gente quella nella quale cì si deve muo 
tire dal piano xy^ la parte di tangente ci 
dell'asse positivo delle jt, dovremo pre; 
risulti cosr positivo. 

31. Chiamasi piano normale ^A u 
M(*,^,0 il piano perpendicolare alla lai 
di contatto M. Ogni retta di questo piar 
di contatto, è una normali alla curva. 

L'equazione di un piano qualunque 

^X— «)+*(V— ^) +0, 
aftinché sia perpendicolare alla tangen 
c^:a-^ e quindi l'equazione del pian 

ovvero 

i\ — X) dx + (y ~j!) dy + 



_A 



75 

/(■ uti arco continuo Mo-M di curva gobba, o 

MgM, si intende ii limite dei perimetri delle 

nella curva in tutto il tratto M^M in modo 

ci estremi delle linee poligonali e t vertici 

siano punti successivi del tratto, quando i loro lati impiccoliscono 

indefinitamente. 

Se la curva ha per equazioni ji=:j<(x), ^^=^(x] e le y{x}, {ix) 
ammettono derivate finite, tali che sia integrabile nell'intervallo x,, ,x- 

<Xn,x ascisse dei punti Mo,M) la funzione y 1 1- /'(«)" + {'(*) , si 
troverebbe, in modo perfettamente analogo a quello tenuto per le 

^ M,M= >/,^;(,)V^'= /.47.(f)V(|)', 

"ive si suppone *„ < x. 
' Indicando con s(x] V arco da M^ a M contato positivamente in 

A certo verso e negativamente nell'opposto, si trova anche qui, sotto 
•ndizìonì analoghe a quelle per le curve piane, 



y 



ds = \/dx* + ((v ■ + ii{', i/s' =: dx' + rfv' + rf{', 



illa prima delle quali è sottinteso il doppio segno nel radicale. 
Essendo a,>,7 gli angoli che la tangente nel punto M(* ,/,{), 
^ tremo dell'arco s, fa cogli assi e supposto che nel punto M la di- 

zione positiva della tangente sia quella positiva dell'arco, sì hanno 
^Mche qui le formole, di continuo uso, 

lialo 
■ reo 



: y-, COS3 = --f-, 

ds ds 



£ noto che nello spazio si ha un sistema di coordinate polari 
lialogo a quelle del piano, e nel quale ogni punto dello spazio è 
Sterminato come intersezione di una sfera di raggio r-, di un cono 
rcolare retto col vertice nel centro della sfera (polo) e le cui gene- 
l'-ici fanno coli' asse del cono (asse polare) un angolo o, e di un 
IO che fa un angolo v con un piano fìsso passante per l'asse po- 
^ i ; ^,|>,~ sono le coordinate polari dei punti dello spazio, e si 
I t ngono tutti i punti dello spazio quando p varii da a 4- 3° . " 
^^ a n, .; da a 2". Ponendo il polo nell'origine del sistema car- 



tesiano ortogonale, prendendo la parte posi 
asse polare, e il piano ZOX pel piano iisst 

{ -^ P cos a, xr^z f, sen li cos if , _y 

ricavando da queste i valori di dx, dy, 
ds^ = dx' + dy + </f ■ si ha, dopo facili rid 
l'elemento d'arco ds in questo sistema di 

di'' — dp^ + p*d^- + p* sei 



Piano osculatore di una cur 
Normale principale. — B 

33. Sia M(* ,y , {I un punto di una cu; 
in M ; si consideri il piano che passa per l 
ÌA{x + ^ ,y t- A/ , { + A{l sulla curva. La 
piano quando ìl punto M' si avvicina indef 
piano la cui equazione è ciò che diventa, i 
piano che passa per M' e per MT, chiamasi , 
nel punto M 

11 piano osculatore è quindi anche la p 

che passano per M e per due altri punti » 

questi si avvicinano indefinitamente al punì 

Cerchiamo la equazione del piano ose 

la forma 

(1) A(X - *) + B(Y -jf) + C( 
che compete a qualunque piano passante p 
lito, con X, Y, Z le coordinate correnti; e 
tore deve contenere la tangente al punto > 

X— « _ Y— / _ Z 
dx dji 

dovrà essere 

(2) A<i* + B<(f -t-Crf^— Il 
Esprimendo poi che il piano (1) passa 

(3) AA*-HBAj' + Cit=< 



77 

Siano ora le coordinate at ,^ , { dei punti della curva espresse 
mediante una variabile / (caso che comprende quello in cui la va- 
riabile indipendente è una delle x^jfy:(j colle formole xz=:x(t)^ 
/=>■(/), { = {(t}, e si supponga che le Ar(/), r(/), ^(t) ammettano de- 
rivate seconde: allora essendo 

dx A/* 

A* = jj M 4- 1- [xV) + -], 

dove e , Sj , s^ convergono a zero con A^, la (S), avuto riguardo alla 
(2), diviene 

(4) A(*"(/) + ^] + B[>"( /) + 3,1 + q c-(/) + ««] = 0. 

Eliminando A , B , C tra questa equazione e le (1). (2) si ha cosi 
la equazione del piano che passa per la tangente MT e pel punto M'. 
Al limite, quando M' converge al punto M, cioè quando ^t con- 
verge a zero, la equazione (2) rimane invariata e la (4) diviene 

Kx"(t) -f B/{t) + CC(t) = 

o. ciò che è lo stesso, 

Kd^x 4- ^d'y \- Qd\ ~ ; 

quindi eliminando A , B , C tra questa equazione e le (1), (2) abbiamo 
l' equazione del piano osculatore, cioè la equazione : 

X — a: ^ —y Z — { 

dx dy i^ zz:0; 

d:'x dry t/«^ 

cosichè la (1) è la equazione del piano osculatore, quando le A , B , C 
ab*^«ano i valori 

A := dyd\ — à7;dry^ B = d^d^x — dxd\^ C = dxd^y — dyd^x^ 

de e la variabile indipendente è qualunque. Se in particolare la va- 
ri; ile indipendente fosse x si porrebbe d^x -^ 0. 



Indicando con ^,l>,v gli angoli, che fi 
lare al piano osculatore, abbiamo 



avendo posto 



34. Si chama binormaie quella, tra le m 
M, che è perpendicolare al piano osculi 
equazioni sono : 



Chiamasi normale principale quella, tr 
M, che è situata nel piano osculatore, cioi 
normale col piano osculatore. I.e sue eqi 
di questi due piani considerale come coesist 
normale principale possono aversi sotto fi; 
servi infatti che la normale principale è 1 
dìcolare alla tangente in M ed alla binon 

ds \di) il \ds)^ d. 
che si ricava dalla 

e la equazione 

che si ricava dalle due 

Ad^x + Bi/> + C d\ = 0, Adx 

moltiplicando la prima per -r-^, la seconda per — -j^ ^ sommar lo. 
ci dicono che quella retta, che fa cogli assi angoli i cui coseni s no 



r 



79 



proporzionali adi — ) , ^ ( -j- ) ' ^ ( "3^ ) > ^ perpendicolare alla 

tangente e alla binormale in M, cioè, ove passi per M, è la normale 
principale. Le equazioni di questa sono quindi 



X- X 



■jy 



m ^ '^(ì) ■ 






ri 



'.V4 



Curvatura delle curve gobbe. 

35. Come nelle curve piane, si chiama angolo di contingenza 
in un punto M.(x ^y , ^) di una curva gobba l' angolo ^ formato dalle 
due tangenti condotte agli estremi di un arco infinitesimo MM' = ^5, 

t curvatura della, curva in quel punto il limite del rapporto — quando 

M' si avvicina indefinitamente al punto M, e raggio di curvatura nel 

A e 

punto M il limite dell' inversa — . 

Indicando, per maggior brevità, con a^b^c i coseni degli an- 
goli che la tangente alla curva nel punto M fa cogli assi, cosichè 
sia 



dx 



h = 



dy 
Ts 



-A 
~ ds ' 



e indicando con x 4- A^, y 4- Ly^ ^ 4- Ai le coordinate del punto M', 
con a =:a-j- ^a^ b' = ò-\- ^b, e' = c -{- \c ì coseni degli angoli, cogli 
assi, della tangente in M', abbiamo, per una nota formola di Geom. 
analitica, 



sen B =z yicb' — bc'f + {ac — ca'f -f (ba — ab'f 
= V(c^b — b^cf -i- {a/^c — c^af -\- {b^a - 'a^f 



e quindi 



sen H 



y(c^^b^)\(a^^c^)\(b^-.a^)\ 



\..%ì 






■>:-< 



ì 
I 

li 



-1 



'A 

'A 



' / .. * 



80 



sen H 
Ma poiché lim — — = 1 quando M' si avvicina indefinitamente 



ad M, avremo (n. 35, voi. 1) 



, . sen H , . H 
lim — --— = lim — 
A5 às 



Jr'dò \dc\''/ de da\^ /, 



ds ds / ' 



D' altra parte, essendo 



dsd^x — dxd^s „ dsd^y — dyd^s , dsd^^ — d^d^s 

'^"^ — ^- '''*= ■ ^^--'^= \fo» 






ed analogamente 



cdb - bdc = ^> -.^A , ,^ _ aa = ^'l^^fi^J^ , 
per cui 

A5 (/S^ 

ossia, tenendo le notazioni del n. 83, 

lim — — ^^ '^^- -^' — ^- 

che è l' espressione della curvatura nel punto M, ed il raggio di cur- 

ds^ 
vatura r è quindi r := — . 

Si hanno altre due espressioni del raggio di curvatura, che si 
ottengono trasformando la quantità D. Si osservi, infatti, che D* può 
scriversi sotto la forma 

D« = {dx^-hdy + if ) [{d^xf -h {dyy-^ (d'i)"] — (dxd^x + djydy 4- d^d^iY; 

ma, poiché è 

ds' = dx' H- ^« 4- di\ 

e da questa, differenziata, si ottiene 

dsd^s = dxd^x -h dydy + ^{</*{, 



r^ 



81 



è ancora 



D^ = ds' {{d'xf -4- {d'yY -i- {d\f — {dHf], 



Avuto riguardo alle forinole precedenti, si verifica subito che è 
altresì 

D-' = (dsd'x — dxd^sf + idsd'y — dyd'sf -r {dsd\ — d^d^sY 



e da questa si ricava 

^ d 
D^ = ds 




4- 



( 



ds 



ds 



Abbiamo cosi le seguenti tre espressioni del raggio di curvatura 
nel punto M(;t,/,^): 

ds^ 

\'{dxdy — dyd'xf -H (dyd^{ — d^d^yf + {d{d^x — dxd^(f 

ds' 



\/id'xr 4- (d'yy 4- (d'^Y - {d'sY 



1 



r = 




che valgono qualunque sia la variabile indipendente, e nelle quali 
prenderemo il segno del radicale in guisa che il secondo membro 
risulti positivo. 

36. Consideriamo il piano normale in M e quello in un punto 
M'(jr 4- Aa- ,^ + A)? , ^ -f- A{), e determiniamo le equazioni della retta loro 
intersezione; poi facendo convergere M' verso xM, determiniamo le 
equazioni della retta limite di quelle intersezioni ; o come suol dirsi, 
della retta intersezione del piano normale in M e di quello in un 
p ^to infinitamente vicino. 

Le equazioni dei piani normali in M ed M' sono 



'W 









'■*.V 



■•> 



dx{\ - *) + dy{\ -y) + d^iZ - {) = 0, 



6 



82 



(2) 



rf(« + AJf) (X — * — AA-) 4- d{y -(- A/) ( Y — / - A>') 



ma, supponendo espresse x ^y . ^ mediante una variabile / colle for- 
mole xz=ix{t\ y=:y{t). ^' ={(/), abbiamo 

^X = x(t -j- A/) — A'(/) = A/ . A-'(/ ^ HA/), 

J(x -\- \x) == A'Vy/ -I- A/ . a:''(/ f f^A/)Ì/ 
e formole analoghe per y e {\ cosichè la (2) diviene 

\x\f)di + atdlx'Xt ^ (iA/)| [X — ;^ — Ux\t -}- (.a/J ^ . . . — 0, 
ossia, avuto riguardo alla (I) e dividendo per a/^/, 

x(t 4- eA/) (X — x\ -\y"{t -I- OjA/j (Y —y) + {"(/ -t- \\f) (Z - {) 
— x'it^ x(t + BA/) —/(/)/(/ -V ^U^O — xX^KX^ ^ ^^^' 

che, al limite per A/^:=0, diviene 

x"(t) (X .-x) + .,. — {x'it))' — . . = 0, 
che possiamo anche scrivere 

d^x(X — x) -f iXY —y\ 4- J'{(Z — ^) - (^.v« -f- i/ - ^{0 = o, 
ossia 
(3) d^xiX ~x) -t dy(Y —y) + J-{{Z — {) = Ì5-. 

Questa e la (1) sono quindi le equazioni della intersezione dei 
piani normali in M e in un punto infinitamente vicino ad M. 

Indicando con ? , r< , ^ le coordinate del punto K in cui questa 
retta incontra il piano osculatore 

A(X -x) + B(Y -y) 4- CtZ - {) =r 0, 

t , y, , ^ sono i valori di X , V , Z che soddisfanno a questa equazione, 
alla (S) edalla (1); cosichè, ricordando i valori di A,B,C, si ottiene 



ds 
D 



- (Bd^ ~ Cdy), 



(4) 



ds' 



r, —y = -^,- (Cdx — Ad{ i, 



r 



83 



Il punto K è sulla normale principale, ed è ad una distanza uguale 
ad r dal punto M. Invero, è 

^ \(dx' + df A- di') (A* ^ B ' + O) - (Adx + Bdj ^ CdO'\, 

ovvero, ricordando che Adx + Bdr + Cd^ =: 0, 

ds* ds<i 

(= _ ^y + (r, -jyf + {Z- if = - ds'D'- --^ -^, = r\ 

Il punto K, le cui coordinate i,r<,(; sono date dalle (4), chia- 
masi centro di curvatura^ e il circolo di centro K e di raggio r si- 
tuato sul piano osculatore, ossia V intersezione della sfera di raggio 
r e di centro K col piano osculatore, dicesi circolo di curvatura o 
circolo osculatore alla curva nel punto M. 



' ^ V*-!. 



' 1 






"f--M 



u-i 



••^^^ 






37. Si chiama angolo di torsione^ relativo al punto M, 1' angolo 
s formato dai due piani osculatori alle estremità dell! arco (infinite- 
simo) A5=iMM'; il limite del rapporto — , quando M' si avvicina 

indefinitamente ad M, diceSi la torsione o seconda curvatura della 
curva nel punto M. e l' inversa di questo limite dicesi il raggio di 
torsione o di seconda curvatura. È perciò che le curve gobbe chia- 
mansi anche curve a doppia curvatura. La curvatura misura la devia- 
zione della curva dalla tangente, la torsione la deviazione della curva 
dal piano osculatore, nel punto che si considera. 

Indicando con k^^=K-^\K, Bj = B -f AB, C, =: C -h AC ciò 
che diventano A , B , C relativamente al punto .W di coordinate 
jf -h Ir ,^ -f- A^ , -[ -+- A{ cosichè la equazione del piano osculatore in 
M sia 



Ai(X -x-ix)^ B,( Y -y - A>') 4- C,(Z - i- H) 
abbiamo, per una nota formola di geometria analitica. 



0, 



■ti 



san 



_ _ i/(ABi — AiB)' + (BC, — ByCf + (CA, - C,Ai= 



■=l 



D'^(Ai'-|-Bi' + QM 



( A . AB — B . aA)- -h (B . AC -- C ^aB)^ + (C . aA — A . aQ 

^d^Ptta'a)^ ■+Tir-rABr^T(cT ac)«i "~ 



1 

• ti? 

■-) 
. j 

■A 



J 



e quindi 



=^1( 


ds 


ds 


)'V(b 


f-c 


Ponendo o 


ra 










A 


= : dx 

d'x 
d'x 


d'y 

d'y 


abbiamo 












kd« 


-BJA 


^{dyd'x 


-did-y) 




- 


(^ti-r- 


.dxd'O {djid>i-, 



ed analogamente BdC — Cdh = l.dx, Cd.\ — AdC = i . rfv, cosichÈ 

s i D' 

lim — = Ivi ^^ indicando con r, il raggio di torsione è r, = — . 



raggi di curvatura e di torsione. 

38. Applichiamo le teorie esposte sulle curve gobbe alle segueati 
due curve; 

1) Sia la curva 

(Il x' + f = a', y + j* =r f 

(intersezione dei due cilindri circolari retti, le cui equazioni sono le 
equazioni della curva). 

Ditferenziando le equazioni date, abbiamo 

(2) xdx + id{ = i\ jidj' + ^d^^Q 

e da queste 
(;ii xdx=jrdj> = — {d{, 

per cui le equazioni della tangente nel punto [x ,y , j^ alla e 

^ — ■*■_ — ^ ~z. — '^—± 

dx dy '^{ ' 






dopo averle poste sotto la forma 

K^-x) ^ >^(V^/| ^ {(Z ~ {) 
^^Jlf ^iy ^£?^ ' 

divengono 

ossia, in virtù delle (1), 

a:X + ^Z = a-, >'Y 4- {Z = b". 
L'equazione del piano normale si riduce alla 

y^ + *{ Y — xyZ — xy\ = 0. 

Il dilTerenziale d'arco ds è 

^y ^ (a' - ^') (ò-^ - r) ^ 

Se assumiamo ^ come variabile indipendente, è 

A = — J{ </«/ , B = d^id^x, C =1 dxdy — dyd^x, 

ma dalle (2) avendosi, colla differenziazione, 

dx^ -\- xd^x = — d{^j dy^ + ydh' = — i{', 

abbiamo, avuto riguardo alle (8), 

^* ^* 

J«:v = — — ^{« , iV = — —di^ 

e da queste 

d^x = — --— (/r-^ , d^y = ^ ^i ; 

JL-5 fc / -^ .f| 

per cui avremo 

e equazione del piano osculatore è 

*VX — ay\ -r (^•- — ^^)^Z — a'h\a^^ — b') — (). 



85 



Pel raggio di cur 


atura 


r abbiar 


^^ 


A> 




= 






' \''A'T¥ 


~+~C 


'•y 


Inoltre 


essendo r, 


__ D 


« 




a= dx 


dy J^ 


=-. 


Jx 


dy 


i'x 


d^y rf-'i 




J'x 


d'. 


d'x 


^y d^i 




d^x 


d'y 


ubiamo pe 


raggio di 


torsione 








ay 


+ »'« 


i + 



Nel caso particolare a=:b, l'equ 
viene x^X - -/ V — 0. In tal caso, dal 
viamo x^=^y, che ci dice la nostra 
curve piane, una sul piano x^y l'ai 
cosa viene confermata dal fatto che \: 
è X^Y pei punti pei quali x :^y, i 
quali x^ — y. Per vedere quali sian 

ruotare gli assi delle x e delle r di t 

e chiamiamo :ir' ,y' , j' le nuove coord 
mole della trasformazione delle coord 

■r= ~(* +y% y = - _ 

V2 A 2 

e le equazioni (1) diventano 

dalle quali {x +/)* = («' — /)*, che si 
ponendo y = nelle (3) si ha — j- 4 
ellisse. Parimenti sul piano ^'y si ha 



nelle (:})j le quali due ellissi costituiscono 
ia la curva !e coordinate dei punti della 

/, y = as^nt, f = a. 
ndro x^ -^-ji* ^ a* e passa pel punto *:i^.i, 
remo A. Posto c::=am t iht:^ tg "i, abbiamo 
lunto della curva e P è la sua proiezione 
„ o che la retta OP fa coli' asse delle x. Sia 
CBD un angolo uguale ad e; poniamo il vertice B sul punto A, e, 
immaginando che il piano dell'angolo sia un velo flessibile ed ine- 
siendibile, avvolgiamo un numero infinito di volte questo piano in- 
torno al cilindro, in modo che. mentre il piano fascia perfettamente 
il cilindro, il lato BD dell'angolo si avvolga sul circolo, intersezione 
del cilindro col piano xy. Si riconosce facilmente allora, che l'altro 
Iato BC dell'angolo si dispone sopra la nostra curva, rappresenlata 
dalle equazioni x-=r.acost.y^aseT\ t, j-.=za/.tg e, curva che chiamasi 
• /ica iilindrica. 

Le proprietà più notevoli dell'elica sono le seguenti. Avendosi 

Jx=: — a sen idt, dy^ a cos idt, rf( = a tg et di 
d*x^ ~a cos ldt\ d'y — '-a sen idi*, d\ - 0. 
J^x= a sen tdt^, dy = — a cos idt^, «fj — 0, 

</!'=: j'(l + tg' '■>>//', abbiamo cos -; = -^ = —J^- — ^ sen,,., es- 

'^' \/l+tg'... 
stndo r l'angolo della tangente nel punto M(* ,^ , ^) coli' asse delle 
{, e vediamo cosi che quest'angolo è costante, cioè la tangente iti 
ijualuiiquc punto dell' elica cilindrica fa un angolo costante colte gene- 
rilnci del cilindro. 
Inoltre è 
A = a' tg " sen /rf/', l( = — ^' tg -^ cos tdfì, C = a*dfi. 



\ A' - B' ^ C 
i, (/ raggio di curvatura è costante per tutti i punti dell' elice, 



m' 









88 



Inoltre, essendo à = ^te m dfi. è r, := — z=. a — — 



Cloe 



il raggio di torsione e costante per tutti i punti delV elica, E quindi, 
/' elica ha costanti le due curvature in ogni suo punto. 

Esercizi 



x^ x^ 

1. Per la curva ^=——, <( = --~ (intersezione di due cilindri para- 
si oa 



bolici) abbiamo: V = 
X — ;r Y— / _ 



— X- 

a 



, Z T= rr-z X — -— ; , od anche 



2à 



X 



, equazioni tangente nel punto {x ^y , ^); 



2^*X 4- "^axX 4- ;t^«Z ~ 



x(\2 a* ^ kSa^x" ^ x^) 

.-j —equazione piano normale; 



(2^« 4- ;r«)« 



2. Curva ^* =x(ri — x\ x* -r>'' -h -(* = ^* (intersezione di un cilindro 

circolare e di una sfera) ; 2/X ■\- {a — 2Jt) Y — Z\f ax = j)iano nor- 
male; 






(a-]-_xf 
òa'-h Sx ' 



òa-^ 3x ì a 
~ ~6 l ~x 



3. Curva -5 — 4s = 1, ^ 
a^ h^ 



a -i- -J- 

-^{e^^-^-e ^) (intersezione di un ci- 



lindro iperbolico con un cilindro che ha per direttrice una catenaria); 
Y — y = - - — r=('X — •^), 2 — { = — — (X — x) equazioni 



a\'x^ — a^ 



/^« 



yx 



sx b a . 

tangente ; cos a zir — , cos > = — , cos y = — dove 



/v« 



\lx 



za 



sx 



1 



z z= -— \^ a- -}- b^ ] V angolo che il piano normale fa col piano XOZ 
b 

z^x^ s^a:« . r b 

costante ; r =: 



r, — --— per cui -— = 



4. Curva x =z bt cos /, r =: bt sen /, { = et {elica conica)] posti 



89 



b*-rc^=:a^\e equazioni della tangente sono ciX-^icx — >'{)Z -}-/{*, 
c(\^=(cy -j- x^Z -X7^\ pianò normale c(cx-y^^-^c{cy^-x7(p[ \c^Z-=:a^{ 



tjt. 



V(ay b^TJ^ 4^V + (4A* -f- c')c'7^ + h\' 

5. Siano x =zx{i)^ y=zy(t)^ ^z=^(/) le equazioni di una curva, e 
X,Y,Z le coordinate dei punti di una seconda curva, tali che 

d\dfi d\dt^ dZdt^ 

N essendo una costante, e A,B,C i soliti coefficienti dell'equazione 
del piano osculatore della prima curva. Si dimostri che il piano oscu- 
latore e il piano normale della prima curva sono rispettivamente il 
piano normale e il piano osculatore della seconda, e che indicati 
con r ^r^ il raggio di curvatura e di torsione della prima, con R , R, 
quelli della seconda curva e con ds l'elemento lineare della prima 



curva, avremo 



r dr- ' '^'-^ dr^ ' R, - r 



ti. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una curva sia piana 
è che per tutti i suoi punti sia A ^= 0. 

(Infatti se la curva è piana^ tutti i piani osculatori coincidendo 
col piano della curva, è JA = 0. dB = 0^ ^C = ecc. ; e se ^=^0, 
prendendo una delle ^ ,/ , { per variabile indipendente p. es. ; la {, 
si trova che le coordinate dei punti della curva soddisfanno alla equa- 
zione x:=Ciy-\- C,{4-C3 di un certo piano). 



Superficie. — Piano tangente. — Normale. 

39. Una equazione /(x ,^ , ^) = 0, dove ^ ,^ , { possono indicare 
co< 'dinate qualunque, ma che noi qui supporremo cartesiane orto- 
go ali, rappresenta geometricamente una superficie. Si suppone che 
la '=0 definisca per tutti i punti di un campo relativo a due delle 
vai abili, poniamo x ,/, la funzione {dì x ,/, univalente finita e che 



ammette derivate parziali tìnite; > 
uoivalenti ecc. 

Consideriamo un punto yi{x . 

■ a/' 3/ 

eie in esso non sia — =^ -- :^ 

M possiamo far passare una intìni 
e dotale di tangente; infatti vi se 
intersezioni, colla superfìcie, dì ui 

A(\ _.^)+B(Y- 



che 


passa per M, 


dove supponiair 




ìf 


ìf 


V 




. . d' 


ir 


_ 3( . 


alle 


equazioni -7- 


~-B 


C ' 


3/ 
3-* 


_ 3/ 8/ _ 
3/ 31 


-0; d 


questi ^ 


mero intìnito, e ognuno 


degli inf 


superficie lungo u 


na cun 


a che i 


equizioni sono 








i^,x 


-')- 


^,Y- 




3» 




3/ 



A(X — *)^-B(Y- 
Dimost^ata cosi l'esistenza di 
passanti per M e dotate di t^ngi 

punto M passi un numero intìnito di curve dotate di tangente, percne 
almeno certamente vi sono quelle delle quali abbiamo ora trattalo 
Se, dunque, 

sono le equazioni di una qualunque di tali curve, le equazioni della 
tangente nel punto M sono 



91 

Ma la prima di queste equazioni è indipendente da cf ; cioè, qua- 
lunque sia la curva dotata dì tangente e che passa per M, che si 
prenda a considerare, una delle equazioni della tangente è sempre 

y,X-.,+ |,Y-„+|(Z-,)=0, 

e perciò tutte le tangenti sono situate sopra uno stesso piano rappre- 
sentato da questa equazione. Questo piano chiamasi piatto tangente 
alla superficie, nel punto M di coordinate x ^y ,i. 
Se r equazione della superficie ha la forma 



l — i^x ,y), 

ove supponiamo che {(> ,/) sia generalmente continua ecc. avremo 
allora 

3{ '3^ dx ' ìy iy ' 

e V equa/ione del piano tangente diviene 

Z-t=^|(X-..-.-|(Y-^); 

la quale, ponendo, secondo le notazioni di Monge comunemente 
adottate, 

diviene 

Z-i=PO<^-x) + q{\-y). 

40. Chiamasi normale ad una superficie la retta che passa pel 
punto M perpendicolarmente al piano tangente in M. 

Come si vede subito, le equazioni della normale sono 

X — X _Y —y_ Z -{ 

dx dy d{ 

of lire 

X — AT _ Y --^ __ Z — ^ 

~~p~~ ~" ■ r ' ■" -1' 
ed più comodo usare la prima oppure la seconda di queste equa- 



zionì secondochè la equazione della s 
oppure della forma ^ = {{x ,_y). 
Indicando con J- , f , ' gli ango 

y 






nelle quali formole dovremo prent 

superiore o l' inferiore, che dipen 

positiva della normale. Cosi, se sce^ 

normale quella nella quale ci sì de 

tire dal piano xy, la parte di normale che rimane al ( 

piano xy^cos'i è positivo, ed allora avremo 



VI +P'' + q^ \'\ +/''~^* VI +p*-r 



Curvatura delle sezioni normali. — Linee di curvatura. 

41. Sia M un punto d'una superfìcie; facciamo passare dei piali j 

per la normale alla superfìcie nel punto M. Questi piani determinano j 

sulla superficie delle curve piane che passano per M, e che sì e" s- j 

mano le sezioni normali della superficie nel punto M. Ci proponi^ ao 1 
di studiare la legge secondo la quale varia la cur\'atura, in M, di qu ■« 
diverse sezioni normali. 



93 

Poniamo, a questo scopo, l'origine delle coordinate nel punto M, 
prendendo la normale per asse delle { e due rette ortogonali, nel 
piano tangente in M e passanti per M, per assi delle x e delle ^. 

Sia i = i[x , j;) 

l'equazione della superficie riferita a questo sistema di assi. 
Abbiamo allora 

^0,0) = 0, ;f'.(0 , 0) = 0, c'y(0 , 0) = 0. 

Supponiamo che la {(x ,/) sia sviluppabile, in un certo intorno 
C del punto x=zO^ jf = 0, secondo la formola del xVlac-Laurin : 

dove (Vedi n. 169, voi. 1) 

ovvero 

( 1 ) { = ax^ -1- hxy -t- ^* + Ry 

avendo posto a — -^ ^ V^^O , 0) , ^ = {'W(0 , 0), t; ~ — ^'W(0 , 0). 

Tagliamo ora la superficie con un piano che passi per la nor- 
male nel punto M cioè per l' asse delle {, e la cui equazione sarà 
perciò ^ = jc tg a, indicando a 1' angolo diedro che esso fa col piano 
x\ o, ciò che è lo stesso, l' angolo che la sua traccia sul piano xy fa 
coli' asse delle x. 

Riferiamo, nel suo piano, questa curva a due assi- coordinati or 
togonali, cioè all' asse { ed alla traccia OX| del suo piano col piano 
'/» ®> preso a considerare un suo punto N le cui coordinate ^ ,/ , { 
siano tali che il punto [x ^y) sul piano xy appartenga all'intorno C, 
indichiamo con x^ l'ascissa del punto N nel sistema di coordmate 
\^x^ sul piano della curva. 

Si hanno allora le relazioni x^=lx^ cos ^^ y=.x^ sen a per cui 
la i) diviene 

( -{ =^ (^ cos' a -h ^ COS a sen a -f ^ sen' a) x^ + R3 

ic '•andò R^ ciò che diviene R3 quando per x ^y si sostituiscano i 



■alori espressi per x^ ; < 
;nerico vicino al punto 
;le che consideriamo in 



do ora con 


R 


il ragg 


punto M, i 


avre 


'«"> 


R^ 


/ 


Jx,' 


colla notazii 


Diie 


1 !.-«! 


T ^1 - - ' >. 






lira parte si 


i ha 


dalla ( 


^ =: 2(rt cos» « 


-r^sen 



"3 sono le derivale pri 
(servando che R'., ed F 

imi _ 



in conseguenza 

~ -^^a cos' a + òse 

me il raggio di curvatura, nel punto M, di quella sezione 

ì fa col piano ^x V angolo a. 

nata ; del centro di curvatura nel. punto M della sezione 

endo 

1 

:i(ncos- a -r Asen 3 cos » + tsen-u) ' 

curvatura è al di sopra del piano x^; ossia del pimo 



wm^r* 



95 

tangente in M alla superficie, o al disotto, secondo che 
2ia cos* oL -}- b sen a cos a + ^ sen* a) è positivo o negativo. Conver- 
remo di dare a R il segno di ^ e prendere così 



2(a cos* OL -\- b sen a cos a + j sen- a) ' 

ed il segno di R ci dirà allora da qual parte sia situata, rispetto al 
piano tangente in M, la curva che consideriamo, nelle vicinanze del 
punto M 

42. Ai valori di a, che annullano la derivata rispetto ad a del 
denominatore di R, corrispondono quelle sezioni normali la cui cur- 
vatura nel punto M è massima o minima rispetto alle curvature delle 
altre sezioni normali vicine. La equazione che determina questi va- 
lori di 31 è la 

( 1 ) 2{c — a) sen a cos a -|- ^cos'"^ a — sen* a) = 

ossia 

(2.1 ^ tg« a -h 2{a — t) tg a — ^ - (), 

che ci dà per tg a due valori reali il cui prodotto è — 1, cosichè, se 
z indica uno dei valori di a che soddisfa alla precedente equazione, 

7C 1 

r altro sarà -^ + -^. La derivata seconda di -r^ , 

2 K 

4l{c — a) (cos' a — sen* a) — 2b sen a cos aj , 



t: 



prende valori uguali e di segno contrario per a = 9 e a = 9 4- - - , 

cosichè a uno di questi valori corrisponde un massimo, all'altro un 

minimo per la curvatura -^. Osserviamo poi che, quando i corri- 

R 

rispondenti valori di -^ siano di segno contrario, quello di essi che 
è un minimo negativo potrebbe essere il massimo dei valori asso- 
luti di -5-. 
R 

iueste sezioni normali corrispondenti a questi valori di a. per 
le ( luali la curvatura in M è massima e minima, chiamansi le se- 



{/ohi principali, e i rispettivi rag) 
principali nel punto M. 

Vediamo cosi che in ogni pi 
ove per esso si facessero passare i 
denlemente indicato, fossero verit^ 
poste relativamente al punto M) 
loro ortogonali. 

Prendiamo ora per piani dell 
cipalì del punto M. La equazione 

sfatta da a =: e 

diviene 



%a cos' ■■ 
che ci dà i valori dei raggi dì ci 

dovi a =: e n.^:^ — , COSÌchè 



R, = ^, 



Introducendo questi valori di R, e R^ nella espressione (3idÌR 
abbiamo 

11,1, 



Ora, poiché il secomlo membro non cambia quando in luogo 
di a si ponga il suo supplemento, abbiamo il teorema: 

Due sezioni tiormali egualmente inclinate sopra una s<;{iotic firin- 
cipale hanno raggi di curvatura uguali. 

Indichiamo ora con R' il raggio dì curvatura di una sezione nor- 
male perpendicolare a quella che fa l'angolo > con una delle se- 
zioni principali; avremo 

' I . ^ I . 



ed in conseguenza 

I I 

T+T 



97 

doè: la somma delle curvature di due se{ioni normali perpendicolari 
tra loro è una costante^ uguale alla somma delle curvature delle se- 
lioni principali. 

Dalla formola (3) segue che, se Rj ed R^ sono entrambi posi- 
tivi o entrambi negativi, anche R è sempre positivo o sempre nega- 
tivo, cosichè la superficie, nelle vicinanze del punto M, è tutta 
al disopra o tutta al disotto del piano tangente in M. Se poi Rj 
ed Rj hanno segni contrari, e poniamo sia Rj negativo, la {\\), met- 

, j • j M j- o 5- • ^ cos* a sen- a 

tendo in evidenza il segno di Kg, diviene -^ m — — - . 

R Rj Rj 

Per a = si ha R = R, ; quando % cresce da zero fino a quel va- 

, , , cos* a sen'^ « . . , , o R? r^ 

lore a pel quale — - — =: — - — cioè pel quale tg* a =: _^ , R 

Kj K2 Kj 

cresce da Rj fino ad x ; « crescendo ancora dal precedente valore 

fino a — -, R diviene negativo e va da — 00 a — Rj. Quando a cresce 

ancora, i valori di R si riproducono in ordine inverso. Cosichè allora 
la superficie è, nelle vicinanze del punto M, porzione da una parte 
e porzione dall'altra rispetto al piano tangente in M. 



43. Il luogo geometrico di quei punti pei quali le normali, alla 
superficie, infinitamente vicine si incontrano consecutivamente dicesi 
linea di curvatura della superficie. 

Sia f(x ,^ , .() = l' equazione della superficie; le equazioni della 
normale nel punto di coordinate {x ^y , ^ sono A =: 0, B = (», dove 
AzziX — X -*-/>(Z — {), B = Y — y 4- ^(Z — {), essendo al solito 

/ = — ^ , q = —• ; le equazioni della normale alla superficie nel punto 

{x-\-dx, y -\-dy^ {-i-^{) infinitamente vicino al punto (a:,^,{) pos- 
siamo prenderle nella forma 

A -h rfA = 0, B + t/B == 0, 

dove </A, ^B indicano i differen/i^Ii totali di A , B rapporto alle va- 
riabili X ^y. 

La condizione affinchè i due punti appartengano ad una linea 
d curvatura è che le equazioni 

A=:0, B = 0, A-f-JA==0, B^iB-=0, 



98 

ovvero le 

(1) A=:0, B = 0, </A = 

abbiano una soluzione comune in X , Y , 
Le due ultime equazioni essentìo 
Jx ^- pd^ — dp(Z — — Oj dji + q 

e non contenendo X, Y, affinchè siano 
valore di Z dovremo avere 
/9i àx + pdi _ ^jk-_ 

e quando questa equazione sìa verificata 
ammettono un sistema di soluzioni comi 
{l>) esprime dunque la condizione necess 
punti {» ,y .^ e {x + dx, y -i- dji, ^ + d^] 
di curvatura. 
Ma 







ij = 


-ii 

3» 


dx + 


f*- 






jp = 


ÌL 

8« 


<fe + 


1*=' 






d,^ 


■ il 
3* 


^^|* = . 


avendo 


posto, seguendo le 


notazioni di -Vi 


- 




_3't 
-1?' 


' = 


3? 


%P 

3> a 


per cui 


la (2) 


di.ìecK 












\+p- 


+ />» 


^ /* 






Eliminata da questa equazione la { medi 
della superfìcie, essa è T equazione ditfe 
proiezioni, sul piano x}\ delle linee dì e 






'^'^i. 



La equazione precedente riducendosi al secondo grado in 



si vede che potremo da un punto di una superficie muoverci in due 
direzioni lungo linee di curvatura; ossia per ogni punto' della super- 
ficie passano due linee di curvatura. 

Queste direzioni coincidono con quelle delle sezioni principali. 
Infatti, facendo uso del sistema di assi coordinati aventi l'origine 
nel punto M e considerati al n. 41, avremo 

^ = a;e- + bxy -h cy^ -f- R3 ; 
e, poiché per a? = 0, ^ = è 

/> = 0, ^ = 0, r = '>a^ s = b^ t = 2c^ 

dy 
!a equazione dalla quale dovremo ricavare i valori di -j- , per 

*• = 0, ^ = 0, è quindi quella che diviene la (.S) quando si pongano 
per / , ^ , r... i precedenti valori, cioè la 

dy 
1 _ Ix 



:^a + b 



dy 
dx 



b + '-Zi 



dx 



ossia 



*(i-y+'^''-^)i-*=^^' 



la quale equazione, confrontata con la (2) n. 42, dimostra il teorema. 
Quindi per ogni punio della superficie (nel quale la superficie 
ha proprietà analoghe a quelle che ha nel punto M) passano due 
linee di curvatura, ortogonali tra loro, e tangenti alle sezioni prin- 
cipali relative a quel punto. 

44. Poniamo l'origine delle coordinate nel punto M in modo 
che l'asse delle { coincida colla normale in M alla curva, il piano 
xy col piano tangente e P asse delle x colla tangente ad una delle 
sezioni principali in M. Consideriamo il punto M' infinitamente vi- 
c o ad M sulla linea di curvatura che passa per M e che è tangente 
a :]uella sezione principale. 

Poiché la coordinata y non cambia quando dal punto M pas- 
s mo al punto M' è ^ = ; inoltre essendo /> = 0, ^ = è anche 



'. •* 



». .\< 



' ..'i 



^ 'M 









M 






M 






•^«1 






\.4 









ì 



10() 

J^^^a, cosichè le coordir 
è dp= rdx, Jg=:t\ perei 
zioni (1) del n, precedenlt 
l' ultima riducendosi a = 

Abbiamo dunque Z — 

normale in M, compresa t 
contrata dalla normale in 
una linea dì curvatura cht 
vatura della sezione p ri nei 
quella linea dì curvatura. 

Questo teorema ci pe 
principali in un punto M 
dìnate essendo ora comunt 

La ordinata Z del pur 
normale infinitamente vici: 
per M. soddisfa alle due « 

1 + /-' + j 



nometrica dell'angolo che 
linea dì curvatura sul piar 

l'asse delle ;i;. Eliminando 

le ordinate Z, che si riferì 
passano per M, Ciò facent 

(1) {ri-s'}(Z-iy- 

+ 1 

Ma, se R indica uno i 
visto ora che 

R=V/(X- 

essendo X , V le coordinai 




101 
cui ordinata è Z, e poiché per le equazioni della normale in M è 

avremo 

e la equazione (1) diviene 



(2» (r/ — 5')r-[(l -f-py-f-{ì-^q^)r~2pqs\K\ì ^ p' ir 

che è la equazione le cui radici R sono i valori dei due raggi di 
curvatura principali. 



Esempi. 



jr* y 



lì Pel paraboloide ellittico { = --- t- -r , (<J>^>0), posto 

X' v 

ttz=Kll f — ^ -^ ~- la equazione (2) diviene 

1 AD 

R* _ ^a r- * 4- ~ i x)"*^ ^' "^"^ ~ ^' 

dalla quale, posto <• = - --' - , ricaviamo 

R, = «|c ^ ^ - V(r ^ ;j)' _ ^^«2J . 

1 raggi di curvatura principali essendo positivi in ogni punto 
della superlicie, questa è, in ogni suo punto, dalla stessa parte del piano 
tangente in quel punto. 

9 O 

X y 
2} Pel paraboloide iperbolico ^ = — ~j- , (^ > ^ > 0>, posto 

- , si trova analogamente 






Ri =r n\c -h { + V{c- {)- ; abn'\ , 



R, = n[c -h ^ ^ \/{c -f if -h abn^\ ; 



l 






: ^ 



■ ■ 



103 

R, è sempre positivo, R, sempre i 
la superfìcie è situata dalle due pa 
Quei punti, pei quali è R, t-F 
sono quindi situati in un piano pi 
una curva, la cui proiezione sul p 

è la iperbole di equazione -^ 



Limiti di fìgur 

45. Facciamo ora alcune cor 
utili. 

Chiamiamo figura qualunque 
ed A un punto qualunque, d\' la 
punto P della lìgiira; queste distai 
fiore d, che chiameremo distinta 

Si abbia una successione od u 
pensare generato dal variare di ui 
Chiameremo limiti: dì una figuri 
dei punti le cui distanze dalle figi 
a dire la F, sarà limite delle figu 
punto di F[ ed indicando con dv 
o, esiste una determinata tigura 
gure F, che si debbano eonsiden 
sempre dv < =. 

Se X ,y indicano coordinate 
dinate * ,y soddisfanno ad una o p 
determinano una figura; e noi sa 
zioni, la figura detìnita da una di 
detìnita da due un gruppo di pun 

Analogamente se x ,y ,1 indie 
le cui coordinate x,y^i soddisfai 
forma f{x ,_>>,£) =1 determinano 11 
tuie figura è una superficie, se de 

' Vedi 'Peano, Applicaiioni geon 
gin a 'M'^ e seg. 



Ufi 
linea se da due, un gruppo di punti se definita da tre di tali equa- 
zioni. Faremo le nostre considerazioni relativamente a figure nello 
spazio; le analoghe varanno, come si riconoscerà senz'altro, nel piano. 

ÌJi equazione /(x ,ji,{ ,%):^(ì determina una figura che indi- 
cheremo con F(a:), variabile con a. Sia /(x ,/ , ^ , ''} funzione conliaua 
e con derivate parziali pei valori delle 3:,/,^, ^ che dovremo con- 
siderare. Abbiamo allora il teorema: 

Ogni punto P{x,y,zi della Jigura limile di F(a), quandf 5 
Unde ad un valore a^, appartiene alla figura ^i^^) ; ed ogni punto 
della figura F(i„) appartiene alla figura limite di F(i), se in quel 

punto non sono contemporaucamenìe nulle le derivate — , — , — . 

Infatti, la distanza delle ligure F(a) da un punto qualunque 
Pj(jr„ ,y^ , {0) della figura limite di F(«) avendo per limite zero, quando 
I tende ad 2„, la distanza di Po da qualche punto P^ di ogni F(x) 
avrà per limite zero; perchè se tale distanza da ogni punto di ogni 
F(a) si mantenesse superiore ad una certa quantità, la distanza di P„ 
dalle F(i) non potrebbe avere per limite nero. Perciò il punto P^ ha 
per limite il punto P,,. Indicate con x^ ,y^ , j^ le coordinate di P^ 
esse hanno per limite a-^ ,/(, , {„, e poiché P-( appartiene ad F(h| ò 
ancora f{x^ i ^a . <« . *l ^= "■ '^^ essendo f funzione continua, 
.'t'a i>'a I in ^J ha per limite, col tendere di a ad n.^, la f(x„ ,_Vo , {„ , a,), 
e poiché /(*, ,_>'i , ^5 , ■■!■) è costantemente nulla, quando x converge 
verso a|„sarà pure nullo il suo limite; in conseguenza /(jJ^i^oi^di'o^^^'*! 
cioè il punto P„ appartiene alla figura F(5LoÌi e rimane cosi dimostrala 
la prima parte del teorema. 

Sia ora P|)(*o)/)n {-))"" punto di F(5;j)cosÌchÈ /(*(,,/,,{(,, a,,) =:0,e. 
non essendo tutte e tre nulle le derivate /'^a-, ,_>-„ ,{„,ai,)./'^*„ ,/„,{,,,«„), 
/'^jTj ./„,.£„, «1,1, supponiamo sia diversa da zero la f\-r{x„ ,y^ , {^ , »,i. 
Allora, per un noto teorema sulle funzioni implicite, poiché la equa- 
zione /(* ,^^, ,^ , a) ;= tra le due variabili x,i, è soddisfattH da 
x^x^, i=zra„ esiste un intorno di \. per tutti i punti x del quale 
detta equazione definisce una funzione x, continua, di a, x^^xfi], 
che per i ^= «o prende il valore x^, x„^=x{^„). Pei punti x di t;ile 
intorno sarà dunque /[.«■(i) ,_>>„ ,^0 , »1 = 0, cioè il punto Pl,*(*) ,/oi{ol 
ap laniene alla figura ¥(%). Ma col tendere di » ad x^. P avendo per 
liì ite P,„ la dìsunza PPj ha per limite zero. La distanza di P,, da 
F( ) non è certamente maggiore di PP^, perchè P è punto di F(2|; 
qi ndi la distanza di P^ da V(r) ha per limite zero, al tendere di a 



— , — - , ^—, occorrerebbe un « 



104 

ad «„. e perciò il punto P,, appartiene i 

cosi rimane dimostrata la seconda parte 

Se nel punto P„ di Fi =„) si annuUas 

àL K IL 

3^ ' ?>■ ' 9^ 

se tal punto appartenga o no al limile e 

In modo completamente analogo si 
tei>remi ; 

5* ia figura F(a) ,■ defunta J.ilh- du 

/ punii limiti della figura V(rt)^ quando 
alla l'igura F|a,,); ed ogni putito di V{\ 
Icmparaucatìii'titi tiulti i tri- dtlcrminanh 

j ^ _5f _af 

;■ ?x Sy 5z 

j il il ii 

■' gx 5y ?z 

,,lypartÌL-i,f alla figura limite di V\y). 

5j la figura V('x) i- defluita dalle eq, 

tìx,y,z,>)-.-n, .(x,v,z,,|^i 

/ punii liiiiiiì di Pia), quando i- tende ad 2„, appartengono ad P(3.„); 
nullo il deUrminante 



,i 


Ofilt, 


! fiuiit.' 


di 


K(..), 


> '"■/ ?' 


iaU ; 


.«.» 


la. 


.-obtatìo 






















at 


1< 


jf 












' Ss 


ly 


?2 












s? 


Si 


3v 












?x 


2v 


3i 



/ /i»«/(i limite di F(ii). 



105 
Curve inviluppi. 

46. Sia f{x ^y , %) funzione univalente finita delle quantità x , v, a 
e che ammetta derivata rapporto alle ;i: ^y , a. Supponendo che x ^y 
siano coordinate di qualunque natura e a sia un parametro variabile, 
la equazione 

fi» /(A- ,>• , a) = (I 

rappresenta una famiglia di curve, di cui tutte le curve individuali 
hanno una proprietà comune espressa dalla equazione (1), e che si 
ottengono ciascuna attribuendo un particolare valore ad a. 

Fissato un valore a del parametro variabile, consideriamo la 
cur\a corrispondente /(at ,^ , aj = 0, e quella che corrisponde ad un 
altro valore a -r- A^t del parametro, cioè la f(x ,7 , * + A») ^^ 0. 

Le coordinate dei punti d'incontro di queste due curve, punti 
che chiameremo w, sono i valori di x ^y che soddisfanno a queste 
due equazioni ; ovvero, poiché 

f\x ,y,'x--h Aa) =/(a- ,y , a) -f. ^7./\{x ,y , a -f- hA^), 

quelli che soddisfanno alle due equazioni 

Pi /(x ,y , a) = 0, f\{x ,/ , a -r- hA^) := (). 

Facendo convergere A^ a zero, questi punti m convergeranno, 
generalmente, verso certi punti limiti, che chiameremo punti M. 

Il luogo geometrico di tutti i punti M, ottenuti attribuendo al 
parametro variabile tutti i valori di cui è suscettibile, chiamasi V in- 
viluppo delle curve rappresentate dalla equazione (1), che diconsi 
allora le curve inviluppate. 

Un punto, le cui coordinate x ,/ soddisfacciano le equazioni 

A^^y )^) = ^^ì /'tÌ^ }y }'^)=^^ ^ t^^^ che sia diverso da zero il de- 
terminante (Vedi n. 45), 

A = 



?/ 


a/ 


dx 


a/ 


IL 


y/ 


3x9;c 


3»a^ 



è pi nto limite di qualche punto w, cioè è qualche punto M. Supposto 
dunijue A non nullo le equazioni 



determinano ìn funzione di 

a tra queste due equazioni si avrà allora la equazione dell'inviluppo. 



1} Per avere l'inviluppo delle rette rappresentate dalla ei 
{x,y coordinate cartesiane ortogonali) 

X cos Ha ^ji sen S-^ = a{cos S") '^ 
si eliminerà a tra questa equazione e la 

— X sen 3i +_>> cos 3i:=— ^cos 2») - sen 2» 

ottenuta dalla prima colla derivazione rapporto al parametrc 
A tale scopo, risolvendo le precedenti equazioni rappoi 
e y, abbiamo 

X =z j(cos 2a| - {cos 2i cos ^a ;- SCO 2i sen 3») := a(cos 2a) - cos 1, 

j! = ij(cos 2«) - (cos 2i sen ;ta — sen 2i cos lì^) = a(cos a») - sen », 

che sono le coordinate dei punti dell' inviluppo espresse mediante il 
parametro a ; dalle quali otteniamo 

«' -\-y' =. a* cos 2>, X* — y ^ j' cos 2'(cos' a — sen'i) ^= a' cos* 2", 

e da queste, eliminando cos'io, si ha l'equazione ' 

(«■-/)•=«'(,'-/) 

dell' in vihippo, che è una lemniscata. 

2) Si voglia l'inviluppo di tutte le rette che con due rette ortogo- 
nali formano un triangolo di area costante i. 

Prese le rette ortogonali per assi coordinati, le equazioni delle 

rette sono — -|-. - = 1, dove iif = 2i; cosichè tutte le rette sod- 
disfacenti alle condizioni del problema si ottengono dalla equaz'ine 



attribuendo tutti i valori ai parametro '. Derivando rapporto a 1 



r 



abbiamo 



a« + 2k "' 



k 

ed eliminando a tra questa e la precedente si ha l'equazione xy = ^- 

««/ 

dell'inviluppo, che è una iperbole avente gli assi coordinati per 
assintoti. 

^0 Inviluppo dei circoli aventi il centro sulla parabola ^* = 2px e 
passanti per il vertice della medesima. 

Indicate con ^i , a le coordinate del centro di uno qualunque dei 
circoli ed r il raggio, tal circolo avrà per equazione 

(x - >y -riy- a)2 :=z r\ 

dove 7} = 2p'? e r* = «- + ?*; cosichè tutti i circoli del problema 
saranno rappresentati dalla equazione 

p{x^ -f y) — a'^AT — 2a/^' = 0. 

Derivando rapporto ad a, si ha %x -\-py =zi)^ ed eliminando a 
si ottiene l'equazione dell'inviluppo 

^ + (/ -^ x)y' — ^\ 

che è una cissoide di Diocle. 

47. La tangente in un punto (x^ , Vo) dell'inviluppo coincide 
colla tangente alla inviluppata f(x , v , «y) = che passa (0 ad una 
delle inviluppate che passano) per quel punto, supposto non siano 
contemporaneamente nulle le f'^Xg , y^ , a^) , f'y(xo , Vq , «0) ^ ^^^ ^^' 
versa da ^ero la f\^(x^ , Vo , %). 

Le inviluppate siano date dalla equazione 

dove ora supponiamo x ^y rappresentino coordinate cartesiane or- 
togonali. 

Fissiamo un punto {x^^ ^y^) sull* inviluppo, rappresentato dalle 
due equazioni 

J\x ,^ , a) = 0, f\ [X ,y , a) 0, 

ed .idichiamo con a^ il valore di a, od uno dei valori di a, che 
^T xz=:Xf^^yz=iyQ soddisfa contemporaneamente a queste due equn- 
zioi -, 



asserviamo ora che le eoord 

tenenti a un certo intorno d-.. f,^,.^-^ ^-n ,_.,„ ^...u ».;,.<.....» ^,. ' 
.ione /(a-, _y, 1)^0, dove a è quella funzione di x ,y , detìnita 
_/"-,^n, che per \:^Xa,y=^j'f, prende il valore 1^. suppo- 

) che per «^'u sia diversa da zero la - -^. Cosichè, per 



all'inviluppo, avremo, in generale, la formola 






— /'ci*.. ..lo . *„) = ", quindi 

^i- dx, ^ '■' A. = (1 e d. ouesta f* = -^'j , 
3/, 

la inviluppata /(a- ,^' , a,,)^ Il passa pel punto (j^o i/e'i "^ '' 

3/ 



non contemporaneamente nulle. 



;iciile angolare della sua tangente in questo punto è — . 

; uguale al precedente. Questa inviluppata e l'inviluppo hanno 
i nel punto ix^,_r„] la medesima tangente, ossia, come si suol 
r inviluppi) e la inviluppata sono tangenti, sì toccano in quel 



8. Relativamente all' inviluppo di una famiglia di cur\-e [ 
,a)^:0 si possono presentare alcune singolarità meritevoli di 
, delle quali diamo alcimi 



' inviluppo può non esistere; ciò avviene, ad esempio, se le 

ioni /'(x ,;y , a) t^ 0, /{x ,y , »,) =: 0, per valori di > , a, sufficien- 



:«^ 



109 

temente vicini fra loro, non sono soddisfatte da alcun sistema di va- 
lori (reali) di Jr,/; non esistono allora i punti w, per a^ sufficiente- 
mente vicino ad », e quindi non vi sono i punti limiti M, per a^ 
tendente ad a. Siano, ad eserhpio, i circoli 

f{x ^y , a) =r A-* -h^ -T- 25«f — *>ajy — a2 = 0. 

Eliminando a tra questa equazione e la /'^^ ^=z2,{x -\- y — a) = 0, 
abbiamo jir- -f /' -f .^' = 0, equazione che rappresenta due rette im- 
maginarie che passano pel punto reale jr=:0, /mrO, 

Questo punto potrebbe pure, attenendoci alla definizione data, 
essere considerato come P inviluppo delle nostre linee. Ma si co- 
minci intanto dall' osservare che ora ^^=lA.{x — y) si annulla per 
jr=: 0,^ = 0. Cerchiamo dunque direttamente se questo punto possa 
essere punto limite di punti ;;/. Risolviamo rispetto ad x ^y le equa- 
zioni 

ricaviamo da esse successivamente 

2(a — a^) {x^y)r^^''-^,% x ^ y =i "" "^ ''^ , 



a:* -T-y^ 4- aai = 0, xy=z 



(a-h»i)*4-4aa, 



8 
i valori cercati ài x ^y sono adunque 



a + «i =h- V— (a + a^)-^ — Saa^ 



che sono certamente complessi se a , aj sono dello stesso segno. 

Il punto ;ir = 0, / = non può dunque essere limite di punti ;;/. 
Nel nostro caso non vi è dunque certamente inviluppo. 
2) Si considerino le curve 

/= t(* ^y) -f- a'«^ ,y) = 0, 

dove qp, '^ sono funzioni univalenti con derivate parziali. La/'^ = K^ ?>) 
non contiene più a; cosichè \Qf:=.{S^f\ =Osi riducono nel nostro 
caso a ?(jp ,^) = 0, '\{x ,y) = 0. 



3»/" 
(iui abbiamo ^=Q, A = 

ri' inconlro delle curve '((x ,y} - 
siderarli, dietro la data defini: 
curve, perchè tutte le cun-e de 
[punti base del fascio). Si inter 
ricercare se l' inviluppo sia o i 
S) Per le parabole semicubich 

abbiamo/'j^ —2{x — a), ^- 
di « tra /=. 0,/'^ — è j- = i 
di riconoscere direttamentese j 

Due di tali curve 

(*-')'-/ = » 



si incontrano nel punto x rz: 

B, converge verso a, ha per li 
guenza l'asse delle x, ji =^(ì, è 
curve. Qui l'inviluppo non è tai 
si verifica subito, ciascuna curv 
.V ^^ a ,_>' ^^ (1 e la tangente nei re 
r inviluppo >>==(' è il luogo g 
Si noti che per *Tr: 3,^ = 0, 
cosicliè non sono soddisfatte le 
al n. 47. 
■i) Per le parabole cubiche 

abbiamo /'^ ^^ 'J{x — a)", A = 
F\ = :Hx-~^y =0 ed/=(' 
perchè /'^ = ci dà x=ii. M 
nostre cun-e; tale inviluppo ne 
^-,x — x)»^0,_y^ix~x,f 
reale. Qui la _j':^0 tocca tutte 



F 



-1- .D 



111 

5) ElimiDando a tra 

Otteniamo /(jt 4-^) = 0, che rappresenta le due rette x -\-y = 0^^ z=r 0. 
Essendo [i^=^4y la retta x-\-y=.{) è inviluppo delle nostre curve j 
le curve inviluppate corrispondono a soli valori negativi di a. Qui 
ha luogo il teorema del n. 47^ essendo verificate tutte le condizioni 
sufficienti perchè abbia luogo; si verifica facilmente infatti che le 

curve /= 0, nel punto ^' = =ir \/ — a, Jf = — y = ^ V — * hanno 
per tangente la retti x -\-y =2 0. 

In quanto alla retta /rrO essa non fa certamente parte dell'in- 
viluppo, perchè per y = 0. qualunque sia x^ non può essere soddi- 
sfatta la f-= 0, eccettuato per il caso particolare a = 0. 

6) Eliminando a tra 

t /\tz=2(ol -i-y) = {)^ otteniamo ^jif*=:0, che rappresenta le rette 

x = {)^ y=zO. Qjiii ^=::4xy si annulla per ciascuna di queste rette. 
I valori di x ,y che soddisfanno alle due equazioni (a -^y)' -i-yx- = (\ 

(»i -yf ^yx^ = sono y=z — ,Ar = dt - Viiz, che per 

2 y2(a-f«i) 

»i tendente ad un valore positivo a, hanno per limite/ ~ — a, :«• =: 0; 
per aj tendente ad un valore negativo a il valore di x finisce per 
divenire immaginario. Si vede dunque che la sola parte negativa del- 
l'asse delle/ è l'inviluppo delle nostre curve. 

Quelle che corrispondono a valori positivi di a hanno, come 
facilmente si trova, un punto doppio nel punto / = — a^ jf ==:(); 
l'inviluppo è il luogo geometrico di questi punti doppi; ma l'invi- 
luppo non tocca le inviluppate, perche le tangenti nel punto doppio 
* = 0, /zr: — a della inviluppata fanno colTasse delle x angoli le 

cui tangenti sono rb \/ « , e nessuna di esse coincide perciò coll'asse 
delle yj x = 0. 
') Per poter applicare con sicurezza la regola contenuta nel n. 40 
p^r la determinazione dell' inviluppo delle curve f(x ,/ . a) = bi- 
sogna prima di tutto che la funzione / sia ima funzione univalente ; 
altrimenti si potrebbero ottenere risultati erronei, o privi di significato. 
Cosi non si arriva ad alcun risultato se si vuole adoperare tale regola 



per (ieterminare l' inviluppo dei cii 

la f'^ --^ () sarebbe qui la — I ;= l>. 
dei circoli alla foriua 

(7 - .)' ^ 
applicando la regola del ii. 4»( otteniamo subito l'inviluppo *' — a' 
che è così composto delle due rette x=:a, x^z^ — a. 
81 Diamo in ultimo un esempio per verificare come per ogni \ 
dell' inviluppo possano passare più inviluppate. Siano le rette ra| 
semate dalla equazione 

(u -'a^Y + ;(i' ^: -i- 1 =1). 

Eliminando » tra questa equazione e la (ianY + X)^U 
aY -I- X =: (escludiamo ìJ valore a =: 0, cui corrisponde la rett 
l' inlìnito del piano) si ottiene la equazione dell' inviluppo X' + V 
(parabola semicubica). 

Per ogni punto {x ,ji) del piano passano tre rette del sistema, 
pure due, oppure una, secondochè a-' +/" <0, oppure x^ +ji-^=ii 
pure a:'-)-^'>0; cosìchè l'inviluppo è il limite comune alle due re^ 
del piano, per ciascun punto delle quali passano tre o una retta dt 
stema. Pei punti (*,_)-) dell'inviluppodue delle radici a che soddisfi 
alla equazione (I) sono uguali, come appunto deve essere, poicht 
punti dell'inviluppo % è radice comune alle equazioni J{x ,^ , ') = 
/'5(*,_V, ai = 0. Per ogni punto dell'inviluppo, ossia per ogni p 

(X 1^ —y ■' , Y ^y ,y quantità qualunque), passano le due rette cor- 
rispondenti ai valori i:=:v -' (radice doppia della (I) quando in es&t 
si faccia V =7, X ^= — y ' ) e ad a :r: -~y ■' . La prima retta. 



luppo nel punto (— ^ ^ .^). Lasecondaretu— /-'Y + Sy ^X + 4=:i 
taglia l' inviluppo ìn quel punto e lo tocca nel punto la cui asci si 



i ordinata è — Vy, come si verifica cercando i 



^/r^-^ ■■&- 



•T '.»! • V^ 



113 

lori di X, Y che soddisfanno alla precedente equazione della retta e 
a quella X^ -4- Y' = dell* inviluppo, nel cercare i quali valori giova 

o 

tener presente che la retta passa pel punto X = — y ^ , Y =:jy del- 
l' inviluppo. 



o 



m 



■♦•il 



Superficie inviluppi. 

49. Diamo un cenno di queste superfìcie. 

Indicando ^ ,/ , { coordinate, di qualunque natura, dei punti dello 
spazio, e a un parametro variabile. 1' equazione 

rappresenta una famiglia di superficie, a ciascun valore di a corri- 
spondendo una superficie individuale. Supporremo che la funzione / 
soddisfaccia alle stesse condizioni della analoga funzione/ del n. 46. 
Fissato un valore a del parametro, si prenda un altro valore cc^ di 
questo, e supposto che le duesuperficie/(.y.^,{,a)=:0, /(;r,^,^,ai)rz:0 
si taglino lungo una certa curva, facciamo convergere a, verso a; sup- 
poniamo allora che questa curva abbia per limite una certa curva, 
che apparterrà alla superficie /(;r ,/ , { , a) = 0. Sopra ciascuna delle 
suj>erficie della famiglia si troverà, generalmente, una di queste curve, 
ed il luogo geometrico di tutte queste curve sarà una superficie che 
dicesi la superficie inviluppo delle superficie (1), le quali, considerate 
in rapporto al loro inviluppo, diconsi le inviluppate. 

Con ragionamento analogo a quello pel problema dell' inviluppo 
di curve piane, si trova che la equazione della superficie inviluppo 
si ottiene eliminando a tra le due equazioni 

supponendo che tutti i determinanti della matrice 

|i /V /'v /'t 

(1) '! 

1 , / a.r / oy / ar 

ne 1 siano contemporaneamente nulli. 

La curva, variabile con a, rappresentata dalle precedenti due equa- 
2i< li. chiamasi la caratteristica dell* inviluppo, 

8 



.vi 



■^ 



:-<? 



♦ •■ 



-rt 



i 



Sotto condizioni analogt 
mente che la superficie inv 
inviluppate. 



1) L'inviluppo dei piani, 

(2) t = 
si ottiene eliminando a tra 

(3) = 
Questa superficie, invìi 

posizioni dipendono dai valori di un parametro variabile, chiamasi 
superficie sviluppabile. 

Esistono infinite superfìcie sviluppabili, poiché infinite sono le 
funzioni ?(a), -U^a) che compariscono nella equazione del piano invi- 
luppato; ma, come ora vedremo, tutte le superfìcie sviluppabili sod- 
disfanno ad una comune equazione, che ora andiamo a determinare. 

Possiamo ritenere la equazione della superficie sviluppabile sia 
la (2), dove intendiamo che a sia la funzione di * ,y definiu dalla |3). 
Derivando allora la (2) rapporto a x abbiamo 

ossia, in virtù della (3), p::=a. Derivando la [2) rapporto ad / otte- 
niamo, in modo analogo, f^^fi); cosichè g:=!f{p). Derivando ora 
questa ultima equazione rapporto ad a: e ad >' otteniamo rispettiva- 
mente s:=<f'\p)r, t^:-/(p}s e da queste 






la quale, non contenendo più le funzioni q; e '+ che individuano cia- 
scuna superficie sviluppabile, è quella equazione, colle derivate par- 
ziali di secondo ordine, cui soddisfa la ordinata ^ di qualunque super- 
fìcie sviluppabile in qualunque punto di essa. Questa equazione chi- 
masi perciò la equazione a dir ivate, parziali delle superficie sviluppai 
2| Si voglia l' inviluppo delle sfere che hanno il loro centro sop 
una data parabola e che passano pel vertice della parabola stessa. 



P".' ' 



T-^"l 



115 



Si prenda per piano xy il piano della parabola, e si pongano 
gli assi delle x e delle y in modo che la equazione della parabola 
sia x^z=z2py. L'equazione di una sfera che soddisfa alle condizioni 
del problema è 

(X — a)« + {y — P)* + {* = a^ + ?* ossia :r« 4-/ -t- ;f — 2ow — 23jv = 0, 

dove a' = 2/3, e quindi anche 



a« 



** -4-7* -\-^ — 2ow jv = 0. 

P 

Eliminando a tra questa equazione e la 

a 

— X y = 

si trova V equazione 

della superficie inviluppo richiesta. 
3) Siano le superficie 

f={x — oLf'j-xyi = 0. 

L'eliminazione di a tra /=0, /'« = — ^i^ — «]*=:: ci dà 
xy ^z=iOy che si scinde nelle tre equazioni x = 0, y = Oy ^ = 0. 

Il piano x = non può certamente far parte dell'inviluppo, 
perchè per jf=:0 le due equazioni /=0, f\=.{) non sono soddi- 
sfatte altro che se a = 0. Rimangono così da considerare i piani 
y=^^y { = 0. La matrice (1) qui è 

3 (^ — a)* -i-y^ x{ xy 

— 6 (a: — a) 

i cui tre determinanti sono 6 (^ — a);t{, d(x — oi)xy , 0. 

Per 7 = 0, giacché dobbiamo contemporaneamente porre ^ = a, 
poiché i punti del presunto inviluppo debbono soddisfare alle /z=0, 
/"j^=:0, si annullano ad un tempo i tre determinanti precedenti; e 
lo stesso avviene per ;^ = 0. Esaminiamo dunque direttamente ciò 
che avviene nel nostro caso. 

Le due equazioni 

{x '— cLf -f- xy;( = 0, (;i: — aj^ -\-xy:^ = 

ne 1 possono essere soddisfatte da alcun sistema di valori reali per 
* %-{; non può dunque nemmeno esistere l'inviluppo. 



116 

Si noti che qui i piani ^ = 0, < ^ 
nostre superficie, perchè, come subito si ; 
piano tangente ad esse, nel punto y^O, x = 
e nel punto {^0, x^=a,ji qualunque è '. 
4) Per le superficie 

la eliminazione di a tr3/=0,/'a = — 2( 
che si scinde nelle » :^ 0, ^ ^ 0, ^ := 0. 

L'inviluppo potrà, anche ora, essere 
due piani _>> =0, ?^0; e i determinanti i 
(i:x^y'j^, 6*^'f*,0, essi si annullano tutti 
.5=0. 

Osserviamo però che le superficie 

si tagliano lungo la curva «= — — i , ( — — 

che ha per limite, quando a, tende ad a, '. 
cioè x^i, y ^0; x=:a., {^0. I piani j 
l' inviluppo delle nostre superfìcie. 

Se poi si osserva che, nei punti * ^= < 
nei punti x^=<i,y qualunque, {r^O le noi 
golarità relativamente al piano tangente, p< 
nulle ad un tempo le f'^, f'y, fi, si vede 
viluppo non è tangente alle superficie invi 

50. Le superficie danno luogo ad un a 
inviluppi. Sia la equazione 

/(■',.>', ?,",!) = ! 
dove x,y,^ sono coordinate qualunque, e 
rìabili, e si supponga che la funzione / 
analoghe a quelle poste per la funzione / 
Questa equazione rappresenta un insieme dì 
scuna superficie si ottiene attribuendo speci 
superficie 

(1) A'.jr.i, ',» = «, /(',/,?,-! 



.^T': '. 






117 

si incontreranno, generalmente, secondo una linea, la quale, quando 
Aa, ^ft tendano comunque a zero, non ha per limite una linea, come 
ora vedremo, ma un gruppo discreto di punti ; il qual gruppo avrà 
perciò la proprietà che le distanze dei suoi punti dalla curva inter- 
sezione delle (1) avranno per limite zero, quando Aa, Ap tendono 
comunque a zero. 

Invero, le coordinate dei punti limiti, per Aa tendente a zero, 
della intersezione delle due superfìcie 

supposto che i determinanti della matrice 

J X f y f z 

f xOL f va f s-x 

non siano nulli ad un tempo, debbono soddisfare alla equazione /'a=0. 
Analogamente le coordinate dei punti limiti, per ^} tendente a 
zero, della intersezione delle due superfìcie 

supposto che i determinanti della matrice 

/V /'.. /'. 

f^'p /V? /"^? 

non siano nulli ad un tempo, debbono soddisfare alla equazione /% = 0. 
In conseguenza le coordinate dei punti limiti, quando A^, Ai^ 
tendano comunque a zero, della intersezione delle superficie (1), sup- 
poste soddisfatte le precedenti condizioni relativamente alle matrici 
(^X (3), soddisfanno, oltre che alla / = 0, anche alle equazioni 

Il luogo geometrico di questi punti chiamasi V inviluppo delle 
superficie date ; se ne ottiene la equazione eliminando a , ;j tra le 

Sotto condizioni analoghe a quelle del n. 47 si riconoscerebbe facil- 
mente anche qui che l'inviluppo è tangente alle superficie inviluppate. 



£SEMP1 

1 Inviluppo dei piani pei quali è una costante k la somma dei 
se menti che determinano sopra i tre spigoli di un angolo triedro 
tri sttangolo. 



Prese le faccie dell'angolo triedro per piani coordinati di un si- 
stema cartesiano, indicati con a,;j ì segmenti determinati sugli assi 
delle X e delle ^, le equazioni dei piani sono 



\o\ 




. ' 


f ti- 




J 




cosichè il 


loro inviluppo 


si ottiene eliminando a 


, f tra questo eqna- 


zione e le 














X 


! 




= 0, 






! „ 


" "?■ 


^(J-.- 


-sr 


^(i- 


-«-/•)' 


Queste danno 












v« 


^ V> = 




V? _ 


-l" e 11 


^ V» 


+ V> + Vt 


» 


T- 


- a — f 


;t 


per cui 
















-=!";'», 


L 


■^A'y, 





ì 


= i.Vji 



i quali valori sostituiti nella (3) danno 

che è la equazione dal richiesto inviluppo. 

2) Inviluppo delle sfeie, i cui centri sono sopra un ellissoide, eche 
passano pel centro dell'ellissoide. 

Sia — 7" + 4»- "i- "V ^^ ' l'equazione dell'ellissoide. 
Le equazioni delle sfere sono 
(4) /^x'+f f f — 2m — 2yi — 2r< = 0, 

dove -,' è espresso mediante a , ; dalla relazione 



Cosichè abbiamo 








3> 


-ir- 


-2 


'f 


1/ 
11 


2,- 


-^i 


3r _ 
3; ' 



cero, danno 
— =: ]t, ossia 






(l' +_>>' .(^ l'i' — 4ia'x- 4- ^>' -r c\') = 0, 
che è l'equazione del richiesto inviluppo. 
:i) Eliminando a . ^ tra le equazioni 

e /', = — 2(* ~ a) ~ 0, f'f = — 2ij> — fi)= 0, otteniamo ^ = 0. 

I determinanti della matrice (2) essendo ora 4{y — 3), — 6{', 0, 
6 quelli della matrice i'A) essendo — 4{x — a), — i»^^, 0, essi tutti sono 
nulli per ^ ^ , x ^ a ,^ ^= 'f. Osservando però che pei punti d' in- 
tellezione delle superficie 

(* -')* ^ (^ - ^)' - i» = 0, {x-r.,)' + {_y-?)''-i^ = G 

abbiamo x ■= — -— ^ , ( — ^ j + (_>' ^ ^)* — ^ ^ ; e per quelli 

d'intersezione delle superficie 

abbiamo y — ÀT _ ^ L ^ ( ^ ~ ''' ) +(*— a|' — ^= = 0, si vede che, 
quando s, tende ad i e fj a f, tali equazioni ci danno x :^ 7, y ^ i. 
{ = 0. Perciò il piano ^^0 è l'inviluppo delle nostre superficie. 

Si riconosce subito che l' inviluppo qui non è tangente alle in- 
viluppate, perchè queste hanno singolarità relativamente al piano 
tangente ne! punto x^^, j'=^ ?, ^ ^ l). 
■1) Eliminando ^ , f tra 

e \- /\ = — [ì{x— a)» — 0,/\ = — ;ìij — ^)' — otteniamo ^=0. 
Ar :he qui sono nulli tutti i determinanti delle matrici l'^l, ('.ìi per 



120 

^ T= 0, x-^^n, y^='f. Ma qui non sj 

e le superfìcie 

non hanno intersezione reale. 

Sì osservi invece che il piano 

fiele nei punti x ■:= ^, y ^: f, { ^^ 0, 

ESKBC 

1. La sviluppata di una cur\'a è l' i 
stessa. 

2. Se le coordinate x ,y dei punti 
la variabile / dalle equazioni 

r inviluppo delle curve ottenute fac 
nando / e a tra la equazione 

il ìt-ì 

e tra le {a), o tra le (*). 

Cosi l' inviluppo delle curve 

A- — > — 2V«"» cos / = 0, 
è la parabola y' ^=. Am{x -\- m). 

3. L' inviluppo delle ellissi conce 

stessa direzione e per somma una costa 

avendo riferito le ellissi ai loro ass 

La stessa curva è l'inviluppo d 

parte intercetta dagli assi coordinati 

4. Data la ellisse -^ H- ^ — 1, si 
come centro, e le corrispondenti or 
si descrivano circoli; l'inviluppo di 
Si ha un risultato analogo per la i] 



r 



121 



^' 



,« 



5. Data l'ellisse — ^--f-^^rl, l'inviluppo dei circoli aventi il 

centro sull'ellisse e che passano pel centro dell'ellisse, è la curva 
U* -\-yy = 4(^?V -+- by^}. Si ha un risultato analogo per la iperbole. 

— 7 — j -I- ( — - - - \ m 1, dove tra i 






parametri variabili a,p passa la relazione -rr -r-rr =1, è Tel- 



^' 



>&« 



lisse — - -f -y-.o =1. 
4^* 4>^^ 

7. Sopra ciascun raggio vettore di una curva p = r^(H) si prenda una 
parte uguale a «p (« numero positivo qualunque) e su essa come 
diametro si descriva un circolo. L' equazione /(R , 9) = dell" invi- 
luppo di questi circoli si ottiene eliminando ^ tra la equazione 
R = «•;( H) cos (qp — ^) e la derivata di questa rapporto a B, indicando 
R,q? le coordinate correnti dell'inviluppo. 

Si applichi questo procedimento quando la curva data è un cir- 
colo col centro sull'asse polare e che passa pel polo. Si trova che 
l'inviluppo è una cardioide. 

8. L'inviluppo delle curve 



/{x ,^ , a) = a^cL^ -\-na^ a»»-i + 
n[n — 1) (« — 2) 



n{n — 1) 
1.2 



a^o. 



«_2 



O Q ^3=^"~^ + . . . + ^n-i a 4- ^n = 0, 

dove Jq , jj . . . /i„ indicano funzioni uni valenti delle coordinate qual- 
sivogliano ^ ,7, è il discriminante uguagliato a zero della f(x ,^ , ») 
rispetto ad a 







^»i— 1 



j, . . . ^„_, ^„_i 







0... 
0... 















^t . . J„_., 







{) 



tf| . . . ^n—t 



a„-i 



0... 
0... 



-0 



■•3 

■i 



• 







0.... 



^n-1 



Cosi in particolare 
rispettivamente 

.iji/, — a,' — 0, a/V 

(fl,a, — Aa^a^ + 3a,y— 2-{a^a,a, + 2rf,a,a3 — a„^j» — ^,'fl, — a,')» = 0. 

9. L'inviluppo delle curve 

(A^r + (B?)"- + e- ~ 0, 

i parametri variabili a,3 essendo legati dalla relazione (ija)"+{i;i)"+j"^t 
e dove \,B ,C ,a ,b ,c sono funzioni di qua! si vogliano coordinale 
ed m,H numeri qualunque, è 

(Tf-^(Tf-(rf=»- 

10. L' inviluppo delle curve A cos""» + B sen"^ — C, dove A , B . C 
sono funzioni delle coordinate e e è il parametro variabile, è la cur\'a 

U. L'inviluppo delle cur\'e 

A cos 29 -1- B sen 2D + C cos m- D sen e + E — 0, 
dove A , B, . . s hanno i significati precedenti, è la curva 

[12(A* + B*) — 3(C* + D') + 4ET 
— [72{A* + H*)E + 9(C* + D*)E — 27A(C' — D') — 54BCD — 8E*1'. 

(Si ponga tg — 1 ::= 3 e si prenda a come nuovo parametro va- 
riabile; il problema si riduce cosi ad un caso dell'esercizio 8). 

12. Se riguardiamo le rette uscenti da un punto e situate in un piano 
come altrettanti raggi luminosi che si ritlettano incontrando una data 
curva situata sul piano, P inviluppo dei raggi riflessi dicesì caustica 
per riflessioni: della curva rispetto a quel punto luminoso. 

Sia ■■({x,j>)-=0 l'equazione della curva; indichiamo con T^^O, 
N:=0 le equazioni della tangente e della normale in un punto (jt ■■) 
di essa; allora la equazione della caustica si otterrà eliminando x^ 
tra le equazioni ^(x ,ji) =z 0, T, N -(- N, T i^ 0, e quella ottenuta d" - 
ferenziando quest'ultima rapporto ad * ,/, avendo indicato con T,, , 



^vr 






123 

ciò che divengono T , N quando in luogo delle coordinate correnti 
si sostituiscono le coordinate del punto luminoso. Se i raggi luminosi 
incidenti sono paralleli e fanno coli' asse delle x un angolo la cui 
tangente trigonometrica sia a (punto luminoso all'infinito), la equa- 
zione della caustica si ottiene eliminando x ^y tra la equazione della 
curva, la 



Y-^ 



dy 
dx 



(X -X)- 



dy 
dx 



a 



dy 
dx 



-f-1 



[ 



dy 
dx 



(Y-^) + X-;. 



=iO 



e quella che si ottiene da questa derivandola rapporto ad x. 

Si applichi la teoria alla determinazione della caustica del cir- 
colo Jt* -T-^* := r*, quando il punto luminoso abbia per coordinate 
xz=.a^ y =ib^^ quando i raggi luminosi siano paralleli all'asse delle x. 
Nel primo caso la caustica è la curva 

j4(^» -f h') (X« + Y*) - r«[(X + àf + (Y + bf\\^ 
= 27{bX — aYy (X« ^ Y' — a^ — b% 
e nel secondo 



.■■■; /' 
. ' '■■ 

■ì- 



r 









■ -.1? 









X = ^|/ r 2 — Y 2 [ r 3 -h 2Y 3 J 



(Giova porre jc = r cos ^^ y=.r sen 0.), 

X Y Z 

13. Superficie xy\ = k^ ; piano tangente -7; — h -^r;^ — f- 



2 x^-tf + f __ 

i^i — K, — -^ ^^ , KjKj — 



•a 



3N^ 



3;c 3^ a^ 
- dove 



= 1; 



A = l/J- 
•N r X' 



— :r + -^ + -1; 



r 



— «*^ t 



14 Superficie yz=zxig -— {elicoide gobbo a piano direttore) ; piano 
tan :ente cyX — cxY + (a:« -f/jZ — . (a;* -ì- /){ ; R, + R, = 0. 



li Per l'ellissoide 



X' 



a' 



f 



r _ 



-i- ■—- + ~ ■=■■ 1 l'equazione che determina i 



l'i di curvatura principali si ri< 

e n indica la lunghezza della 

piano tangente nel punto (* j 
. L' inviluppo dei piani 

X ~y cot a — ^ 

eie una costante e n il pan 
sn a —(_>> + ^) cos a^ = 4^{. 
. L' inviluppo delle sfere dì r; 
olo x^ -Y y ^r^ è il toro 

4- / + ì* + '■' — R')' = 4r'|*' -1 

ova esprimere le coordinate di 
. L' inviluppo dei pjanj distane 
. quantità r è la sfera x' +_>■' - 
. L' inviluppo delle superficie 

xyi — 

: V inviluppo degli ellissoidi i 
;tessa direzione e pei quali la . 

J_ 2- J_ J_ 
è x'-' +^* + l ' =Lk'^ , avei 
assi coordinati. 
. L' inviluppo degli ellissoidi 

sziqne degli assi, e lo stesso v 

'. L'invilupfK) dei piani norma 
: Aif è la superficie X« cos -| + 



I. La superfìcie inviluppo delle 

i^x-af + iy- 

il cui centro si muove sopra i 



125 
». Si trovi la equazione a derivate parziali cui 
soddisfanno tutte le superlìcìe tubo. 

(Si troveranno delle equazioni, dalle quali prima si ricaverà la 
equazione 

dove con p, q,... intendiamo — ^ , ~i" ^ P°' ^^ questa si avrà 



c^i^rt — s^)-c\'\ +^' + ?'[(' -Vp^)t—Zpqs + {\ + ?>] 

+ (1 +^' + jY = 0, 

la quale, non contenendo a, cp(«), 'l>(a), è la richiesta equazione a de- 
rivate parziali. Qual conseguenza se ne trae per i raggi di curvatura 
nrin.;ipali nelIc superficie tubo ?), 



II, Integrali 



Alcuni teoremi sugli 

51. Riprendiamo ora lo studio degli integrali definiti, che ab- | 
biamo cominciato nei n. 185 a 198 de! voi I, mantenendo le stesse I 
notazioni allora adoperate. 

Dalla definizione stessa di integrale definito si ricava, senz'altro, 



[c««)& = e !>,)<&, 



dove C è UD3 costante. 

Se e indica un numero compreso tra n e 3 abbiamo 



j}(«i& = j>w* + ^x)d.. 



giacché la divisione dell' intervallo {a ,b) in parti può farsi in guisa 
che un punto di divisione coincida sempre con e. 
Dalla formola precedente si ha 

e * ^ ^ ( 

!>(,)& = lfi,.y. - |/(,)i, = j>«)<fc + jfl,-]d., 

a à è a b 

e, poiché il punto b é fuori dell'intervallo {a, e), possiamo asserire 
che la formola (1) vale ancora se il punto e é fuori dell' intervallo 
{a , *), supponendo però che la f(x) sia data e sia integrabile anche 
nell'intervallo che dobbiamo considerare fuori di (1,^), 

Si ha poi evidentemente ancora, sotto analoghe condizioni, anche se 
i punti Cx,Ct,. .Cn, alcuni o tutti, non appartengono all'intervallo {a,b). 



127 

52. La somma algebrica di un numero finito di funzioni integra- 
bili in un certo intervallo è pure integrabile^ e V integrale della somma 
€ uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni. 

Infatti, se 

^{x) = f,{x) dzf,{x) db . . . dcfnlx), 

e indichiamo con S^ la somma S relativa alla funzione :p{x% con S^ 
quella relativa alla funzione fr(x\ la formola 

Oq ^^ Oj it Oj Ilt . , It o„ 

dimostra il teorema. 

53. // prodotto di un numero finito di fattori integrabili è in- 
tegrabile. 

Cominciamo dal dimostrare il teorema pel prodotto ^{x)^=fi{x)fyx) 
di due fattori. Formiamo per la funzione ^(x) la somma D=:S/?,D„ 
e indichiamo con L', , L", i limiti superiori, con l\ , /", i limiti infe- 
riori e con D', , D''^ le oscillazioni delle funzioni fi{x\ f^{x) nell' in- 
tervallo h^ e poniamo D'=rS/f,D',. D''=:S/r,D'V 

Se si suppongono le fi(x\ f^(x) sempre positive in tutto l'inter- 
vallo d' integrazione,- avremo D, ^ L', L*, — /', l"^ ossia 

D. ^ L'.(L". - /',) + r,(L; - /',), D, ^ l\ D\ + r.D'., 

e quindi indicando con K un numero maggiore dei limiti superiori 
^^ f\{x) e ft{x) in tutto V intervallo d'integrazione, D, < K(D'', + D'J, 
da cui ricaviamo D< K(D"4- D'), la quale, ricordando che per ipo- 
tesi D',D" hanno per limite zero al decrescere delle A,, dimostra il 
teorema. 

Se le fi{x\ ft{x) non sono sempre positive nell' intervallo di 
integrazione, prendiamo due costanti Cj , C„ tali che le somme 
Ci+/i(*), C, +ft(x) siano sempre positive in detto intervallo. Allora 
il prodotto [Cx -h/iW] [Cj +/«(Ar)] è integrabile, e la formola 

^x) = [C, + Ux)] [C, +Ux)\ - C/.(^) - CAM - C,C„ 

nella quale i termini del secondo membro sono tutti integrabili, di- 
mostra che è integrabile la funzione ^{x). 

Dimostrato così il teorema pel prodotto di due fattori, si estende, 
senz'altro, al prodotto di un numero finito di fattori. 



54- Se la funzione f(x) è iniigr 
Urvatlo di itjtegra^ione numericami 

certa quantità assegnabile, la sua in 

Supponiamo primieramente \^/(xì sempre positiva nell'intevallo di 
integrazione. Allora se L,,/, sono i limiti superiore e inferiore dij^x) in 

/;., si riconosce facilmente che -j- , -j— sono i limiti superiore e io- 

1 



indicando con K un numero minore del limite inferiore di /(r) Del- 
l' intervallo di integrazione, dei quali numeri, per le ipotesi dell'enun- 
ciato del teorema, ve ne è una infinità. 
Dall'ultima formola si ricava 



che dimostra il teorema. 

Se poi /{x) fosse negativa o cambiasse segno nell'interv'allo di 
integrazione (ciò che può avvenire senza che la funzione passi per 
lo zero, giacché può essere discontinua) allora sì osservi che 

/W Tw" Wi" 

e, poiché è integrabile e così pure il prodotto \f{x) + 11 , , 

A'ì A') ■ 

vediamo che è pure integrabile -^ry . 

Da questo teorema e da quello al numero 53, osservando che 
/i(*) "77 — I ricaviamo subito che 



/.w _ 

Se le funzioni f,(x), f,(x) sono integrabili, e la seconda si man- 
tiene nell'intervallo di integrazione numericamente discosta da f -i 

f (x) 
più di una certa quantità assegnabile, il quoziente ■■ è pure t- 



f,(>!) 



tigrahile. 



129 

55« Dal teorema al n. 53 risulta che la potenza «esima^ ^^ intero 
positivo, di una funzione integrabile, è pure una funzione integrabile. 
Relativamente alle potenze frazionarie di funzioni integrabili possiamo 
dimostrare il teorema: 

Se f(x) è integrabile in un intervallo^ dove si mantiene sempre pò- 

sitiva e discosta da {ero più di una quantità assegnabile ^ è pure in- 

1 

iegr abile nello stesso intervallo [f(x)] " , essendo n intero positivo. 

Invero se L, , /, indicano i limiti superiore ed inferiore di f{x) 

1 1» 
in un tratto h^ dell'intervallo di integrazione (^,è), L,«,/^« saranno 

nello steso tratto i limiti superiore ed inferiore Q) di {f{x)\ « . Ora è 

J. i. » -1 n ~i 

T> ,T_ (L.''-/.")(L. " +/. " ) 

L « 4- / « 

1 1 n— 2 n— 2 



L,-/, . L,« /,«(/. « -L, « ) 



-h 



« — 1 n — 1 n — 1 n — 1 

e, il secondo termine dell' ultimo membro essendo negativo o nullo, 
avremo 

^ ^ L —/ 



dalla quale, indicando / il limite inferiore à\f{x) in {a , i), ricaviamo 

i 1 L --/ 

^' '« ^ n-_l ' 

2/ « 



(*) Se L è il limite superiore di una quantità positiva y, essendo y ^l-, 

11 - - . 

vm no yn ^L^ ; inoltre, assegnato o, prendendo Oj = L — (L« — o)'*, vi sarà 

1 il 

un ^ «lore yy di y tale che risulterà ;rj>L — Oi = (L« — a)*, da cui ^j « > L» — o, 

cosi ^è L« é il limite superiore dì y», 

9 



130 

ed in conseguenza 



SiL,"- /,")*.<- 



la qual formola, colle solite considt 

A questo teorema, pei caso « =; 2, abbiamo accennato nella nota 
prima a pag. 48. 

56. In qualunque parte, anche comunque piccola, di un inUrralli 
nel quale una funzione è integrabile, vi sono punii net quali quisi 
i continua. 

Sia {a,b) una parte dell'intervallo nel quale si suppone /^a:) ìd 
tegrabile. In {a , by essendo f{x) integrabile, prese due quantità qua 
lunque positive i ed s < é — a, noi sappiamo che esiste una scompo 
sizione di (0 ,b) in tratti tali, che la somma dì quelli nei quali l'oscil 

s 
kzione della funzione supera — è minore di e: in uno almeno dt 

tratti di {<i, è), che chiameremo {ai,b^), l'oscillazione Dj della /(a:) sarà 

perciò ^ -^ 1 e ciò avvenendo in qualunque altro tratto contenuto 

In questo, potremo supporre a-^ "^a, b^ < h, A, — a, < — - — . Ope- 
rando in modo analogo per l' intervallo (a^ , è,) troveremo un tratto 



i, < *i , i, — a, < — ^ — . E così via procedendo troveremo un tratto 
(OniM "^1 quale l'oscillazione Db di _/(^) è ^ — essendo i?„>4i,_ 

i, < bn—i, b„ — a„< — —^ — , e tal processo può continuare quanto 

vuole. E noto allora che i numeri <i , £), 1 "« ■ - ■ > e i numeri ^ , ^i , b^, 
ammettono un limite comune e. Dico che la f(x) è continua " 
punto e. 

Invero, assegnato e, potremo prendere n cosi grande che ri& 
e 
— < 0, cosichè nei tratto (a„ , A,), nel cui intemo- è il punto e, 



I*.'. X"*,' 



131 

oscillazione Dn di f{x) sia <a. Se a: indica un punto qualunque di 
(^n,^fi) avremo allora 

I /{*) -Ac) I :^ D„ < a, 

che prova il nostro asserto. 

57. Data la funzione f(x) finita e integrabile in (a , b) conside- 



n 



n' 



riamo le somme 2A,^„ ^h\y\ relative alla divisione dell'intervallo 

1 1 

(a , i) in n parti /r,, in n parti h\ e ai valori ^, ^y\ compresi tra il 
limite inferiore e il superiore (questi inclusi) di f(x) rispettivamente 
in h^ , h\y e siano D, , D', le oscillazioni di f{x) in A„ h\. Indichiamo 
con k^ le parti nelle quali (a ^b) è diviso dalle due scomposizioni 
precedenti, p il loro numero, y"^ un valore qualunque compreso tra 
il limite superiore e l'inferiore (questi inclusi) di f(x) in k^^ e D", 
la oscillazione di f{x) in k^. Avremo, in generale, 

e potremo scrivere 

ed in conseguenza 

Ìh,y, = Ìk,f, + A. 

dove A è la somma di tutte le somme 

■ 

relative agli intervalli A,, e, poiché queste non possono numerica- 
mente superare 

l*a+iD.-+-*«+2D, + ... + V3DJ cioè \hj)\, 

risrlterà |A|^|SA,DJ. 

In modo analogo avremo 

SA'.y. ri. 1*./, + B dove |B|-^|iV,DM, 









•'/^ 



.*3 



l 



e quindi 

(1) ' \h,j>,-h%y,\ = \A.-] 

Osserviamo ora che 

|*,D,|à|*,+,DVi + *.+>D 
cosichè 

|Ì*.D,| à i; 

Inoltre, poiché i termini della somma Sh'.D't che non compari- 
scono in SiiiD", sono quelli soli che corrispondono a intervalli h', 

nei quali cade qualche punto della divisione di (a , è) nelle parti 4, 
e questi termini sono al più in numero di n, e ciascuno di essi non 
supera d'Df,, dove d' è il massimo dei numeri \h',\, e D, è la oscil- 
lazione di y(;t) in tutto (a, A), avremo |SA',D',| ^ |^i,D',| -HmJD„ 
e quindi ancora 

]Ì;A',D',| ^ |2A,D,| + «rf-D^ 
in virtù della quale la (1) diviene 

\ìh.y, - 2A'.y.| ^ 2 |2À,D,| + n<f D,. 

Supponiamo ora la scomposizione di (a , />) nelle parti 
che risulti 

U:y\-jf[x)dx <a, ■ 

essendo a un numero positivo prefissato comunque piccolo \ j 
allora 

\h,y. ~ f/(x)dx ^ 2 I ìh,D. I -h w(f D, + o, 



133 

e. poiché possiamo prendere d' e o piccoli come si vuole, dovrà 
essere 

b 



^^s^s —jf(x)dx 



^2 



1 



la qual formola ci dice che, la somma 2]hsy» è un valore approssi- 

b 

maio dell' integrale /f(x)dx, con un errore per eccesso o per difetto 



n 



non superiore al doppio della somma \ Sh, D, 



; 1 



Applicando l' ultima formola alla parte {a ^ a -\~ h^ -\- h^ -\- .,. -^ A,) 
dì intervallo {a , b) si ha formola 



\\ 



(2) 



«+2A« 






^2 



SA,Ds 

1 



58. Se la funzione f{x) integrabile in {a , b\ ove non è zero, ha 
selli pre lo stesso segno, cioè f{x) ^ 0, oppure f(x) ^ 0, è chiaro, in 
seguito alla definizione stessa di integrale definito, che sarà 

b b 

I f(x)dx ^ oppure l/{x)dx ^0 se tf < ^, 



l/(x)dx ^0 oppure /(x)dx^O se a^ b. 

a a 

Se, quindi, f{x\ ^{x) sono integrabili ed è f[x) ^ cp(;r), avremo 

b b b 

j[Ax)-^(x)]àx=jf{x)dx^ [^{x)dx^O 



a 



cioè 



l/(x)dx^ L{x)dx 



se a<Cby 



jf{x)dx^ /ì 



.{x)dx 



Se ?(«), ove è diversa da zero, ha sempre lo stesso segno e 
m,M sono il limite inferiore e il superiore di /{j-) in {a,ò), il pro- 
dotto /(x) 7(x) sarà sempre compreso Ira le quantità m<f{x), M¥(x) o 

h 

uguale ad una di esse, cosichè i f{xy-({x)dx sarà sempre compreso tra 

b b 

le quantità m i~{x)dx, Mif{x)dx o uguale ad una di esse, e p 

avremo 
(1) ì/[xy,ix)dx = k j-iix)dx dove m^k^M. 

In particolare, se f(x)= t, 

j/{x)dx = k{b - a) dove m^i^H. 
Se /(x) è continua in (a,ò) possiamo scrivere 

ff{x] ^{x)dx = f[a + H{ò ~ a)] j^ix)dx, ^ 8 ^ 1, 

j/(x)dx=/[a + Hb-a)]il>-^,, O^e^i. 

La formola (1) costituisce un teorema che suole chiamarsi j 
teorema della media ; e si intende, senz' altro, la ragione di e 
denominazione. 



59. Se la f(x), integrabile in (a,b), nti punti ove è diver 

{ero ha sempre lo stesso segno, ed inoltre esiste in (a , b) un i 



135 

vailo (a, , bi) nel quale f(x) si mantiene discosta da ^ero più di una 

b 

quantità assegnabile^ V integrale lf(;c)dx è diverso da \ero. 



a b b 

Infatti, gli integrali lf{x)dx^ if{x)dx^ //(ATj^iAfosono zero od hanno 
lo stesso segno, e d'altra parte f/{x)dx non può essere zero, perchè 



•^1 



se in (ji , bi) è \/(x)\ > s, sarà 

IS h,y,\ =I,K\jf,\> £(*! — a,) 



e quindi ancora 



^ 



|/(^)rf*j>6(*,-^0- 



^1 



Abbianìo inoltre: 

Se la f(xj, integrabile in (a , b), non è ivi sempre nulla, e nei 
punti ove è diversa da {ero mantiene lo stesso segno, ed in uno al- 



meno 



di questi punti è continua^ allora /f(x)dx è diverso da {ero. 



Invero, se ;r, indica uno di questi punti, esisterà un intorno di 
*, per tutti i punti del quale \f(x) | ^ -^^^^^ (Vedi n. 57, voi. 1), 

b 

e quindi, pel teorema precedente lf(x)dx sarà diverso da zero. 



a 



6o. Una funzione f(x), integrabile in (a,b), e tale che il suo in- 
tegrale esteso a qualunque parte di (a , b) sia nullo, deve annullarsi 
in qualche punto di qualunque parte ^ anche comunque piccola, di (a , b). 

Invero sia (^1,^1) una parte qualunque di {a ,b). Pel teorema 
al I. 56 esiste in (a^ , b^ almeno un punto atj nel quale f{x) è con- 
tini a. Se f{x) in x^ fosse diversa da zero, esisterebbe un intorno e 
di \ nel quale f{x) manterrebbe lo stesso segno di f[x^) e rimarrebbe 



a da zero più dì una 

a e non potrebbe allora essere zero. Deve dunque essere 

:0, ciò che dimostra il teorema. 

\ questo teorema risulta ancora subito che: 

na funzione f(x) continua in (a , b) * H integrale nullo in ogni 

\e di (a , b), è daper tutto nulla in (a , b). 

. Se le Vi ^v^,. . .v„ sono quantità tali che le somme 

tutte comprese tra due quantità a,K, dove ii<A, e se le 
, . . £„ sono quantità positive ed è e, ^ t, ^ Ej ^ , . . ^ e, avremo 



fatti, poiché 

Pj ^= i, , p, ^ j, — j, , 113 ^= Sj — s, , . . ti„ =: Si. — Si,— 1. 

.,p, + ... + t,r, =(s, - E,)s, + (., - e,)j, + ... + (s,_, - ,,)s,-, -h E.i„ 

uesta, sostituendo in luogo delle 5 una volta a, e un' altra A, 
10 la (1). 

ò premesso, siano f{x), '({x) funzioni finite integrabili in (a , b\ 
{x) mai negativa e mai crescente quando la variabile x passa 

b. 

vidiamo l'intervallo (a , b) in parti h, tali che risulti [ ÌSA,D,| ■< =, 

) Q un numero positivo comunque piccolo e D, l' oscillazione 
in h,; indichiamo con /, e ^, i soliti valori di f{x), ?(«) com- 
ra il loro limite superiore e inferiore (questi inclusi) in h^ 
ndo {,=?(«). 
r la formola (2) n. 57 abbiamo 

I '"^¥' i \ 

I f/(V - SA,^. < a, (/= 1 , 2, . . . «), 



\/{x)dx - 7 < ihy, <jf{x)dx + = 



cosichè, indicati con m, M il minimo e massimo valore 



di [/;»)&, 



quando x, limite superiore dell' integrale, assume i valori da >i a ^, 
avremo ancora 

M - a < Ì,h.y, < M + a, (I = 1 , 2, . . . «). 

Ma le <f(<i), ti I ■ • • {" ^^'^'^ quantità positive non crescenti, e 
perciò, applicando al caso nostro la forinola (1), abbiamo 

,W {m - =) < ÌKy.^. < 'iia) (M + .). 

Supponiamo ora ]a divisione di {a , b) nelle parti h, anche tale 
che sia 

I ^ 1 

ossia 

allora avremo 

${«) (m - 2z) <jf{x) ^{,x)dx < f{a) (M + 2=), 
e, poiché a è arbitrariamente piccolo, 
(2) '((a)m ^j/(x)^lx)dx ^ fi^) M, 

j/(xMx)dx = iì(«), m^k^M, 

ov" sro ancora, ricordando che un integrale definito / ^u^lu è fun- 



zione continua di x, abbiamo la f( 



(3) 



j>('>*)*=l(«)j 



Notiamo che, se nel punto a la ?(*■) è discontinua, per le ipo- 
tisì fatte sopra la f(x), in virtù del teorema al n. 25 del primo vo- 
lume di quest* opera, deve esistere il limite per A convergente a zero 
di ^(a •i- h) X a<.b o il limite di <({a — A)sea>i, cosichè la di- 
scontinuità non può essere che di prima specie e le quantità f(a + 0), 
oppure >F(a — 0) hanno certamente significato. Ora nella (3) pos- 
siamo in luogo di ?(a) porre ?(a + 0) o 9(a — 0), giacché se assu- 
miamo T(a + 0), o tf(a — 0), per valore di ^(x) nel punto a, il va- 
lore dell'integrale if{x) ^'(x)dx non cambia (Vedi n. 196 voi, I); co- 



■x}^(x]dx = ^(a + 0) ìf(x)dx , O^e^l ,se a<^ 



(A 



f //(*) '■fW'^ = V'C" — 0) ìf{x)dx , ^ e ^ 1 , se a > *, 

le quali, osservando che se in a vi è continuità per la ^x) è 
'i{x + 0) = ?(a) o ?(a - 0) = ? a), comprendono la (3). 

Se la tf(*) è anche negativa nell' intervallo {a ,bj, ma pero non 
mai crescente quando x varia da u a ^, allora possiamo applicare 
alla funzione f(x) — f{è), mai negativa e non crescente, la forinola 
(4) avendosi cosi 

b a+m-a) 

JAx) {f{x) - ,(*)] dx = [^(a ± 0) - --fib]] JAx)dx 

ossia 

j/ix) v(x)dx=<f{è) lf.x)dx -fii) j'/(x)dx + ^{odzO}j/{x)dx 



139 

b a-i-Qib-a) b 

j/W ^ Wx = ^{a db 0)j/{x)dx 4- :p(*) f/{x)dx, 

a a a-\-^{b—a) 

od anche 

b a+Q(b—a) b 

(5) //■(*) ?(*>*« = <?(" ± 0) //(*)^ + ?(* =F 0) //(*)</*• , ^ 9 ^ 1 , 
d a a-\-^{b—a) 

nella quale dobbiamo prendere i segni superiori se a<Cbf gli infe- 
riori SQ a>b. 

Se la funzione ^{x) è mai decrescente, applichiamo alla funzione 
?(tzpO) — sf(.*), non crescente, la formola (5), ed avremo 

b a-^-^ib—a) 

)/(*Xt(* :p 0) - tW] d!* = [9(* qi 0) - =f(« ± 0)1 j/-(*y,*, 

che, come si riconosce facilmente sviluppando, si riduce alla (5). 

Cosichè abbiamo il teorema, conosciuto col nome di secondo 
teorema della media ^): 

Se {{x)^ cf(x) sono finite e integrabili in (a , b), e c^ (x) è mai cre- 
scente^ è mai decrescente^ quando x varia da sì a b, ha luogo la 
formola (5). 

62. Sia '^(x) finita in (a^b) ed ammetta derivata continua 4*'(*); 
allora, se x ^x + h sono punti di (a , b)^ avremo 

r^[x 4- ^) — ''Ax) = hV(x + e^), < e < 1, 

e, posto 
abbiamo 



*) La formola (2) fu notata dal Bonnet nel voi. 14 del giornale di Liou- 
va nella nota « Remarques sur quelques intógrales définies ». La formola (5) 
è s ta pubblicata nel voi. 69 del giornale di Creile- Ber char di dal Du Bois-Rkymond, 
cu a aveva verbalmente comunicata il Weierstrass, che la aveva trovata e se 
oe ra servito nelle sue lezioni senza pubblicarla. 



140 

d'altra parte, poiché la ^'{x) è coi 
Cantar sulla equicontinuità di una 
voi. I), dato 9, esiste un numero pc 
appartenente ad (a ,b) e per \h\ < '■ 

tenga ad (a, è), è jaj = |(|jV + fih)- 
cora, qualunque sia x e per quei v 

I '' 

la qual formola ci dice che, se una 
titiua in un intervallo, il rapporto i 
vallo, uniformemente verso la deri\ 

indicando x^ un punto qualunque d 

I li 

Ciò premesso, abbiamo, relaliv 
bile di integrazione in un integrale 

Posto X = x(t), sia a = x(a), b = 
valente sempre crescente o sempre di 

continua x'{t), cosi che mentre t sempre crescendo o sempre decrescendo 
passa dal valore a al valore 3, x sempre crescendo o sempre decre- 
scendo passi da a a b una sola volta} allora, se f(x) è finita e inte- 
grabile in (a,b), i f[(x)]x'U)y'«i>'i e integrabile in (a,P) e si ha 



jf(x)dx=/f[xft)]x'(t)dt. 



Invero, assegnato il numero positivo a„ interpoliamo tra a e ? 

t^=^,Ìt,Ìt,...tn-l,t„ = } 

in modo che le ampiezze k delle parti, nelle quali si scompone (» , > , 
siano minori del numero i, pel quale, prendendo |^|<S e qua- 
lunque sia i appartenente ad (^ , 3) e qualunque sia t' apparteaent : 



1 «,/ + *), è 



'"-^^>-'<" -,W|<o 



ovvero 



Allora abbiamo le disuguaglianze 



U~i.~ 



«)y 



dove t',-i indica un qualunque valore di / appartenente a (/,_ , , /,), 
disuguaglianze che valgono qualunque sia la scomposizione di {'^t?) 
in parti, le cui ampiezze siano < 8. 
Consideriamo ora la somma 

doveri indica un valore qualunque compreso tra i limiti inferiore 
e superiore (questi inclusi) dei valori di /[«(/)] nell'intervallo (/,_,, A), 
0, ciò che è Io stesso, un valore compreso tra ì limiti inferiore e 
superiore di f{x) nell'intervallo h,^:x(t,) — x{t,—t), corrispondente 
lU' intervallo (/,_,,/,); e yA'(i\—^ è ancora un valore qualunque 
compreso tra il limite inferiore e il superiore dei valori del pro- 
dotto f[x{t)\ x\i) in (/,_, , t,). 

Le differenze /, — /^-i hanno tutte il segno di ? — a. per ipo- 
tesi; per fissare le idee, supponiamole positive. Allora se_>', è positivo, 
oppure negativo, aumentiamo i! valore dei termini della somma S se 

. ,- ., . V >Ìi')—x{.t'-\) ■ , *. 
in luogo di a (/,-,) poniamo -^ — ■ — ■ -f-o, cioè \- Oj, 

e — 7 — — — o, cioè — 0|, costone avremo 

S < iy. h, + o,S[ ±y,(i, _ /,_,)]; 

Ir^ero, ponendo in luogo di ±y, un numero positivo A maggiore 
; valori assoluti di /[;»(/)] nell'intervallo (",^1), ossia di ^(a;) in {a,b). 



S<SA,^,-I-3,A(?-»); 



I modo analogo si a 

S> 
he 

|S- 
1 ogni caso, cioè sia a > s o sia a < g, si arriverebbe alta for- 

|S-S*.^.|<.,AI?-.!. 

Dato ora a, prendiamo nelle formole precedenti a, ^= 5x7^ 

che 

|S-Sft,>,!<j, 

pponìamo ! anche tale che per \t, — /,_,]< B i corrispondenti 
sultino cosi, che sìa 



\h,y.-jf{x)dx 



a per tutte le scomposizioni dell' intervallo (a, p) in parti di ara- 
ta <! è 

I b I 

limS=|/i«)<&; e, poiché il limite di S è [/■[»(<)] «'((W/, a 

10 in ultimo 

» S 

e volevamo dimostrare. 



143 

Questa formola vale anche se la funzione x(t) ha nelP intervallo 
2 , ^ un numero finito di massimi e di minimi. Invero, questi mas- 
simi o minimi corrispondano ai valori a^ , a, , . . . am di /, dove, sup- 
posto p. e. : a < P, è a <; ttj < ttj < . . . . ttw < 3^ così che negli inter- 
valli (a ^ ttj) , (ttj , a,),... la x{t) è sempre crescente o decrescente : in- 
dicati allora con ai^a^,, . , am i valori di x corrispondenti a quei 
valori di t, avremo, applicando la (I), 



/ 






OL 



a« 



(2) 



l/(x)Jx = jf[x(t)\ x{i)dt. 



3 



jf(x)dx =j/[xii)] x-(t)dt, 



m 



OL 



m 



le quali sommate danno appunto la (1), dove è a notare che alcuni 
tutti i numeri a^ ^a^, ..am potranno essere fuori dell' intervallo 
(j,^); solo dobbiamo supporre allora Isl f(x) data e finita e integra- 
bile per ì valori di x che occorre considerare fuori dell'intervallo (a , b), 

63. Se la f(x) è continua in (a , b) la formola (1) del num. pre- 
cedente si può dimostrare nel modo più semplice seguente. 

Poiché f{x) è continua in {a , b) esisterà una funzione ^(x) tale 
che :f'{x) =fix) in (a , b) (Vedi n. 193 voi. I), cosichè 



' i. 



^i 



^*^ 



r ' ..^1 



>»> 



-••a 






/ 



\f(x)dx = ^(b) — cf (j). 



Poniamo x=x(t) e sia a z=x{'x)^b=zx(?) ; avendosi '?'W/)1^^/[M^)], 
se i suppone x'{f) finita e diversa da zero, avremo ancora 



?'W01 *'(') =/W0] * (f) ossia -*^ =/W/)] *'(0, 



j{/[*(0] *'(')■" = ?W3) 



cambiamento di varis 
effettivo calcolo dell' i 



/ IOr , . -r « ■ 

SEMPio. — Sia 1 = J— — , t <ix', poniamo x=:tgt, cosichè 
do Ma a -—, la X varia da ad 1 ; abbiamo allora 

■I\og sen^ + cos^ ^^ =/ìog(sen / + cos i)di — /log cos / A ; 

andò che 

+ cos^=V2^l sen/H cos A =:Y'2cos(— A , 

no 

I = flog rV2 cos(-^ — t\\ dt — Aog cos tó / 
= logV 2"/^^/ + Aog cos (-^ —i\di— [log cos t dt. 



r 



145 
Poniamo nel secondo integrale dell'ultimo membro 

t=— /i , e allora 

4 

4 





4 


u 




ogV 


Ij4,. 


-/■■ 


^g 







4 




4 









cos tdt=-— log V 2 
4 







-h pog cos /j t//i _ / log cos / J/ = -^ log V 2 == -|- log 2. 



64. Facciamo ora alcune osservazioni degne di nota. 



X 



Ricordiamo che l'integrale ^{x) = 1 /{jy) dy^ essendo x un punto 

a 

qualunque dell' intervallo (a , é), ove la /(jy) si suppone finita e in- 
tegrabile, è una funzione continua di x in {a ^ è), la quale, nei punti 
X ove /(y) è continua, ammette derivata ^'{x) =/(^), e nei punti Xy 
ove /(ji) ha una discontinuità di prima specie, non ammette derivata 
ordinaria ma ammette la derivata a destra e quella a sinistra, che 
indicheremo con ^'a{x% ^',{x)^ ed è ^'aix) =f{x H- 0), ^\{x) =f(x — 0); 
nei punti x ove la /(jf) ha una discontinuità di seconda specie non 
possiamo più asserire subito se la ^{x) ammetta o no derivata, ma 
si conoscono dei casi nei quali si trova che la ammette, come ora 
vedremo. 

Supponiamo ora che la /{/) non abbia discontinuità di seconda 
specie, e sia F(x) una funzione, che, nei punti x ove f(y) è continua, 
ha la sua derivata uguale a /(x)^ e nei punti x ove /(y) ha una di- 
scontinuità non ammetta derivata ordinaria, ma ammetta derivata a 
destra e a sinistra e sia Fa{x) =:/(x -f 0), F',(a:) =^/(x — 0). Allora 



X 



la differenza F{x)—-\f(y)dy ammette derivata ordinaria in ogni punta 

a 

<JJ ( j^) e questa è sempre zero, cosichè 

X 

■% 

Y{x)-'ìf{y)dy = C (C costante), 



(1 



IO 



146 

dalla quale, per x = a, si ha ¥(a) = C, e quindi 

X 

(1) jf[j>)dy=F(x)-Fia}. 



a 



Cosi che, se la funzione f{^) è integrabile e non ha disconti- 
nuità di seconda specie, e si trovasse una funzione ¥(x) soddisfa- 
cente alle precedenti condizioni, la formola (1) ci permetterebbe di 

calcolare subito il valore dell' integrale definito ìf(y)dy. Così se f(j) 



a 



è funzione continua, e coi metodi dati nella parte VII del primo volume 

si riesce a trovare V integrale indefinito / f(x) dx = ^(x\ la formola 

(1) ci darebbe subito il valore dell'integrale definito, o, come suol 
dirsi, servirebbe al passaggio dall' integrale indefinito al definito. Ad 

esempio, poiché è isen x dxz= — cos x, si ricava subito 



2L 

2 

sen xdx=: — cos — -f cos 0=1; poiché è / — = log a: per x di- 



verso da zero, e — è continua neir intervallo (1, 2), si ha 



/ 



X 



2 

^dx 



f~^ = ìog2-\og\=ìog'2. 



Se una funzione ^(x) ammette derivata continua ^\x) in tutto 
l' intervallo {a , ^), questa sarà integrabile ed avremo 



X 



{2} :f(x) - ^(a) = l<f'(j>) dj>. 

a 

Ma se supponiamo che la cp'(;r) presenti delle discontinuità, alien 
non sappiamo se abbia luogo la formola (2), anzi si presentano spon- 
taneamente queste due domande: Sarà ancora la cp'(x) integrabile in 
(a , A), e se lo è, avrà luogo ancora la formola (2) ? Senza entrare in 



147 

proposito in particolari, che non possono trovare luogo in un libro 
elementare, mi limiterò ad accennare che alla prima domanda è stato 
risposto negativamente, cioè vi sono delle funzioni le cui derivate non 
sono integrabili^ ed il prof. Volterra ha dato esempi di tali fun- 
zioni ^). Per queste funzioni sarebbe sempre vero che h'(x)dx=^(x)-\-Cy 

ove si intenda con ìf{x)dx quella funzione che derivata dà f(x), ma 



non 



avrebbe significato V integrale W(y)dyy definito come limite della 



a 



solita somma S. Alla seconda domanda rispose affermativamente il 
prof. DiNi *), cioè se la qp'(x) è integrabile ha luogo sempre la for- 



X 



mola (2), dalla quale risulta cosi che P integrale / ^'{y)dy ammette 

* 

a 

sempre derivata e questa è ^'(x) anche nei punti ove ^\x) è discon- 
tinua, notando che le discontinuità della ^\x) non possono essere 
altro che di seconda specie (Vedi Voi. I, esercizio 4, a pag. 108); 
ciò prova quanto avevamo più sopra asserito. 



Esercizi. 

1. Si dimostri che se f(x) è finita e integrabile in (a , ^) lo è 
pure \f{x)\. 

1 

2. 



L^ e^^dx=-- [1 -f- e(^ — 1)], ^ e ^ 1. 



3 



. ■ ■ .■ h 



M' 












% 



u 



e, 



O^Bj^l 



' «Sui principi del calcolo integrale», Voi. 19** del Giornale di matema- 
tiche di Battaglini. 

' « Fondameat: per la teorica delle funzioni di variabili reali » . pag. 280, 
nmn« -o 191). 



148 
3. Osservando che la derivata, ra 

— /(* + A - /) - //'(* + h-i] 
I.2..(«-l)^ 



/'■"{x + k — /), si provi che il resto dello sviluppo 



1.2..(«-1)^ 
del Taylor per la funzione /(x + h) è uguale a 



1.2. .(,_.) .!'-/-<»+*- 'w 

e si ricavi da questa forma del resto quella di Lagrai 

-— /("'(x + e/j) dove < e < 1 ') ammesso che /!«'(« 

sia continua pei valori di / da ad h. 



I — (s, scriva / = / 

./ 1 -i- cos'* 4 ^ ,' .' 



+ / e nell' ultimo 



5. /— — =-log(l + V2). 

/ Vl+cos«* •* 

tì. //(sen 2x) cos xiix= //(cos* x) cos * dx, dove y^sen 2x1 ii 

funzione qualunque di sen2j: integrabile in (0, "^ìilsi coi 

'] Arrivando in questo moia alla formi del r«to di Lagrang 
propriamente O^S^l, ma noi sappiamo, d'altri parte, che 8 t v 
propria frazione. 



r^ 



*%'i 



149 



'<* 



dimostrare che 



T 



T 



//(sen 2^)cos xdxzn //(sen 2x) (sen x -f- cos at^jit]. 







71 



2 



Ad es. / \/sen 2^? cos xdx= ì cos* ;t ^^ir = — , 














I. 



) V ^ 



Integrali definiti pei quali la funzione integranda non si man- 
tiene finita nell' intervallo di integrazione, e integrali defi- 
niti con limiti infiniti. 

65. Nella definizione che abbiamo data di integrale definito, e 
nelle successive considerazioni intorno ai medesimi, abbiamo sup- 
posto che i valori della funzione integranda f(x) fossero compresi, 
nell' intervallo (a , b) di integrazione, tra due numeri finiti w, M, 
cioè che f{x) si mantenesse finita. Supponiamo ora che ciò non 
avvenga, e non avvenga perchè esistano nelP intervallo {a , b) dei 
punti a (che possano anche coincidere cogli estremi dell' intervallo) 
in numero finito, tali che, dato un numero comunque grande e po- 
sitivo A, esista un corrispondente intomo di a (alla destra o alla 
sinistra o alle due parti) per tutti i punti x del quale (a escluso) sia 
|/(Ar)|>A (infinito propriamente detto); od anche perchè, pur non 
esistendo un intorno di a per tutti i punti x del quale sia sempre 
\f(x)\ > A, in qualunque intorno, anche comunque piccolo, di a vi 
siano dei punti x pei quali sia \f(x)\ > A. Supponiamo inoltre che 
nello parti di (a^b) cui non appartengono, come punti interni o come 
estr(mi, dei punti a, per averli asportati da (a^b) mediante intorni 
cominque piccoli, la /(a;) sia integrabile. Questi punti a li chiame- 
rem , tanto nel primo caso, come nel secondo, punti di infinito. 



■■A 

'A 

•• ; r», 



Per esempio, la funzione ha un infinito propriamente detto 

nel punto zero. La funzione f{x) ^= — sen — non ha un infinito prò- i 
prìo nel punto zero, perchè nei punti x del gruppo, che o\ j 

da — =: k-^ attribuendo a k ogni valore intero e di cui cade 
mero intìnito io ogni intomo del punto zero, abbiamo J 
mentre, d' altra parte, nei punti del grappo analogo — = 
{% numero qualunque) e dei quali cade pure un numero io 
ogni intorno del punto zero è |/(*)| = |(a + ii)sen!(l, e, assi 
numero A positivo comunque grande, osservando che 

|(« + i>t)sen «1 ^ 1*1 ^ |sen ^\ - |asen a(, \ 

A + |iseni, i 



dove già supponiamo |*1 > |i|, basta prendere \k\ > - 

perchè risulti l/f*)|>A. [Vedi (n. 17, es. 2) voi. I]. Questa fini- j 
zione, tolto con un intorno comunque piccolo il punto zero 
intervallo che lo contenga, è negli intervalli rimanenti coni 
quindi integrabile. ! 

Ciò posto, se "i , «i . - - a„ indicano i punti a, che si ino 
procedendo da a verso b, ha un significato completamente di 
nato la somma 

*i-'i fr^t ,"3-'3 fc 

(I ) \f{x) dx ^jfix) dx ^ j/ix) dx + .,. +j/(x) dx, 

dove le t, t' si suppongono tutte positive o tutte negative secondocM ' 
a<ò, oppure a>^, e tali che negli intervalli di integrazione rela- 
tivi ai singoli termini non cada alcun punto a. e detta somm; 
tiene un significato per quanto piccole si fissino le s, e'; e m 
ancora, quantunque sia superfluo, che se il punto a, coincide 
o il punto Un con b, mancheranno il primo, o l'ultimo integrai' 
somma (I). 

Ora se la somma (I) ha un limite determinato e finito q 
tutte le I, •', indipendentemente tra loro, convergono a zero, 

limite si definisce come j/(x)dx, e si dice allora che in /{x} i 



■ ;i-Ts;j 



151 

gratile in {a , b). Ed affinchè questo succeda basta che ciascun ter- 
mine della (I) abbia limite determinato e finito, e, poiché le e, e' 
devono farsi convergere a zero indipendentemente tra loro, ciò è 
anche necessario. 

Sia, per fissare le idee, ^2 < ^ ; e siano a^^a^.. , a^—^ dei punti 
compresi rispettivamente tra ai e a^, tra «j e «3 , . . . tra a„_i e a^. 
La somma (1) può scriversi così 



a,-6, 



il 



aj-Sj 



\f{x) dx + jf{x) dx-h /(x) dx-h... 



aj-Es 



a» 



+ l/{x}dx-hff(x)dx-i-...-^ If{x)dx, 

ag-fS s a„+6 n 



'*-! 



ed aftinché essa abbia limite finito, quando le e convergono a zero^ 

as-Sjr a, 

bisogna che lo abbiano i suoi termini //(a:) ^*',//(;if)^/;c. Ora affinché 

per Sv convergente a zero il primo di questi integrali abbia limite fi- 
nito, fa bisogno e basta (Vedi Voi. I, n. 26) che, dato a, esista un 
intorno di a,, alla sinistra, per tutti i punti a, — 8,., a, — 5', del quale 
(x, escluso) sia 

f/(x) dx - jfix) dx 



<°, 



•*-l 



^'t-l 



ovvero, supposto 5, < 8'* e poiché allora 



Oif 



-^o 



a,-5. 



OLs - 8s 



jf(x)dx-j'/(x)dx = j/(x)dx, 



sia 



'*— 1 



OLf'Cf 



//(*) dx 



<o; 



A i; 






•ti 



^*^. 
-r^^ 



# .' 



♦ »~ 






brache lim 1 /(x)dx ^= quando i limiti dell'integrale 

, — 4. tendono ad «.. 

igamente si proverebbe che, affinchè ìf{x)dx abbia limile 

E, convergente a zero, fa bisogno e basta che sia 
r^O, intendendo il limite preso in modo analogo al pre 

^osi che, chiamando integrali singolari definiti, relativi al 

«,-S. a.-i-e', 
infinito a,, gli integrali jf/(*)i/*./_/(«)<i«, dove B, , ì', sono 
a,-ì'. a.-rì, 

s, < !',, notando che se a, è uno degli estremi a ,h dd- 
o si ha per esso uno solo di questi integrali singolari, sì 

che; la condizione necessaria e sufficiente affinchè h i(i) 
jbile in (a , b) è che gli integrali singolari relativi ai punti 
' a. abbiano per limite {ero, quando i limiti di essi integrai: 
d ■x.. 



= lim [are sen(l — t) — are sen ()] — — . 



15:^ 



-8 



-S 



8 



3) Poiché lim f— = lim / ^ ""^ = lim I 



X 



—a 



a 



= lira(log 8 — log a) = — X , lim I - = 

S=0.' X 



= 00 



e, dietro la definizione^ dovrebbe essere 

a -8 ci 



fdx ,. idx .. idx 
I — =: lim / h lini / — , 

./ X 6=0j X s=oJ X 



—a 



si vede che la funzione — non è integrabile in qualunque intervallo 
cui appartenga il punto zero. 

Jt X 

4) /log xdx:=^ lim /log xdx^=i lim |*(log ;if — 1) — «(log e — 1)[ 

(I e 

•=zx{^OgX — 1). 

5) La funzione - — sen — , coli' avvicinarsi di at a zero, senza che 

\lx^ "^ 

abbia per limite V infinito, prende anche valori numericamente mag- 
giori di qualunque numero positivo assegnato. Quindi il punto zero 
è per la nostra funzione un punto d'infinito^ nel senso che noi gli 
abbiamo attribuito. Ora i due integrali singolari - relativi a questo 
punto hanno per limite zero, perchè abbiamo 



'l 



j^ 

-W** 



1 ^ j 

sen — ax 

X 






-« 



1 

sen — 

X 



r 1 



3 



dx<l -^—dx=s{\/^j-yòi 



e' 



/ 



3 



1 1 ^ 

— sen — ax 



i V'* 



<3(Ve'-Y«), 



e jrciò la funzione -^ — sen — è integrabile anche in inter\-alli cui 
ap artenga il punto zero. 



154 

66. Il teorema » 
zione, che diviene in 
vallo, sia integrabile 

che compariscono nella formola di definizione per P integrale defi- 
nito o di ricorrere agli integrali definiti singolari : 

Se la Jun^ione f(x) diviene infinita per x ^ b, id è finita e in- 
tegrabile nelt intervallo (a, b — e) per quanto piccolo sia e, e doci 
a < b, essa sarà integrabile in (a , b) se esisterà un intorno di b alla 
sinistra, per tutti i punii x del quale (b escluso) uno dei prodotti 
flxKb-x):- , f(x^{b-x)[log(b-x)]'-^ 
f(x)(b - x) log{b - X) [log ]log(b ~ x)|l'+^ ..... 
dove \i è un numero positivo qualunque e nel primo prodotto minore 
dell' unità, si mantenga numericamente minore di un certo numen' 
positivo k [in particolare se f(x) nel punto b diviene infinita di or- 
dine uguale o minore a quello di una delle /unzioni 
1 1 1 



(b-x)!' ' (b-x)[log(b^x)]i+!^ ' (b-x) log(b-x)nog|Iog(b-x)lli+l> 
quando x converge a b ')]; e la f(x) non sarà integrabile in (a. 



1, Vedi Voi. I, n. 36, :)7. 

Colla regola di I' Hospital rìpetutaineote adoperala, oppure osservando che 

( log.^'"i _ dogx)"! .]ogxi''\ 



L' ' i.-.i 

, , n sono nuntdrì posiiivi. Da db apparisce 
che, se n, , «^ . . . sono positivi, sarà ancora 

,.^ , log log, 1-. ^ ^,^, log log log.,-, ^^__^ 

^t=« iiogxi-i (iogiog*r= 

cosicht avremo, quando i fattori nel numeratore sono in numero tìnito, 
ilog x"i .'log log.i: "t ilog log log .iF-i.., 

— li r ''og't'"i+' iloglogxi-rt-' .logloglogx)"j-!-i 1 



r^ 



^-.r*vi-y -- 



.-.;'■>. "■vir''i Ij'rii} 



155 



5^ /// detto intorno la f(x) mantiene lo stesso segno, ed uno dei 
prodotti 

f(x) (b-x) , f(x) (b-x) log(b-x) , f(x) (b-x) log(b-x) log|log(b-x)|,... 

si mantiene numericamente maggiore di un certo numero positivo k 
(in particolare se la f(x) diviene in b infinita di ordine uguale o su- 
periore a quello di una delle funzioni 



1 



1 



1 



og{b ~ x)| '"••) • 



b — X ' (b — x) log(b — x) Mb — x) log(b — x) logilog(b — x)| 

La prima parte del teorema si dimostra subito osservando che, 

per le ipotesi fatte, l' integrale definito singolare jflxjdx è numeri- 



camente minore di uno degli integrali 



b-i' 



r dx 



b—l' 



t-5 
} (b - X) [log(* - X, 



»-8 



*l 



)-ll+ll ' 



dx 



(b - X) log(A - *) [log |log(* - *)|]i+I» '• 
b-V 






; Vie 



i quali sono rispettivamente uguali a 



1— Il 



(5'1-Ii — 51-1^), 



Ponendo poi ^ rr: - — , abbiamo 
Hm/* iXogyf^ì (Iog|log^|)'*2 (log log llogyl)'»:* . . 



lim (— ì ini llog ^^' (^og ^Qg ^)^ (^og ^og ^og Jg) ^ • ■ • _. (, 



e quindi 



lim (ft — jcr [log(& ~ x)Y\ [log |log(t - ;c)| ]»«... =rr 0, 



ce che le funzioni 



1 



l& — X)«[l0g(& — Xl]»»! [log |l0g(& — X |1»»2... 

di mgono infinite nel punto h. 



\% 



-c-dogs'hH— lOogii 

i-8' 

l/{x)dx = tì, e li/{x)è ini 
j-s- 
onda parte del teorema si < 

ica un punto appartenente 
nunciato del teorema, e chi 
no degli integiali 

lib-x)ìog{è-x) ' *J(* - x) \og{b - x) log I \og(b - ,r|, ' 

IO rispettivamente uguali a 

(f>-c)- log .], i[log log(À - - log log =1 , . . . 

im j/(x) ife := ± 00, ed essendo perciò ancora 

f— s 
lim //(*j if* ^ ± 00 , 

n è integrabile nell' intervallo (a , Ò). 
Esempi 



funzione — ■ — diviene intinita di ordii 

V(i-«')(i-*V) 



,2+1 ^'vtl-*') (!-*'») V2(l-*')' 



157 
lim [/y ± x^^~==== = |/p^— j^ , 

e quindi è integrabile in intervalli cui appartengono anche i punti 

1, — l,-r> j' Cosi pure è integrabile in qualunque intervallo, 

cui appartengono i punti a^ *, Cy... là funzione 



y{x^a){x — b)(x-^c) 



sottointendendo, per funzioni come queste, di considerare valori di 
X pei quali esse sono reali. 
2) La funzione logsen^i^ diviene infinita nel punto zero, e l'ordine 
del suo infinito è minore di qualunque numero positivo *), giacché, 
se {i>0, 

(sen X \ 

log h log ;t ) = 0, 
X / 

e noi possiamo supporre anche fi<l. Qpindi essa è integrabile in 
ogni intervallo cui appartenga anche il punto * zero, ed ha perciò 



significato P integrale /log sen x dx. 





:^) Non sono integrabili, in un intervallo cui appartenga il punto 

a, le funzioni , perchè esistono intorni alla destra 

X — a sen(;i: — a) 

e alla sinistra del punto a nei quali esse mantengono lo stesso segno, 

e divengono in a infinite di primo ordine. 

4) La funzione ^ r-» àove supporremo «>1, diviene infi- 

sen ^(log at)** 

nita nel punto uno^ come è chiaro, e nel punto {ero perchè 

[sen X ~\ 
«(log x)'' = 0. 
X J 



*ì L'ordine di iafìnito delle funzioni logx, log sen x, log tg x,... e simili, 
p T jc convergente a zero, è minore di qualunque numero positivo, senza essere 
z< >; quindi è una grandezza non rappresentabile nel comune campo dei 
n neri. 



la pel punto ^ero abbiar 

1=0 sen *(Iog *)" 
endo [1 positivo e < « - 



i la nostra funzione è in 
tenga anche il punto ^er 

on possiamo applicare al] 

ivengono infinite nel pu 
parte di esso non ci de 

lilità, e la seconda non | 
zero esse subiscono cor 

ido che la prima funzioi 
OS — , per X diverso di 



ichè il limite non esiste, 

intervallo cui apparten. 
■ne è integrabile perchè 



7)^ 



7. Vediamo ora se e e 
ni, che abbiamo preced 
izione integranda /{*) fo 
abile, divenga infinita in 
dì integrazione {a , b), s 



r 



159 



Posto ^{x)=z lf(x)dxy è facile vedere che la <:f(x) è anche con- 

» 

a 

tinua nei punti di infinito della /(x). Sia x un tal punto, e e indichi 
lin punto qualunque tra ^i e .;r tale che tra e e x non. vi sia alcun 



)' 



infinito di /(;»:). Allora, posto j/{x) dx = ^(j;)^ abbiamo 



x-h 



{p(;r) =l/(x) dx -i-ì/(x) dx = <?(c) -f- lim i/ix) dx = ^(c) -^ lim ^x — h) 

J J fl=SìJ /*=o 

a e e 

= lira \^i(d) -{- ^{x — A)] = lim ^{x — //), 

la quale ci dice che la ^(x) è contìnua nel punto x a sinistra. 
Inoltre abbiamo 

x—h' x-\-h x-\-h 

^{x 'hh)=z lim [/{x) dx -h lim f/(x) dx = ^{x) -h Hm / /(x) dx , 

a x+h' x-^h' 

dove è supposto h'<Ch, cosichè, assegnato o, esiste un intorno c^ 
alia destra di x per tutti i punti x -h //' del quale, escluso x, è 



(I) 



x-\-h 
q<X 4- h) — q:(^) — j f(x) dx 



x-\-/t> 



< 



2 ' 



d'altra parte, poiché f(x) è integrabile in (a , ò\ esiste pure un in- 
torno e alla destra di x, per tutte le coppie x -f /;", x -f //"' (ìi" < //") 

x-\~k"' 

I r I a 

del quale^ escluso x, è \f{x)dx , < — ; se ;r + /? è un punto qua- 

i-4-A" 

Innque di questo intorno, pei punti x + //' comuni atea e,, , oltre 

x-\-h 



alla (1) è verificata pure la 



pu m x-^h ài e sarà 



j/ixjdx 

X-\-/l' 



< — , e quindi per tutti i 



I ^{x -r h) — qp(^) 



ci( la :^{x) è continua anche alla destra del punto a. 



Riguardo alla derivata, 

ome si comporti la funzione '({x), se nel punto x la f{x) è finita. 
Se poi nel punto x la funzione diviene infinita, ma esiste un 
intorno nel quale (il punto x escluso) la f{«) si mantiene con- 

a, abbiamo la formola nota 



che se il punto ;>: è un vero e proprio infinito della f{x) cioè se 
fix + t) = ± Qo , allora nel punto x la ^{x) ha una derivata in- 

a; ma se il punto * non è un vero e proprio infinito della /f*), 
: se avvicinandoci al punto * la f{x) prende anche valori nume- 
mente maggiori di qualunque numero positivo prefissato, rimarrà 
bìo su ciò che avvenga della f^ix) relativamente alla sua deri- 
1 in X. 
Così ad es : 1* integrale 



(«) = /(co,l+lse„i)iA,= 



ammette derivata nel punto zero, perchè non esiste il limite 
A ,37 di i i-r=cos-7-; mentre mvece I integrale 

^{*) = / \2xcos(e^\-\- e^ s^ale ^ ) U* 

;= X^ COS (« -^ ) — 1* COS (« " ) 

nette derivata nel punto zero, perchè 

lim ''"' + "^-'"" =limtcos(.X)^0. 

Lo stesso dubbio avrà luogo se non esiste un intorno del punto 
lel quale \a f{x) si mantiene continua {come ad es: se il punto 
osse punto limite di un gruppo di punti in cui f(x) è discontini i), 
che allora la ?(«) non ammettendo, o non potendo noi asse re 
; in queir intorno ammetta sempre, derivata, non potremo sti i- 
i la formola (2). 



■r. <.•-' Vi 



161 

Supponiamo ora che la /{x) non abbia discontinuità di seconda 
specie in {a , A), e che esista una funzione F (x) finita e continua 
tale, che nei punti *• ove /(x) è continua sia F(x) :=/(x) e nei punti 
X ove è discontinua sia Fd{x) =zf x -f- 0), F\(x) =/(x — 0) ; allora 
avrà luogo la formola 



co 



F(*) — F (a) =//(*) rf*. 






'.il 






Invero, se ^ j , ^^ , . . «n indicano gli infiniti di /(x) tra a e x 
avremo : 



a —8 
I 



a — E 



F(«, _ e) _ F(a) =\f{x)dx, F(«, - e) - F(a, + e) =\f(x)dx, . . . 



(4),' 



a 



<3j-tS 



/ F(*) — F(«„ + e) ^\f(x)dx, 



■'.. -Ji 



e sommando e passando al limite per g convergente a zero, osser- 
vando che la Y(x) è funzione continua in {a , A), si ha appunto la (2). 

Sono ovvie le modificazioni da introdursi nella dimostrazione 
se il punto Uy o il punto x^ o tutti e due fossero punti di infinito 
di f{x). 

Notiamo poi che se la f(x) non ha discontinuità di seconda 
specie, ma nulla si sa sulla sua integrabilità in quanto ha nell'in- 
tervallo {a , b) degli infiniti, ma solo si sa che è integrabile in qua- 
lunque parte dell'intervallo che non ne contenga, la esistenza della 
F(;c) porta per conseguenza la integrabilità della /(a?), giacché allora 
gli integrali (4) hanno limite determinato finito per e convergente 
a zero. 

In particolare, se f{x) avendo un numero finito d' infiniti in 
(^,i) è del resto sempre continua e V{x) è una funzione finita e 
cont'nua, per la quale nei punti ove f{x) è finita è F'(a:) =/(;c), 



Cloe e 



lf{x)dx = F{x) per tutti i punti x ove f(x) è finita, allora 



w 
K„i 



il 



162 

la f{x) sarà integrabile in (a ,b) tA s 



F(«)-F(«)=[/(, 



Cosi ad esempio, poiché -— (^V*) 

versi da zero, si può subito asserire che 
lunque intervallo, cui appartenga anche 
ad es: j ^ =6. 

La funzione ha per derivata —r per * diverso da zero, ma 

X a* 

non è tìnita nel punto zero; non potremo quindi, applicando le 

precedenti considerazioni, concluderne che —^ è integrabile in on 

intervallo cui appartiene il punto zero; e riconosciamo invece, o 
col calcolo diretto dell' integrale, o applicando ìl teorema n, iHJ, 
che non lo è. 



68. Se le funzioni Ì\jk), F(x) sono inUgrabili iu (a , b), e sona 
pure integrabili |f(x}|, |F(x)|, e alcun punto di infinito di f(x) non 
coincide con alcun punto di inJìtiUo di F(x), allora il prodotto 
f(x).F(x) è pure integrabile in (a , b). 

Invero sia n, un infinito, poniamo, di fix); per uno dei relativi 



integrali singolari //(*) F(*)A: abbiamo 



|j/,*)FW<i*|<M/i/(x)|J:«, 
a,-8' À-ì' 



^'" ■ 



IT""" • • ' 



-■•r'^> :•" ■1^'' 



163 



dove M indica un numero maggiore dei valori di \F{x)\ nell'inter- 
vallo {ai — i', tf 1 — 8), e, poiché l'integrale del secondo membro ha, 
per ipotesi, zero per limite al diminuire nel modo indicato dell'in- 
tervallo di integrazione, anche il nostro integrale singolare avrà per 
limite zero. Lo stesso si dimostra per l'altro integrale singolare. 

Notiamo che il teorema potrebbe non sussistere se qualche in- 
finito di f{x) coincidesse con qualche infinito di F(x), Così ad esempio 
è integrabile in un intervallo cui appartiene il punto uno la fun- 
zione — , ma non la funzione 



Vl-x" 



r 



1 



x^ 



yi-x^ VI — ^* 






iV..' 






V - i^ 



\ f 






69. Il primo teorema della media (Vedi n. 58) si mantiene an- 
cora valido se la funzione /(x), che è positiva in (a , h)^ ha un numero 
finito d' infiniti in {a ^ ^) ed è integrabile. Infatti, supponendo per 
semplicità che vi sia un solo infinito e in {a ^b\ avremo, indicato 
con w , M il limite inferiore e superiore dei valori di qp(^) in {a , ^), 



c-e 



c-s 



c-s 



m f/(x)dx ^ ff(x) ^(x)dx ^ M f/{x)dx, 



m 



OD 

jj(x)dx ^ [/(x) ^(x)dx ^ M ff(x)dx, 



^4-s 



C+B 



C-\-S 



le quali, essendo valide per quanto piccolo sia e, danno, al limite. 



m j/(x)dx ^ f/(x) <f (*)rf* ^ M f/(x)dx, 



a 



I 



m 



PO p 

if{x)dx ^ \f(x) <f(x)Jx é. M \f{?¥x, 



e quindi 

Si intende come questa dimostrazione si estenda subito al caso 
di più infiniti, in numero finito, di /(x) in {a,b). 

11 secondo teorema della media (vedi n. 81) vale ancora se la 
funzione^*) diventa infinita in {a, è), purché /(ar) e f(x).!p(x) siano 
integrabili in ia,b}. 

Invero, ricordando che questo teorema si deduce dalla forinola 

«cf («) ^ i'/fx) ^(x) dx ^ Mrfia), 



dove w, M indicano il minimo e massimo dei valori di l/(x)dx pei 

valori di jv da <z a ^, dimoslriamo che essa ha ancora luogo. Ciò si 
vede subito, osservando che, ove e sia un punto di infinito di /{x) 

in (a , b), avremo 



»,*(«) ^ìj{x) f{x)Jx ^ M--((a) , fficfla) ^ j/{x) f{x) dx ^ M?(«). 



70. 11 cambiamento di variabile in un integrale j/{x)dx, nel 

quale la funzione X*) diviene infinita in {a,b) ed è integrabile, si 
opera nello stesso modo come se la /(x) fosse finita, purché valgano 
le relative formole di trasformazione nelle parti di (a,à) che noe 
contengono infiniti di /(x); poiché, se e è un punto d'infinito, avremo 



j}{,)dx=[/iM.m'Vi'ìt. 



■j»^-^ W-- 



sft^i'. 



165 

essendo a^=x(a)y cz=x(y), e d quantità che converge a zero con e; 
quindi al limite, per e convergente a zero, 



■'■^ 






:-^i 



ed analogamente 



e perciò 



|/(*)t/*=j/[*(/)i*(/yA 



a 



j/{x)dx = \f{x(t)]x\{)dt, 



b fi 



a 



Notiamo che la funzione f{x[t)\ x\t)^ mentre non può acquistare 
nuovi infiniti, potrà perderne, cioè potrà avvenire che in punti di 
(a,p), corrispondenti a punti di infinito di f{x) in (a ^b), essa si 
mantenga finita. Cosi ad esempio, posto ;i; = sen/, abbiamo 



•X. 



1 " 

r dx _r dt 

} \/(i — x^) (1 — >è V) J yi^k'stTfi ' 





^■-A 



e la funzione 



1 



si mantiene finita per / = 



71 



Vi —k^SQTi^t 

Per dare un esempio dell'utilità del cambiamento di variabile 
pel calcolo effettivo degli integrali, si voglia, osservando che la 
funzione integranda è integrabile, calcolare 



J A/1 — x' 



.*■; 



Poniamo x ^ sen /, ed avrei 



1= /logsen/rf/=|l 



vlog2+ /logs 



e ponendo nell'ultimo integrale t=-- — /,, o, come suol dirsi, cam- 
biando /in ^ — /, è 



[ ^= -^ log 2 — (log sen -^dt — (log sen — dt 

= -|-log2 + ^logsen ~ dt; 
ed infine, cambiando / in 2i nell'ultimo integrale, è 

I = -^ log 2 -i- 2/iog sen / <^/ = -^ log 2 + 2 1, 



Relativamente al cambiamento di variabile in un integrale 
finito, sia che la funzione integranda si mantenga finita sia che : 
si mantenga tale nell'intervallo di integrazione, noteremo poi 
il teorema per la frasformazione, che suppone univalente la funzi 
trasformalrice x ^ x{t), sussiste ancora, come è naturale, se per 
si prende un ramo univalente di una funzione a più valori, pu- 



■**'■■■;.■■- — "^ 



jf(*)d^ 



• 

a 



\f{x{t)] x\t)dt. 



♦•^ 



167 

tutte le condizioni dell'enunciato del teorema siano soddisfatte. Ove 

ciò non avvenisse in tutto l'intervallo («,*), se questo potrà spez- ^% 

zarsi in un numero finito di parti in ciascuna delle quali tutte quelle {; 

condizioni siano soddisfatte, si potrà applicare il teorema a ciascun 

integrale relativo a ciascuna di queste parti, integrali la cui somma 

b 

uguaglia lf(x)dx ; otterremo cosi delle formole analoghe alle (2), n. 62, 

d 

ma da esse non sempre potremo passare alla formola (I) n. 62. Sup- 
poniamo ad es. ^ < ^, e Xi{i\ Xf(t) due rami univalenti di una funzione 
plurivalente, e sia ;i:i(a) = a, Xi(ji) zn b^ , fl:,(3) == b , x^{^) = ^,(r) = e , 
a<^b^<ic<iby a<»J<Y. Assumiamo per funzione trasformatrice 
X = x{t) la funzione continua costituita da x^{t) pei valori di / da a 
are dalla x^{t) pei valori di / da r a ^i ; e questi rami siano tali 
che, mentre la t sempre crescendo prende i valori a ...?... r, la x 
sempre crescendo prenda i valori a ,. .b^. , ,c^ e mentre / sempre 
decrescendo prende i valori da y a p, la ^ sempre crescendo prenda 
i valori da <: a ^. Allora abbiamo 

e r ' b '^ 

f/{x)dx = l/[x,{t)\ x\(t) dU \Ax)dx = \fixlt)\ x\(t)dU 
a a ^ Y 

e quindi ancora 

h r } 

ff(x)dx = j/[x,(t)\ x\{t)dt-^ ìf[xM x\{t)dt, 
•2 a Y 

e. quantunque si soglia anche scrivere 

b Y ì 

\f[x)dx =:j/[x(t)\ x(t)dt +j/\x{t)\ x\tyt, 
^ a Y 

è chiaro che si commetterebbe errore scrivendo 

b P 



■>^^ 



168 






Esempio. — Sia 1= j/(x)dx^ e si ponga ;iri=arcsen/, prendendo 



cosi x{t) = are sen /. Ora, per potersi servire di questa posizione per 
trasformare l'integrale 1 in altri colla variabile corrente di integra- 
zione /, bisogna non limitarsi a considerare i valori di are sen / 

compresi tra — -— e •— , come si è fatto nel Voi. I n. 9, ma bi- 

sognerà considerare i valori di are sen / compresi tra e r, cosichè 
indicando con Are sen / il più piccolo arco il cui seno è /, noi con- 
sidereremo della funzione are sen/ i due rami x^(t) = Are sen fj 

x^it) = ^ — Are sen /, e poiché abbiamo ;ri(0) = 0, Ai(1) :=;rj(l) =: —, 

;tj{0) = ^, e tutte le condizioni richieste sono soddisfatte, avremo 

TZ 
"2" Il 1 

/'/(Are sen t)di rf{7z — Are sen /) di 



i\r ^j f^r .j r /{Are sen t)di C 



7: 1 



Cf{Arc sen /) di rfi^. — Are sen /) di 



I j (Are sen rjar / 



Vi — ^' J Vi — ^' 





71. In tutti gli integrali definiti finora considerati si è supposto 
sempre finito l'intervallo di integrazione (^,^); passiamo ora a con- 
siderare gli integrali^ nei quali la variabile corrente di integrazione 
possa assumere valori numericamente maggiori di qualunque nu- 
mero positivo prefissato, o, come suol dirsi, gli integrali definiti con 
limiti infiniti. 

Supposto che la /(x) sia integrabile (finita o no) in qualunque in- 
tervallo (a , b) per quanto grande si fissi il numero positivo b (con- 
dizione che, senza più esprimerla, supporremo sempre verificata per 
le funzioni che ora tratteremo) noi poniamo la definizione 



oc " 

ff(x) dx = lim //(a-) dx, 

J b=:ac J 



a 






1(39 

e diciamo che la /(a:) è integrabile nell'intervallo («, oo ) se detto li- 
mite esiste ed è finito; non integrabile negli altri casi. 
Analogamente poniamo 

— X —b ac b 

l/{x) dx = lira if(x) dxy /(x) dx z= lim \f(x) dx^ 

J b=<Kj J rt=xj 

a a — X ^=x — a 



e, come è chiaro, possiamo limitarci a considerare, per semplicità, i 

X 



soli integrali lf(x) dx. 



a 

La condizione necessaria e sufficiente affinchè esista e sia finito 
b 

il lim [/(x) dx è che, dato o, esista un numero e positivo, tale che per 

a 

t' r 

tutti i valori di r, v' maggiori di e sia l/(x)dx — l/(x)dx <0j ossia 

a a 

tale che, per -(> e e per qualunque numero positivo s, sia 



Y+8 Y Y-fs 

jf(x) dx -j/{x) ^ I = j jOw rf* I < e ; 

Y+e 
cosichè, chiamando integrali definiti singolari gli integrali (x)dx dove 

r 

•; è comunque grande e positivo ed s è numero positivo qualunque, 
vediamo che: la condizione necessaria e sufficiente affinchè la f(x) 
sia integrabile nelV intervallo (a , oo ) è che V integrale singolare 

V-.' ? 

|fl: )dx, abbia per limite \ero al crescere di y, qualunque sia e pò- 
•>/ 
siti *0, 



, f dx ,. r dx 

2) {^"^'■dx — lim ìe -"^"dx — iim [ 



3) La funzione c'^ non è integrabile nell' intervallo {0 , oo), in quanto 
il limite per ^^so di je^-'dx è l' infinito, poiché 



lim /(!"*^iit= lim 



1 ,. I 1 



4) Le funzioni sen x, cos x non sono integrabili nelP intervallo (a , <x) 
perchè non esistono i limiti di /sen*rf*^ — cos i + cos a, e di 

(cos « (il* ^: seni — senu, per b crescente, indetìnitamente. 

5) L' integrale singolare relativo alla funzione log{3 ^ sen x) è 

llog(3 — sen x)dx > log 2Ìdx = £ log 2, 



e quindi, non potendo avere zero per limite al crescere di f qi 
lunque sia e, la funzione log(3 — sen*) non è integrabile nell'int 
vallo (a,(»). 
6) Per la funzione e --'", poiché lim*'«--''^0, avremo 



'"TT^'^ 



171 

dove e è un certo numero positivo, e perciò, essendo zero il limite 

dell'integrale singolare, essa è integrabile nell'intervallo («,oo). "'-^ 

73. Il teorema seguente serve spesso per decidere della integra- 
bilità di una funzione in un intervallo (a , oo) : 

La fun{ione f(x) è integrabile nelV intervallo (a , oo) se esiste un 
numero positivo y tale che, per tutti gli x ^ y, uno dei prodotti 



x^+^ ' x(logxy+J^ ' X log x(log log xy+^^ 



30 

e la f(x) non è integrabile in (a,3o), perchè jf(x)dx avrebbe 



X) 

^ ] " " un va- 

a 



lare infinito, se per x'^y la f{x) mantiene sempre lo stesso segno ed 
uno dei prodotti 

x f(x) , x log x.f(x) , x log x log log x.f(x) , 

ù mantiene sempre numericamente maggiore di un certo numero po- 
sitivo k (in particolare se la f(x) al crescere indefinitamente di x si 
mantiene discosta da ^ero più di una certa quantità^ o, se diviene in- 
finitesima^ lo diviene di ordine uguale o inferiore a quello di 



1 1 1 



X ' X log X ' X log X log log X 



, . . . , I . 



La dimostrazione di questo teorema è completamente analoga a 
quella del teorema al n. òQ^, talché possiamo lasciare al lettore la 
cura di esercitarsi ad effettuarla. 



Esempi 
1 È integrabile la funzione — z=r= nell'intervallo (a,oo) perchè. 



.tir 






xi+J^ {{x) , x(log xy-^V- f(x) , X log X (log log x)HJi {{x),... ■'% 

"■4 

••■> 

•* 

dove il è numero positivo, si mantenga minore numericamente di un 
certo numero positivo k (in particolare se la f(x) al crescere indefi- 
nitamente di X diviene infinitesima di ordine uguale o superiore a 
quello di 

li 1 \. 

, . . . . I , 



r I 
■ ■ *♦ 






■■1 






: di X indefinitamente, diviene infinitesima di ordine s 
condo, avendosi 

, ■ 1 , I 



-=■ \' 



.■T«- ^J, 



e non è integrabile la funzione — , perchè, al crescere di x. 

si mantiene sempre positiva, e diviene infinitesima di ordine ^, 
avendosi limx 



v"+' {/±,, 



2) Sono integrabili nell' intervallo {a , <x) le funzioni sen - 



1 I ,. * 

Tj- sen — ^ lim ^ 1 ; e non sono mtegra- 



bili le funzioni 

(log * 



T-Vse 



' I + *(log x}'' ' (log xf + * log log * 



perchè al trescere di * si mantengono tutte positive, e la prima è 
il tre due abbiamo 

i»«^-,. I -1 



mpre^— , e per le altre due abbiamo 



lim xlog^ 



l + ^l'og-'*' ■ , ," 

xiU.a X)* 



,. 1 1 ■ ■ (log** 

lim.vlogjvloglogj'- ^- — - = 

i^x (log*)' -i-* log log* 



sf log log* (logjf)* 



173 

3) Le funzioni ^— , sono integrabili in (^ ,00), perchè 

X X 

x^ — x^ — 

4) La prima parte del teorema non ci dà nessuna indicazione in- 
torno alla integrabilità della funzione — sen x^ e la seconda non può 

X 

venire applicata perchè la funzione ha continui cangiamenti di segno 
al crescere di x. Lo stesso dicasi per le funzioni sen(^*), cos (^*); ma 
vedremo tra breve che tutte sono integrabili. 

73. La trasformazione degli integrali con limiti infiniti si opera 
come quella per gli integrali con limiti finiti, purché le formole di 
trasformazione valgano per quanto grande si fissi l'intervallo di inte- 



QO 



grazione. Invero, abbia significato P \f{x)dx^ e posto x = x(t) sia va- 

a 

lida la formola 

X t 

j/(x)dx^.jf\xit)\x{t)dt 

per quanto grande si fissi il limite superiore x dell' integrale. Allora 
se lim x(i) = 00 , cioè se al crescere indefinito di a: la / converge ad 

un limite finito y, avremo 

^ jt t Y 

11) lAx)dx = lim f/(x)dx = lim ff[x(t)] x\t)dt = \f[x{tj]x'{t) di, 
^ ^ a a 

come volevasi provare ; oppure avverrà che sia lim x{{) = 00 ed allora 



i2) \f(x)dx^\^j^[x)dx^ lim [/[x{t)]x\t) =jOwO] Ai)^*, 



a 



COI e volevasi provare. 



Supponiamo ora integrabile in (a , 
avremo 

IA')Jx= Um [y(*)<f*=IimjOw/)l 

che serve a. passare da un integrale co 
uno dei limiti infinito. 

Notiamo poi che le formole (I), (2), qualora non si sappia se 
la /(*) sia integrabile in («,co) restando però ferme le altre condi- 
zioni solite, ma si trovi che è integrabile /[x{lì]x'{t}dt nell'intervallo 
(a , yI o nell' intervallo (a , oo), servono a mostrarci la integrabilìti 
di /{x) nell'intervallo {a,'»]. 

Esempi 
1) I ^ (log I « H j ^ ; poniamo * ::= tg / ed 

I=:|log(tg/+ . Jrf/=: — /log (sen/ costì <i/ 
= — llogsen/rf/ — iìogcos idi, 



1 = — /log sen tdt + /log sen td{=~2 /log sen idt = 'r. log ' 

(v. n. 70). 



175 
/^-i dy 





X 

/ya-\ ^y 
— dove a è una frazione propria 



positiva. 



Posto a = — , fw , « interi positivi e m ^n — 1, e y:=. x'\ 
fi 

00 

r- . Ora quando m ^n — 1 la funzione r 



è integrabile nelP intervallo (0 , oc), perchè 



lim jr«— '"+1 = lim r- =1, e n — w-f-i:::::^2. 



«e 

Cx^ — ^ dx 
Il lettore può esercitarsi a calcolare | — ^^^ . A tale scopo si 

usino le formole dell'esercizio 12° a pagina 447, voi. I, osservando 
che 

1 / • ^ 2^+1 \ ^, , /, 2 2i-hl 1 \ 

log! x^ — 2x cos :i -}- 1 )= 21og X -h logi 1 cos r.-\- — \ 

\ n / \ X n X / 

ed usando le formole note 

scn { 4- sen ({ 4- A) 4- sen ({ 4- 2A) + . . . -f- sen ({ 4- sh) 

(S4-1)* / sh 



sen 



sen [i 4- — j 



sen -—■ 
2 



cos { 4- cos (^ 4- A) 4- cos ({ 4- 2//) 4- ... 4- cos ({ 4- sh) 



(5 4-1)^ / shx 
sen ^^ — - — cos ( T 4- -:r- 1 

h 
sen — 



e quella che si ottiene da quest'ultìm 
cioè 



— sen ({ + h) — 2sen{{-r 2A) — . 



-^\5senAcos[t^(5 + -i) 



Si trova cosi, quando m ,n s 



e quindi riroane dimostrata la formola 

, >-i dj> _ ^ 
J l^jy sen 

se j è razionale e < u < 1 ; e vedrem 

se .1 è irrazionale e compreso tra U e l 

Dall'ultima formola ricaviamo 






e, cambiando _j' in — nel secondo integ 






jr^^.,= 



r>:''^-- ';.*:":' 



177 



3) La funzione 



^ 



_i 



{/«, n interi positivi) non è integrabile 
neir intervallo (0 , oo) perchè nel punto uno diviene infinita di primo 



ordine, ma è integrabile la funzione 



^m' — 1 X^~^ 



, dove meni sono 



M,n "I 

** 1 

minori di «, perchè il fattore x — 1 sparisce nel numeratore e de- 
nominatore, talché la frazione ha un valore finito nel punto uno^ e 
all'infinito diviene zero di ordine superiore al primo. Supposto 



OD 



m :=zn — m, si calcola facilmente l' integrale i- 



^-W—l — ^ 



m-\ 



J^ — 1 



dx 







/^ — m — I j^M — 1 
— dx mediante 

le formole dell'esercizio 12*^ a pag. 477 voi. I, e poi passando al- 
l'integrale definito come si è indicato precedentemente. Si trova cosi 



'^'', 



'^■•:?eU 



00 



; dx=: — cot — , \j<:m^n — 1, 

s^ — 1 n n — 



Se in questo integrale poniamo x'^=y^ ricaviamo 



/ 



fìi , tu 

00 1 — 







^ ; ^ dyz= 2n cot , 

1 — jf n 



e, posto — -^a cosichè a sia una frazione positiva, abbiamo 
fi 






*yO — 1 ___ y— a 

•'^— :- — dy = 2n cot oTz : 

I — y 



J 

3 



spezzando l'integrale in due^ il primo coi limiti 0,1, il secondo coi 
limiti 1 , 00 e cambiando in quest' ultimo jv in — , abbiamo 



: s'P"^ 



fi 



ya-l -y-a ^^ _ 



\-y 



dy=z'^ cot an^ 



12 



formoU che rimane così dimostrata 

presi tra ed 1, ma che, come vedremo, vale anche qualunque sii 

a tale che 0<a<l. 

4) Si voglia calcolare I = /tg*ar££v, dove — 1<A<;1. Ponendo 

* ■=. are tg_y abbiamo I ^ 1^- — j , e ponendo ancora y =:\''{, 

' 1, avremo 

2sen-^. 
Ad esempio 

/\/t^^=-^, N'^dx = -^. 

5 V2 / 

74. Se per i valori di * deU'inten'allo {a,b) si ha la forrooU . 

j/(x)dx = <((x)+j^x)dx 
e quindi 



179 
ossia 



j/(x)dx = ^(b) — ^(a) + U(x)dx ; 



cosichè, in particolare, dalla formola della integrazione per parti 

JA^)FV)dx =A») F(a:) -JF {x)f\x)dx, 

che supponiamo abbia luogo nell' intervallo {a , b\ si ricava 

b b 

(2) jf(x) F{x)dx =f{b) F(*) -f{a) F(^) - jv{x)f\x)dx. 

a a 

Se poi le formole (l), o (2) valgono per quanto grande sia b, 
avremo 



lim l/{x) dx = lim ^(b) — ^(a) -f- lim / (\f(x)dxj 

a a 

b b 

lim f/[x) F{x)dx = lim f(b) ¥(b) — /(«) F(^) — lim h{x)f{x)dx, 



dalle quali risulta che, se sono determinati e finiti due dei limiti in 
una di queste formole, lo è pure il terzo e si ha allora 



00 



/ f{x)dx •=. lim «f (A) — cp(^) -j- / ^x)dx^ 



a 



co 90 

j/(*) F'(*>fe = lim/(*) F(*) - f{a) Y[a) -J/W ?(*)'''. 



ESEI 

1) Abbiamo la forraola (Vedi fi 
r *"+'<£« _ a-yi — * 

dalla quale, supposto m positivo e quindi — ■ - ■ ■ , — z^ 
tegrabili nell' intervallo (0 , 1), ricaviamo 



/«"+' dx m rar"-' dx 



JVi_^* « + 7 Vi 

2) Integrando per parti abbiamo i 

./i::S^T7.'''="°8('-^""'+'''-/'°«<'-=""" + -'"^ i 

e perciò, ricordando Ì risultati dell'esempio 5^ a pag. 439, voi. I I 

f 2xr sen X , 

/«log(l + .)'se |.|< 
=« log(l + .)' -/log (1-2. cos » + «•) ,ir= ! n + „» . 

(Vedi nel seguente esercizio 3" i casi a = l, a = — 1). 

3) Proviamo ora che sono integrabili nell'intervallo (O,») le fii 
zioni sen (x^), cos («*), 

Abbiamo, per i valori di x finiti e diversi da zero, 

f / i\ j fn / !i "^^ sen (*■') , 1 /"sen («*) , 
jcos (*') dx =j2x cos (*') — = ^ ^ + g-j ^^ <i>^, 



1--.^" 



181 
dalla quale, 

X X 

1- ì /f\A sen(x^) sen(e«) 1,. /•sen(*«). 



s e 

.z' 



S6n X 
cioè, prendendo l' unità come valore di — nel punto zero, 



X 



r , , ^ sen(Ar2) j fsevfx^) ^ 





e quindi 



X X 

I- f /2\^ r sen(A?*) 1 rsen(**) 

lim /cos(^') fljc = lim — -j- —- lim / ~-^ dxy 

x^=xj mG ^ J X 







sen 11^') sen x^ 
e, poiché lim — ^ — = e — è integrabile in (0 , oo) essendo 



[sen x^\ 
*• - — - — - ^ 1, abbiamo 

X' 



oc X 







Per riconoscere che anche sen (x^) è integrabile nello stesso in- 
tervallo osserviamo che si ha 

/' I t\^ cos(j:«) 1 rcosfAT*) 
/sen(^«)^ = -i^j—^dx, 

per valori finiti di ;if e diversi da zero; ma qui non possiamo prò- 

cos ix I 
ced re come nel caso precedente, perchè — — — non è integrabile 

or 

cos ix ì 
in n intervallo cui appartenga il punto zero, e ^^ — ha per li- 

X 

mil l' infinito al diminuire di x. Ma ci serviremo di questa formola 



per provare che l' integrale singo 
limite zero. 

Invero abbiamo 

Y 
e quindi 

T+" 
lim fseiiù 
T 
qualunque sia e, e la funzione 5en(x') è integrabile n eli' internilo 
(a, <x>), ed in particolare nell'intervallo (0,»). 

Esercizi 
1. Se w è intero maggiore dell' unità, abbiamo 





■.•;.dx 


/ 1.3. 6. ..(»-!) = 
] 2.4.6...™ 2 


n è pari 


-]2.4.6...(»-l) 
{ 3 . 5 . 7 . . . m 


M è dispari. 


2. Posto I„ = / ed osservando che 

/ Vi-'' 




» I>.+, (2.4..6...2«)' 


1 


2 I,. [1.3.5...(2«— !)]• 


2K+1 ' 


si dimostri la formola di Wailìs 




» „_( (2.4.r,...2»)' 


1 ) 



.„((3.5.7...(2>i-l))" 2<!+l )' 



'vvi 



183 



u 



3. Conosciamo già il valore di /log(l — 2a cos x -\- 0L^)dx per a di- 



verso da ±1; si studino questi casi a=l^ a=z — 1, e si troverà 
zero per valore dell' integrale. 



4k 

"o* 



4. jx cot xdx=2-^ log 2. 






■« I 



00 



5. Studio dell' integrale I =r / — - 

J ax^ 



dx 



-f i.r + ^ 



Se 4^c — **>0 è 1 = 



7C 



V4 ^c - V 



se <j > 0, 1 = 



TI 



\l^ac — ^2 



se 



tf < 0. Se \ac — i* := è I = -7- se a ^h hanno lo stesso segno, e se 

b 



hanno segno diverso 



non è integrabile nelP inter- 



ax^ + bx -[- e 
vallo (0,00). 

Se 4ac — i* < 0, ed <j, A, e hanno lo stesso segno è 



1 = 



log 



b 4- y ^« — 4ac 



y^« -_ 4ac b —V** — 4a^ 



e, se a , ^ , e non hanno tutte lo stesso segno, la funzione — ^ — 7 

uX —j— OX -T- e 

non è integrabile nelP intervallo (0 , 00). 

6. Se f{x) è finita e integrabile in (a , b) comunque grande sia b 
e qp(x) è integrabile in (^ , 00) e non cambia segno da un certo va- 
lore di X in poi, il prodotto J\x) 'i{x) è integrabile in [a , 00). 

7. Per le precedenti funzioni f{x)^ 'i{x) si ha \f{x)^{x) dx=ik j ^{x)dx^ 

a a 

m^k^M^ essendo w , M i limiti inferiore e superiore di f(x) nel- 
l' intervallo (^^oo) (primo teorema della media). 

8. Se la funzione f(x ^y) è simmetrica rispetto ad x^y^ e la/( ^, — J — 



^ 



lelP intervallo (0 , 1), si ha 

J, dove a , b sono positivi, è integrabile in (0 , ao), 

'J V«' - i't J 

—^1 è integrabile in (0,oc), 

Tiola l~~, r= — — - , dove m , n sono loten 

J 1 +«" «i: ' 

nsen 

|m— 1, si ricavi 

- ^"—1 ^x r. 

J Jl. mr- ' 



Integrazione per serie 

75, Se I Urmini u. d' una serie Su» sono futi^ioni finite 

ed integrabili in un intervallo (a , b), e in tutto questo interval 
serie è uniformemente convergente, la sua somma f(x) è integr 

in (a , b), e la serie degli integrali 2 ju„ dx è convergente ed h< 
somma l'integrale delia serie, lf{x)dx, cioè 

b b b 

fHx)dx = /(lu,)dx = 2 /u„dx i ■ 

ossia, come suol 411*5!, alla nostra serie è applicabile l' integrai 
termine a termine o alla furzione /{x), il cui sviluppo in sei 

£wn, la integrazione per serie. 
i 

Invero, assegnato il numero positivo a, , scriviamo 

(I) /(*) = «. + «, + ... + «„ + «„(*), 



dove ft ^m , essendo m quel numero tale che, per n'^m e 
tntti i valori di ;>; dell'intervallo («,^), inclusi gli estremi, è |Ri,(:ir)i- 
Decomponiamo l'intervallo {a, è), (a<.b), in parli ii,,Jìf, 
ed indicate con Du , Dì, ... D„, , D/t , Dr, le oscillazioni di », , h, 
J{*) , R(x) in A, , avremo 

D/, ^ Di, -f- Dì, + . . . + D„, ~ Dfl, , (s = 1 , 2 , . . p), 

d»"e quali, osservando che D^j < 2^, perchè in tutto {a , ■ 
|F 'x)\ <si , abbiamo 

ih, D/, ^ ih. Di. + ÌA, Da, + . . +2A, D« -h (* — a)2=, ; 



•" •■ 



186 



^WP'iP^B 



e, giacché possiamo supporre la decomposizione di (a , b) nelle parti 
/f, tale che ciascuna delle somme del secondo membro risulti minore 

di — ^ essendo le «^ , «^ . . integrabili in {a , i), avremo ancora 
n 

1 

In conseguenza, assegnato a, e preso nelle formole precedenti 

, risulta esistere una decomposizione di {a yà) in 



' 1 -f- 2(^ — a) 



parti h^ , per la quale è %hs D/> < <?, e quindi la f{x) è integrabile 

1 

in (a , h\ e rimane così dimostrata una parte del teorema. 

Ciò dimostrato^ siamo autorizzati a ricavare dalla (1) la formola 



o o o 

fRn{x) dx -= ff{x) dx —1" (ur dx. 



Ma, essendo |Rn(^)|<Oi per n^m e per tutti i punti x di 
(a, è), è ancora 



PO o • 

/r„(«) dx ^ f|R„(*)| ix < o, /kr = <Ji(* — a), 



a 



cosichè 



jf(x) dx — ^ fur dx\ 



<°l(*-«)> 



e quindi, dato a e posto a^ = 



per n'^m è 



b — a' 



esiste un numero m tale che 



ìf{x) dx — S ÌUr dx\ 



<", 



187 



la quale ci dice che j/(x)dx è il limite, per n crescente indefinita- 

a 

b 

mente, della somma dei primi n termini della serie ]S ìurdx, e ri- 

a 

mane così dimostrato completamente il teorema. 



76. Se sono soddisfatte le condizioni dell'enunciato del teorema 
ora dimostrato, avremo ancora 



X X 

•jf(x)dx = ìjundx, 



a 



ove X è un punto qualunque dell' intervallo (<»,*), giacché basta ri- 
petere per r intervallo (a , x) la dimostrazione precedente relativa 
air intervallo {a , b). 

Di più osserviamo che, qualunque sia il punto x appartenente 
ad {a , b)y arriveremo sempre mediante il precedente procedimento 
alla formola 



X X 

fc) ày -T [ur dy 

J rz=XJ 

I a 



<a, 



valevole qualunque sia x appartenente all'intervallo (<i,^) e per 
if^m, dalla quale formola, osservando che la differenza nel primo 

X 

membro è il resto della serie S ì'^rdy^ ricaviamo che questa serie è 

a 

equicoftver gente nelV intervallo (a , b). 



77. In seguito al teorema ora dimostrato, possiamo applicare ad 
ut 1 serie^ che soddisfaccia in un intervallo {a , ìi) alle condizioni 
co itenute nel suo enunciato, l' integrazione definita termine a termine 
tn limiti appartenenti al detto intervallo. Quando essa non soddi- 
sfi xia a tali condizioni^ potrebbe anche essere che la integrazione 



termine a termine sia per essa effe 

rizzati senz'altro ad eseguirla; occ 

qualche altro modo la legittimità. 

Esempio. Consideriamo la serie 

convergente per qualunque valore fi; 
xe-' . Essa è inoltre uniformemem 
tervallo cui non appartenga il pun 
due numeri a , A tali che per gli x 

essendo — -^ il resto della seri 

| f« + l> l f« + l)A in 



basterà prendere m in modo che s 



sulti i— ' <a per «li^m e qualunque sia il valore di x ap- 

"partenente all'i nter vallo. Ma se il punto j^ro appartiene airinter\-allo 
non esiste un numero a pel quale sia <i < |x| , e potremo sempre 

prendere * ;=; — , per quanto grande sia », e per questo va- 

V^" + 1) 

lore di x il resto diviene uguale a — — ^^ e '^ . 

Potremo quindi applicare alla nostra serie l'integrazione termine 
a termine in qualunque intervallo cui non appartenga il punto zero, 
ed abbiamo infatti, supposto *i>0 e *>'7, 



\xe-''dx = --~e-^^ + -x-e-^'^ì,] inKe-x'^dx-un+l): 



W-C+D-r' 



■' + — g-"-' + — ^-in+lì*' c-ln+ì^^^ 



PWST^"^ 



] 



In nn intervallo cui appartenga il punto zero non possiamo se 
z' altra ricerca applicare l' integrazione termine a termine. Noi riscc 
trìamo qui che in un intervallo (0,*) tale procedimento non è 
cito, perchè l'integrale della serie è 

f 1 ^ 1,1 

mentre che la serie degli integrali dei termini è 
>L 2 2 3 2j 

iL 2 2 J 2 ' 

invece è lecito in un intervallo (— a , * > 0), porcile 

che è uguale alla serie degli integrati dei termini, 



78. Se ad una serie Swn si può applicare l' integrazione term 

a termine in un intervallo (a,b ~ i), dove a<.b e s positivo e i 
muoque piccolo, si potrà anche applicare tale integrazione nell' 
tervallo (a , b\ avendosi cosi 



j[tun)dx = ^ìu^dx, 



- *"• , 



«« '-■ 



y^i 



V 



190 



quando la serie S jundxj mantenendosi convergente per x = bj sia 

una funzione ^x) continua anche per xz=b. Ciò accadrà, in parti- 
colare, quando detta serie risulti equiconvergente in un intorno del 
punto b (Vedi voi. 1. n. 141, pag. 278). 
Invero, avremo 

^— s ^-s b b t— s 

/(|tt«) dx = tJu^ dx = zlu^dx — ( I j «„ dx — iji/n dx \ 

a a a a a 

b 
= I fun dx — [^(b) — ^{b — e)], 



dalla quale, passando al limite per e convergente a zero, abbiamo 
la (1). 

E si intende subito come la formola (1) valga ancora se nell'in- 
tervallo {a , ^) vi sieno dei punti «!,«,... an, in numero finito, tali 
che negli intervalli (a, -f- e, , ^,), {a^ , ^s^\ — ®*+i)> dove a^ indica un 
punto qualunque tra a^ e as_}_i, sussistano le stesse condizioni che ab- 
biamo poste per il precedente intervallo [a ^b — e). 

00 

In modo analogo si prova che, se alla serie S«n può applicarsi 

l' integrazione termine a termine in un intervallo {a , b) comunque 
grande si fissi b^ ad essa potremo applicare la stessa integrazione nel- 
P intervallo (w , oo), avendo così 



(2) 



30 00 

j(lu^)dx = ^jundx, 



a 






00 



quando, posto ^(x) = SJw^ dx, sia S iundx^A, dove A = lim •4>(. è 

a a 

quantità finita determinata. 

Invero, passando al limite per x crescente indefinitamente n< ila 



191 
formola 

X X rj^ QQ X 

/(2«n) dx = \\u^dx = \ Un dx — (IjUndx — ^ ju^ dx) 



a 

00 



= ì,\u^dx-'(k — +(jif)), 



a 



ricaviamo la (2). 



79. La integrazione per serie è un mezzo utilissimo tanto pel 
calcolo degli integrali definiti e indefiniti, come anche per calcolare 
la somma di certe serie. Diamone alcuni 

Esempi 

% 

1) Per |;r| < 1 abbiamo (Voi. I, pag. 322) 

y" *^ A /. 1 » 1-3 4 1.3.5 ^. , 1.3.5.7 ^ \ 

yJTT^ ,/. V 2 ^2.4 ^2.4.6 2.4.(3.8 / 

« 

e poiché la serie tra parentesi è equicon vergente nell'intervallo (0 , x) 
(I, n. 138, pag. 272), possiamo eseguire la integrazione termine a ter- 
mine ed otterremo cosi 

(1) arcsen^ = ^ + - - + — -^ +^-^-^y + ..,(W<l) 

(I, pag. 324). Ora possiamo affermare di più che questo sviluppo 
vale anche per |;if| = 1. Invero la serie 

^^' ^"^2 3 "^2.4 5 ^2.4.6 7 "^ ' * * 

è C9nvergente, perchè i suoi termini sono minori dei corrispondenti 
del a serie convergente 

JL JL ^>3 1.3.5 

^""^"^2+2.4 + 2.4.6"^2.4.6.8'^'-' 



"n 



[caviamo dalla seconda serie della pag. 322 del volume I, faceado 
'A « = — 1. In conseguenza la serie (1) è equicon vergente nel- 
rvallo (—1,4-1), e quindi lo sviluppo (1) vale anche per 
1 1, Ponendo a^:=1, abbiamo 



2 ' 


li 1.3 1 


1 .3.5 1 

■•■2.4.6 7 


■ + ... 




'er \x\ <1 abbiamo 








/ * 


r=/'"(' + Ì'' + 


y^-^k 


4.6 




Jyi-'' 


' 




1 

H — 


.3.5...(2«- 


^^■ 


• + 



2.4.1 
ichè possiamo integrare termine a termine, abbiamo 



J^*5 1.3*« 1.3.5..( 2>t— 1) ^'-H 



VI- 



2 52. 49 ■ 2.4.6..2« 4m+1 



< I. Ma la serie del secondo membro è convergente ìdcIm 
k\ = 1, perchè, facendovi *=: 1, otteniamo una serie i cui ler- 
sono minori dei corrispondenti della serie convergente (S); 
li vediamo anche qui che il precedente sviluppo vale anche 
*[ = 1. 

n quanto all'integrale indefinito, lo si ottiene dal secondo meoibiD , 
(3) aggiungendovi una costante, cosichè si ha 

f dx 1 *' 1 . 3 *» , ^ „ 

ole nell' intervallo ( — I, + 1) di x, 
upposto 0<a<l, 0<*< I, abbiamo 



/^ 



- x-") {ì + x + x^+x' + . 



193 
"a — a4-l "^ tf + 1 —a-\-2 TT2 — j + 3 

4- 



a-\-S 



Ora quest' ultima serie è non solo convergente anche per a? nr 1 , 
ma è anche equiconvergente nell' intervallo (0,1). Invero, se ^ < — , 
poiché allora 

tf<l— i2<l+^<2 — a<2ftf<3 -*«<..., 

i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi e indefinita- 
mente decrescenti^ anche per *• = !, ciò che prova che la serie è 
coovergente anche per ;c=: 1. Inoltre, indicato con Rn il resto della 
serie troncata al termine we*»"^o, abbiamo 

•" ^ V nT~^ "~ n+ì^a ) "^ V« -f-1 + a ~" «-h2— ^/ "^ * " 
ti -\- a \n -\- ì — a «+l-f^/ *"' 
- Jn-l — \^„__^ — „^ a ) ^ \« + l — ^ ~" ÌTTTTT/ "^ ' " 
"~« — a \«H-tf n -\- 1 —a) \n + ì + a n + 2 — a/ "'^ 



j^»-fa 1 X^~^ 1 

cosichè < R,„ < < , < — Rj« -1 < < , 

etanto R,n come |Rt»-i| sono minori di ; perciò, dato a, ba- 

n — a 

ster prendere w > \- ay affinchè, per « ^ w e per tutti i valori 

di . dell'intervallo (0, 1), inclusi gli estremi, R«n e |R2n-i| risultino 
mii >ri di a, e la serie è quindi equiconvergente nell'intervallo (0, l). 

13 



1:7.'' "--i 



194 

Se a=i— la nostra serie è uguale a zero. 

Se ^ > -^5 allora è 

J — tf<^<2-— ^<1 4-^<3 — <7<2 + ^<4 — tf<...; 

ma la nostra serie possiamo anche scriverla così 

x^-a x<^ x--^ a:1+^ x^-^ x^^-^ 
r .-- + — .--- + 



\—a a '2— a 1 -f- ^ 3 — a 24-^ 

perchè essa non viene con ciò a cambiare di natura e di valore, 
poiché le somme di uno stesso numero pari di termini a cominciare 
dal primo sono le stesse nelle due serie, e le somme di uno steso 
numero dispari n di termini differiscono tra loro per la somma di 
due termini che hanno ciascuno per limite zero al crescere infinita- 
mente di n. Ora nella serie così scritta i termini sono alternativa- 
mente positivi e negativi e indefinitamente decrescenti, cosichè, con 
ragionamento analogo al precedente, giungeremo alla stessa con- 
clusione. 

La nostra serie, essendo dunque uniformemente convergente Del- 
l' intervallo (0 , 1), passando al limite per x^=ì nella formola (4), 
possiamo prendere la serie dei limiti dei termini in luogo del li- 
mite della serie ed abbiamo cosi 



'x^-i^x-^ ^ 11 1 1.1 n ^ì 

\^x a \—aì-^a 2 — a 2-f-J ' ^ 








Ma, d' altra parte, l' integrale del primo membro essendo uguale 
a r. cotone [n. 73,3)], otteniamo la formola notevole 

111 1 1 ^^ ^, 

coiar.z= H ; — -I-- — ■ ..., ()<.^< i. 

ar^ 71 - aTi r. -\- or. 2^ - or, 2tc -|- o^ 
ossìa, ponendo aT^:=x, 

111 1.1 1 

(5) .cotA; = -— — -4-— -4- 



X n-x r^ -^ X 2^ — x 2r. + x S^-at 
1 2x 2x 2x 



X Tz^-x^ 2V.« — AT* 3*n« — A-* 



r 



195 

che noi abbiamo cosi dimostrata per 0<;r<T^. Ma è facile ricono- 
scere che vale per qualunque valore di x che non sia multiplo di tc. 
Invero^ tanto il primo membro che il secondo hanno ^ per periodo, 
giacché, se in luogo di x poniamo .v + ^i, il primo membro non 
cambia, e neppure il. secondo^ perchè otteniamo una serie dalla quale, 
aggruppando i termini a due a due a partire dal secondo e permu- 
tandoli in ciascun gruppo, si ritorna alla serie primitiva. Cambiando 
X in X — TC non cambia il primo membro e la serie del secondo 
membro diviene una serie, dalla quale, operando nel modo prece- 
dente a partire dal secondo termine e nella serie ottenuta operando 
allo stesso modo a partire dal primo, si ritorna alla serie primitiva. 

Se nella (5) cambiamo x in — — x otteniamo 

111 1 

(«5) tg* = - + 



T. T. T. T. 

-—X -^-^x 3—-^ 3— -+-.ir 
1 I 






che vale per tutti i valori di x non multipli dispari di — . 

1 li X 1 X 

Osservando che = —- tg — -{--^ coi— ed applicando le 

sen X d /ò /ó 4 

formole (5), (6), otteniamo 



sen AT X Tz — X r. -^ X 2r. — x 2r.-^x 

1 1 1 , 

^^ ^3tc — ^ 3tz-\-x 4t, — x 

X «=i \nr. — X nr.-i-x/ 

valevole per tutti i valori di x non multipli di t:; e cambiando in 



i essa ^ in -— — x sì ottiene 



"* '^ l(2«+l)^-* (2„ + l)^ + ;.« 



valevole pei valori di x non multipli < 
Dalla formola (5) i 



/(col* \dx=:ldx( — 1 r h- ...1 

J\ X ) J \ K~x ^ + x 2^ — * 2^ + X I 



essendo x<.t. Nel secondo membro possiamo integrare termiiK i 
termine, perchè la serie 

1 I 1 l 

è equlcon vergente nell'intervallo {Q,x), giacché lo è nei due inter- 
valli t , -^ 1, I — , e 1, essendo e < n. Invero, nel primo internilo 
troviamo, con ragionamento analogo a quello sopra tenuto, 

1 i ,. ^ ,, 1^1 



e nel secondo intervallo, partendoci dalla serie che otteniam< 
proposta lasciando fermo il primo termine e aggruppando ì s« 
a due a due e permutandoli in ciascun gruppo, troviamo 



quindi etc. 
Avremo adunque 



(t>) / = Iim log ^ 
= log lim 



^ 



;%^f< 



197 



da cui 



sen;if := 



lim <x 



TZ' 



7;^ 



2« r.2 — Ar« n^T^-^x^ ) 



«^2 



2' TU 



o, come suole scriversi, in forma di prodotto infinito^ 

,10, »„, = ^1 - ^) (, - ^) (1 _ ^.) (1 - ^.) 



• j 



formola che rimane così dimostrata per < a: < i:, ma che si vede 
vale ancora per ;»? = e x:=i^, E vale anche per qualunque altro 
valore di x\ basterebbe, per dimostrare ad esempio che vale anche 
neir intervallo (0,c), r<2r*, partirci dalla formola 



1 . 1 

COt X + 

X « — 



1 



1 



Tt -\- X 



2^ — x 



+ •• , 



che si ricava dalla (5), e, osservando che il primo membro è inte- 
grabile nel!' intervallo (0 , c)^ integrare tra e a: < 1:. Si giungerebbe 
cosi alla formola (9), da cui si è ricavata la (10), che possiamo cosi 
ritenere dimostrata per qualunque valore finito di x. 

Operando in modo analogo sulla formola (6) troviamo 

....~s,4_^')(,-i;5)(,_i;^)0-^)... 

valevole per qualunque valore finito di x. 
Ponendo mente alle identità 

tf^K^ = «^ + «JWi — 1), ttotti«« = «0 + «o("i — 1) + "o«i(«2 — Or- 

«0«l«l . . . «n = «0 + «o("l — 1) + «0«l(«2 — 1) H- «o«l«2("3 — 1) + • • • 

-f «0«i . . . Un-llUn — 1), 



2 «,2 



abb^mo dalla (11), posto «o = ^> «* = 1 — 7^ 



2^x 



(2iè— 1) 



2-2 ' 



( sx 



=-!(-¥)('-i^:)-( 



2*x* 



(2« - 1) 



^)\' 






- .■•ti 

■ ' *^ 



^/- 



••« 



-■a 









198 
cos^= lim ]l \ r,i 2 ^ 1 o8 g ^2 t 

"~ • • • ~ TI* . 3^ ^« . 5*^« . . . (2« — l)«r.« i 

ossìa 

, 2';^'^ » 2«;»:*(tc«— 2^;f«) (3'^«— 2* a:«). . .[(2«— 3)«7c«— 2«*ì 
«« »=2 t*.3*t».5*'t«...(2« — l)*ii* 

valevole per qualunque valore finito di x ; ponendo x = —^ e per 
COS — — l'espressione 1 — 2 ( sen — ^ J , abbiamo ancora 

^/'^n ''-^ \ - «« + y /(!' -/) (3* -/).-• [(2« - 3)* -/] 
^V''° ^ j --^ ^li l'.3'.5'..(2«-l)* ' 

da cui 

sen — — — \ 

I ^ (l'-/)(2^-/)...[(2«--3)'-^^1 

/ ~ «=2 l^3^..(2«-l)« 

La serie del secondo membro è equiconvergente in un in- 
torno del punto ;V.= 0, perchè i suoi termini sono ivi positivi 

» 1 
e minori dei corrispondenti della serie S — — z- , che è conver- 

«=2 (2n — 1 ) 

gente perchè i suoi termini sono minori dei corrispondenti della 
serie convergente 

1 1 



3.4 ' 4.5 

Passando al limite per j^ = nella formola precedente possiamo 
dunque prendere, in luogo del limite della serie, la serie dei lìmiti 
dei termini, ed otteniamo così la formola notevole 

r.« , 1 1 1 1 



8 3* ' 5« 7« (2« — 1) 



« 



199 



4) Se < ;c < 1 abbiamo 



flogxdx 



/ ìogxax L -, a - 

/ l_^2 = /^og ^^^{1 4- ^'^ + ^* + A?« + . . . ), 







e, poiché / x*" log xdx = — - log x — — —- , 

^f «4-1 (« 4- 1 j'^ 



otteniamo 



r log xdx ^ r X'^n-^^ , a:2«+i I 



Ora la serie S r r è convergente se |^| < 1 ed è uguale a 

n.=tì2n + 1 

1 1 4- jr , :c X 2«4-i 
--. log (voi. I, pag. 314), e la serie S — — - è pure conver- 
ge 1 — X n=o (2« 4- 1) 

gente per |jr| -^1, perchè per \x\ < l il rapporto d'un termine al 
precedente ha per limite x^ al crescere di «, e per \x\ = 1 si riduce 



*> 1 t:» 



alla serie convergente S -. r-r = -^, e vediamo anche così che, 

n=Q (2« 4- i) , 8 

per essere i termini di questa maggiori dei corrispondenti della se- 
* ;c2"4-i 

'«=0 (2n + 1)^ 
l'intervallo (0, 1). Potremo adunque, non solo scrivere 



"^ 2 ^,-^_ ' , g per |a:ì< I, quesia ultima è equiconvergente nel- 



Cìogxdx , » x-n-\-^ X a:'-'»4-i 

J 1 — ** ,,=0 2« 4- 1 «=o (2« 4-1)^ 





1 , , 1 4- iv X a:2«4-i 



200 

ma, passando al limite per x converge 



pliin[log*Iog{l ' 



5) Volendosi calcolare / , dove 

Je' — l" 



>0 e^; 
dando la 

ht^dì 



se «>0 e_j'>*, e, poiché possiamo integrare termine a terminee 
ricordando la formola dimostrata nel n. 205 voi. I, abbiamo 



che possiamo anche, giacché le singole serie sono convergenti, se 



201 



vere cosi 



« e 



^nv 



X ^— ty 



(12) /5^ = -r S '-— - »y""- ' 2 -- 



X ^— «y 

mim- 1)...2.1 S - — Ti 






t— nx 



+ w^»»-^ S -::^ 4- . . -i- w(w - I) ... 2 . 1 S 



n=l ti 



nZm^^'' 



Osserviamo ora che S è uniformemente convergente nel- 

l'intervallo {^,oo), ^>0, perchè è convergente la serie a termini 

« ^— «tf X I oc 1 

non minori S ; che le serie S —5-, S — ^ ,... sono convergenti, e 

quindi uniformemente convergenti nell' intervallo (0 , oc) le serie 



« é^*^ X, ^-*^ 



, s 



•" 2 7'*^ 1 

«=i fr n=\ ir 



.. ; che lim ^J» ^ -"J' = ; che il 



X ^ 



- Ha- 



-log(l-^--) 



per ar>0, e che lim Jt'**log(l — e-^)=i 0. Per queste osservazioni si 



ir=:« 



vedrà subito come^ passando al limite nella (12) per^ crescente in- 
definitamente e poi passando ancora al limite per x convergente a 
zero, potremo sempre prendere la serie dei limiti dei termini in 
luogo del limite di ogni serie ed ottenere cosi 



oc 



x^ dx 



rx'^ 



l 



= 1 . 2 . . . m 2j 



1 



w=l « 



m4-l 







6) Pel calcolo di alcuni integrali con limite infinito giova qualche 

volta procedere in modo analogo al seguente: 

sen X 
Si voglia conoscere se è integrabile nell'intervallo (0, 00), 



e, ove lo sia, calcolare 1 dx. 







Abbiamo 



h 

*sen 



n 







'IT, 



òr. 



ni: 



nn-f-a 



--=S/-/-/--/-/Ì^-- 



t: 



2r. 



(n— 1)7: nr. 



do^ ì b = n7: -\- oLj a.<^r,. 



202 

Si riconosce subito che il primo termine del secondo membro 
è positivo e gli altri alternativamente negativi e positivi e dea^ 
scenti continuamente e indefinitamente in valore assoluto, perchè, 
posto ^ = 714-^, abbiamo 



<A+i)ii 



i sen X , i 



_ f sen(y -}- 7z) 



*7C 



y + 



71 



dy = -\ 



[k-Dli 



'senjf 



^y^ 



e quindi 



/ 



sen a: 



dx 



X 



ATI 



< 






sen^ 



y 

[k-\)T. 



dy 



ed inoltre, essendo 



«71 

j'sen X 

\J * 

(n-\)7z 



dx 



tlTZ 

i'dx 

<J- 

(n— l):i 



= log 




M7t+a 



/setìx 



dx 



< 



•°« (^ + i) ' 



nTZ 



«71 

sen X 



7171+ a 



. ,. / sen X j ^ ,. l sen X . _ 
è ancora lim / dx = 0, lim 1 ^ = 0. 

n=» ./ X n=7o J X 



(«-1)7C 



«71 



7C 



27C 37t 



Cosichè la serie ) / + / + /"^ • • • { ^ essendo conyer- 







71 



27C 



gente perchè i suoi termini sono di segno alternato etc, la somma dei 
suoi primi n termini ha un limite finito e determinato, ed avremo 



TI 



27C 



«1; 

senx 



/"^-=.'s./""-^'=- [|./ - h- -/Ì^H. 











71 



tn-Dn 



sen X 
e riconosciamo così la integrabilità di nelFintervallo (0,' )• 



X 



lore / dx, scriviamo cosi; 



fsen X , 
e I dx, 

J X 

ed osserviamo che, posto x^kx — ^, è 

e, posto * = i:t+^, è /"i^^d^v = (-!)* j^^=^(/>, cosi che 

T 
avremo 

= lim i fsen> — + - — — ^... [</»'>; 

m=^(J -^ ly ^—y ^+y 2^—y J ^S 

ina il limite della quantità tra parentesi sotto il. segno integrale è 

— — [Vedi forinola (7)], quindi, potendosi prendere l'integrale del 
a ly 

lit .te in luogo del limite dell' integrale giacché la serie — + 



204 

è equicon vergente nell' intervallo | 

Da questa forinola ricaviamo 

Posto ax z=y, se .» > , abbiamo i ox =i i — ay ^ — ; 

J X .' y ' 

e se <i<0, 1 dx = \~^ dy — ~ \ ii A-, — — — ■ cosichè 

V * J y .' >i 2 

Questo integrale ci dà un esempio di una funzione della quan- 
tità a, che per a positivo ha un valore costante, per a negativo un 
altro valore costante ed ha cos) una discontinuità di prìma specie 
per n^O, dove prende il valore medio dei valori che assume per 
a positivo e per a negativo. 

Esercizi 

1- rl^^=.+i(_„.i^--Mi^>i^ 



.'vr- 



J\>l-n 



-1 I Si i..i-Ma"-i) 1 



205 



or 



/-V/i^_^4 «=i 2.4...2« 4«-hl ;r 



X ,x 1.3...(2« — 1) 1 

;iog(l+.)^^_^ 
j a: 6 



Ti 
2 

f, / l 4- >l sen x\ dx , . , , ^ . 

H. /logi -; ; I = 7carcsenA , \k\^ì. 

J \ì — ksi&nx / sen;t? ' ' ■ — 







/• dx 

4. /log(l-f-^cos A?) = IT are sen /t , \k\^\. 

! cos jr 



1 

T^ - rxlogxdx . , , . ^' T 

5. Posto 1 =/— j j- SI trovi la relazione + I = 41 , 



da cui I = — ~, e se ne ricavi 

24 



1 1 
l'IogA"^ ^t* fìogxdx TI* 

j Ì—X "^^ TT'./ l-hAT """"TF 

H 



e le formole 

5 — 1 + 2* "*■ 8* "^ 4* "*" 5« "^ • • ' 



n 



t 



1 1 il 



12""^ 2« "^8' 4* "^ 5* •"' 



:i 



2 



l 1 I 1 



24 ^ 2« "^ 4« ^ 0» "*" 8* ^ ' * • 



206 








fxsen^fdx 


= "('- 


1 


"■ iì+co,-« 


3 




_ I 


l 


+ — 


ad esempio si 


ha, 


per « = 


1.* 


« = 3,^ = 4, 









i(^--^)=!|-.)-r.^.i(^-'-^)=il-"-^. 

n + log(3+aV 2)_t, .,. 1 ■:-log(3 + 2V2| _j^ ,,. 1 
4V"2 .=J' '^l+to' 4V2 .3ì"'3t<- 

8. / ePcos'F cos(p sen f) rf? =: n, 

/ éfcoif cos(p sen tf) <f¥ = -^ + l(- I)" 

(Voi. 1, pag. 923). 

9, Se « è intero positivo, si ha 



1 .2...(2«+ 1) SbtI 



I i-così cos(p sei) tf) cos rifd^f^— - — ^ 
I f P"^"*? sen (p sen tp) sen tiì df = ~ , ^ „ 



(Dimoslrare e servirsi delle formole j cos mx cos tix tìx =: {h 



rwT 



jsen mx sen nx dx ^n 0, se m ,fi interi positivi sono diversi ; 



l sen mx cos n xdx = anche se m^=tì^ e 



t: 



I cos' wjir dx = -^ , I sen* wat c/;t = -^ j . 



(» 



,^ rsen(alog^) 
J log X 






2^n 



>'[(logj>') 



?n 



— 2»(log^y-i«-i + 1X2« — 1) (log>'p-*-i — ... + 2n{2n — 1)..?.1]| 
se ^ > e qualunque sia a; e, se — 1 ^ <? ^ 1 , 










sen {a log ^) 
log:v 



dx = are tg ^. 



u 



12. Posto S^ = 1 + a cos x-\-(x} cos 2A:-|-a* cos 3x-\-.., -l-a"— ^cos (« — 1 \x 
e avuto riguardo alla formola 2cos kx cos ;r = cos(^ — l)x + cos(>& 4- 1)^, 
si trova (1 - 2a cos :v 4- a') Sn = l - a cos ;v - a*» cos nx + a»+i cos(« - 1)^, 
dalla quale^ se |a| <], si ricava^ qualunque sia x, 

1 - a cos * , « ^ f» , . 

= 1 + a cos x-^ (X* cos 2jv -f a^ cos 3;c + ...4- a**cos «^4*.... 






**■• 



207 • 



1 - 2a cos X -\- OL^ 
e da questa 

l-a* 



1 — 2a cos * 4- a' 



= 1 4- 2(a COS X -\- a} COS 2;i: -f- a^ cos JiJf -I- ...). 






, . . , j sen;nf sen nix dx 
In conseguenza, si provi che / — ; 

j x~.»5c cos X ~t~ 5t 

m intero positivo e ]«!<!. 



2 ' 






•V. 



» r. <« - 



'•J. 



• ^• - 



-fe^ 



-/ ■*■ 



.-M 



••-V: 



.V^tfAl 



• . ■■•Ti 



2i)8 



TC 



18. /cos mx log(l — 2a cos x + a})Jx = — , m int. pos-, ;a| < l 



|Si dimostri la forinola 



scsen X 



1 — 2acoSA:-i- a* 



= a sen X -\- OL^ sen *2x -\- a^ sen 'òx + a* sen 4* -f ..., 



e da questa si ricavi 



,, ^ „ ^/ a*cos2A? a^cos3;e a^cos4Ar \1 
log(l-2acos;if4-a*)=i — 2( acosATH ^ H 1- h.-j 



Alcuni teoremi sulle funzioni a due o più variabili indipendenti 



8o. Per l'ulteriore studio degli integrali definiti ci occorre ora 
dimostrare alcune proprietà delle funzioni a due o più variabili in- 
dipendenti, che sono la generalizzazione delle analoghe, per le fun- 
zioni di una variabile indipendente, svolte nel Voi. I a pag. 88 e 
seguenti, e di alcune delle quali, pel caso di due variabili, abbiamo 
dato un cenno nel n. 75 del voi. I, e che ora dimostreremo piti 
ampiamente. 

Sia C un campo di valori per le variabili Xy^ , x^ ... x^ , e siano 
{a) un punto di coordinate (a^ , a^ ... an% (b) un altro punto del campo, 
di coordinate {b^ , b^ ... è»). Siano Xr = x^it) funzioni continue di t ^ 
pei valori di / da /^ a /i , ove è ^r = Xrit^)^ br = Xf{fi) ; a questi va- 
lori di / corrisponderanno dei punti che costituiranno una succes- 
sione continua o linea o cammino, che, se è tutta nel campo C, 
diremo essere una linea del campo che unisce i punti (a) e {b). 

Il campo C dicesi connesso^ se due suoi punti qualunque possono 
unirsi mediante una linea tutta appartenente a C. Ove non si av- 
verta il contrario, dicendo campo C, intenderemo campo connesso 
e finito. 

Potremo, per semplicità, limitarci a considerare le funzioni 
ié{x jjy) di due variabili indipendenti * , y ; le dimostrazioni che da- 



• f T 



209 

remo si estendono con tutta facilità al caso di funzioni di più va- 
riabili. 

Sia u(x,^) funzione finita dei punti di un campo C. Abbiamo 
già notato (voi. I, n. 75, pag. 115).che, se in un punto (^o >^o^ la « è 
continua ed è diversa da zero, esiste un intorno del punto (xq ,^o) 
per tutti i punti dei quale la u mantiene lo stesso segno di »(;rQ,^o). 

Abbiamo poi i seguenti teoremi ; 

8i. Se u(x , y) è continua in tutto il campo C *), es'ste almeno 
un punto di C nel quale la u prende un qualunque valore compreso 
tra u(xo ,y^) e u(xi , y^) essendo (x^ , y^) e (xj , y\) due punti qualunque 
di C (Conf. voi. I, n. 59). 

Infatti, uniamo {x^ ,/^), [x^ ,^i) con una linea L contenuta in C, 
le cui equazioni siano x z=. x{t)^ y '==-y{t)^ x[t\ y[t) essendo funzioni 
continue di /, e tali che x^ = x(t^), y^ =y{t^\ x^ =: x{t^\ y^ =X^i)- 
La funzione continua di /, F(/) = u\x{t\ y{t% prenderà per qualche 
valore di / compreso tra t^ e t^ un qualunque valore compreso tra 
F{/<j) = u(Xq ,^o) ® F^^i) = ^{X\ )^i)j e a quel valore di / corrisponde 
un punto di C appartenente alla linea L, e rimane cosi dimostrato 
il teorema. 

82. Sia u(x , y) funzione finita nel campo C ed \ il limite supe- 
riore (od inferiore) di u nel campo stesso. Allora esiste in C almeno 
un punto (x' , y'), che può anche essere sul contorno di C, tale che 
in ogni suo intorno il limite superiore (od inferiore) dei valori di u 
è ancora 1 ; tale cioè che in ogni suo intorno nessuno dei valori che 
prende u supera (0 è superato da) 1, ma, dato 1 — - o (<? 1 4- o), vi è 
sempre in quell'intorno qualche punto (xi,yi) pel quale u(xx,yi)>l — o 
{0 u(xi,yi)<lH- 0), ossia |u(xi ,y,)— l|<o. (voi. I, n.» 62,75). 

Infatti, supposto / limite superiore, ed a ,b il minimo e massimo 
valore di ;i?, e ^ , rf il minimo e massimo valore di y per tutti i punti 

di C, consideriamo le rette a? = ^ H — , j; = e H — , le quali 

dividono il campo C in regioni^ in una delle quali almeno il limite 
superiore dei valori di « è ancora / ; prendiamo a considerare quella, 
o ma di quelle, ove ciò succede, ed indichiamo con a^ , b^ il mi- 



') Dicendo campo C intendiamo sempre « campo fìnito Q incluso il 

COI orno ». 

14 






210 






\fi 



.ff 



nimo e massimo valore di a*, con c^ , di il minimo e massimo valore 
di jy per tutti i punti di questo nuovo campo Cj , contenuto com- 
pletamente nel primitivo C, ed osserviamo che ^ ^ ^i , ^ ^ ^i i 
^ ^ ^1 ? d'^di . Ripetiamo lo stesso procedimento relativamente al 
campo C^ ed a quelli che mano a mano in questo modo si presen- 
tano, ciascuno dei quali sarà sempre contenuto nei precedenti. Na- 
scono cosi le due successioni di numeri 



^ ^ ^1 ^ ^t ^ • • • ^ ^n ^ • • • > ^ ^ ^1 ^ ^« ^ • • • ^ ^w ^ • • • ) 

che hanno per limite un unico numero x' ] e le altre due succes- 
sioni di numeri 



e ^ ^1 ^ ^, ^ . . . -^ ^n ^ . • • ; ^ ^ ^1 ^ ^« 



'n 



che hanno per limite un unico numero y; il punto (x' ,y) appar- 
tiene a tutti i campi C, C^ , C^ , . . . , nei quali il limite superiore 
dei valori di w è ancora /. 

Ora, qualunque e comunque piccolo sia un intorno e di (x ,/), 
potremo sempre prendere n così grande che il rettangolo determi- 
nato dalle rette x=:a„ ^ xzzib^y jy=::Cny y = dn ^ o il pezzo di esso 
che appartiene a C, sia contenuto in e: quindi anche in e il limite 
superiore dei valori di u è /. 

Da questo teorema si ricava subito, con dimostrazione perfetta- 
mente analoga a quella del n. 63 voi. I, il seguente: 

Una funzione u(x , y) continua in tutto il campo C e non C4h 
stante prende sempre nello stesso campo il valore massimo e il valori 
minimo^ cioè^ se 1 è il limite superiore (inferiore) di u, esiste semprt 
in C almeno un punto (x' , y'), che può anche essere sul contomo, 
tale che u(x' , y') =: 1 . 

Notiamo poi che se la u{x ^y) è data solo pei punti d' una linea 
L o si vuole considerare per soli questi punti, si ha che: 

Se \ è il limite superiore (inferiore) di u(x , y) nella linea L, 
esiste su questa linea almeno un punto (x' , y'), tale che in ogni suo 
intorno appartenente ad L il limite superiore (inferiore) dei valori 
di u è ancora 1. 

Invero, supponiamo che le coordinate x ,/ dei punti di L si 
ottengano dalle due funzioni continue a: = a?(/), ^ =/(/) attribuei io 
a / i valori da t^ a /j, cosichè la u divenga una funzione di / r ^1- 
l' intervallo (/^ , t^). Allora al punto /', in ogni intomo del qual il 
limite superiore (inferiore) dei valori di « è ancora /, e a questi tt- 



211 

tomi, corrispondono sulla linea L un punto (x ^y) e degli intorni 
nei quali il limite superiore ài u h l. 

83. Se u(x , y) è funzione continua nel campo C, assegnato un 
numero positivo o, esiste un corrispondente numero positivo 5 tale che^ 
per tutti i punti (x , y) del campo, è 

|u(x,y) — u(xi,yi)| <<^, 

essendo (xj , yj) un punto qualunque di un circolo con centro in (x , y) 
e di raggio i, un punto qualunque di quella parte di questo cir- 
colo^ che, contenendo il punto (x , y), appartiene al campo C. 

Invero, assegnato o, esiste per ogni punto (x ^y) di C un intorno 
di {x ^y\ per tutti i punti {x^ ,71) del quale è \u{x ^y) — u(x^ ^y^\ < o. 

Ora si può e giova prendere come intorni del punto {x ^y) dei 
circoli col centro in questo ^unto, o la parte di essi che, contenendo 
il punto (x yy)y appartengono al campo C; cosichè potremo dire che, 
per ogni punto (x ^y) di C, esiste un numero positivo e tale, che 
per tutti i punti (ati ,^i) del circolo di raggio s col centro in {x ,^), 
o per tutti i punti {x^ ^y^) di quella parte di esso che contiene {x ,y) 
e che appartiene a C, è \u(x ^y) — u{Xi ,^i)| <^a. Di questi numeri s 
ne esiste un numero infinito per ogni punto del campo, giacché, esi- 
stendone uno, tutti i numeri positivi minori godono della stessa pro- 
prietà. Noi considereremo ora per ogni punto (x ^y) il limite supe- 
riore di questi numeri e, che indicheremo con ^{<3fX,y), e questo 
limite superiore è una funzione dei punti {x ^y) del campo C. In- 
dichiamo con 8 il limite inferiore di questa funzione ^(p ^x ^y)\ è 
chiaro allora che risulterà dimostrato il teorema se proveremo che 
5 non è zero. 

E ciò che effettivamente ha luogo. Infatti, sia (x ,y') quel punto 
di C in ogni intorno del quale il limite inferiore dei valori di 
s(z^x^y) è ancora 5; e sia r il raggio del circolo (r) col centro in 
{x ,y) tale che per tutti i suoi punti (x^ ,^1), o per i punti di 
quella sua parte (r)i che contiene (x ,y') e che appartiene a C, è 

a 
\u^x ,/') — u{xi ,^i)| < — . Descriviamo ora col centro in (x ^y) e con 

«•/ 

ra gio — un circolo, e consideriamo tutti i suoi punti {x^ ,^2), o 
tu i i suoi punti che appartengono a {r\. Qualunque sia il punto 



0' 



, f 



212 






I V. 



iV; >" 



%• 



(*« j^s)) il circolo ( -^ ) di centro {x^ ^y^) e di raggio — è conte- 
nuto in (r) e contiene {x' ^y\ cosichè, se (^-3 ,^3) è un punto qua- 
lunque di ( -— j o di quella sua parte che è contenuta in (r),, avremo 



e da queste 



<x^,yò — <x^,yz)\<^\ 



dalla qual formola risulta che per tutti i punti {x^ ^y^ la funzione 
^{^ i^%iy%)i ^ quindi anche il suo limite inferiore, non può essere 

minore di -7-. Ma per tutti i punti (x^ ^y^ il limite inferiore di 

e(o , x^ ,^g) è ancora il limite inferiore 8 di 5(0 , x ^y) per tutti i punti 

r 
del campo Cj dunque 5 non può essere minore (Sì —, e quindi è 

A/ 

diverso da zero, come volevamo dimostrare. 

Questo teorema dimostra che le funzioni continue sono unifor- 
memente continue o equicontinue per tutti i punti del campo C, 0, 
come suol dirsi, nel campo C. 

Da questo teorema si ricava, senz' altro, analogamente a quanto 
abbiamo visto al n. 64, voi. I per le funzioni di una sola variabile, 
che: 

Se u(x , y) é funzione continua nel campo C, assegnato un nu- 
mero positivo a, esiste un corrispondente numero positivo i tale che e 

lu(x',y')-u(x',y')Ko, 

essendo (x* , y') , (x* , y") due punti qualunque del campo appartenenti 
ad un circolo di raggio t e col centro in un punto qualunque (x , yl 
del campo y due punti qualunque di una parte di un circolo di 
raggio 8, che ha il centro in un punto qualunque (x , y) e che^ con^ 
tenendo questo punto^ appartiene al campo. 

Notiamo anche qui che, se la funzione u{x ^y) data e tìnìta lel 
campo C è continua rispetto alle due variabili x ^y per tutti i pi iti 
d'una linea L, essa è su questa linea uniformemente continua^ ci è: 

Dato a, esiste un corrispondente numero positivo 5 tale che^ j ìt 



J 



213 
tutti i punii (x , y) di L, è 

|u(x,y) — u(xi,yi)|<o, 

dove (x, , Vj) è un punto qualunque di un circolo col centro in (x , y) 
e di raggio 5, o un punto qualunque di quella parte di questo cir- 
colo che^ contenendo il punto (x , y), appartiene al campo C. 

La dimostrazione, con modificazioni lievissime ed evidenti, è la 
stessa del precedente teorema ; cosi, comincieremo col dire che, asse- 
gnato a, esiste per ogni punto (x ^y) di L un intorno di (x ^y) appar- 
tenente a C per tutti i punti (x^ ^y{) del quale etc. 



Continuità, derìvazione e integrazione 
degli integrali defìniti rispetto ad un parametro. 

b 

84. Consideriamo un integrale ìf{x ^y)dx^ dove b'> a q f{x ^y) è 

a 

funzione finita di x ^y pei valori del campo rettangolare limitato dalle 
rette x=za^ x=:by y:=oL, y=z'^^ ed integrabile rispetto alla x nel- 
Y intervallo (a , b\ qualunque sia il valore di y dell' intervallo (« , 3) ; 
esso è funzione della variabile o parametro^, e lo indicheremo con ^y)» 
Siano y^ eà yQ-\- k valori di y dell' intervallo (a , h^) ; abbiamo 

b 

\r{y, + *) - f(j,)\ = I /[X* ,J>o + *) -/(* ,A)] dx\ , 

I •^ I 



a 



cosi che è condizione necessaria e sufficiente affinchè ^(y) sia con- 
tinua per y =yQ che, dato o, esista un valore Ìq positivo tale che 
per \i\ ^ko il secondo membro della precedente formola sia minore 
di o. Ora ciascuna delle seguenti è, da se sola, condizione sufficiente 
ai 'nchè ciò avvenga: 

Che la f{x ^y) sia sempre finita, e sia per y =yo equicontinua 
(A udì Voi. I, pag. 113) rispetto alla ^ nell' intervallo (a^b) di at, cioè 
p< ' punti dell'intervallo (a^b) sulla retta / =^0 5 perchè allora esiste 



214 

un i^ tale che per \k\ ^i^ è 

!/(' .A + *)-/!» 

per tutti i punti di quell' intervallo, 

ji/i'.j'.+tì-/ 

ed a foriiori 

\fiy<. + *i — T 

2) Che la f{x ,y) sia sempre finita > 

tervallo, {a ,ò) su _f ^^/oi continua rispetto alle due variabili (x ,/ì ; 
perchè allora, in virtù del teorema alla fine del n. 83, esisterà un ig 
tale che ecc. 

3) Che ìaf{x,y) sìa sempre finita, e, ove non siano soddisfatte le 
due precedenti condizioni, ciò dipenda dall' esservi nell' intervallo 
(a ,fi) su _>' ^=^g dei punti, in numero finito, la cui presenza faccb 
cessare la equìcontinuità di /(* ,^) rispetto alla y, o nei quali la 
/{x ,y) non sia continua assolutamente rispetto alle x ,y ma, tolti i 
quali con intorni comunque piccoli, negli intervalli restanti \3j{x,j 
sia equicontìnua rispetto alla y, o continua rispetto ad x,j: 

Invero, se £ è un tal punto, osserviamo che 

i-I c+t i 

My. + kì- =f(^o)l = I i/ + / + /j [/(*'^» + *) -^^ '-^•■11'^ 

a c-s. e-j-e 

dove e indica un numero positivo. Se A è il limite superiore de 
valori di \f{x,y)\ nel campo di valori che consideriamo, o un nu- 
mero qualunque maggiore di questo limite, abbiamo 

\ f/(* ,^0 + AK* : < A2., I [/(* ,y,) dx I < A2:, 

c+i 

e quindi [[/{x ,/, + i) -/(x ,y,)] dx 1 < 4A. ; 



irr 



I 



"T- 



215 

o 
cosichè, assegnato o, potremo fissare e in guisa che risulti 4 As < — , 

ó 

e poi determinare k^ in guisa che, pei punti degli intervalli (<j, e — e), 
(c-\-Syb) su^=:^o, e per \k\^kQ^ sia 



I 



*i c-f-e 



<!■ 



ed allora per quei valori di k avremo \^yo + *) — qp(A)l "^ ^' 

Si intende subito come la dimostrazione si estenda al caso di 
un numero finito di punti come e. 

4) Che, mantenendosi la f(x ^y) sempre integrabile rispetto alla x 
pei valori di x ^y da considerarsi, se in (a ^V) vi sono dei valori 
;ri= r, in numero finito, tali che f{c ,^) sia infinita per y =^o) ^ sia 
infinita per tutti i punti d' un intorno, sulla retta x-=zc^ del punto 
{e ,^o), si possano però per ogni punto e trovare due numeri posi- 
tivi k^y e tali che, per \k\^kQ e qualunque sia s^ positivo e <s, 
i due integrali 

(0 /[/(^ ,^0 -h k) -^/{x ,^o)] dx, [[/{x ,y, + k) ^Ax ,y,)] dx 

siano numericamente minori di un numero prefissato a; e che la 
f{x ,y\ tolti i punti e con intorni comunque piccoli, negli intervalli 
restanti sia tale, che il corrispondente integrale sia funzione continua 
di^ i^ry=y^. 

Infatti^ supposto che vi sia uno solo di tali punti ^, avremo 

e— E c-fs b 

a e— « c-r-e 

e— « b tf-Sj c-fe 

= j / + 1+ lim 1+ lim II [/(;. ,;^„ + ^) -/(* ,^o)l <'*; 

*» C-fe e- 8 C-j-Ej 

m , per la ipotesi ammessa, dato a, potremo fissare s e ^^ in guisa 
ci 5, per 1^1 ^ ^Q, ciascuno dei due ultimi termini del secondo mem- 



216 

bro risulti numericamente minore di — - ; e poi ^i^k^ in guisa che 

i due primi termini siano, ciascuno, minori numericamente di —, 

cosichè per \i\é:^i »' »vrà Hy^ + ^) — f(yi)\ < "■ 

Se e è uno degli estremi dell'intervallo {^,è), si intende cht 
si avrà da considerare uno solo degli integrali (1). 

Esempi 
1 ) Neil' integrale 

f (/) = /log{l — Sy cos X +f) dx 

la funzione integranda diviene iniìnita nel punto *^0 per/ = I. 
mantendosi integrabile. Ora 

f{l+iH{ì)= \f+[\ ]log[2(ì+i) (l-cos*)+in-log2(I - QOsxnJx 

ovvero, osservando che 

log[2(l + ,S)(l-cosar) + A^— log2(H-i)4-log(l-cos«+-p— j), 

sarà 

<f(l+i}-^(l) = ,Iog2(l+i) 

+ / [log(l -cos* + -— -j-^) -!og2(l -cos*)p* 

+ /Ì log[2(l +*)(! -cos«) + i'I - log2{l — cos*)| <&. 

Se si comincia a supporre • sufficientemente piccolo, mettiarac sia 
a<-— , sarà, pei valori di x da considerarsi nel primo ìntegr le. 



— < — <cos;r, e preso |^| ^ ^o< y sarà - ^ ^. 



217 

: < ^ < -T- < COS ^, 

4 



e quindi 1 > 1 — cos x -h 



k" 



log( 



1 — cos X -\- 



2(\-\-k) 



2(1 4- i^) 



^ l — cos Xy e perciò 



■) ^|log(l— cosx)| ; 



e, poiché, per n numero positivo qualunque e che a noi giova ora pren- 
dere minore dell' unità, è lim ^ log (1 — cos x) = 0, come facilmente 



r=0 



TC 1 

si verìfica, possiamo ora asserire che, per ^ < e < — e per \h\^k^<, 

ó 



2 ' 



le espressioni 

x^'^ log lì — cos ^ + j \ , x\^ log(l — cosa:) 

saranno numericamente minori di un certo numero positivo A. e 
quindi 



E 
I ,- 



[log(l - 



COS^C-J- 



2(1 + 



\ 1 Asi-Ji 

■^j — log (1 — cos x)\dx < Y_^^ J 



cosichè osservando ancora che, per quei valori di k^ è slog2(lH->^)<slog3, 
potremo fissare 6 in guisa che, per quei valori di k^ sia 



log 2(1 +^)+/ [logA -COSA? H- -p^^ -log 2(1 -cosa:)! ^a:- 



< 



2 ' 



essendo 3 un numero dato positivo e comunque piccolo. Poi pren- 
deremo k^ ^^Q in modo che per \k\ ^ki sia 



•te 

: / jlog [2(1 +k)(l—cosx) + k'] — log 2(1 — cos x)ì dx 



i 

cosi he, per quei valori di k^ è 

|cF(l + ^)-qp(lj!<a 

e la qp(^) è continua anche per^= 1. 





<2' 



In modo analogo si proverebbe che ?uj e < 
/ =: — 1 , nel qual caso la funzione integranda diviene inJìnita 
per x — ^. 

Verifichiamo poi che questo ha realmente luogo, perchè è 
,(^) = jtlog/ per 1^1 >1 e <f(>-) = Oper — l^^i^l [n. 198 voi. 
1, 5) ed esercizio 3" a pag, 183]. 

2) Sia -({y) ^ /tg" X dx dove supponiamo sia — 1 <.y < 1 , (La fun- 
zione i^y X è allora integrabile nell'intervallo (0, — j. perchè se } 

è positiva diviene infinita di ordine _>> per «^ — , e se _y è negi- 
tiva diviene infinita pure di ordine \^ nel punto x ^(i, percbi 

lim (x ltga::=l, lim ^1, e se v^Osi mantiene sempre 

,_ÌL^ -' ' ^0 tg* ' -' * 

finita). 

Ora, quantunque la funzione integranda per * ^ I o per x^—\ 

diventi infinita qualunque sia y negativo (o positivo), la i^y) è 
tinua per qualunque dei valori di y che consideriamo. 
Invero, supposto > > 0, avremo 

ma, se v- indica un numero qualunque positivo < 1 e >_)>. e si pi 

ko tale che sia^^i + i„<ii, cosichè per \k\ ^i^ sia anche y + i<.?, 
avremo, per \è\ ^k„, 

lim_ (-^ - *)''(tg.^+* X — Xg* X) = 0, 
dalla quale risulta subito l'esistenza di un intorno ( — — * > -5- ), ' o« 



219 
potremo già supporre s < -j- y P^r tutti i punti x del quale, -^ 

— x\ (Xgf+^^x — igyox) risulterà minore di una certa 

quantità positiva A, e quindi anche per \k\^kQ e pei punti dello 
stesso intorno risulterà anche 



(-^ ~ xy{tgy+^ A? — tg^ a:)< A 



7r_ 

2 

Asi-1^ 



r Asi-^ 

perchè tgs'+^ x < tg^+^o x. Cosichè /(tg^^-* « — tg^ x)dx < , 



n 



e ragionando come nell'esempio precedente si prova che cp(^) è con- 
tinua pel valore ^ che consideriamo. 

In modo analogo si proverebbe che ^(/) è continua se ^<0, 
e se j^ = 0. 

Il che si può verificare perchè sappiamo che è [N. 73 esem- 
pio 4) ] 

2sen^-— - — n 



85, Supponiamo ora che i limiti a , b dell' integrale sieno fun- 
zioni dì ^ ja:= a(y)y b = b(y\ continue per y =/o) ® 1^ /(^ )^) sia 



*(>'o) 



finita e tale che mx ,y)dx sia funzione continua di y per ^ = ro. 
Allora la funzione di y , 

è a "tinua per y =:/q . 



ma, se A Ìndica un numero positivo 
ili \/(x ,jì)\ per tutti i valori di x ,y 

cosichè, dato a, poiché aij'), b{)>) sono contìnue per ^=^1, e per 
la proprietà supposta di f{x ,y), esìste un numero k^ tale che per 
k\ ^ Ì„ è 



I /[y(* ,y. + i) -fi'' ,^o)W*| < ~ , 

e quindi, per tali valori di i, 

Ìfij'^ + i)-f0<.)\<^- 

Notiamo poi che tf(_y) potrà essere continua anche se la /{x,j) 
non si mantenga sempre finita. 

86. Consideriamo l' integrale 




221 

ammessa integrabile la fi^ ^y) nell' intervallo {a , oo) per tutti i va- 

Y 

lori di y di un intervallo (a , ?), e tale che \f{x^y)dx risulti funzione 

a 

continua di y per quanto grande si fissi y- 

Supporremo inoltre che, assegnato a, esista un numero r tale 
che, per tutti gli y di un certo intorno (y^ — ^o > ^o + ^o) ^^ A? ^^^ 

b 

I « I 

/y(*'>')^ "^^j qualunque sia A>Y, ciò che esprimeremo dicendo 



■-•?? 



:■ t:^ 



V 






che l'integrale \j{x ^y)dx è uniformemente o equi-conver gente in fnodo 

a 

semplice *) nell' intorno (/q — Ìq ^y^ + >&o) di J^o* 

Dico allora che T integrale ^(y) è funzione continua di y per 

Infatti^ dato a, fissiamo r in modo che risulti 



\A».y)dy 



< — - pei punti y di {y^ — K-i y^"^ K) ^ qualunque sia 
3 



^>r, cosichè sia 






Vi 



T D 

= I /[/(* ,/« - *) -/(* ,^«)]<«« +/[/(* ,A + ^) -/(* ,a)]''^ 



< /[X* ,^0 + *) —A* ^yo)]à' 





J J 



^ì Un ìniegr ile J' fix , y)dx dicesi uniformemente o equi-conver gente in un 

inter allo <a^ p) di y s\ dato a, esìste un numero e tale che, per tutti i punti y 

b 
di a 3), è \/f{x,y)dx\ <o, qualunque sia y:::::^.^ e 4ua!unque sia &>>y» 

Y 



" s» 



per \k\^k^ e qualunque sia 
iìnitamente, avremo perciò 



ma possiamo determinare k^ ^ k^ in modo che l' integrale del se- 
condo membro risulti minore di -—- per ]Ì|^i,,cosichè, per |j(ì^iS,j 
sarà 

bU + *}-^U)l< = , 

che dimostra il teorema. 

Relativamente a tutte le precedenti considerazioni faremo infine 
notare che le condizioni imposte alla f{x ,y) sono condizioni suffi- 
cienti, affinchè l'integrale ^(/) che in esse si considera sia funzione 
continua di y, cosi che, ove non siano soddisfatte, potrebbe ciò noe 
ostante essere ti(y) funzione, continua j ma ciò allora non potrebbe 
senz'altro asserirsi ed occorrerebbero perciò speciali ricerche. 



Esempi 
1) Dimostriamo che l'integrale 



, 1 r*"~'g 



è funzione continua di a per i valori di a dell' intervallo (0 , 1 (, 
esclusi gli estremi. 

Questo integrale venne considerato al n. 73, esempio 2), e si 

dimostrò essere uguale a pei valori razionali di a compresi 

tra e 1. 

La funzione integranda è, pei valori di .« e di <i che consl ?- 
riamo, sempre continua assolutamente rispetto ad x.a; ìnohe, 
poiché il valore «„ che considereremo è compreso tra e 1, vi sr 
un intorno [^ , '?) di a^ tale che < « O < l , e pei punti a 



223 



questo intorno, se si suppone ^ > 1 , sarà 

x^-^ 1.1 1 



X 4- 1 x^-^ (jc + 1) — a:!-? (^ + 1) "^ ^^-? ' 
e quindi, supposto r > 1 © ^ > Y, 

b b 

p^-i dx r ^^ __ 1 / 1 1 \ 



cosichè, qualunque sia il numero positivo a assegnato, potremo 
sempre determinare y in modo che, qualunque sia ^ > r , e per i 

b 

/xa—\ dx 
— — < o > ed il nostro inte- 
\ -Y X 

T 
graie qp(a), essendo perciò convergente in modo uniforme semplice 

nell'intorno (a,?) di ^^ , è continuo per a-=-a^^ essendo a^ un va- 
lore qualunque compreso tra e 1. 

Ora possiamo provare che la formola ?(j) = , dimostrata 

sen tfTì 

al n. 73 per a razionale e compreso tra e 1 ed ivi ammessa per 
tutti i valori di a dell'intervallo (0, 1), esclusi gli estremi, vale ef- 
fettivamente per tutti questi valori. 

Invero se a^ è un numero irrazionale qualunque maggiore di 
e minore di 1, sia esso il limite di una successione ^i , ^2 > ^s , . . . 
di numeri razionali interni all'intervallo (0 , 1). Vale allora la formola 

c?(j„) = («=1,2,3,...), 

sentfn'^ 

e passando al limite quando a^ assume successivamente i valori 

jj , tfj , ^3 , . . . , poiché è lim = '- — ed abbiamo ora di- 

sen ay{r, sen a^r^ 

mostrato che lim cf(tfn) = ?^o^ abbiamo 



X 

/ ^ (x^^—^dx r. 

j \ -T X sen a^r. 





2) Se la funzione f{x ^y) è integrabile nell'intervallo {a , 00) perchè, 
per tutti i valori y di un certo intorno di /„ , soddisfa alla condi- 



le dell' enunciato del teorema al n. 72, restando ferma l'altra 
dizione che \f{x yy)dx sìa funzione continua Ai y per/.^_>B per 

nto grande si fìssi v. l'integrale ?{^)^ l/(* ,_>>)(£«; è funzione «Mi- 
adi _;> per y ;=_)'o . 

Proviamolo nel caso che il prodotto !*'+*'/(* ,^)l) dove ii>(l, 
lunque sia/ appartenente ad un ceno intorno Ai }\, risulti mi- 
: di un certo numero /: positivo. Allora a 



r T r 

loichè 11 è positivo, potremo, dato :, fissare i in modo che etc. 
Cosi ad esempio, possiamo subito asserire che 1" integrale 

-— — dx, dove < u < 1 (cosichè la funzione - , è inte- 

jìle in un intervallo cui appartiene il punto * = qualunque sia y\ 
inzione continua di/ per qualunque valore Ai y, perchè abbiamo 



Tsen (xy\ 
Se ji = 0, cioè se si considera 1* integrale /- — dx, (xxat- 

:bbe istituire speciale ricerca, e si vedrebbe facilmente, usando I2 
noia 

| -sen(../) ^^_ cos(;ry) 1 fcosjxy) ^^ 
J X xy y J X* 

a quale si trae 

b » 

f^^iv) j^^ ':os(^/) , cos(t/) 1 rcos(jry) ^^ 

T t 

esso è funzione continua di y, se y è diverso da zero ; ma lo 



^ 



225 

■ 

stesso procedimento non serve a indicarci se esso sia continuo, oppure 
no, perjv=:0. 

Riconosciamo però, d*altra parte, che non Io è, perchè / — ^ dx è 







uguale a -^ per ^ > 0, eguale a — — per j; < 0, ed eguale a zero 
per^ = (n. 79, es. 6). 

87, Proponiamoci ora di calcolare la derivata rapporto ad y della 

b 

funzione (f(ji)= mx ,/)dXj per/=^o. Dovremo calcolare perciò il 

a 

limite^ per k convergente a zero, di 



<■•.- 









,'i?-' 






fUo + *) — <f(a) r/(* >>o + *) — /(* ,/o) 



k 



=/ 



^, 



^ 



nello stabilire la qual formola si presuppone che /(x ^y) sia integra- 
bile nelP intervallo {a , V) quando per y si prendano i valori di un 
certo intorno del punto ^q? i punti y^-\-k del quale vengono in essa 
considerati. Supposta inoltre la f[x ,y) continua rispetto alla y pei 
punti di detto intomo e per qualunque valore di a? di (a , b)^ e che 
ammetta per questi valori di x ^y la derivata rapporto ad y^ avremo 

essendo < Oa. < 1 ; e quindi ancora 

b 



k ' 



= i[/"y(* j>'o + 0*^) ^^ 



i> 1. 



*s 






dall t quale 



(1) 



^e + *) - t(yù 
k 






15 



---s--^- 



226 

Ora se, dato e, esiste un numero Uq positivo tale che per ^k\^. 
risulti 

b 



(2) I /[/> ^y, + e. k) -f\{x ,y,)\dx 



<^, 



dalla formola (1) si ricava 

b 

(3) Un, <y^ + ^)-<y'>) = <,.(^^) = />;(^ ^y^)dx. 

k=Q k J 

a 

Si scorge subito che: è cortdt\iofie suffidctite per sfahilire la for- 
mola (2) che la f y(x , y) sia equiconiinua rispetto alla y nelV inter- 
tervallo (a , b) sulla retta y z=: y^, oppure che in questo intervallo 
essa sia assolutamente continua rispetto alle due variabili x , y. 

Notiamo di più che alla stessa formola (2) si giunge ancora se, 
la f'yix ^y) mantenendosi sempre finita pei valori delle variabili che 
si devono considerare, vi sono nell' intervallo (a ^b) su ^ =>© ^^^ 
punti r, in numero finito, la cui presenza fa cessare la continuità 
uniforme della f'^x ,/) rispetto alla ^, o nei quali la /'y{x ,/) non 
è continua rapporto ad x ,^, ma, tolti i quali con intorni comunque 
piccoli, negli intervalli restanti la fui^,/) soddisfa alle precedenti 
condizioni. Ciò vedrebbesi allo stesso modo del caso analogo al 
n. 84,3). 

Come pure potrà avvenire che la /(x ,^'), o la /'y{x ,^), sia in- 
finita in qualche punto dell' intervallo di integrazione, e che sia an- 
cora valida la (3), come or ora vedremo. 

La formola (3) ci dice che la derivata di un integrale definito, 
rapporto ad un parametro jf di cui è funzione la funzione integranda, 
si ottiene senza aver bisogno di eseguire il calcolo dell' integrale, ma 
semplicemente derivando rapporto ad y la funzione integranda; sì 
ha cosi la regola conosciuta col nome di regola di derivazione sotto 
il segno integrale^ utilissima, come vedremo, per l'effettivo calcolo 
degli integrali definiti, e che noi potremo senz'altro adoperare quando 
si trovino verificate per la f{x ^y) le condizioni sufficienti preceden- 
temente stabilite, affinchè abbia luogo la (3). 

88. Sia ora 

frCr) 



^^h) = j/(^ j^)^*^» 



«2(^1 



\ 






227 



dove supponiamo la /(x ^y) tale che permetta la derivazione sotto il 
segno integrale quando si suppongano costanti i limiti dell' inte- 
grale stesso ; avremo 



y(>'o + 






*(j»'o+*) 



+ -j^JA^ ,7o + ^) ^^. 



Supposta \3i f(x j/) continua nel punto a;=:^(^o) ,j;z=^'q e nel 
punto ;r= ^(/o) ,^ zr^Q possiamo porre, nel secondo integrale, 

JT* .-^0 + ^) =/f^(/o) ,>'o] + ^n e nel terzo /(^ ,y^ -+- k) =f[Ky^),y^\^H 
dove Sj , Sj indicano quantità che possono numericamente rendersi 
minori di qualunque quantità positiva prefissata col prendere le k 
sufficientemente piccole in valore assoluto, e in luogo di questi in- 
tegrali potremo scrivere 



^(A + ^) — a{y^) 



<^i.\-rk^ 



f[<yù^y^] ""t/^'^^' 



hb',+ k)^Ky^) ^^l:/..^ ..-, . 1 



aiv^) 



b(y^-\-k) 



/Wa))/o] -^T /'«''■*■ 5 



»<-'o> 



cosichè, ammessa la esistenza delle derivate d(y^i b\y^ e posto 

«1,2, convergono a zero con k^ e preso ^o in guisa che per \k\ ^k^ 

sia .Sil<<Ji, |et:<ci} e quindi 

1 r I 1 1 r I 






228 

ed osservando ancora che 

avremo 



a'^n) 



»(^o' 



< 



/Ì/'v(* ,>o + e.*) -/•*(* ,^,)] ''^ 



+ |8./K/o) .jColl + «ik'U) + «i' 



e, poiché a, si può prendere piccolo come si vuole e col prendere 
k sufficientemente piccolo in valore assoluto ciò avviene pure per 
^i ? ^2 e V^^ ^^ primo termine del secondo membro, si vede subito 
come, assegnato o, possa prendersi ki in guisa che per \k\ ^k^ il 
secondo membro risulti minore di o, e quindi avremo 

^'(>'o) =jf^^ ,A)^^ - Ayo)fHy,) ^y,] + b\yòf{Kyù , y,\ 

ah,) 

89. Supponendo per la precedente funzione ^(y) soddisfatte le 
condizioni perchè ad essa, considerata come funzione composta di /, 
si possa applicare la regola di derivazione delle funzioni composte 
nel punto y (condizioni che omettiamo di singolarmente accennare 
e che sono generalmente verificate, ma che in ogni caso si potrà 
verificare se siano soddisfatte confrontando la nostra funzione, ^y), 
di ^ e di a(y)y b(y), colle funzioni generali dei teoremi ai numeri 
80,84 del voi. I), avremo 

d'^ 9ìP 9qp da 9? dò 

4>r~ay "^9«"^ ^9*^' 

th') 

ma — — = l/'y(x ,y)dx; e, la derivata di un integrale rispetto al i- 
dy J 

a{jy) 



'■t? 



229 

mite superiore (o inferiore) essendo la funzione (o meno la funzione) 
sotto il segno integrale nella quale, in luogo della variabile corrente 
di integrazione si ponga tal limite, sarà altresì 



3? 
da 



= —/[</)> A 



di 



=AHAy]j 



cosìchè 



dy 



=ffy{^ ^y) àx + my) .y\ -^ -My) .y\ 



a{y) 



dy 



Questa formola contiene come caso particolare quella dimostrata 
al n. 87, qualora si suppongano costanti i limiti a{y)^ b(y) ; e, se si 
suppone sì?Lf{x^y) indipendente da ^, cioè, sia 



Hy) 



f{x,y) = Y(x\^(y)=jv{x)dx, 



a(y) 



ci dà 



d^ db da 

^- = F[*W]__FW^)]^ 



..- » 



m 



- .■■-;*■' 









•Vjs \ 



90. Supponiamo che la/(A?,^) o la/'y(jc,^) o entrambe diven- 
gano infinite per a? = ^ e per y ^=y^y od anche per * = e e per tutti 
i punti d'un intorno del punto {e ^y^ sulla retta x-=.c^ intendendo 
con ciò che non vi è alcun intorno di questo punto, per tutti i punti 
del quale /{x^y) si mantiene finita o per tutti i punti del quale si 
mantiene finita la f'y[x ,^), ed intendendo di considerare questa de- 
rivata per tutti i punti nei quali la f(x ^y) è finita ; e supponiamo 
che queste funzioni si mantengano però sempre integrabili rispetto 
alla X. Nel caso che la /'y(** j^) sola o insieme alla f{x^y) divenga 
infinita supponiamo inoltre che, assegnato il solito numero a, esi- 
stano i numeri positivi e^, , k^ tali che ^er e ^ e^ e ^i < e, e per 
\k\^k^y dove k possa anche variare con Xy sia 



(i) 






<»; 



c-e 



C+Si 



230 

in particolare potrà la fy{x ,_c) soddìsf 

intorno dì (e ,y^ alla condizione dell'enunciato delia prima parte del 

teorema al n. Gfì (cioè se qualunque sia Vy di tale intorno è 

i /(* 1^) (e — *)!' I < A per \c — x\^ Efl, e escluso etc). 

Allora, se si ammette che negli imervalli di (u,*), cui non ap- 
partiene il punto e, sìa applicabile la derivazione sotto il segno al- 
l' integrale 



dico che avremo 
(2) 






Invero, fissiamo e ^ :„ in guisa che siano soddisfatte le condi- 
zioni (1) per e, <E, e per |-f| ^^o ^^ f'À^ i^) """^ '•• niantiene lì- 
nita; o semplicemente in modo che sia As<o, dove A > ' f\^x,y 
per tutti i valori di x ,y da considerarsi, se /'»(*,>( si mantiene lì- 
nita; ed in guisa che nelle formole 

e— E c b b 

(f^x ,y,)Jx =jfy(x ,^.) dx + i.Jf^x ,y,)Jx =j'f^x ,y,)dx _ !.. 

|S,| , {ifl risultino minori di °. Allora, poiché negli integrali de! 

secondo membro della formola I 



^=i/^i;"fi;s/-/ì^^^^^ 






possiamo porre 



-/■^^.^o + e-*). 



ed osservando che esiste un numero positivo k, ^ i^ tale che per 
\k\ ^kjè I^jI <3, [i,j <a dove le 'j,*! soddisfanno alle eguagl-'oie 

e— e e -E » * 

(/\ix,J',+9j)dx=jfyix ,y,ìdx-Yt^,jf\(x,y^+Kk)dx=jr^x,y^^àx -'-,- 



"T^ir 



231 
avremo ancora 

b 
9(/o -+- ^) — ^Oq) 



=f/'y(^ ,yù^^ + «1 -h 88 4- «3 + 84 



e— 8, c+e 

C - 6 C+Si 






da cui 

b 



^A4->^)-.(^o) ,^>^,^^^)^ 



per 1^1 ^k^y e rimane cosi dimostrata la (2). 

Si intende poi come questa formola valga ancora se vi è un 
numero finito di punti come e. 

91. Consideriamo ora V integrale 

a 

e supponiamo che , per quanto grande si fissi y ) ^1^' integrale 

V 

I 

M 

[f{x yy)dx si possa applicare la derivazione sotto il segno integrale, 



a 



e che, dato o, esistano due numeri positivi ^ t k^ tali che per 

I^'-^/Iq, potendo k variare con at, e qualunque sia ^>r, risulti 
t 

l/'jix yyQ + k)dx\ < o, in particolare se la funzione costituita dai li- 

r 

miti superiori dei valori assoluti che prende la funzione /'y(x ,/o 4- k) 
per uno stesso valore di x e per \k\ ^k^ è integrabile tra un certo 
numero e T infinito ; allora avremo 






Invero, fissato T e >to nel modo ora detto, ed osservando che 



232 

per valori di x comunque grandi si 



»(■>.+*)— fi A) _f/(',A+<)-/(«,. 



T 
a T T 

dove sarà |fi| < a per |it| ^ <^| ^ <io , cosichè, per questi valori di i, 



'^'l-''''^ -JM^,y.)^^\ 



<3^ 



e quindi la (1). 

92. Applichiamo le regole esposte ad alcuni 
Esempi 

1) Sia ¥{_>>) ^/log(l — 2y cos X + y'^)dx ; si riconosce subito che, se 
\y\ è diverso da uno, è 

f ^y~2cosx 

'■^' .'1 — '^cos^+y 

Se |jf[ = I, poniamo sia_y:=l, la funzione sotto il segno 0- 
tegrale di ?(^) diviene intìnita per a; ^ ; per x diverso da zer i 



1^"^ 



■•r"; ' ■'*, 



233 



y — cos X 



fy(x , 1) = 1, ma la f'^x ^y) =: 2 - — ^-- non si mantiene 

1 — 2>' cos X -\- y 

finita in un intorno del punto (0 , 1), il che si riconosce subito se, 

facendo y=.\-\-x^ si fa convergere x a zero, e non potremo neanche 

asserire che, dato o, esista un numero s tale che per Sj <; e e per 

1^! ^ ^0 ) essendo k dipendente da x^ risulti 



J/V^,i + ^)rfJ= /j^— 



\ -V k — cos X , 

dx 



2(1 + >^)cos;v+ (l ^-Kf 



<^, 



S, Si 



perchè se si fa variare k con at, ponendo k=zx^ la funzione inte- 
granda non è neanche integrabile in un intorno del punto flf = , 
come si può verificare. Cosichè, per ^ = 1 , non possiamo asserire 
che alla ^[y) sia applicabile la derivazione sotto il segno integrale; 
riconosciamo anzi che non la è, perchè sapendo che è ^(^y) = tc log^^ 
per l^j > 1 e ^y) =0 per |^| ^ 1 , si vede che per ^ = 1 la ^(y) 
non ammette derivata, avendo la derivata a sinistra uguale a zero e 

quella a destra uguale a :t, mentre abbiamo If'yix , ì}dx =jdx = « . 



Cosichè avremo 



TI 

d 



ì 1 log( 1 — 2y cos X -hy*)dxi 



dy 








I le' 

\ per 1^1 >1 

y — cos X , y y r \y\ 

- 2y cos X -\- y^ ì 

• ( per |^|<1, 



e per 1^1 = 1 non esiste la derivata indicata nel primo membro, 
mentre il secondo è uguale a =t i^. 



2y 



2) Sia ^{y) -=- j log sen{xy) dx, dove supponiamo y diverso da zero. 



^F^ 



?•>•? 












234 

La funzione integranda diviene infinita per x:=Oy e la sua derivata 

X cos r^f v I 

rapporto adj^, per ;r diverso da zero, j^—^ =xcot(xy) è sempre fi- 
nita ; e, poiché le altre condizioni richieste sono anche soddisfatte, 
possiamo derivare sotto il segno integrale, ed otteniamo 



17 



2v 



'^•^^ ^ "^ "è" '^^ ^^ A-^ "è") +j*cot(^^)(/^=j*cot(xy)ir; 





cosichè, osservando che, posto xj^ = {j è 



7t 

T" 



<f (^) = — I log sen id{ = — 



rw log 2 



y J 





*>,. > 



^>' 



abbiamo 



2v 







TClog2 

2 » 



2 



r 11 log z 
ciò che può anche ottenersi dalla formola Ucot{d^= — po- 



nendo i=:xy (Vedi esercizio 4° a pag. 183). 

xy — ^ loGf X 

3) La derivata rapporto ad y, -^- , della funzione sotto il 

1 -|- ^ 

segno integrale in 



00 



, , rA-^-1 dx n ^ ^ ^ , 

J 1 + .Af sen Tty 



[Vedi N. 73, es. 2j] non si mantiene finita in un intorno del punto 
(^ = ,/), ma è tale però che 

hm ^(log ^)HIA , , ^ = lim — — — = 0, 



?« 



J 



235 
dove ji si suppone positivo, e perciò per 1^1 -^k^^ risulterà 



^«-* (log xf-^^ 



1 4-* 



At>-*0 (log xY+\^ 

me 



minore di una certa quantità positiva, e nel nostro caso anche pic- 
cola a piacere e prefissata ; quindi potremo intanto applicare all' in- 

r 

/xy~^ dx 
— la derivazione sotto il segno, e ciò anche per quanto 



grande si fissi r- 
Inoltre, poiché 

,. «r-iIog;r ,. log A? l 

hm — . ~ — =lim-^ — re - = lim 



=x 1 + « ivi-^'(l 4- x) 4(1 -y)x-y + (2 -y) x^-y\ ' 



si vede che questa derivata diviene all' infinito infinitesima di or- 
dine superiore al primo, 2 — /, e si riconosce che è integrabile in 

;tX— 1+*0 log X 

un intervallo (y,oc) la funzione dei massimi valori 

1 -f" <* 

*^^i+^ log X 
che — — prende, corrispondentemente ad ogni valore di x^ 

quando y varia tra ^ — k^ ^ y ■\- k^\ cosichè potremo applicare la 
derivazione sotto il segno integrale ed avremo così 

w \ Cxy-^ log X t^cos-^y ^ ^ , 

j v-^- X sen* Tiy 







30 



In particolare / i^r àx = 0. 



93. Sia f{x ,y) funzione continua in un campo finito che con- 
tenga internamente il rettangolo limitato dalle rette x=:a, x = by 

b 

y— a, ^ = g; allora la funzione di y ,'i(y)== jfix ,y)dx, essendo 

a 

con inua per i valori di y dell' intervallo (a , ?) è integrabile, cosichè 



U =j,(j,) dj, =j [ jO(« ,;,) &] ij,, 

priveremo semplicemente 

ipressione nel secondo membro chiamasi integrale doppio '\ ed 
me che dobbiamo prima integrare la funzione di x,/{x,y),Ja 
b, e dell'integrale così ottenuto <e{y) dobbiamo prendere Vin- 
le rispetto ad_}' tra a e P. 

Analogamente, posto ^x) ^ i /{x ,ji)dy, abbiamo 

v^fdxj/(x,y)dy; 
che u:=v. 

b 

Invero, poiché /{b ,ji), che è la derivata di //(* ,ji)dx rapporto 
è funzione continua di ò ,y, potremo per calcolare — j- deri^ire 
il segno integrale / ed avremo cos) 



=//(«,^)*; 



) La teoria degli integrali doppi sari svolta in seguito ; (]ui at ■ k 
tanto che occorre per non privarci ora di «n meno potente pc ' 
calcolo degli integrali definiti. 



''^^ 



■k* 



237 



? 



e, poiché ~7- = ìf(b jj^)dy^ è — r- = -rr- . Analogamente si proverebbe 



a 



che le derivate di « , t» rapporto ad ^, a , ;3 sono uguali ; cosichè 
tt = r -j- costante. Ma per a=:ò è w = 0, 17 = 0, quindi la costante 
è zero, cioè « = r, come volevamo dimostrare, ossia 

l b b ? 

j 4y jfi^ ,y) àx =j dx Jf{x ,y) dy, 



a 



a 



che ci dice che in un integrale doppio, nella ipotesi fatta che f{x ^y) 
sia continua e i limiti dell' integrale siano costanti e finiti, le inte- 
grazioni possono invertirsi, od anche ci dà la regola di integrazione 
sotto il segno integrale^ in virtù della quale per calcolare l' integrale 

b 

definito rapporto ad ^ tra a e p di \f{x ^y) dx si può integrare la 

a 
b 

funzione sotto il segno integrale /. 



^ 



00 



94. Supponendo che abbia valore determinato finito/ dy \f(x ,y) dx. 



e, per quanto grande si fissi y, sia sempre 

3 r r 3 

j 4y \f(^^y)d^=j ^ //(^)^)4v, 



a 



a 



a 



e che ìf(Xyy)dx sia equiconvergente nell'intervallo (a,p) di^ (vedi 

a 

nota a pag. 221), dico che avrà valore determinato finito anche 
/ dx \f(x ^y) dy e che 



avremo 



(1) 



\ ày //(* yy) dx=j dx jf(x ,y) dy. 






m 



*^ìi 






•^:: 



_ »; 






A 

'■■A 
■ ".' 



. f 









238 



Invero, dato a, sia e tale che per ^^c e per ^>r e qiialun- 



que sia \y di (a , P) è 



j/(* ,^) 



< — ^^ — essendo Oi < s e quindi 

P — a 



tK" - 



00 



JA^ ,^) 



i;v 



oi 



< 



— P — a p — a 



; scriviamo 



9r. . 






a a 



a « 



a Y 



■; 'J»»; 



-Il 






a Y 



da cui riconosciamo che per y ^ ^ si ha 



3 * J . P 



<^> 



a « 



^ a 



cioè 



r ? 



lini^ / iW/(;if ,y)dy = / iy / /(a: ,>')^^ , 



a OL 



ossia la (1). 



oc 00 



Se ha valore determinato finito jày lf(x ^y)dx e, per quanto 



a ^ 



grande sia r, è 



OS i i 00 



a 



^ 



a a 



239 



[e perciò è sufficiente, come abbiamo visto or ora, che sia determi- 

r 00 
nato finito i dx i f{x ,y)dy e che 



<» a 



P r 



r ? 



/ 4v //i* ,y)^^ = / ^-^ //(^ j/)4>' 



• »■ 

a « 



oc 



00 

per quanto grande èpe che ì f(x ^y)dy sia equiconvergente nell'in- 



a 



00 oc 



tervallo (<»,<») di x\ e se, dato o, per y^^ è ì^yìfi^^y)^ 

I »' •/ 



<', 



a Y 



00 00 



avrà valore determinato finito anche 



/ ^xjf(x yyW 



ed avremo 



00 oc 



a a 



OD X 






a ^ 



^ a 



Ciò ricavasi subito dalla formola 



X, 00 



OD 



OC OC 



/ ày \f{x ,y)dx = jdy j /(x ,y)dx -r dy j/{x ,y)dx , 



a a 



a 



a Y 



da cui 



00 00 



oc 



00 oo 



\^y\f{* yjy}^^ — \dx\f(^ ìy)^y = \^y\f(x ,y)d^ 



a « 



a a 



a r 



95. Se /(^,7) diviene infinita per x=:c, essendo e un punto 
del ' intervallo (a , ^), ma ha valore determinato finito l' integrale 



240 






3 b 



? *. 



j dy lf(x ,ji)dx ed è lecito invertire le integrazioni in j dj> i /{x ,jf)di 

ove (<?i,^i) non contenga c^ e se gli integrali singolari di /(atjI 
relativi al punto e convergono in (a , ^) uniformemente a zero, cioè 
se, dato o, esiste un e^ tale che per s < e^ , ^i < e, ^ i < e© > -3 < ^ ^ 



c—^^ 



qualunque sia Vy di (a , 3) è \f{x^y)dx\ <a, \f{x^y)dx <Sjal- 

\ j I •• 



'+H 



c— e 



^+«3 



b ì 



iora ha valore determinato finito anche i dx 1 /(x ,y)dy e si ha 



a a 



? ^ 



fr P 



0) 



/ ^>' //(^ ,jy)^^=jàxj/{x ,y)dy 



a a 



Infatti, dalla formola 



e— e 



e — Si 



a 



a 



e-z 



3 



f-f-Ej 



? 



+ 1 lim jfix ,y)dx^dy ^ I dy j/{x ,y)d^ 



oc 



c-f-s. 



SI ricava 



3 



e— « ^ 



C+Sj 



3 



f *?>• JA» ,y)àx -jdx J/ix ,jy) dy -j dx j/(x ,y) dj>\ 



a <* 



3 



a 



e— e, 



3 






a e— 8 a ^+63 



e, poiché il secondo membro per S < *oi ® <^ ^0 ^ ^ 



2a 



3-a' 



avk mo 



PP!^'- 



^i 



241 



che, comunque convergano a zero s, e^ il limite di 



c-s ^ 



? 



3 



I ir ìf{x jy)dy-\- ì dx \f{x^y)dy è j dy mx^y) dx^ cìoèsìhzìSL {]). 



c-i-e., a 



a 



Il teorema vale ancora se dei punti come ^ ve ne è un numero 
finito in ^a ^h). 

96. La derivazione e la integrazione sotto il segno sono mezzi 
potenti pel calcolo effettivo degli integrali definiti. Diamone alcuni 



• i 






' ■ ■ ( 

■'« ' 

il 

:.•••.■>•• 
. . <^" '• 

• > 



Esempi 



1) Dalla formola 

C dx 



J 1 +/tg*Ar 1— / 



[x —y are tg {y tg x)] + C 



SI ricava 



7C 



/ 



d[v 



II 







l+Ztg^A: 2(1 -h^') ' 



moltiplicando per dy e integrando tra e ^, dove y è diverso da 
— 1, abbiamo 



TI 



J*ÌT 



dx 



2 4^2 







+rtg 










e, poiché, come si vede subito, possiamo invertire le integrazioni, 
abbiamo ancora 



n 



2 y 
dx 




f'-h 



dy 



7t 



«♦rr« 



+ y"" tg' Af 



— log(l +J^), 



16 



.1 






' *^ 



•1 

i 

• •5é 



?; 



J 



242 

ossia, eseguendo l' integrazione 



jarctg(>tg«)- 

In particolare, per ^= I, / 
3) Abbiamo 

U f. ,?. . =- 

J J a" — o'x' sen'^^i 

e, poiché possiamo invertire le 

\''\>\b\ e se O^ar'^l è 

C ày ^ 1 _ 

ricaviamo 









e troviamo cosi 



/, fl + Asen V A^ * , , 

log— ^ — <- —^^^^r.arcsen — , «>]*', 
a — psen/ sen_)' a 

(Vedi Esercizio 3 a pag. 205). 
3) La funzione °^ , , - "■ — ' è integrabile nell'inter^-allo fO, 



■ ' .'1. 



243 

qualunque valore di a, perchè per j = è zero, e per a diverso da 
zero abbiamo (n. 72 e nota a pag. 154) 



lmx(ìogxy+\' l£M^±i*^=lim;^log x)^+\' ^ '^' 



2log^+log(l+^^+21og, 



!r=x 



y-hx' 



y-^x^ 



lim 



\ X* (log xyt\^ 



tì!i[.o...,o.(.. J,)]5..u.Jj^ 25^!=», 



e riconosciamo anche così che all' integrale 



/ •'log(l+.V) 
j ;>'» + *' 



può applicarsi la derivazione sotto il segno integrale rapporto ad a 
per a diverso da zero, ottenendo 

^ r^ 2ax^dx _ r 2a / ì_ / \ _ r. 

' 

dalla quale, integrando rapporto ad a tra due limiti a , a che non 
contengano tra loro il, né coincidano col, punto ^i = 0, si ha 



(i) 



I — -log ]" -^ -f C. 



Se ora si osserva che I è continua rapporto ad ^, anche per 
tf = 0, perchè, dato o, per < j < 1 e per r ^ ^, ^ 






P^J'chè — ^ . , — è integrabile in (0 , oo), potremo nella (1), passando 



y + x^ 



al limite per <i = 0, porre lim 1 = 0, ed ottenere così C = -^log(l4-ay) 
ed in conseguenza 

flog(14-ijV) , T. ■ 






'-,t r 



é • ■ 















-•lil 



l 



Cambiando in questo integrale x in — efacendon^ 1, abbiamo 

/"■«(' + ^)t^ = 7 '°«"-'^>' 

moltiplicando per ^dy e integrando tra e 3 si ha 

Ora possiamo invertire le integrazioni, perchè, oltre ad essere 

il T T ? 

) djr jdx...=:l dx i dy..., per quanto grande sia y, è anche, p« 

lutti i valori^ di (0,31, ■ 

■ 

/,log(.+i)-,-^<3/bg(,+-l)^<= - 

r Y ■ 

per tutti i valori di ^ maggiori di un ceno numero e, giacchi 

log/l H j-1 è integrabile in un intervallo (è, oc). 

Invertendo le integrazioni abbiamo 

= i- [log^l + -1-) log(l + 3V) -^, ^ 

? i: 

da CUI ancora, posto x^=--^ , ?=^^ , h 



245 



In particolare 



(log (l + ^)log (1 + ^) ^ == 2«(2 log 2-1) 







4) Abbiamo frfyj"i^d^=/|rf. = | perchè p^ vale 















-^ se ^ è positivo, e vale zero seji' è zero, ma nel calcolo del nostro 



t: 



integrale possiamo porre — in luogo di zero per jv = 0, perchè con 
ciò non cambiasi il valore dell'integrale stesso. Abbiamo perciò altresì 



71 



00 

rsen(^;t) 



00 

rsen(/*) 



S 



dx 







* OD 

r. r, fseiì(yx) 



& 



Neil' integrale doppio possiamo invertire le integrazioni per- 
che I ^^ dx è equiconvergente nell' intervallo (s , 1) di ^ se s è 



positivo e diverso da ^ero, essendo 



rsen(jyx} rien ^ 



rsenC 



dx 






^<, 



I fs 
e, dato a, esiste un numero e tale che per Yi ^ ^ è / - 



sen { 



di 



<°; 



Ti 



cosichè, per tutti i valori di y^ — e per tutti i valori di _)> dell'in- 

S 

oc 

Irsene VX) I 
I — — dx ^ <a. 






'\* 



m 



■T; 






246 

Avremo in conseguenza 

^,.-.)=/|/en,> 

ossia, osservando che hanno valor 

l'dx Fdx 

ì—r (1 — cos *), /— j- (1 — COS tx). 

i(i-.)=/:|-(i-c 

=/^(l-cos.)_./^(,_ 
e quindi 

j^(l-COS*)=— , OS 

da cui, cambiando — in x, 

rsen'ar 
.' *' 

5) Osservando che si ha e—^ =: 

bito che r integrale 

1 = 

ha valore determinato finito, che 

Posto { = ^\hì />**!« P""^' 



grazione, abbiamo 

I =/ e-'^y y~yda, da cui I = \ e-^% dx ; 

/ V7 / 

moltiplicando per e~yày e integrando ti^ t > e oo, ciò che può 
farsi perchè — ^^ è integrabile in questo intervallo, otteniamo 

12) 1 P^-=/ A f«--X>+»'l<& 

i' V> / / 

Ora dico che possiamo invertire le integrazioni nel secondo 
membro. Infatti, per quanto grande si prenda r, è determinato 

T « T , 

/ dx j e-Jii+'*) dj>=j dx — j- , 

e per quanto grandi siano t e 3 è 

Y P 3 Y 

i dir L-Mi+^idjf=l dy ( e-.^^+^> dx, 

perchè tf— Jl'+*'i è sempre continua e /*--"'+**'</»' equicon vergente 

Dell' intervallo (0 , ce) di x, la qual cosa si riconosce subito osser- 
vando che 



fr-.^H.^,d, = -^ 



1+^ ^Yii+^J ^^T ' 



imane quindi solo a dimostrare cbe, dato o, esiste un numero 
e tal : che per r'^c é i dji le-J'IH-t') Jj;<a. A tale scopo osser- 



248 



vando che «-M'+^l^- — — —- e quindi 



ì[ dx 2 / 

-2 2-2-TT7--2""»' 



T Y 



si scorge la esistenza d'un numero e tale che per r^t^ 

T T 

Provata cosi la invertibilità delle integrazioni nella formo 
abbiamo subito 

e, poiché l'ultimo integrale è finito e contìnuo, a destra, per 
avremo, al limite per s^d, 









ovvero, posto \l y=^u nell'integrale del primo membro, l'^^j"' 
dalla quale 



w 



■ !W r ■ JL.' 



». ■ ■» 



>."V.'(r ■•/• ^.J? 



vf 



249 



Esercizi 



- r dx 

1. Dalla forinola /log(l + k cos;v) = n are sen >^, \k\ ^ì. (Eser. 

y cos ;c — 



n 

4^ pag. 205) si ricavi f-r—^ = -''-^— , |*|<1. 



t: 



,/. 



7ia 



»i 



2. Dalla forinola /cos w;c log(l — 2a cos iV -|- (x!^)dx = — — , m in- 



w 







tero positivo, |a| < 1, se ne ricavi un'altra, che combinata con quella 
deir esercizio 12° a pag. 207 permetta di trovare 






cosm;r 



1 — 2a cos X + (x} 



dx=: 



noL 



m 



1 — a 



-, |a| <1, m int. pos. 



<■ 



t: 



3. Dalla formola 



r sen^t 
jl— 2a( 



cos .;t -H a^ 
pos. (Es. 12^ a pag. 207) si ricavi 



sen mx _ tc , , , , 

ir = — aw~ij |a|<l, w int. 



r <jsenjc , ^ ^'^ , . , 

/sen WAT are tg -; <j[yzz:~ — — , |a| < 1. m int. pos. 



1 — a cos ;c 



z m 



Si dimostri che questa formola vale anche per |^| = ]. 
fi 

4. Posto 1 = /— 71 W'^^y osservando che 

' xiì -h X ) 



ài 



dx 



|-jr-, si provi che I = --- log (1 -ì-y\ (Q.uesto 



iy J (ì -f AT*) (1 -h/*«) 
integrale è lo stesso dell'esempio I. a pag. 241). 



Y se ^? > 



4U '.* a 

5. / / i?-^J' sen ^* i;c ^ = < » a = 







» ^<0. 



*7| 



4: 



---^ 



250 



e 1 

0. Dalla forinola / xr-^ dx=: — , ^ > 0, si ricavino, dimostrandole 



rigorosamente, le formole 

jxJ'-^(ìofix)-dx = (^l)--j^^, n int. pos., 

j z dx = log — , a > 0, ? > 0; e da queste le altre 

ò 







l . 2 . . « 



fe~y^x^dx= ,^>Q, « mt. pos,, 







^^ = log— , a>0, ?>0. 



J X OL 





7. Dalle formole 



00 . » 



(A) / e—o* seti bx dx = — r rr- , / r^^* cos bxdx = — ^ — r^, J>0, 

V a^ -\- b^ ^ J a*-^ b* 





si ricavi 



le-a^ X sen ^jftf;(P = — •— r-r*Tr ? /^^^^ ^ cos bxdx = , ^ . ,.> -, « >"• 







-"-a* — ^-3^ 1 ^^H-A* 



cos bxdx = — log 



a>0, ?>0. 

/ sen bxdx = are tg -i are tg -7- 

1 X b b 

I 

Si provi che P ultimo integrale è continuo rapporto ad «( ^ ?' 



251 



anche per a = 0, (o per 3 = 0), cosichè 



w 



/ sen bx dx =r are tg -7- . 

J X b 



Si provi che 



30 OD 



lim / sen bx dx =:/ lim sen bx\dx= 1 dx. 

00 



» 



si ritrova cosi 1 d!« = =t— -, come già si vide in modo af- 

J X 2 




£atto differente a pag. 201 e seg. 
8. Dalle (A) si ricavi ancora, se <? > 0, 



X 



r sen ?x — sen «*• , ? a 

/^~^-»^ aA" =r are tg are tg — , 

J X a a 







i* cos oA? — cos 3* , 1 , ?* 4- <J* 

/<r-«^ — dx = — log , , . 

Si provi che, l' ultimo integrale essendo continuo rapporto ad a 

X 

u rk • i_ r^OS OLX — COS 3* , , 3 

anche per ^ = 0, si ha / ^;t = log — . 

J X a 







-.. . , J /coscf^t — cospjt, 1 , 

Si noti che —z— 1 dx= , mentre che non 

dv, J X 01. ' 


è lecito derivare sotto il segno integrale. 

r -x^ j dì 

\), >e I = /^ ^ dx^ si trovi la relazione -_— = — 21 ossia 

/ da 



^^ o^ j . . . . , 2^ V^ 

-r- = — 2a^, da cui si ricavi 1 = e-^^ ——— . 
I ' 2 



,./:- 



come neir esercizio precedente). 
11. Sia la funzione /(* ,_>>) che 



/(* ,y) = sen I 4 are tg — 



e che è /(* ,y) ^ 0, se una o h 

inoltre la funzione M^x ,y) che per x ,y entrambe diverse da zero è 

■\{x ,y) ■= X sen ( 4 are tg — j e che è ■^x,y)=zO se una o tutte e 

due le variabili sono zero. 

Si verifichi che, essendo allora -^^^'ix ,y):=f{x ,y) per tutti ira- 
lori di X, y. abbiamo 



ìj\x .y)dx ^ !>(;« ,y). 



Per y diverso da zero vale la derivazione sotto il segno inte- 
grale rapporto aà y; si spieghi come avvenga che non vale pa . 
^ := 0, avendosi 



1?. Si spieghi perchè ìàyi — - ■ , \dx = 

1 t 
ldxl- '^~''' jy= — —. 






253 



Calcolo di alcuni integrali defìniti. 
Proprietà fondamentali degli integrali Euleriani. 

97. Applichiamo al calcolo di alcuni integrali definiti tutti i 

mezzi che ci porgono le teorie sin qui svolte. 

cos ax 
Riconoscendosi facilmente la integrabilità della funzione ^ 

A 1" X 

neir intervallo (0 , 00) ci proponiamo ora di calcolare 



■ i'-4 

'% 

i' 



00 



(I) 



1 T/ ^ fcosax 



Possiamo derivare \{a) rapporto ad a^ derivando sotto il segno 
integrale, per « = r > 0, ottenendo così, 



V» 






oc 



(2) 



rxs&nrx 







Invero, se si osserva che, integrando per parti, è 



; 



j 







X sen rx 
l^-x" 



dx = 



b cos rb 



+ 



7/< 



1 



cos rx 



2\2 







(1 + ^') 



dx 



da cui 



X 



atj 



/ X sen rx , I / 



1 X' 

cos rAT dx^ 











(l +Ar«) 



jf sen rx 



od anche, osservando che r- = - 

1 + ;v* 1 



A?' sen rx 



+ x' 



X 



y si riconosce la 



X sen rx 
integrabilità di ^ nell'intervallo (0,oo). Inoltre, poiché 



».-3 



/ X sen ^^7 T 



cos ry 



^- 



I/a 



1-* J 

cosr.;r -. ^ aA? 



(1 + ;r') 



^ 



■eso < r, <; r è quindi 

\ fxsenrx \ l t , I /"V— I 

T T 

fide che, dato a, sì potrà prendere e tale che per r^i^ e qua- 

. „ ,. , , ,. ... I fxsen rx , \ 
lue sia ir di un intorno (r-.r.) di r risulti ( ^- dx- < = . 

T 
Possiamo poi integrare rispetto ad n tra e r i due membri 
i (I), integrando nel secondo membro sotto il segno integrile, 
nendo cosi 

che la integrazione sotto il segno integrale è lecita, esseodo ; 

^ dx equiconvergente nell' inten'allo (0,r) di a, come subito i 

conosce dalla forinola 

|./ 1 +*' I — ji+«' 

T T 

Dalla (3) sottraendo la (2) abbiamo 

vale per r positivo. Moltiplicando questa eguaglianza per ^-',t 
idendo gli integrali indefiniti dei due membri rispetto ad r, eie 
putì farsi, perchè l'{r} è funzione continua di r, come sì può 
lìcare, abbiamo 

je-r [ /l(«) rfaj dr - (V{r\e-^ dr - -^je-r dr^C: 



e quindi, giacché integrando per parti è 

je-r [fH'>)daj dr = ~,-^ fì(aì da + je-^ Hr)dr , 

lv(r)e-ràr = e--l{r)-\- [e--l(r)dr, 
si ha 

,-'[-jÌWJ»-I(r)+Ì]=C. 

Facendo convergere r a zero ed osservando che I(r) è conti 

per r := e che 1(0) =: j- j- ^ -— - , si trova C := , e in e 

seguenza 

(5) j\^)da + l(r)~~^0. 

da cui, in virtìi della (4), I'{r) + \{r) = 0, ossia 

dalia quale si vede che le funzioni log I(r) e — r, per qualun 
valore positivo di r, non possono differire che per una costa 
che indicheremo con logC, cosi che logl(r)^ — r + logC, e 

.og|I = -,,iM=o-. 

Sostituito questo valore dì I nella (5), essa ci dà 

C je-" da + Ce-'^ 1 = dj cui C " -^ , 

ed i 1 conseguenza l(r) ^ — e—'', formola dimostrata cosi per r p 



• --^ 



256 

tivo, ma che vale anche, come si vede, per r = 0. Cosichè 



/ 



cos ax , TC 



1-f ;c* 2 



Cambiando in questa formola a m ac % x ìvl — , otteniamo, piò 



generalmente, 



•». 



Tcos ax _ 7c 
\-^—-jdx — — e-<^^. 
J r-\-x'^ 2c 



Osservando che col cambiare a in — a non cambia il primo 
membro, possiamo scrivere 



X) 



/cos ax . n , , 

^^ + jc« 2c ' 







valevole qualunque sia a, oppure /— ^ ^^A:=-^rf«^, dove si 



prenda il segno — se a > 0, il segno 4- se a < 0. 

Per a diverso da zero, si può derivare rapporto ad a sotto il 
segno integrale, cosichè 

OD 

rxsenax _l_ '^ T / segno superiore se iar>0 \ 

J c' -\-x^ 2c ' \ segno inferiore se a < / * 

ù 

Questa formola non vale, come si vede, per a :=0, 

3^ ^/ — 

98. Se nella formola \ e-^^ dx :=: -^^-— cambiamo :v in x\ y ot- 



teniamo 



OD 



V 



(1) \e "'ydx^^^^iyX)) 



2\/jy 



257 

Sommando questa formola con quella che da essa ricaviamo cam- 
biando X in — Xy abbiamo 



OD 



— X 



e-^lrjx—^^, (_y>0). 



V/ 



Se in questo integrale facciamo jy=:l e poi cambiamo x in 
AT rt a, si ha 



X 



1 e-^'^^'^^dx = e^^\/ n , 



dalla quale, cambiando jr in x'S/ a e ponendo 2ol\/ a = òy ricaviamo 



/ 



* - A/IT il 

^-ax^-^bx dx = ^-^ ^4^ , (^ > 0). 



— « 



V" 



Della formola (1), che ci ha ora fornito queste formole note- 



■» 



/sen y 
— z:^ dy^ che 
A/ 4; 



«^ V^ 



oc 

ba valore determinato, perchè se in jseu(i^)d{, che sappiamo avere 

. 
valore determinato (N. 74, es. 3), poniamo ^* =^y abbiamo 



^m 



t*. 

-'—'3' 



■'•V:M 



■ a' 






V ^ 



;i 



Ponendo per 



c-^) 



"sen/ 



il valore tratto dalla (1) abbiamo 



. c^i,^ , / senj^ / senjy 
±r dy = \-—ér dy + — :£- dy 



Vj^ 



0' AO' 



/ 



S <» oc 

sen V , 2 r t f 2 

qiv -f — ^:^ / senji» 4>' / ^"~* 

'^ s 



d^V-r 



V 



^-^jr. 



17 






1 

'lì 



■ ■^t 



Ora nel secondo integrale dell' tilt 
tire le integrazioni. Invero ha valore e 

/ dx I £-'*-^seiij'ify=: j dx — 

(N. 232, voi. I), notando che, per * ^ 0, 

che allora non ha più sìgnitìcato, si in,^..»^ .^....^..^ ^.. ^^^■^..^. 

valore finito, il che non altera il valore dell' integrale rispetto a"» 

È equicon vergente nell'intervallo (e , so) per_v l'integrale ie—'^y se 
come ricavasi dalla formola 

(«—**•' sen^yt/y I ^ ìe-^^^dx. 
Inoltre, essendo 

/ dx Ì£— ■■'.'■ sen_>'if)' =:^ì dx le-'''-'' sen jidj -f- / dx'U'-' yseaj^-à 
1 " 1 '7 

potremo cominciare dal fissare t in guisa che il primo integra 
secondo membro risulti minore numericamente dì qualunque ni 

positivo prefissato, perchè 

s « '■ ^ e 

\ fj f 2 il \ fi «""*T{**senY-|-cosr)l f, ,, 
I jdxje-'yscDydy\ = \jdx T «^ " KZ-^Ì' +' 

cosichè, osservando che allora è 




259 
si vede come, dato o, esista un numero e tale che per y ^ t risulti 



-X oc 



1 dx le -^y sen^ </>> < a. 



• •> 



Avremo dunque 



QO X OD QO 

/^ijc \e—^^y sen^ rfy = /sen^ dy \e-^^y dx^ 



8 



sen^ 

e 



e la (2) ci dà 



(sen^ j 2 /"j ^-^ f (;r'sens 4-cos e 

i V>" 






dx 



/sen V ^ \ ^( dy 



dalla quale 







/ ±:r dy = — nz Hm / dx 



00 9 

-:r*8/vt 



:' V^- 



g-X 8(;jft jgj^ g _|_ ^Q5 g) 

1-1- a:* 



ossia, per essere 



lim / dx 

8=0 y 



* 2 / • 



^— ^ e(jt« sen 8 -I- cos 8) 

\-^x* 



_ r dx 







perchè l' integrale del primo membro è continuo, come si riconosce 

/dx 
— — -, poiché, 
I 





00 



come è agevole ricavare, /-; = (Vedi esercizio 12'' a 

/'+* 2V2 

pag. 177, voi. I), abbiamo in ultimo 

V ^ 



•^ 

♦ 4 



L 




n modo analogo si trova 

g. La funzione x'-^ e-" è integrabile nell'intervallo (0,3;) si 
I non integrabile se j^O perchè, essendo sempre positiva, di- 
allora infinita di ordine superiore o uguale al primo nel punio 

' L'integrale /*'-' e—'dx si chiama integrale Euleriano di' 

Ja specie o anche /unzione gamma, perchè è una funzione di 
i indica colla notazione r(^), cioè 

T{i)=jx=-U-:dx, ^>0. 

>a questa formota, cambiandovi la variabile di integrazione . 



■"v^=^jit;),^7iog^ y \h = ix(,,\y--u-*'dx= ^'-^^ lir 0). 

)sservando che 

d[e-*' X') := {^=-' e "* dx — *■ e—" dx, 
grando tra e co i due membri dì questa uguaglianza, abbiamo 

>a questa formola fondamentale si ricava in panicolare 
)=^c-^dx=\, r(2, = l.i'(l):--zi, r(;i) = 2. r(:;)^ !.■.',... 

r(«) = /*"-' e—' dx = \ . 2..^« — 1) (m intero positivo). 



' « 



261 

come gik vedemmo al n. 96 es. 1). Ricaviamo ancora, se « è intero 
positivo, 

e da questa, ponendovi successivamente n — 1, « — 2, ... 2 , 1 in 
luogo di fi e moltiplicando membro a membro tutte le formole ot- 
tenute, si ha 

>ì{ + «) = ({ + «- 1) (-{ + «- 2) ...(? + i){r(^), 

dalla quale si scorge come, per avere i valori di r(^) per qualunque 
valore positivo di {, basterà aver calcolato i valori di l\{) per { 
compreso tra e I. Cosi è 

^(-3-)=(-7)(-i)(-ì)('-;-)I"(f). 



"(i)=i-^(è> 



« 

i fS 

'.V 



■'^\q 






r(0 



Nella formola ìx--^ e-^^ dx = — — poniamo k^^c -\- y dove si 







suppone e- > 0, >? > ; allora è 



/' 







e -ic-¥y)x ;^^-i dx = -7-^^^ , 



la quale, moltiplicata per <j-'0'v-i— i^ essendo //>0, {i > 0, ed in- 
tegrata rispetto ad ^ tra e cx>, ciò che è lecito fare come subito si 
vede, dà 

i^-A>'^j-i ^ je-^c-\->)^x^-^ dx=zr(0 1 , , . — ^. 















È agevole riconoscere che si possono invertire le integrazioni 
nel ririmo membro, il quale, così facendo, diviene 



^'•1 



r e rc'^-^x^'^ 

ìg-cxxz-\ dx /^-(A+^).v^^i-i dy =T(^^)ì— —dx 

9 



^ t ) Ti 1 ^' l '^ sono positivi. 

Se i,>^, si vede che gli integrali dei due membri hanno va- 
^determinato anche per ('^=0, e che sono continui nel punto 
0, di guisa che potremo passare al limite, per f=^(i, nella for- 
a precedente e sostituire al limite degli integrali gli integrali del 
ite. Ciò facendo, dopo aver posto h:=l, otteniamo 

a quale, posto {^= u, {, — { ^ p, abbiamo 



L'integrale del primo membro, che è un integrale a ditfereo- 
e binomio se u e n sono razionali, chiamasi itiUgrak Bulinano 
brima ipecie e si indica con B(m,i'), 

Posto X =^ - — — abbiamo ancora 
■ 1 -y 

La forni ola 

' "'"■-'- r(„ ,.) 

a vedere che B(u , v\ = B(ti , u) il che potrebbe anche riconoscersi 
attamente dalla (I) ponendo ^ = 1 — {■ 

Ponendo nella (i^) u + v=. 1 e quindi supponendo a , v entrambi 
;ioni proprie, si^ha 



ossia [vedi n. 73, "2] 

r(«)r(l-«)zz.— ^, 0<«<1, 

sen un 

la qual forinola riduce il calcolo delle funzioni gamma colT argo- 
mento compreso tra — e I al calcolo di r(^) dove < { -^ — . 

In particolare, per w =r - , 

fi \/n 

Posto X ^-y^y abbiamo le--y dy = — , come vedemmo in altro 



modo al n 06. 

Partendoci dalla formola 

X 

u 

ed osservando che ef^'>\-\-x^e^^'> (\ -\- x)^q quindi c-^-^' < -77 - . , 

(1 -h *)* 

si vede che 





x^ — ^ 
dove si suppone >t>^, altrimenti rr- diventerebbe all'infinito 

infinitesima d'ordine inferiore al primo. Cambiando k in k-{- 1-\-\ e 

r(^) < (^ + ;( -r \yB{i,k-hl)~k^ (\ + ^-~yB({,>è + 1). 
Inoltre, essendo 



oc ^x 

le ^^x^-^dx> u^^'^x-'^ dx, 



u 



1^. 



he dalia formola e--' = l^x + (^ -r-j + ... si re 

r < ;t < 1 è e-'- > l -X, c~^'>(\ —x)\ abbiamo 

!<-" x--~^ dx> j(ì — xf x'-Ux ossia rijl >«'B(;,J ^11. 



uale, al limite per k crescente indetinitatnente, 
lXil = limi'B(<,*+ 1). 

assumiamo k intero positivo, è 

r(tì l'(4 + 12 _ _ \.-2.3... k 



IV, , 1 1.2.3...* 

'Irebbe servire al calcolo approssimato dì r(;|. 
o, L' integrale 

|__ J" .!L- — ^xP-\\ — y]^ ~ dx, 
,iV(l-^'r * " 
'<,q.ti sono numeri positivi qualunque, e che venne da Emi 

o col simbolo {— )i si riduce subilo, ponendo ic" =y, al 
ni fiamma perchè abbiamo così : 

si vede che (A). (J). 



?65 
In particolare, se p + q = n^ 

/ Z.«\«/\ nj n p ^ ^ 

d — j^)n sen ^~ T^ 

^ ' n 

1 

/' xP "" ^ dx 
Se nell'integralej-^^-p^^-;^, dove a>(),A>0./>0,^>0, 



p 

p -^ gy^ — , si pone bx*^ = ^^', abbiamo 
ft 



/' xF-^ dx ___ I r^" dy 

1 






"(i.^^-i). 



1 —V 

dalla quale, posto x= nell'integrale del primo membro, ri- 



caviamo 



J ìar-^-òii-jyriH^ì '^~~ £"7^777/"" T(^T^) 
In particolare, per « = 1 e posto a — b zrzr^ 



1 



/ y^ — ^ dv= - . _-^^:'_ ^i.. />>() ^ 



Esercizi 



— se ^ > ^ ::^ 
I •> — 

Tsen tfAfcos^AT _ ^ ^^ ^ ^ ^, 

^ X i — 

~ » ^ — * > 0. 

4 



/•"sena* _^ "^ ,, ^„. l'cosax " /I \ 

iVseniw . Titj — /"Ar'cosiMr , n/ i \ - 

/ ;- — .T.fl* — '^+•'^ /- .- i^ Ar = — ( — Til^'", 



/— j j-j A: ^r ^ (± 2 — j^y ''^, nelle quali formole si deve pren- 
dere il segno superiore se a ^ 0, l' inferiore se a < 0. 

3. j "''f' _ !_ 'L—,„>p^0,a>ll,i>1 

u „i« a " sen ~ it 

/Vi-«' iVi-*' -^ 

/\«F-^_ . /— ;^'-'^_ = -" , ».>0. «>0. (EoisROl. 

".'vi-«'" ,rvi-»'" ^'^ 

r»— +' J« 

(/;+n^H+>;l(/- + l-l-2«).^.|r+ì+|»;.|)»l _Vj"»"7 A'-T-'i, 
r_x--Jx_ ^ (1 + «Hi +^") • Jl +(» -JW ' 



r^ 



■»r- ••■ 



267 



y^mn - 1 Jx 

I n 

Vl-:^ 



« . 2« . 3« . . . (w — \)n 
(n—\)(Zn— \)...(mn — \) ' 



nelle quali m è intero positivo, «>0, r>0. 
0. Si dimostrino le formole ( — ) ^=. — - - ( — ) cioè 



r ^ 



— 1 



u 



p-hq 



jxP-^(l — X**)» dxy 







(f)(^)=(f)(^J-)=(4)('^-). 

nr sen ^— t. 
n 

Se i numeri p^ q^ n sono interi positivi, la formola 
I \ ^^ — é- ^ l£-\ permette di esprimere l'integrale ( — 1, 

lativo al numero «, mediante integrali ( — ) nei quali p , q sono mi- 
nori di 17, cioè per mezzo di 

(--?-). (-i-).(^)-(M4). 



— 1, re- 

q 



(ì) . (I) . 
()■ 

eh si possono esprimere tutti mediante alcuni di essi. Ad es.: per 



%J/^ 



-!*J 









». 

I. «3 






268 

« = 4, posto 



yn^KA) ^ ^^.^ ^ ,jp 



- , tutti gli integrali! — L 



(I) 



(t)=*=/----"^^= , 

relativi ad n = 4, si esprimono mediante A, avendosi 

(:)='.a)=-i.(:)=ì.(i)-ì.(T)=;, 

^ |- W V2A. (Eulero). 



4AV 2 



7. 



/ 



n 
T 



senr-^ ' .x" cos'/ ' a- ó/a- ==: 







> "(f) " (I:) 



, ^>0, j^o. 






/ \ ''7 « n / 







r(.+i+l) 



se w è intero positivo 



ZI 



/( 1 ) dx — Vm - 

J\ m ) n 



2w 



3« ww 

4- 1 2w f 1 3« +1 w« -+- 1 







X 



9. 



|/ ^ x'_^c Adx-={b -~a)\/n. 







V 9 

». a 



r t^ 



(Si ponga 1^=2 1 e ^^ dx, Ij = i «? ^^dx^ e si calcoli il limdr U 



'=x 



dopo avere convenientemente trasformato 1, e ij). 



269 



00 



10. /log(l— 2acos*;c+0 — ., ^ ^ [ 

J 1 4- ^- ^Tilog (^ — ^ -^) se |tj| > 1. 

(Si sviluppi in serie il logaritmo (esercizio 13 a pag. 205). 

/ it 1 + ae-^ 
dx _ \ W^) C-^e-"" 

I — ^^ ^+ '— se l.| > 1 ; 



se \a\ < 1 

„ r ^_ 

7 (H-Ar*)a— :^tfcc 



(H-;if*)(l-:^^cosZ»^+.7«) j ^ ^-|-^-^ 

\ :^> ~ 1) a'—'e^ 



{2(^-0) ^^l^i<^ 



;* X sen ^^ ^;r __ J 2(é?* — a) 

I (1 + x^) (r-^2acosbx + /i-) ~ i 

(-.^.7* TT se |aj>l. 



2a{ae^ — 1 ) 



2 



J '^ 

12. /cos2«.r log cosa: <f;t = ( — l)''-^ —, n intero positivo (si potrà 



, , , cosw^y ^ ^ ,. cos(w — 2)a: , 

usare la formola = 2 cos(w — ììx dopo avere 

cos X cos X 

trasformato convenientemente V integrale). 



/cos 2nx log sen x dx= — — , n intero positivo. 
ì 

X 

i* SiTC tS ^X TC 

18. / dx=: -- log (« + V 1 -\-a^) (si derivi rapporto ad a etc). 

1 

14. / — dx= , w > w/ > 0. 

.' 1 H-ar» wrw 
n sen 

1 

/xm -1 — ;^.H— m-i dx . ntK 

- - -, — log tg - , « > w > 0. 





^ - - ■« : - - • 



270 






1 



., C\—xdx 1 ryx — \ dx 1 ^ 
Ad es. / -— — r - — - = — - log 3, \-^ -. z= — log3. 



iV^^ 



15 





71 

. ìx log sen xdx ^=1 — log 2 



7t 

(Si cambi ^ in « — / nell' integrale ìx^ log sen x dx etc.). 


16. 1= ^V^ i/Ar=:a-p-f3log-^, a>0, à>0 







» n 00 

ì - al é— OLx 1 

etc.) 

X j 

£ 



(Si osservi che I = lim / dx -f / dx 

6=0 L./ X* J X 



Rettificazione delle curve. 

^i. La teoria degli integrali definiti trova semplice e natunk 
applicazione pel calcolo degli archi di curva, e per quello delle aree 
delle curve piane. 

Indicando con s 1' arco della curva piana y '^y(x) le cui ascisse 
estreme sono A'y , ^, at^ < at, abbiamo (n. 19) 



X 

=jl/i^y^dx. 



^0 



Se x=: x(y) è la equazione data della curva, o quella che si ri- 
cava da y --y(x), e la funzione univalente x{y} ammette derivata l^ 

nita tale che y ! f y(^')* sia integrabile nell'intervallo (^,),j'),^cO^ 
dove ^r^, ,^ indicano le ordinate degli estremi dell'arco s, aviemo 



4 ' 



fc- - - fc > 



■■^■ n 



271 



parimenti 



y 



'io 



Se le coordinate dei punti della curva sono date dalle formole 

dove le v,'j/ sono funzioni univalenti e che ammettono derivate fi- 
nite e tali che k q;'(/)* -h '|'(/)* sia integrabile nell'intervallo /q , /, 
(/^ < /), si vedrebbe facilmente che 



= l\^9Vf 



+mdt, 







essendo 5 1* arco di curva i cui punti si ottengono facendo variare 
la variabile / da /^ a /. 

E poiché l' elemento ds di curva in coordinate polari p , è 
i/s' =1 /f p* -f p^O*, si vede che l'arco s compreso tra due punti di 
coordinate (p, , %), (p , 0) è 



=h \'{ìh '■• »''- ' =/* F' - '' iì)' • 



Pu 



oppure, se si suppongono le coordinate o , espresse per un para- 
metro /, 



^jdt]/',' 



"('/?+'p( /)'♦''(/). 



£SFMP1 



1) Si voglia determinare la lunghezza dell'arco s compreso tra il 



2 



pur o in cui la curva x'^ -\- y''^ ^^a'^ (astroide) incontra l'asse posi- 
tive delle ^ e il punto di coordinate {x , v), essendo x ^y positivi. 

a-^ — x'^J-j 



272 

a''^ — x'^J- X '% 1 ^ y^ :=z l — j:', e quindi, osservando che 

la funzione ( — JT quantunque infinita nel punto ^ero è integrabile 
nell'intervallo (0,^). si ha 



Irdx 3 1 1 



= "']- = 



a^ x'^ 







Facendo x=^ a sì ottiene tutto 1' arco compreso tra i punii ifl 
cui la curva incontra le parti positive degli assi, che è -^ ^j lalun- 

ghezza di tutta la curva, che è simmetrica rispetto agli assi, è perciò 
uguale a 6^. 
2) Parabola — La lunghezza d' arco s di parabola y^ = 2px com- 
preso tra il vertice e un punto di coordinate {x ^y) è 

y 



ò 

x^ y^ 
3) Ellise, Per la ellisse — + -77 = 1> (^ > *)) abbiamo 



h^x'' 



10 X 
' \ -f- T" . ) ossia, osservando che dall'equazione della cu r\-a 
a*y- 

si ricava ^^ y* = a^b'(à^ -x'*')e posto e =r , è dszi^dx V — r r ' 

-^ ' "^ a ' f a*—x' 

V arco 5 compreso tra i punti (0 , ò), (x ^y) è perciò 



//t2 a Jl 



L' integrazione non si può effettuare in termini finiti, e l' integrale 
del secondo membro è un integrale ellittico di 2** specie (Vedi n. 221 
voi. I); gli integrali ellittici furono appunto così chiamati perchè uno 
di essi serve alla rettificazione dell'arco di ellisse. 
Posto x^=: a sen 9 abbiamo 

<f 
: / d.( Yl — fc'* sen' :: • 







li 



273 
i rettificazione delle curve, si giunse a trovare delle 
;i tra archi di curva, che presi isoiatamenre non sono 
[1 icrmini finiti, te prime ricerche di questo genere sono 
dovute a Fagnano (n. a Sinigaglia nel 1(>82, m. nel 17tKi) e sono 
molto importanti per loro stesse e perchè furono il punto dì partenza 
di ulteriori studi dovuti ad Eulero. Egli osserva che dalla relazione 



^ ^ /(/+A«») ' V fil + h^) ' 

iifferenziando e dividendo per 2fix, 



T^^^l)-- 



. il f \iJ+hx> ^ ./ / Jl+hi' 





V-Ji 


possiamo anche scrivere cosi : 






V-fl 






H^^m 



! ' g+f'' 



&^ 



274 

Ponendo ora g^I^a*. !i = 



Ì"f^^*ì' 



dove ^ = 



Indicando con M il punto della el 

quadrante determinato dalle parti positive degli assi, la cui ascila 
è *, con N il punto dello stesso quadrante la cui ascissa è {. eoo 
A,B ì punti in cui le partì positive degli assi delle v e delle j: in- 
contrano l'ellisse, la formola precedente ci dice che 



arco AM — arcoNB^ — *^=::e'*l/-j j~T ■ 

4) Cicloide Dalle equazioni x^a{l — sen(), _y;^fl(l — cos/) ria- 
vìamo dx* -^ dy'=^ 2a'(l — cos l)dt^ e quindi, indicando con i l'aro 
di cicloide tra il punto i-^i), ove essa incontra la base, e Ìl punto 
t=t, è 

s = à\/~2 ( dty\^~^t = 2a I sen -^ ''^ = 4^ A — cos - V 

Per t^2r. questa forinola ci dà !a lunghezza di un intero ratw) 
di cicloide, che è uguale a 8a. cioè otto volte Ìl raggio del circola 
generatore. 

5) lemniscata. Dalla equazione della lemniscata in coordinate po^ 

p' ^ 2a^ cos 2'! 
ricaviamo 



essendo s l'arco di curva compreso tra i punti A , M di cooi 
(aV2,0), (P,*'l, che chiameremo arco AM, 



r^ 



275 



II quarto del perimetro della intera curva è quindi 



^r Je 



rV2/ 



Vcos 28 



, ossia, posto 28 = X. 



TI 



dx 



^ J \/cos;ir 



od anche (Vedi 



Es. 7 a pag. 268) 



.VT Ki) '(j) _ 



à\/2 



V - ^ (t) 



.-<>Vi-i^' 



"f? »V 



■.^»^t: 






* • 

•».■ 



* -.<'a 



'V 



T V-(l) 



71 



t: a 

sen — 3r — 
4 4 






(i) 



e P intero perimetro è a zi: — ; cosichè il perimetro della lem- 

scata può servire a rappresentare la trascendente numerica T (—-J. 

Fagnano ha fatto relativamente alla lemniscata delle ricerche ana- 
loghe a quelle per la ellisse, giungendo ad importantissimi risultati, 
tra i quali il seguente. 

Posto 



(2) 



si ha 



1 — cos 2-^ , . ^ 1 — cos 28 
cos 28 = -I — da CUI cos 2y = 



1 -f- cos 2 



1 -f cos 28 



6 






T, 

T 







:^ Vcos 2'^ 



ma i secondo membro esprime V arco di lemniscata compreso tra il 



TZ 



cent! 3 della curva, che corrisponde a 8 = --- ^ e il punto Mj il cui 



a 



Quindi arco OMi — arcoAM quando fra gli angoli poUri '',• 
dei punti M,M, passa la relazione (2) cioè la relazione cos'i' = ^H 

ossia costì cos* = - —.Se poniamo fl^ ¥:=tì, abbiamo cos*, = -— 
V2 V! 

e perciò il punto N che corrisponde all'angolo polare ", ;= arccos — 

y 

divide per metà il quadrante OMA di lemniscata, e tale punto N 
costruirsi colla riga e col compasso. 

I03. Sìa la curva gobba le cui equazioni sono 
/(»,>,!) = », 5(«,/,C) = 0, 

oppure le coordinate dei punti della quale sono 

indicato con 5 la lunghezza dell'arco di questa curva, le cui «ir» 
mità hanno per coordinate (x^ ,ya i {Ji i^ >y ? {)i o che corrispoDi 
ai valori t^ e t del parametro /, abbiamo (n. 32) 



=/4-(0-(0=/*h+(|)'-(|)' 



=^r-(|)'-(|)' 



Se si usassero le coordinate polari p. B, f, ricordir v i 



277 
fe* = dp^ -f pVB* -I- p* sen*B d^^, si avrebbe 

% 

love {p^ > ^0 > ?o) j (p ) ^ ? '^) indicano le coordinate degli estremi del- 
l'arco 5. 



Esempi 



,8 



x' 



1) L' arco s di curva, le cui equazioni sono y = — — , i = -^^ , 
:oQtato a partire dall' origine delle coordinate^ e che termina al punto 



u 

2) Si voglia P arco 5 compreso tra l' origine delle coordinate e il 

punto {x yjy , {) della curva intersezione del cilindro parabolico 

4 
j + ^f = 4tfj([r col cono ellittico -ij- at' -f /' = {^- Osservando che 

4 
l'ultima equazione può scriversi ({ — y) ({+^) = -, - -^S ricaviamo 

lalle equazioni della curva: 



(a -)- ^)* 
ì da queste 1 -|-y* -f {"^ = - — — — , cosichè 



'^ax 



\f2al V a: \l2a ^ ^ / 

3) i ica conica, — Le coordinate dei punti della curva siano 
(1) Ar = r/ tg T cos t^ y:=:zctXgt sen /, <{ ^= et. 



L' arco s compreso tra l' origli 
punto / :=: / è 



-/*■ 



= ^r [A'I + ^'sen' r + — 

'Z cos T sen 

che, espresso per \ e posto - — —^ 

2 cos Y L * 

La nostra curva è, come si vede eliminando / dalle (1), l'int»- 
sezione del cono *' + ^" ^=^ {' tg' v colf elicoide gobbo a piano dirfl- 

tore — =^tg -■- e chiamasi elica conica. 

4) Lossodromica. — È la curva situata sulla sfera 

■«'+/ + ì* — ^' 



[essa fa un angolo costante a^arctg - coi circoli massimi ( 

sfera, che passano pei punti (0 , , a) (0,0, ~a)\. 
Usando le coordinate polari 

a; =: p sen (i cos y, / := p sen e sen 9, ^ := p cos «, 

le sue equazioni divengono 

p* — a\ sen fl(i.-*T -i- «-*?) =, 2, 

e quindi d? = 0, ds' = a'd>>* fi + sen'" (-T-) ]■ ^^ 

d-f _ cos 'f(<*^ + tf-^T) 



' )4sentì"(tf*ì^— e-*?) ' 



279 



ossia, osservando che 

4 {ek-f-e-fif . d:f 1 

CCS* 8 = 1 — -- = — — . e 



(ekz ^ ^ k^y ^^k'i + ^-A-f )2 » jy ^ sen 6 

Quindi abbiamo 

/ — r ^' ' — r 

e,, 

e, posto k =z , è s = 



tg a cos a 



Quadratura delle curve piane. 

103. Consideriamo una curva rappresentata in coordinate carte- 
siane ortogonali dalla equazione jv =/('^). dove f(x) è funzione uni- 
valente continua. Sia ^ ^ pei valori di un certo intervallo cui ap- 
partengano i punti x^ ,x, Xq< X. Dividiamo comunque l' intervallo 
(Xf^,x) in parti h^ e consideriamo la somma S/f^jV^j, dove ^, indica il 
valore dell'ordinata corrispondente ad un punto qualunque dell' in- 
ter>'allo A, ; cioè consideriamo la somma delle aree dei rettangoli che 
hanno //, per base e per altezza y^. Il limite della somma di queste 
aree quando le //, impiccoliscono indefinitamente, definiamo come 
l'area A compresa tra la curva, l'asse delle ;t e le ordinate corri- 
spondenti alle ascisse Xq , x, ed abbiamo cosi 



= j/(x)dx. 



■""o 



Se la ^ fosse sempre negativa, basterebbe nella definizione pre- 
cedente prendere per y^ il valore assoluto dell' ordinata, cosichè A 
risulterebbe uguale al valore assoluto del precedente integrale. 

Si intende senz' altro come si definisca in modo analogo l' area 
compresa tra la curva data, l' asse delle y e due ascisse corrispon- 
denti a due ordinate ^^ .y. 



280 

Calcolare l'area A dicesi anche quadrare la curva corrispondente, 
e ciò si ottiene mediante una integrazione. Perciò quando un pro- 
blema è ridotto al calcolo di integrali suole dirsi che è ridotto alle 
quadrature, 

V area della parte del piano compresa tra due curve y =/(* , 

y^T=:f^{x) e le due rette x=^Xf^^ ;^r = jif, se ^^^'i ^0 nelP intervallo 

(x^ jAt), si definisce come la differenza tra l'area A della prima e Parea A, 



della seconda curva, cioè è \{f(x) — /i(^)] dx. Se fosse ^^0, ^^ ^0 
nell' intervallo {x^ , x), tale area sarebbe la somma delle due aree 

X X 

/!/(*)+ I/.W;{ i-, cioè ancora /[/(x)-/.(.)W.. Si procede in 



X X 





modo analogo negli altri casi. 

La parte del piano limitata da curve o porzioni di curve qua- 
lunque definite analiticamente può decomporsi in parti comprese cia- 
scuna tra due cnxye y:=:f(x\ y^r=if^(x\ dove le/(^), /i(;r) sono uni- 
valenti^ e le due ordinate corrispondenti a certe ascisse A'^jjfj; chia- 
miamo area limitata dalle curve, o porzioni delle curve date, la somma 
delle aree di queste parti. 

104. Sia la curva p rrr/(0) in cordinate polari p ,0 e sìayì'^) fun- 
zione univalente continua in un certo intervallo di ampiezza minore 
o uguale a 2^ per B, cui appartengono i valori %,<^. 

Diviso l' intervallo (% , 0) in parti /r*, consideriamo la somma 

-- S^, P,*, essendo p, il valore di /(O) corrispondente ad un qualunque 

valore di B dell' intervallo /r • -~ h, ? ' è l'area del settore del circolo 

di raggio p, il cui angolo al centro è misurato da li^. Il limite delb 

somma — - S^,?,*) quando le h^ impiccoliscono indefinitamente, deb- 

finiamo come l' area del settore compreso tra la nostra curva e i 
due raggi vettori corrispondenti ai valori % , ft dell' angolo polare. 
Tale area è quindi 



281 
105. Della quadratura delle curve diamo ora alcuni 

Esempi 

* 1) Ellisse, — L' area A, compresa tra l' asse delle /, la ellisse 
— T- -f 4?" = 1. e la ordinata y corrispondente all' ascissa x. è 

X 

A = — / dx\Jc^ — x^ ^=. — - x\fa^ — AT* + ^* are sen — ; 


l'area di un quarto dell'ellisse si ottiene da questa formola ponen- 
dovi a: = a, ed è quindi — r, e perciò l' area racchiusa da tutta la 

curva è ^^ A. Se <j = A abbiamo gli stessi elementi relativi al circolo 
di raggio <j, x^ -\- y^ ^=i à^ , 

2) Iperbole. — L' area A compresa tra T asse delle x^ la iperbole 

— r- — 4^ =r 1 e la ordinata y corrispondente air ascissa x. è 
cr b 

X 

A = A j^v.-Fir^= ^ [.^/;^r^^_ .^ log ^ - Vf^ l . 

3) Parabola. — L' area A compresa tra l' asse delle y, la parabola 
f =z 2px e la ascissa corrispondente all' ordinata y è 

2pr 6/ 3 ' 

cioè è uguale al terzo del rettangolo costruito colle coordinate del 
punto che si considera sulla parabola. 

4) Cicloide, Le sue coordinate sono x=ia\i — sen/),^ = ^(l — sen/), 
quindi V area A compresa tra Y asse delle x^ base della cicloide, la 
curva e la ordinata y, corrispondente & t = ty è 



A = ìydx = a^ f(l — cos /)- df = a^ T-]^ / — 2 sen / 



sen 2/ 1 







n 



282 



Facendo / = 2^ si ottiene l' area compresa fra tutto un ramo 
di cicloide e la base, cioè 3^/?*; ossia è tre volte l' area del circolo 
generatore della cicloide, come per primo trovò Galileo. 
5) Sia la curva ^ =: / -f- /', ^ = /^ ^ ^^ (vedi esem. 6 a pag. 22i. 
Ricordando le proprietà della curva stessa, si vede che V area. A del 
cappio della curva è 







A — /(/' -h t^) (1 -f 2t)dt — ^(/« -h fi) (1 -+- 2t)dt 



j_ i_ 

—1 



= j{t' + fi) (l^2t)dt=~^. 



(3) Lemniscata. — L'area A del settore di lemniscata p*=:2j'cos2> 
compreso tra l'asse polare, la curva ed il punto di coordinate (p,») 

e 

f a'^ T. 

è A -^ ^* /cos 2e ^'i --: ^- sen 20 : facendo ^ = -— abbiamo l'area della 
j 2 ' 4 



^« 
metà di una delle ovali di cui si compone la curva, cioè —, e l'arca 

dell' intera ovale è ^-j ossia è il quadrato formato sopra la semidi- 
stanza dei due fuochi della curva. 
7) Folium di Descartes. — Si voglia determinare V area del cappio 
della curva 

x^ -\-y^ — ^axy z=i 

(vedi esempio 3 pag. 34, ed eserc. 7 pag. 43). 

Passando dalle coordinate cartesiane alle polari nel solito modo, 
la equazione della curva diviene 

*M sen cos B 
sen^ -f cos^ B ' 
e quindi 

!<• 
•) 

9^* r sen* e cos* e , 3^* 



A = -^^ — - / — - ^Q __ 

2 J (sen^ H -f cos^ 0)' 





(vedi eserc. 4 a pag. 519 voi. I). 



r^ 



283 

Questa curva ha l' assintoto x -^y -f- ^ =r 0, ossia, in coordinate 

— a 

polari, pzz: . L'area A,, compresa tra i due raggi vet- 

sen -h cos ^ 

tori corrispondenti a ^ = ^o^ ^ = ^17 '' relativo ramo di curva e l'as- 

sintoto, si ottiene sottraendo l' area compresa tra i due raggi vettori 

ed il ramo di curva dall' area compresa tra i due raggi vettori e 

r assintoto, cioè 

a^ r d<ò {)à^ r sen-ecos'e 

^ 2 J (sen e -f cos B)« 2 J (sen^ e + cos^ e)« ' 

ossia, poiché 

d^ 



r dH f cos* e __ 1 

j (sen e -f cos e)- ~~J Yi-ftge)' ~ H^ tg e ' 

^~ 2 Ll^tge, l+tge^ l-htgn.^l-f tg^ej 

od anche, osservando che 

1 + tgHrr:(l 4- tge) (1 — tge 4- tg^ e), 
2-tgHj 2~tg% 



A - ^' r ^^ 



4- tg-'^ 0, 1 — tg % -r tg' % J 

L'area della parte indefinita di piano compresa tra la parte ne- 
gativa dell'asse delle x, l' assintoto e la curv^a, si ottiene da questa 

espressione facendovi 60^= 3 --, ^i^^^, cioè è - -, e l'area della parte 

4 2 

indefinita di piano compresa tra la parte negativa dell'asse delle ^ 

r assintoto e la curva si ottiene facendo Hq = 3--, ^i ■= 7 — , cioè è 

2 4 

ancora - -, come potevasi asserire senz'altro per la forma della ciirva. 

L'area dei triangolo compreso tra gli assi e T assintoto essendo an- 

•> 
a' 

con — , si vede che l' area compresa tra la curva e l'assintoto è 
— , cioè è uguale all' area del cappio. 



Esercì. 



1. Cissoide — y =: ■ ■ ■ ■- {es. 1: 
biamo ') 

' '--' (4V3--)« 
= 2a[ 4a + SaV 3 log ^ ^-^ : 






L'area tra la curva a l'assinloto è 3fia'. 

. 08). 



h*r. 
Area tra curva e asse delle x è -— . |Sì osservi che 

jtdx = — y/j* —y iy). 
3. Versiera {es. 13 pag. 45), xf ~a\a — x)=^. 



A(a:,^}z^a'arctg| —^ ayx\a~x); 

area tra curva ed asse delle/ è T.a-. 

'i Indichiamo con s[a ,b) l'arco di curvj compreso tra i punti le ed coo- 
diaate dello stesso nome sono net; con K\a , h, l'area compresa tra la curii. 
l'asse della x ;o delle j e le ordinate jo ascisse) corrispondenti alle ascis' ^ 
ordiDate] a ,h: con settin.b) il settore compresso' ira la curva e i due i p 
vettori corrispondenti ai due angoli polari a ,b o tra i raggi vettori di i- 



■ *■ • ■- 

285 
4. Lumaca di Pascal (es. 1 pag. 31) p = ècosO -+- a. 

Se i < ^ l'area racchiusa dalla intera curva è uguale a — {2a^-\-b^\ 

3:ra* 

se ^ = ^ (cardioide) è , Se ^ > ^ T area racchiusa dalla parte 

esterna della curva è uguale a — (2a^ -r **)« -h — y è' — a^ , dove 



■*?«f 



a =r are cos 



(- l) , e l'area del cappio è 



'òa 



- (2«* + b') ('^ - «) - ^ V*' - «'• 

5. Curva x^ -\- y^ — ax^y=:{), È tutta al disopra dell'asse delle x e 
si compone di due cappi od ovali simmetricamente situati rispetto 



all' asse delle y, L' area di una delle ovali è uguale a 



-iza^ 



16V2 



~8 



(Giova usare coord. polari). 
6. Curva at* -\-y* — a^xy == 0. Area di una delle ovali è 

i. Strofoide, y^ = — ^ . Area cappio e 2a^ Il — j . L'area 

tra la curva e l'assintoto è 2a^ ( ^ "^ "T )j ® quindi area totale 4a^, 

4 
8. L' area compresa tra le curve y^ =■ 2px^ x' = 2py è uguale a -^/*. 



3V3 



9. Curva ^ = db(— --rJvjL ^ . Area cappio = ^ ^^ ^ «*, area 



8 



tra curva ed assintoto =: 



_3V3 



8 



a\ 



10. Curva / = at- (1 — a:*) (pag. 25). A (0 , ;t:) = -i(^l — ^Y Area 

4 
racchiusa da tutta la curva = — . 

;. Curva: x = f^jy = t —/^. La curva ha un cappio, le coor- 

ó 

d ate dei punti del cui contorno si ottengono facendo variare x da 

g 

3. Area del cappio = —V 3 . Perimetro del cappio = 4\/ 3 . 

o 






■ 1 K 



v% 



i ';■• 



(.1 



••.),• 






•'« 



"ì;; 



' '1 



.^A 



*<1 

'HI 



Sviluppante di circolo, x = «(cos ^ + / sen t^jf = a (sen / — /cos/i 
ndo alle coordinate polari sì trova P*=3a'(l + /'),(t^/ — arctg/. 



Spirale cT Archimtde p ^ «ft ; 

seti (0 , f ) = sett (0 , fl) — |- , 

i(o , •) = |- [«\'rTV' + log (» -r vnn*!]. 

spirale iperbolica pfl^u; 
111,») = 

sett( 1 , oc) = sett (a , (I) 33 -^ , 



s(«,p) = oV2-V.''+?' + '>log- 



:.(l..) = .[V2-Vi±l'^.-.. '-^V'-'' l 



K1+V2) 
1 + V2" 



spirale logaritin. 



setti 1 , fi) — sett(a , p) = -^ log 8 — a* log ~ . 



287 
Spirale parabolica p^ = ^* 6 j 



a"'^^ -' 



o 2 + V 1 + 4>' 



4--g-log IVI-. 4^^ 



(Si ponga Ay = 1^2 + l^ì etc). 



[ 2 + VI + 4/ ^ 



x^ y a — — 

16. Curva gobba— j- — -^ = 1, x z= ~ (e '^ -\- e '' ). 



(a , X) = -^ -— yx' — a\ 



17. Curva x^ = a\y -^ {\ i^ ^=: — x* +>'S (intersezione cilindro di 

terzo ordine con cono ellittico) ; 5(0 ,/) ^=y\/ 2 . 

(Si noti che la retta a: = 0, ^ + -{=:0 fa parte della curva). 

7 

18. Curva x'^ -ry- = cj^^y = x tg - - (intersezione paraboloide di ro- 

c 






tazione con elicoide gobbo a piano direttore; la curva chiamasi ^//cj 

— 2 1 

paraboloidica) ; s(0 . j{) = V^"^ "^ o l 

Or ^ 

(Giova poi re ;t = p cos e, ^ = p sen H, { = ^^ coord. cilindriche). 

19 Curva cx = j({b -\- {), ^'(jr* +y') = ^'^ (intersezione di un cilindro 

pan Dolico con cono di rotazione). La curva si proietta sul piano delle 

/ * o ** \' b* 
Xyj sulla cardiode ( ;r* + ^' a- j =z — ^ (at* -f /*). 



} 



sett (0 , e) = sett (0 , p) = — — = ^ . 

4 

14. Curva ^^ = (x^ — y^)y. Area di un cappio = - -- . (Si ponga 

r =./y, da cui x = t — fi^ y:=:z t^ — /^ ; vedi es : 15 a pag. 505). yj 

15. Curva (9x^ - 1 '2y -h 1)' = (1 -h Ayf. | 

i 

l*. — i/ ,. .A .» S-^2\/l-i-4y I 









^.1 



ì 



a 4 

4 



I 



288 

Usando coordinate cilindriche si trova 



XO,e)=y/sen-|. 黫4-^«sen^~-f- — log ^ V 



Il perimetro di tutta la curva è 



~ 7 r "^7" ^^ — "^ r 



Integrali doppi defìniti estesi ai punti di un campo. 

io6. Sia i=:f{Xyjy) funzione univalente finita dei punti \x,v* 
di un campo finito C, limitato da una o più curve che ammettano 
generalmente tangente determinata ed i cui archi siano di lunghezza 
finita. Decomponiamo C in « parti od elementi, le cui aree, diverse 
da zero, indicheremo con hi , hz ,... hn, notando che chiameremo, per 
brevità, questi elementi, gli elementi A, , /r, , . . . A^ Questi elemeim 
siano racchiusi da curve di lunghezza determinata finita. 

Formiamo la somma S = St,A,, ove {, indica un valore qualunque 
compreso tra il limite inferiore e il superiore (questi inclusi) àé 
valori che/(.jv ,^) prende nell'elemento A,; questa somma S è l'analogi 
a quella per le funzioni ad una variabile di cui si tratta nel n. 1^, 
voi. I. 

Noi diremo che, col diminuire indefinitamente di tutti gli cle- 
menti //„ S ha un limite L, quando, ad ogni numero, anche arbitraria- 
mente piccolo e positivo, o corrisponde un numero positivo ^ tale che, 
per qualunque scomposizione del campo C, per la quale gli elementi A, 
siano ciascuno rinchiudibile in un circolo di raggio 2 e qualunque 
sia la scelta delle quantità ^^, risulti |S — L| < o, e scriviamo lìmS=L. 

Indicata con A V area del campo C, con m, M il limite inferiore 
e superiore dei valori di /(x ^y) in C, si ha, qualunque siano gli 
elementi A„ hm ^ S ^ AM, e si vede così che, se il limite ii S 
esiste, esso è finito. 



ryp 



n-TT" 



289 



't ./• 



Questo limite si indica coi simboli / //(^,>'yC, / jfix^y)dC 



e 



ifi^ìJ^ì^^ì //(•^j^)^C e si legge, integrale doppio ^ o integrale^ di 



e 



f(x , y) esteso al campo C ; e la funzione f{x ,y) dicesi integrabile 
superficialmente o atta alla integrazione nel campo C o integrabile 
in C, quando tal limite esiste. 

Ora si leggano i paragrafi 188, 189 del voi. I a cominciare dalle 
parole « Vediamo ora quale sia la condizione necessaria e sufficiente 
ecc. )), avendo V avvertenza di sostituire alle parole «^^ , f{x)^ inter- 
vallo {a , ^), intervallo o tratto //^., intervalli o tratti le cui ampiezze 
sono minori di un dato numero 8 >> le altre « {, ,/(-=^ ,^)j campo C, 
elemento //^, elementi rinchiudibili entro un cerchio di raggio 5 ». 
. Si faccia inoltre questa semplice modificazione a pag. 424, voi. I ; in 
luogo delle parole « la somma del secondo membro intendendosi 
estesa etc. » si dica: la somma del secondo membro intendendosi 
estesa a questi elementi //. che, non essendo completamente conte- 
nuti in qualche elemento /fy, contengono una o più delle linee che 
formano il contorno degli elementi della prima decomposizione ; 
ov\Tro, poiché IL3 — L'r i ^ ^ — ^, sarà 

L — L' ^ (M — w)S' ky. . 

Ma, se indichiamo con T la somma delle lunghezze di tutti 
questi contorni, essendo così T quantità finita determinata, la somma 
delle aree h^ è certamente minore di 4^T, perchè se si immagina un 

cerchio di raggio 45, che scorra col centro lungo tutti questi contorni, 
tutti questi //q cadono dentro all' area generata dal circolo, e questa 

non supera 4T5, e quindi certamente 2'^a < 4T5, e perciò ancora, avendo 


, sarà L' — L < — . 



preso l =z -=-rz — ^ 
^ 4T(M - m) 

In questo modo si provano i seguenti teoremi : 
La condizione necessaria e sufficiente affinchè la f(x , y) sia inte- 
grabile nel campo C è che sia Ar^X; ed allora il valore comune di 
quesU quantità è il limite di S, quando tutti gli h^ impiccoliscono 

inde unitamente, cioè ^ / / f(x , y)dC ; od anche è 



e 



ti 



-11 . 



ì'- 



19 



'\\*^ 



39Pk, 



Lrt 



fi 



• •■* j, 



J*. - 



7' 



',- 1 



290 

^7/1?, dato Oy possa decomporsi C ifì due sistemi speciali di eìemen\ 
{che potranno anche coincidere) tali che sia L^ — li^Co, essendo V 
il valore di 1 corrispondente ad uno, L, il valore di L corrispondenti 
air altro di tali sistemi. Il valore dell* integrale è compreso tra I| 
e Lj; 

od anche è 

che, per ogni numero positivo o, esista un sistema speciale di ele- 
menti hi , h^ ... hn tali che per essi sia D = S/r, D, < o, od in altre pjt- 
role^ che il limite inferiore dei valori di D sia :^ero ; 
od infine è 
che sia limD=0, al diminuire indefinitamente di tutti gli h,. 

Così pure si proverebbe facilmente che : la condizione necessarie 
e sufficiente affinchè {{x , y) sia integrabile in un campo C è cke^ 
assegnati due numeri positivi 8^6, anche comunque piccoli^ esista urna 
speciale decomposi{ione di C in elementi^ tali che risulti minore di i 
la somma delle aree di quelli elementi^ nei quali V oscillatone di 
f(x , y) supera S. 

Si vedrà inoltre senza difficoltà che: se una funzione è integra- 
bile in un campo C lo è pure in qualunque campo appartenente 
a C;come pure si proverebbero i teoremi analoghi a quelli dinio- 
strati ai n. 52, 53, 54 per le funzioni di una variabile. 



107. Ogni f unione continua in un campo è ivi integrabile. 
Invero, pel teorema al n. 83 pag. 212, dato a, possiamo decom- 
porre il campo C in elementi h^ relativi, nel modo indicato, ad un 

corrispondente numero 5, tali che sia |/(^' ,y )-/(*'", X)| < — r-» e*- 

3A 

sendo A l'area di C e {x\y)^{x\y*) due punti qualunque di A,; 

ossia, poiché vi saranno sempre in A, dei punti (x\^y\i ^{xxtj*) pei 

quali è U — /(^i ,>'i) < ^, /(a:, ,y^ — /, < -^, in modo che sia 

L, — /^ < -r-, ed allora è 
A ' 



D = SA,(L,-/,)< — SA,=:a, 



ossia lim D = 0, e la funzione è integrabile. 



f-9f^*r '"V •?»..'-' 



♦•. )'*} 



^ <'-T^ 



291 

io8. Ogni futi {ione finita e discontinua in punti e lungo linee ^ 
in numero finito^ di un campo è integrabile nel campo stesso *). 

Sia la f{x^y) discontinua nei pun;i ^i , Cj . . . ^n e in tutti i punti 
delle linee Ti , Tt . . . Yr di C, e siano M, m i suoi limiti superiore ed 
inferiore in C. Assegnato il numero o, togliamo dal campo C i punti 
f e le line y mediante intorni le cui aree ^ , a siano tali che risulti 



^1 -|- ^2 + • • • + ^n 4- «1 H- «2 -f- . . . -|- a,. < 



2(M — m) ' 

Nel rimanente campo Cj la /(x ,^) è continua e potremo scom- 
porre Ci in elementi //, tali che risulti D, =2/rXL, — ^«^<^-^l co- 

siche se consideriamo la quantità D relativa alla scomposizione di C 
negli elementi /r, , s , «, è 



.'«^.S 












ri^ 



■ * 
t ■ 



V 



',^ 



D<-^ + 



2(M — m) 



(M — w) r= a ; 



■f^\ 



e perciò, giacché dato o possiamo scomporre C in elementi tali che 
risulti \^ <iz^ la funzione è integrabile in C. 

Si intende anche come la funzione sia integrabile se è discon- 
tinua in un numero infinito di punti riunibili tra loro mediante un 
numero finito di linee di lunghezza finita. 

ICQ. Se f(x , y) è integrabile nel campo C, cambiando il suo 
valore in punti e linee di C, in numero finito^ indicata con fi(x , y) 
la funzione che così si ottiene^ è fjlx , y) integrabile in C e si ha 

lf(x , y) dC = /fi(x , y)dC, o^ più genera/menteJ{{x , yjdCj =/fi(x,y)dCi, 



e, 



e 



e e 

• i 

essendo Cj una parte qualunque di C. 

Siano Ci jC^ . . .Cn i punti, Ti ,Ye , . . T»- le linee ove si cambia il 
valore di f(x ,^;, e sia B il limite superiore della differenza numerica 
tra fix ^y) e fi{x ^y) nel campo C , T la lunghezza di tutte le linee r. 

Si decomponga il campo ir elementi //„ e nella somma 2]//,{', 
indichi {', un valore arbitrario di /^{x ,/) compreso tra il limite in- 
feriore e superiore (questi inclusi) dei valori di f^ in //,, e si prenda 
{,= {', se l'elemento h^ non contiene alcun punto e o alcuna parte 



^<i 



G 



Si intende linee di lunghezza finita determinata. 



di alcuna lìnea y, e ove ciò avveng 

il lìmite inferiore e superiore (questi inclusi) dei valori di /*./! 

in A,. 

Assegnato o prendiamo *<-:;t— — —„ e tale che per gli *. 

rinchiudibiti in circoli di raggio i sia 

B'',{.-//i«,7KC|<i, 



ciò che ha luogo per la ipotesi sulla integrabilità di /(x ,v). Inoltre 

ISA.?'. — SA.Ì.I = l^ftiù — O'. < («' + ^'tl B < 4- -■ 
e quindi 



il 



per qualunque decomposizione di C in elementi A, soddisfai 
alla precedente condizione e qualunque sia la scelta di {',, e quesn 
formola dice perciò che/,(,r,_y) è integrabile in C ed è 



//,(«,^liCr^//(,,^)rfC. 



HO. Vediamo ora come possa ottenersi il valore dell' iniejirsle, I 
esteso ad un campo, mediante due successive integrazioni semplic» i 
ciascuna rispetto ad una variabile. 

Si supponga x .ji siano coordinate cartesiane ortogonali, J,r !e 
ascisse estreme, a,ii le ordinate estreme del campo C, ove si sup- ; 
pone integrabile la /(* ,7). Sì divida l' intervallo (*, i), sull'asse del- j 
dell'ascisse, in parli i,,i^....i» mediante ì punti *, , j, . ..«.-11 i 
dai quali si condurranno delle parallele all'asse delle ordinate, e l'in- 
ter\-allo (1,;), sull'asse delle ordinate, in parti pt,Pf-p- raedianie 
i punti /i ,/(.. ./ra-i, dai quali si condurranno delle parallele al- 
l' asse delle ascisse. Il campo C sarà cosi decomposto in element rei- 
langolari Ihr di area i,pr. o che sono parte di elementi rettango.. i, ' 
per questi ultimi l'area fhr non sarà uguale a k,p^. Le due se ime 
^/'irT-r, Si,^r{ir, ove {,r indica il solito valore di yì«i/) re' :i«* 



all'elemento k,r, differiranno tra loro solamente pei termini < 
corrispondono ad elementi /' attraversati dal contorno di C, ec 
valore assoluto della somma dì tali termini è minore di 8*TM, 
gli elementi A sono rinchiudibili in cìrcoli di raggio ! e T ine 
la lunghezza del contorno C ed M 11 lìmite superiore dei valori 
soluti di/(A;,_y) ìn C; quindi le due somme precedenti differisci 
per una quantità che può rendersi numericamente minore di qua] 
que numero prefìssalo, cosìchè la seconda somma avrà lo stesso 
mite della prima, cioè avremo 

(IJ lAx,J'ìdC = Um-Lk,Pri„. 

bia /n un valore dell'intervallo (a,^); consideriamo la sotr 
^'i^ì-Jj^^.)) dove la somma il' è eslesa a tutte le A, cui corrisp 
dono le parti della retta y^y^ appartenenti a C e L,(^|,) è il Un 
superiore di valori di/(/a,*) nell'intervallo k^, sulla retta _v = 
o nella parie di esso intervallo ciie appartiene al campo C. Al 
minuire dei A, lai somma ha un limite x{y(,), che è il limite ii 
riore dei suoi valori, cosiciiè l{y„)^^\imZi' A^l-.i^t,)- 

Analogamente A|_jiJz=limSA^.(;''i)* dove l.(yaì ^ i' limite ii 
riore etc. 

Ciò posto, poiché gli elementi è,f^ possono farsi impicco 
comunque, e poiché è arbitraria la scelta dei {n, potremo seri' 
la formola (1) cosi; 

J/(;t ,y)dC=]Ìm S/-, J lim v'A,L,(^l j = lim ^pA\Ìm 2V,W j 

dove,»' indica un valore qualunque dell'intervallo {_iv-i,>'r), ov\ 

(2) * j/{x.y)dC = hm^p.Hy) = Umìp..\(y). 

Questa ultima formola dice che le funzioni 'M.y), Hy) diy j 
integrabili nell' intervallo (i , ^) e che la differenza ''{y) — A(_y) è ] 
integrabile ed il valore dell' integrale è zero. Ciò avviene non : 
nell'intervallo (o:. &) ma in qualunque porzione comunque pia 
di esso, giacché varrà una formola analoga alla (2) in qualunque p 
C -^el campo C, essendo anche in C integrabile la /{x,y). 



294 

Ora, poiché l'integrale di J.(^) — A(/) esteso a qualunque pane 
di (a , p) è zero, si vede che (Teor. al n. 60) in qualunque tratto di 
(«,ti) vi devono essere punti ^' pei quali }.{/)=: \(y). 

Ma >-{y) ^: -^(y) è la condizione necessaria e sufficiente affioctit 

esista r integrale //(* ,y)dx esteso a tutte le parti di retta _j'^' conte- 
nute nel campo C, parti di retta che indicheremo col simbolo ;(y),euic 
integrale, che indicheremo con jf{x ,y)dx. è uguale a à(>0 ^^ M/l- 

In consegnenza, in ogni intervallo p^, esisterà almeno un p 
y ove sarà 

cosichè, supponendo dì p rodere / ^=y nella formola |2), avremo 
|/(* ,y)dC = lim prj/i'c Jjdx. 

Questo limite possiamo indicarlo con i dy j/lx ,^)dx inteait 

conquesto simbolo che, nel calcolare il limite di ^p^X{y)^=I,prMj\ 
si prenda in ogni /r il valore di !.(_)■), A(_y) in uno di quei punti ,r | 

d'i Pr nei quali è X(_y') =: A(_}i') =:l/(jf ,_^')(iif. In questo modo si [ 
viene alla formola 

In modo completamente analogo si troverebbe 



dove it(x) indica lì tratto o i tratti di retta, la cui ascissa è x, af 
teoenti al campo C. '). 

Relati ra mente a questo teorema, che permette di ridurre a 
integrazioni successive il calcolo di un integrale doppio, sarà 
notare che, Uoricamenie, basta per stabilirlo, come abbiamo ora i 
che la funzione integranda sìa solo finita e integrabile nel camp 
Ma se si vuole usarlo praticamente dovremo effettivamente esej 
le due integrazioni successive, e perciò occorrerà conoscere in 

P^ quel valore y pel quale x(^') =; A{y) := {/(x ,y)dx, ciò che 

neralmente non sappiamo fare. Bisognerà, dunque, che l' intei 
i/\x,y)dx esista per ogniy di />,., cioè dovremo ammettere d 

l'integrabilità dì /{x ,y) rispetto ad x, per ogni y deli'inter 
(n , ; ', in ogni parte di retta y -=y' appartenente al campo C ; ciò 
cede, ad esempio, se supponiamo in C la f(x ,y) continua ris; 
ad X, 

Esempi 

1) 11 campo C sia il rettangolo formato dalle rette x^a, x. 
y=.^,y^=}\ allora abbiamo 

lfix,y]dC^fdxJ/(x,y)dy=[dyj/{x,y)dx. 

In virtù di questa formola viene tolta la condizione della 
linuità imposta alla funzione /{^ ,ji} nel n, 93, per dimostrare li 
vertibilità delle integrazioni con limiti costanti ; basta, come si ' 
che la funzione sia finita e integrabile nel campo rettangolare C 

2) 11 campo C sta costituito dai punti le cui coordinate x ,y so 

sfanno alla relazione — j- + 4r — '' '■'^^ dalla parte del piano Hit 



' Le ^oQsideMziani dei presente numero sono tolte J.illa pregevole 
del prof C. Arìélà Sugli inUgrali doppi lena ai!' .iccaJeraia Jelle Sciet; 
Boll -li il 13 dicembre 1891. 



n 



i ellisse — j-^-Tjj-^l, che costituisce il contorno del campo, 
fa abbiamo 

Sia ad es. : /{x ,_v) ^ ar'. Se si osserva che la nostra funzione b 
esso valore in punti situati simmetricamente rispetto all'origìK 
• coordinate, si potrà scrivere 

i Ci indica il quadrante dell' ellisse compreso tra le parti posi- 
degli assi delle coordinate. Eseguite le integrazioni (Vedi eser- 

28, -i!^.) a pag. 460, voi. I), si trova /«r'rfC = — — . 

Il campo C sia la mezza corona circolare determinata dei cir- 
ar'+^'^i*, x'' -\- y'' ^^ b^ {u>A), e dall'asse delle x. 
Allora abbiamo 

-b \'7^ h \//^' a y3^' 

/{x ,y)dQ = \ dx j/ix,jy}Jy + j dx j/(x ,_y}dy + j dx \f{x ,y)iy 

in e he 

'px ,y)dC = (dj, [ [/(;. ,y)dx + //(* ,j,-}dx ] + [rf,- //,* ,^>i 



297 
Sia ad es. : fix , v) = — r — . funzione finita continua e perciò 

X^ _j_^x ^ 

integrabile nel nostro campo C. Se indichiamo con Ci la parte di 
esso compresa tra le parti positive degli assi coordinati, abbiamo 






jx^+y Jx^+r J Jx*+y J J) 






x^dx .C.C x^dx 



^ C ^ C x^dx . C y C X dx 2 , , 

Si troverà che eseguendo le integrazioni del terzo membro 
si arriva più facilmente al risultato che non eseguendo quelle del 
quarto, per eseguire le quali ci possiamo servire della formola 

arctg^^ =arccosw. In casi analoghi gioverà cercare di in- 

m ' 

tuire prima quali delle due vie sia la migliore per arrivare, o per 
arrivare più presto, al risultato, quando quest'ultimo possa con- 
seguirsi in termini finiti. 

4) 11 campo C sia il triangolo rettangolo isoscele limitato dalle 
rette y=ix^ y=za^ x^=b. Allora abbiamo 



(3) 



O X OC 

f/(x ,jy)dC =jdxj/(x ,y)dy = j dy jf(x ,y)dx. ^ 



a 



Ad es. : se f(x ^y) = x'^y è 



C a'* 

fxydc = - 



10 



Questa formola permette di stabilirne un'altra relativa agli in- 
tegrali semplici definiti, e che contiene come caso particolare quella 
dell^ integrazione per parti. 

Jiano f{x), ^{x) funzioni finite e integrabili nell' intervallo (a , b) 



e per la ^{x) valga la forinola 
qualunque siaoo i punti e ,x di (^ , é 

j/i;,),(,y« =!/(«)[/; 

e da questa, facendovi c^=a e poi e 
l'/(x}<({x}dx = ^{a)j/{x}dx 

=.r,i,b)\j{x)dx 

ossia, in virtù della (3), che putì qui 
b b 

jf(x)^{x)dx = ^(a}l/{x)d: 

= '^{b)\fix)d^ 

la quale, ove si conosca ìf(x)dx essere -i^x), si riduce allasoliuEw- 
mola dì integrazione per partì, come può senz' altro verificars 

III. Si dimostra facilmente che ha luogo per gli integrali t^P 
estesi ad un campo C il primo teorema della media. Inrer i % 



*-f; 




TT- 



>JS 



299 

f{x ^y)^ ^{x ^y) sono integrabili in C e la ^{x ,y\ ove è diversa da 
zero, ha sempre lo stesso segno, e w , M sono il limite inferiore e 
superiore dei valori di f(x ^y) in C, il prodotto /(x ^y) ^(x ^y) sarà, 
per tutti i punti del campo, compreso tra le quantità m^(x ,y), Mcp(Af ,^) 

e l'integrale Ifix^y) ^(x,y)dC tra le quantità mj'^{x,y}dC^ ^hi^^y) ^C 



e 



V 



sarà uguale ad una di esse, cosichè 

[f{x ,y) 'i(x ,y)dC = kj:f(x ,y)dC, m^k^ M. 



V. 



Se la f{x ^y) è continua in C, sarà 

dove Xi ,^1 indica un certo punto di C, che potrà anche essere sul 
contorno di C. *). 

112. Come abbiamo visto, l'integrale //(a: ,/)JC, o, come anche 
suole scriversi, mx jy)dx dy^ riferendoci alla decomposizione del campo 

e 

in rettangoli di area A-^Aj' mediante rette parallele agli assi, si può 



M 



ridurre ad uno o più integrali della forma l:=jdx ì/{x ^y)dy^ dove 



V() 



i>j, ^i>^0' Introduciamo ora in luogo delle variabili ^ ,^, le va- 
riabili u , V legate alle prime dalle equazioni 

dove le 9 , -^ sono funzioni che ammettono derivata integrabile e 
sono tali che mentre x varia crescendo da j a ^ , w varia crescendo 
decrescendo da «^ a w,, e mentre y varia crescendo da ^0 21/1, v 
varia crescendo o decrescendo da v^ a v^. Avremo allora 

C e db /* d-:, C db 

I = j dxjf(x , +) -^-^ dv =J -^- duj/i^f , ■^) ^ dv. 



(i; 



V{) 



du 



dv 



) Il secondo teorema della media è stato esteso dal prof. Akzhlà, nella 
citai memoria, agli integrali doppi. 






I 



.■<! 



« ' 









' ■vii 



^-• 






' ""^ 



300 

r r d'c d'I 

Se Wy < Wi , t'o < t'j, l'ultimo membro è 1' i i /(^ > t^* ;j^ ~ir ^^ ^ 

esteso a quella parte del campo C, cui è esteso P integrale I, calco- 
lato mediante le nuove variabili « , t; *). Se invece supponiamo sia 
t'o> fi, allora il dv nell'integrale interno del secondo e terzo membro 

d']t 
della (1) è negativo, la - — è pure negativa sempre, quando r varia 

da z\j a t'i, perchè la ^ = '^r) è funzione crescente quando v varia 
decrescendo da v^ a. v^ ; ma possiamo scrivere 

WO l'I Wo »'l 

dove «0 < Mj ,' Vi<C.Vq e Jw, ^t^ sono positivi, e questo è allora 

d'i ' d']i 

du dv esteso a quella parte di C cui è esteso L 



f [/(? , '+) 



du \ dv '^ 

• - Il 

Si ragionerebbe in modo analogo se fosse i/q > u^ , Tq *< fj op- 
pure 7/o>w, ,t>o^^i ^ si troverebbe così che è, in ogni caso. 



I 



=/j/(.,-^) 



d^ d']t 



du dv 



du dv^ 



V integrale doppio, colle variabili correnti di integrazione u , r, 
sendo esteso a quella parte del campo C cui è esteso I. 

Cosichè se le funzioni ^ , 4^ soddisfanno alle condizioni, già poste, 
relativamente a tutti gli integrali analoghi ad I nei quali si decom- 
pone il nostro integrale, avremo 



//(' ,}•) àx dy =f/[:,iu) , '!(«)] I-J- A du dv. 



Supponiamo ora che le nuove variabili u' , v siano legate alle 
X ^y dalle relazioni x == 4>(w') ^y = T(w' , r), cosichè eliminando a 
sia y = ¥{x , t?), e queste funzioni siano tali che, mentre x varia cre- 

\ Ossia, se sì considerano u ^v come coordinate cartesiane ortogonal' 'e 

punti di un piano, a questa parte di C corrisponderà in questo piano un a e 

dz l 
C| ; il terzo membro della (1) è l'integrale della funzione f\^,i^' -j- — 

esteso a C,. 



301 

scendo da a a b^ u vari crescendo o decrescendo da u'q a u\ e che 
la F(^ , v), per ogni valore di x che si fissa tra a e b^ mentre v varia 
da v^ a t?, sempre crescendo o decrescendo, dia per y valori che va- 
riano sempre crescendo da y^ a ^i. 
Abbiamo allora 



Vi 



1 = 1 dx f/[x , F(* , t-)] |- dv, 



fo 



e passando quindi dalla variabile x alla u ed osservando che F{x^v) 

9F 9T 

diviene ^(u , v) e che — = — - , otteniamo 



Vi 



"1 



3T , 



da cui, ragionando come nel caso precedente, si vede che 

l=f j/[Hu),^(r*\v)]\.^^^'du-dv, 

l'integrale doppio essendo esteso a quella parte di C, cui è esteso 
I; e quindi ancora, se si suppongono ferme le condizioni per le 
funzioni trasformatrici relativamente agli altri integrali estesi alle 
altre parti di C, è 



l/(x,y}dxdy=l/[<P(u'),Y(u,v)] 



d<P 3T 



du 2v 



- du' dv. 



e 



V 



Sia in ultimo il caso generale 



(2) 



xr=:f{u,v) , jv =:-].(«, t;), 



dove le «? ,.j; ammettono derivate parziali finite integrabili. 

Potremo sempre scegliere delle funzioni ¥{u , r), <I> , T in guisa 
che risulti 

X = 'i(u , v) = ^¥(u , v)] , y = -^(u , v) :=: T[F(« , v) , v], 

cos .he sarà lo stesso passare dalle variabili x ,y alle u , r mediante 
le I \ oppure passare prima dalle variabili x ,y alle u , v mediante 



'/^À 



i 



;'.02 

le forinole 



e poi dalle i 



In seguito alle precedenti considerazioni, il primo passaggio dalle 
variabili x ,y alle u ,v ci dà 



/'/(«,>l^««. = |/l»(«'),T(.-,.)l| 



Per eseguire il secondo passaggio dalle variabili u',r alle \ 

I 9" ! 

in luogo di d«' dv ed introdurre nella funzione integranda le m 
variabili h,d in luogo delle »' , v. Ma si osservi che allora le 4 
I'(w',r) diventano tf{tt,ii), -^{u ,v), e che 

^ _ y* _3F ■òk _ gy 9F 

Sri " </«' 3ii ' , 9ti 9w' gr Jd ' 

dalle quali 

2? 9> _ 9-J. 9* _ i* ÌL J^L 
9k 9i> "iu >!■ i/«' 3k 3p ' 
cosichè avremo 

lii 111 9* 91- 
la* 9f 9« 9i'i 

Abbiamo cosi la regola ; per trasformare l'integrale l f{x , y) d: 

quando alle variabili x , y si sostituiscono le u ,v mediante le fon 
X ^z i;(u , v) , V =: -{.(u , v), SI trasformi la funzione integranda i 
nuove variabili e iti luogo di dx dy si sostituisca du dv moltipli 
pel valore assoluto del determinante Jacobiano delle x , y risf 
alle u , V, ^ si estenda V integrale al campo C. 



'."^T.V 



303 



Esempi 



1) Il campo C sia costituito da tutti i punti le cui coordinate x ^y 
soddisfanno alla relazione x^ +/*^^*, cioè sia la parte del piano limitata 



dal 



circolo ^*-t-^* = ia*, e si voglia calcolare l'integrale / e^^-^y^dxdy. 



e 



Colle coordinate cartesiane x .y non si riesce ad eseguire la in- 
tegrazione in termini finiti, che riesce invece subito colle coordinate 
polari ponendo a; = p cos 0, ^ = p sen 9. 

Si trova così 



27: 



I ^^*+y dxdy= fef^'pdpdH = f db f ?eP% = r.(e^^ — 1). 



e 



V 







2) Le due ellissi omofocali 



X"" V" 

i — 



A, 



= hT-T + 






=2 1, Xj > Xi > b, 



e le due iperboli omofocali tra loro, e colle ellissi, 



h' 



? 2 



determinano quattro campi, dei quali prenderemo a considerare quello, 
C, che è nella parte del piano limitata dalle parti positive degli assi. 



Vogliamo calcolare \ydQ, 



Qui, e in casi simili^ sarà conveniente passare dal sistema di coor- 
dinate cartesiane ad un sistema di coordinate curvilinee u , v tali che, 
ove ciò sia possibile, le linee che limitano il campo C corrispon- 
dano a certi valori di » e f ; nel nostro caso ai valori di t/ , z^, 
a = À„ w -zr À,, i; = jij, v ^:lz {ì,. Il nostro integrale verrà cosi a ri- 
dursi alla integrazione di due integrali con limiti costanti. Questo 
può farsi, nel nostro caso, prendendo per u ^v \\ sistema di coordi- 
nati ellittiche^ le cui linee coordinate sono le ellissi omofocali che si 
otter'jono da 



y' ^1 



u" 



«2 — ^« 



^^ 






'*•■« 



.¥< 



. «Ili 



fi 



k1 



304 



JMW 



facendo variare u^ da ^' a oo, e le iperboli omofocali che si otteiH 
gono da 



x^ 



yi ^^ __ t;« 



= 1 



facendo variare r da a b^. 

Per avere le formole che servono al passaggio dalle coordinate 
X ^y alle « , ^, si risolvono ie precedenti equazioni rapporto ad * j 



uv 



1 



ottenendo così x =z -—^ ^ jf=z — \/(^* — ^') (^^ — ^*) • 

o a 

Il valore assoluto del determinante Jacobiano delfe x ^y rispetto 

«« — v^ 



alle u ^v è 



y(U^ ^ ^«) (^2 _ ^;2) 



e quindi avremo 






V 



e 



X, 



H 



z=: -j- ì u^du i do — -7- / du I v^dv 



Al 



1^1 



!^i 



3) Il campo C sia il parallelogrammo determinato dalle rette 

ax-\-by — c=:0^ dx -{-b'y — <:' = 0, 
ax + by — ^1=0, ax + b'y — c\ =0, 
e si voglia calcolare 

1 = l{ax-{- by) sen [(ax + by) {ax + b'y)] dC 



V 



Poniamo ax-^by^=i «, ax -\-b'y =zv^ da cui x 



Ì)U — 






■ 1 Ksen(i;'ci) — sen(i:'i:] sen{£,'c,) — sen(cjC)^ 

- ab- -db\ \ e- ~~ ^7 ^~Ì ■ 

■1). Il campo C sia racchiuso dal circolo Ar'+_y*^r', e si voj 

calcolare 1 ■:=. l/{ax + by)dxdy. 

Passando alle coordinate polari p , e posto a^=kcos*ii, b^k se 
e perciò k = V<i' + *', è 

I=i//[ifcos(9 — tì,)]Frfprffl. 



Passando ora dalle coordinate p,4 alle ^, ,^i mediante le I 
mole pcos(lf — ft,) = a^i ,p sen(fl — *,)^^„ che danno p = \''*,' +_ 
» — 9, -1- are tg — , avremo 

cosichè, se si osserva che la condizione x* ^ y* ^r* diventa pr 

P* ^ r* e poi ;ti' +^i' ^ r*, si ha 

I = l/(kx,)dxi [<//, — 2 /V('^i)V''* — **i ''*n 

ed il problema è ridotto al calcolo di un solo integrale definito 

:i3. Sia AMB un ramo di curva, a ,b{a< b)\e ascisse dei i 
estr mi, e sia tale che ogni retta parallela all'asse delle ^ e la 
asci "a appartenga all'intervallo {a,b) lo incontri in un solo pu 



306 

cosichè, se yrrzyi^x) è l'equazione della curva, sia y(x) funzione tì- 
nita univalente di ir e che ammetta generalmente derivata nelPin- 

b 

tervallo (^ , ^). Per \f{oc^y)dx o \f(x^y)dx esteso al ramo di cuna 

a AMB 

AMB nel verso AMB intendiamo il limite della somma SA,/,(Jf./N 
quando gli intervalli h^ nei quali supponiamo aver scomposto l'in- 
tervallo [a ^h) convergono azero e àov^flpc^y) indica un qualunque 
valore compreso tra il limite inferiore e il superiore (questi inclusi) 
dei valori che la f{x ^y) prende, quando per le x ^y si pongano le 
coordinate dei punti del tratto di curva determinato dalle parallele 
all' asse delle y condotte dagli estremi del tratto h^. Detto integrale 

b 

è quindi //[.,X.)]^., cosichè la nostra funzione A- ,,•) sarà ceru- 



a 



mente integrabile lungo la curva AMB se pei punti di essa è lìnita 
e assolutamente continua rispetto alle due variabili x^y. 

Se a < A gli A, sono positivi, o come suol dirsi è positivo il dx 

nell'integrale j /(x ,y}dx. Se fosse a^ by sarebbero negativi gli A, e 

AMB 

si avrebbe, come subito si riconosce. 



AMB 



BMA 



Se la linea di integrazione è una parallela all' asse delle r si 
deve considerare come nullo l' integrale di f(x yy)Jx esteso ad 



Analoghe definizioni valgono per \f(Xyy)dyy ove si suppone che 



AMB 



ogni parallela all'asse delle x incontri la AMB al più in un punto. 

Sia una linea s che cominci e termini in uno stesso punto. 

Potremo sempre supporre la linea decomposta in patti AAIB^ 

BNC, .... KLA che soddisfacciano alle precedenti condizioni. Alien 

per if{x ^y) dx nel verso AMBNC . . . KLA intendiamo la somma c^'^gli 

s 

integrali i -r /+...; e per / f{x ^y) dx nel verso ALK . . . J: dA 



AMB BNC 



I|V -, ■ — 



307 
intendiamo la somma degli integrali / + / -f- • • . . I due integrali 

BMA CXB 

estesi ad s nei due versi opposti sono uguali e di segno contrario. 
Quando una linea chiusa appartiene al contorno di un campo, si suole 
chiamare verso positivo di integrazione quello nel quale dovrebbe 
muoversi una persona sul contorno per avere il campo a sinistra. 

Sia ora Sj una curva chiusa, a , b le sue ascisse estreme e sia 
<i<^, e ogni parallela all'asse delle ^ condotta per un punto del- 
l'intervallo (a , b) incontri la linea Sj in due punti (esclusi gli estremi). 
Indichiamo con ^m 1' ordinata minore, con ym' 1' ordinata maggiore 
corrispondente all'ascissa x. 

3/(* y) 
Sia C il campo limitato da 5, e sia — — '-^ continua in C, e 

/(jr,^) integrabile rispetto ad x sul contor^io. Avremo 



*' y.» 



a 

= — //(^ iy^) ^^ — //(^ yy^') dx = ^ l/(x ,y) dx, 

ab t\ 

r integrale lungo Sj essendo preso nel verso positivo. 

In modo analogo, se si suppone che le parallele all'asse delle 
X condotte dai punti dell' intervallo (a , ?) sull' asse delle y^ ove a , .. 
indicano le ordinate estreme di s^, incontrino s^ in due punti (esclusi 
gli estremi a , ?), essendo 5j una curva chiusa che racchiude un 
campo Cj, si avrà 



/^^. =//(-,..*, 



r, *2 



l'integrazione lungo 5, essendo condotta nel verso positivo. 

Cosideriamo ora un campo C il cui contorno sia formato anche 

2fix y) 
da yiix linee. Si supponga continua in C e f(x ,y) integra- 

ay 

biL rispetto ad x lungo il contorno s di C. Possiamo sempre de- 

cor porre il campo C, mediante parallele all'asse delle y, in campi 



parziali, i cui contorni siano formati da linee chiuse come la s^. Al- 
lora, poiché r integrale esteso a C si compone della somma degli inte- 
grali estesi a questi campi, e poiché gli integrali estesi a rette paral- 
lele all' asse delle y sono zero, avremo 

e sotto analoghe condizioni 

l'integrazione lungo il contorno s essendo condotta nel verso posi- 
tivo, ed intendendo che i secondi membri sono la somma degli inte- 
grali estesi alle varie parli del contorno di C nel verso positivo. 
Le due ultime formole, dovute a Gauss, sono le corrispondenti 

alla formola j^ — dx =f{b) — /\a), perchè, come questa esprime l'in- 



■ 3/9/ 
negli estremi, così quelle esprimono gli integrali *!' 'T" > "r- mediarne 

i valori di f{x ,/) sul contorno del campo. 



Integrali doppi defìniti pei quali la funzione integranda non si 
mantiene finita nel campo di integrazione e integrali dopp 
estesi ad un campo infìnito. 

114. Supponiamo che la funzione f{x ,y) diventi infinita in u" 
punto (a ,b) del campo C, intendendo con questo che, assegnato un 
numero positivo comunque grande B, esiste un intomo di {<),^l *' 
tutti i punti del quale è '< /(* ^y)\ > B ; oppure che, comunque e- 
colo si prenda un intorno di (a , h), vi è sempre in esso qua tie 
punto ove risulti l^jx,,?!] > B. 




1 J/^ • 



300 

Circondiamo il punto {a ^ b) con una linea priva di nodi s, ap- 
partenente a C, e chiusa se il punto è nell' interno di C, ed indi- 
chiamo con Cj il campo C da cui venga tolta la parte di campo 
limitata da 5, o da 5 e da una certa parte del contorno di C se (<? , b) 
è sul contorno di C. In C, la f(x . y) è integrabile qualunque sia la 
linea s e comunque essa venga a serrarsi al punto (a , b). 

Diremo che \ f{x ^y) dC^ ha un limite L quando la linea s si 



e, 



serra comunque indefinitamente al punto {a , b) o per Cj convergente 
comunque a C, se, dato o, esiste un corrispondente numero positivo 
l tale che, qualunque sia la linea s appartenente al circolo di raggio 5 
col centro in (a , ^), o a quella parte di questo circolo che appartiene 

a C, è ' / f{x yjf)dCi — L < t:, ed allora scriveremo lim j/ix .y)dCi = L. 



Ci^t, 



e. 



Ora, se esiste L, poniamo la definizione 






( I 



e diciamo che /(x ,^) è integrabile in C. 

Indicate con C , C" le parti di C che rimangono togliendone le 
parti limitate, nel modo detto, dalle linee s' . 5" e con i la parte di 
C limitata da 5' , 5" (con qualche parte del contorno di C se il punto 
{a ,b} è sul contorno), si vede che la condizione necessaria e suffi- 
ciente alla esistenza del limite L è che, per ogni numero positivo a, 
esista un numero positivo 5 tale che, qualunque siano le solite linee 
5' , 5" appartenenti al circolo di raggio 5 col centro in (^ , ^) o a quella 
parte di esso che appartiene C, sia 



f f{x ,jy)dC - (/(x ,jy)dC' = \f{x ,yy: 



C' 



<a. 












e" 



Questi ultimi integrali sono analoghi agli integrali singolari per 
le ùnziojii di una variabile. 

Si intende ora, senz' altro, come si procederebbe se la f{x ,jy) di- 
ve isse infinita in altri punti di C, in numero finito. 

Passiamo dalle coordinate cartesiane x ,y alle polari p , col polo 



310 

nel punto {a , b) mediante le forinole 

x:=a + p cos li, ji =:é 
cosichè sia 



l/(^,yìdC,=j'/l. + ,c 



Se la /(* ,^) è tale che per tutti ' 
di raggio r col centro in {a , b), escli 
^ H ^ 2:t, sia 

I f(a + (. cos ft, i + p ser 

dove A è un certo numero positivo e 
/{x ,y) è integrabile in C. 

Invero, se indichiamo con ^, la c< 
col centro in {a ,b) e dove !' < a ^ r, 



ire ! 



isB,* + 



quantità che può rendersi minore di 
prendendo 5 sufficientemente piccolo, e t 
Ma qualunque siano le linee i' , s' nel 
sempre prendere 5' cosi piccolo che si 



< A /p'-l'(/prfti< A 
invece per tutti Ì punti del circolo dì raggio r la funzi< 



') Per semplìciU supponiamo il punto ,a , b) interno al c^mpo. Sono st i 
plid le modificai ioni da introdursi se \a , h fosse sul contorno di C. 



. • 



311 



f\x^y) non cambia segno ed è 

j /(^ -f- P cos e, * -f p sen e)| pJ^ > A, 

dove JA ^ 2, la j(x ^y) non è integrabile in C. 
Invero nel campo 'i avremo 



//■(* ,>-) ^x, 



X] 






> _^^ .j2_j, _ ^.^_^. se 11 > 2 e 
2 — |i 



> 2;rA (log 8 -- log 8') se ji = 2, 



"^1 



quantità che crescono indefinitamente al diminuire di 5', comunque 
si fissi 5. 

Esempi 

1) Per valori positivi o nulli di ^ la funzione —- diventa infi- 

X -\-y 

nita solo per a: = 0, ^ = 0. Essa è, ciò non ostante, integrabile in 
qualunque campo situato al disopra dell'asse delle x^ e di cui faccia 
pur parte il punto (0 , 0). Invero, presi a , h positivi q a<ib^ abbiamo 

— t —a a a 

~ 2b log ò —2a logia -f 1) + 2^ log ^ H- 4^0 are tg V^ — V^ are tg\' a, 

e si vede come si possa fissare b in guisa che, qualunque sia a di- 
verso da zero e <A, questa espressione risulti minore di qualunque 

numero prefissato. Se poi si osserva che — ^ è sempre positiva 

pei valori di x ,y che consideriamo, si vedrà facilmente come P in- 
tegrale singolare relativo al punto (0 , 0) abbia per limite zero, e 
quindi la funzione è integrabile. 

V — — X 

2) Son è integrabile la funzione ^ — ^ in qualunque campo 

cui appartenga il punto (0,0). Invero, sia questo punto interno al 
can o C ; indichiamo con Cg il campo rettangolare determinato dalle 



312 

rette * ^ a' , ar =r — a' ,y:^b' ,y=. 
che questo rettangolo appartenga a 

tolga Cj 5 avremo / = /+/. Affinchè esista I 

litn j - „- - - dC,-,. essendo C, il campo che si ottiene da C, to- 

gliendone la parte racchiusa da una lìnea 5 qualunque che gli appar- 
tiene e che racchiuda il punto (0 , 0). Per linea s prendiamo il cod- 
tomo del rettangolo determinato dalle rette x^a, x^ — j^ v — 
^ =; — h, dove a<.a\ b <. b'. 
Abbiamo 

a b- 0- b' 

J {y^+x'f J J (y+xj -^ J J (>■*+*')• ^ 



4[dx-f^. 
J *' + «■ 



quantità che non ha limile determinato quando a , b convergono c< 
munque a zero. Non esiste quindi il limite dell' integrale esteso a ( 
quando la linea qualunque 5 sì serra comunque al punto (0 , 0). 

Questo esempio cì fa vedere come possa esistere il limite p 
speciali linee s sermntesi al punto di inlìnito ; se supponiamo qui a ^= 

il limite esiste ed è r. — 4 are tg -rr ■ 

Notiamo ancora che, la funzione non essendo integrabile 

un campo, possono però esistere gli integrali I dx I/ix,j'^Jì 

j dy I f{x ,y)dx estesi al campo stesso. Nel nostro caso non ha s' 



j!=:0, x=l, j'=:.ì, ma abbiamo 

.' ; {f + **)' -^ 4 ' j ^J (>' + *')* 4 ' 

(\'edi esercizio 12 a pag. 252). 
3) Si riconosce subito la integrabilità della funzione 
1 

j-jr; in un. campo cui appartenga il ( 



"" [(»-'>)'*U-»)T 

x = ii, y :^b,SG «<1, perchè, posto x = (i + p co&»,y^b + p: 
è sempre 

p-"/(a H- p cos tt , é +'f sen H) = 1 e 2« < 2 ; 
e la non integrabilità se w ^ 1. 

Cosi pure si riconosce la integrabilità della funzione tlog(«'+^']'',; 
in qualunque campo cui appartenga il punto (0 , 0), 

115. Supponiamo ora che la f{x ,y) divenga infinita in ti 
punti d' una linea s appartenente a C. Circondiamo la linea ; 
un linea 5, ed indichiamo con C, il campro C da cui venga to 
parte limitata da s, sola, o insieme a pezzi di contorno di C s< 
ha qualche punto in comune col contorno o forma parte od è 
il contomo di C. La f(x ,y) è integrabile in C, ; e diremo 

j/{x ,y)dCi ha un limite L quando la linea s, si serra comu 

alla s, se, dato 0, esiste un numero e tale che, qualunque sia la 
i, appartenente a quella parte T del piano determinala da ui 
colo di raggio S che scorre col centro sulla 5, o a quella pai 
T che appartiene a C, risulti j (/(x ,y)dC^ — L < a^ e scrivia 



ÌmJ/{x,y)dC,. 



Qjiando esiste L diciamo che la /(x ,y) è integrabile in C, ( 
niaiTo la definizione 



j/ix.y)dC = r,ra lfix,},)JC,. 




che qui si vede che la condizione necessaria e sufiicienie aliij 
a del limile L, e quindi alla integrabilità di f(x ,y) in C. è 
to a, esista un S tale che per due linee qualunque 5] , s, appar- 
alla corrispondente parie del piano T, o a quella pane di T 
wrtiene a C, sia 

I jf{x ,y) dC, -j/{x ,^) iC. I = I JAx ,^) rf. I < =, 

e, Ct % 

io con t la parte dì C limitata da Sj,St sole o con qualche 
,i contorno dì C, 

£Ìamo dal sistema di coordinate * ,_)> ad un sistema di coor- 
:urvilinee u ,v tale che la linea s, sìa una linea w^it, del 

e cosi, se le formole di trasformazione sono Jr^=(H,r), 

, v), avremo 

JA' ./KC. = / F,. ,-) |-j- - - - --j du A. 

ora se esiste nn intorno della lìnea 5, cioè della linea u = b^^ 
! per tutti i punti di esso, esclusa la linea s, sia 






< il < 1, la funzione è integrabile in C. 
ero se indichiamo con t, la parte di C limitata dalle can^ 
u^=:u^, tali che comprendano tra loro la cur\-a ur=n^ 






. che può rendersi minore dì qualunque quantità positiva _ i 

issando h, sufficientemente vicino a «o ^ P^^" ^^^ • valor' > 
presi tra u^ e u,. Da ciò sì riconoscerà, in modo analog 

:enuto nel numero precedente, la integrabilità di _/!*,_jf) ii \ 



Se poi F{u ,v) non cambia segno in un intorno della linea s 
risulta ìd esso 

love ;i ^ 1, si vedrà in modo analogo, che la /(x ,y) non è integ 
JÌle in C. 



1) La funzione — ~ è integrabile nel circolo col cen 

lell' origine delle coordinate e di raggio r, quantunque diventi ii 
lita sul contorno del campo di integrazione. Invero, passando di 
coordinate cartesiane alle polari p , 6 la linea 5 nella quale divii 
Dlìnìia la funzione integranda è la linea ? = r, ed abbiamo, per p ^ 

Si vede poi subito che 



/^ 



La funzione ~ ^ ~ non è integrabile in qualunque cau 

iui appartenga totalmente o in parte il circolo j:' +^' r= r', per< 
e x' +y ^ r- la nostra funzione è sempre positiva, « sempre nei 
iva se x* -ì-j/'> r*, e 



2) La funzione — ; oh^i ^ ° "°" ^ integrabile in un campo 

ippar enga una parte della parabola y^-:='2px, secondochè ;j.<1, o :4 ^ 



;ì16 

Ponendo X r=z v, /' =: ?f/ir, 
u , I', pel quale le linee v ■= cost sono rette parallele all' asse delle r 
e le linee u =; cost sono parabole di cui fa parte la parabola _f- 
corrispondendo questa a u^p. Osservando che ora è 

_ I 1 

~ 2fV'2 y-/-i 

si riconoscerà facilmente quanto abbiamo asserito. 

Così ad esempio se il campo C è la parte di piano al 
dell'asse delle x compresa Ira la parabola y* ■=,2px, l'asse di 
la retta x = a^ dove supponiamo /> > 0, u > 0, è 



/ 



V2px- 



ii6. Relativamente agli integrali doppi in un campo che si 
all'infinito, o campo iniìnito, faremo queste poche consÌdera2Ì 

Ricordiamo che (voi. I n.° 73 pag. 109) intendiamo per 
infinito un campo tale che descritto col centro in un suo pi 
circolo di raggio comunque grande, vi è sempre qualche pu 
campo fuori del circolo. 

Il campo infinito C lo assumeremo come lìmite di un cai 
nito Ci che secondo una certa legge varia in guisa da tender 
venire il campo C, ciò che potrà realizzarsi, supposte le linee d 
tomo di C, determinale da uno o più parametri, facendo i 
indefinitamente -alcuni o tutti i parametri, o facendoli avvit 
certi determinati valori. Cosi ad es.: tutto il piano potremo 
pirlo come limite di un rettangolo ì cui lati crescono indelìnì 
comunque oppure con una certa legge, od anche come il li 
un circolo di raggio indefinitamente crescente e di centro tìss< 
a seconda del problema che si tratta. 

Allora, supposto che esista l'integrale ìf{x.,y)dCi, per 

grande diventi C, secondo la legge stabilita e che esista il li 
questo integrale, quando i parametri che fissano il contomo di C n- 



317 
IO nel modo sopra indicato, poniamo per definizione 

f Ci 

Se poi, per la natura del problema, il campo C dovesse consi- 
arsi come limite di un campo finito qualunque Cj comunque ten- 

ite a divenire C, ed esistesse jj\x ^y) JCj qualunque sia Cj e co- 

inque grande, ed esistesse un unico limite di questo integrale per 
adunque Ci comunque tendente a C, questo limite lo assumeremo 

me ìf{x ^y) dQ. Notiamo che propriamente questa sarebbe la defi- 






done di integrale doppio esteso ad un campo infinito, che corri- 
onderebbe a quella data per gli integrali di una funzione ad una 
liabile estesi ad un intervallo infinito. 

Esempi 

.) Il campK) infinito C sia la parte del piano limitata dalle parti 
isitive degli assi delle ascisse e delle ordinate considerato come li- 
he del rettangolo formato dalle rette ;i: = 0, jv = 0, xzriia^ yzzzb, 
landò a jb crescono comunque. Avremo allora 

ab a 

dC ,. /' r dy f bdx 



= = Um fdJ '' = lim r ^ 



\\-^x^-r-yf izzi JW-^^'-^ff ^{i-^x^)yi^x'^b 

^^ ,. 1 7t 

= lim are tg — — == lim are ìg 



Vi -\-a'-hb'^ J 1 1 1 



9 



-H-f^-f- 



2^2 b"" ' a" 



La stessa parte del piano possiamo considerarla come limite di 
n quarto di circolo di raggio r col centro nell'origine delle coor- 
itoate, quando r cresce indefinitamente. Chiamandola allora C avremo, 
isando le coordinate polari, 

dC 

^^::^z = lim / rf8 / — '— = Jim — 

V1 + ''' 



71 

2 r 

d^l 



pdp 


(1 + ?')^ 



318 
2) Consideriamo ancora il campo precedente C. Avremo 

a b 

j sen(;r' +^*) ^C = lim j dx j sen(x^ +^*) d}' 

J a=z<x J J 

e ^=QC 



a a 



= lim / SQn{x'^)dx ì cos(^')^ -f- / cos(a--) dx l sen{y)djf = — 







(vedi n. 98). 

Si consideri invece la stessa parte del piano come limite di ob ; 
quarto Ci di circolo di raggio r col centro nelP origine, quando r 
cresce indefinitamente, cioè sia il precedente campo infinito C Allon 
la stessa funzione sen(A:' -h^') non è integrabile in C, perchè, usacd» 
le coordinate polari, è 



z r r 

|sen(*' +^«) </C, =jd9 L sen(F«) dp = ^L sen(p*) d? 



V 



v\ 



^ [1 - cos(r*)], 



che non ha limite determinato per r crescente indefinitamente. 
3) Il campo infinito C sia la parte del piano al disopra dell' 
delle x limitata dall'asse delle x e dalla parabolajK' = 2/ar. considerato" 
come limite del campo Ci compreso tra il ramo superiore della pa- 
rabola V asse delle .;r e la retta jr = j, quando a cresce indefinitamente;, 

Avremo 



Ì7rTÌ'T?)«=S/''*JTi 







a 



""ÌS.L2./n-A« 2 ] x'^2px-r\\ 2 2 2 J^:.Jx'-?'tTÌ 







31» 
e perciò (Vedi es.: 2 a pag. 455, voi. 1) 



2V1-A 



; I T (^'^ ~f'^ — 1) + are sen/>1 se /< 1 



f(l+*«-ry)» 1 2 V2 / 



p=\ 



Wz'-^^l'''^^^-'^'^'-'^] »/>!• 



Esercizi 

1. Il campo C sia costituito dai valori di x ^y pei quali è x^ -\-y^ ^ r- ; 
allora è 



2. Campo C : valori positivi o nulli di x ,^ pei quali x'^ -\-y- ^ />-, 
'*+>'"^^'j ^<^. Se « è intero positivo abbiamo 



; l.3.5...(«-l) /^''-^s.^n+a X 

/ — ^rA -r^"+-loc^-j"+-loe:a I 

i 2.4.()..(«i-2) V «-2 ^ . >' 

/• \ per n pari 

:rlog(Ar-^y)^C-=; 

\ per « dispari. 

3. Il campo C sia la parte del piano compresa tra le due parabole 



e 



4. Campo C sia la parte del piano limitata dalle curve y^ ■= 2px^ 
Jr' + •- — Apx - 0, x'^ -r/ — Apx — Sp' = 0; 



/..C = 2/.(§^.). 



C 



320 



5. Campo C parte del piano tra rette x:=0,jf = x^ x -\-y = 1 
fyV¥+W+? dC = -^ (225V5 - 319) 



C 



(si ponga ;c +7 = «, ^ = uv). 
6. Si provi che 



are tg — 

a cos Q 



ab °a cos q 2 san 9 

ldxj/(x^y)djf = l ie //(pcose,psene)pJp4-/ ^6 //(pcosf>,?seni^)pi?. 

ft 



» 
are ig— 



1. 11 campo C sia il rettangolo formato dagli assi e dalle rette .t^rj;, 
y = ò, da cui si tolga il rettangolo formato dagli assi e dalle rette 



X = 



m 



m 



(m>\); 



Ihi^'^^= 



m* — 1 



M' 



("' 



are tg b* are tg 



t)- 



8. Campo C : valori positivi o nulli di x ,y pei quali —^ -r-rr^^' 



essendo { data dalla equazione 



C=i 



X* V* 

a^ ^ b^ ^ e'' 

(si ponga x^=za sen 8 cos ^^ yi=.b sen sen «p e si prendano ^ , ? per 
nuove variabili). 
9. Campo C : valori positivi o nulli di x^y pei quali *+/^i, ^]> '^ 

k 

j/{x +j>)x'n-^r -1 dc = rff^^^J /■/({){'■+'-' it, « > 0, « > 0. 



Ad es.: 



j -^ r(»« + » + 1) 






3->l 
10. Campo C: valori positivi o nulli di x ^y pei quali è 
(-^/^(•f-y^^, />0, ?>0, «>0, *>0, k>0. 



A[(7X+(i)>"-^'-''^ 



<; 






Ad es. : se il campo C è la parte del piano limitata dalla el- 
lisse — - -f- -7j- = 1, ed w , « sono interi positivi, è 

/"^2.-i ,2«-i jc = "^'^ ^'" 1.2..(m-^l)1.2,.(;i--l) 
.' -^ 4 1.2..(w4-«) 



11. Campo C limitato dal circolo ** -f-^' — r*. 

r 

r — r 

12. Campo C: valori positivi o nulli di x ^y pei quali x^ H->'*^1. 

\ are sen aC = — -l —-'^ — 1 I . 

; A/V 8\4 / 



e 



V2 



13. Sia la f{x ^y) finita e integrabile in un campo C. Il rettangolo 
determinato dalle rette x^=za^ X'=b^ y:=:y-^ y^=? sia interno al 
campo. Si dimostri che l' integrale 

b 3 



/ dx \A^,y)^y^ 



a a 



cons .erato come una funzione '^{b , }) dei limiti superiori A , p^, è fun- 



i 



322 



zione continua delle variabili b , 3. Inoltre, se f{x ^y) è continua in 
è 

3'cp 3*cp 



a* a> 3? 3* 



--/(* , ?). 



14. Se la funzione ^(a:) è integrabile nell'intervallo (a,b\ la ^-x) 
nell'intervallo (»,{<), il prodotto dei due integrali ìf{x)dxA^{x)dx si 

a a 

può trasformare nell' integrale doppio della funzione f(x) . qf5( jf) esteso 
al campo rettangolare C, determinato dalle rette a- = a, x^ib^y — 'K 
yz=i^ cioè 

b 



( j/(^) ^^ ) ( /^W ^ ) =//W <y) dc. 



15. Il campo C sia costituito dai valori di x ^y^ pei quali x^ll. 
v ::ì^ 0, ;r* -r y* -^ 1. Si consideri / — — . 

- y Vi _;,._/ 

Si ponga 



X z^ sen qp\/l — w' sen' 0, y = cos qp cos ft, 
e si provi così che 



71 7t 

T 2 



/' C tn^ cos* 6 + «* cos* oc ,. , ^ 

/ — rfe i/q: = — , 

/ / Vi — w* sen« e \/l — «* sen' ? - 



dove »i* -f «* = 1. 
16. Posto 



r 



2 



"<*'=/ 



Je 



7: 
2 



Vi ->&'sen*B 



z , E{k) = A/l — k^ sen* e A, 
I J 



dove ^* ^ 1 , si provi che 

¥{k)E{k')-\-¥(k')Eik) 
dove ^* -f ^'* = 1. (Legendre). 



F(k)F[k') = 



T» 



2 ' 



r^ 



323 



17. Sia il campo infinito C limitato dal ramo superiore della iper- 
bole xy =zk^ (k positivo), considerato come limite del campo compreso 
tra il detto ramo di iperbole e le rette x = a, jf^=ib, quando a , ò 
crescono indefinitamente comunque. Allora 

f dC _ 1 
J jy\l + x^) "" 2k ' 



Applicazione degli integrali doppi allo spianamento delle su- 
perficie, ed alla cubatura dei solidi. 

117. Indicato con C il campo limitato da una o più linee, si in- 
tende subito che V area A del campo C è j 1 dx dy\ òa questa for- 



(■ 



mola ricaviamo subito la espressione, già trovata, per l' area compresa 
tra una curva ^ =/(^), l' asse delle x^ e due ordinate corrispondenti 
a due ascisse a , b, giacché per questo campo C abbiamo 

f fdx dy = f dx (dy = f f(x) dx. 



e a 



Gioverà qualche volta servirsi della formola / \ dx dy per calco- 



V 



lare l'area A. Ad esempio, si voglia l'area A della parte di piano 
al disopra dell' asse delle x^ compresa tra i circoli a:* -}- ^* = bx^ 

jr* -L-^* = ax^ e la retta y^=^c^ dove a <^b^ ^<^<^"^- 

Avremo A = / j dxdy; passando dalle coordinate cartesiane alle 

polari colle formole x = p cos 0, ;>» n: p ^en 9, avremo, come facilmente 
si riconosce, 

A = I ^e j fdp^ I ie hd? 4- f ^W p^p, 
e,) g e, a cos e' 63 __£_ 

scii B sen {j 



dove 0(1 , fl, indicano gli angoli pola 

incontra il circolo di raggio—; t>i , ^a gli angoli polari dei punti in 

cui incontra il circolo di raggio — , essendo cosi 

sen 2fta ^ sen 2»^ = -r- , &u ^ — are sen -7- , d, ^ -^ — ( 

2c 1 a; t: 

sen 29, ^ sen 2tìg ^ — , a, ^^ — are sen — - , 6^= — — ' 

cosichè 

e, H, 

A = -IT i ( *' cos' e ^-7--] do -L H^*/ COS* ^d» 

2 I \ sen* H / 2 ,' 

+ liY*'cos«9 ^Wtì 

2 / V sen' tì / 

cot 0, - cot 

118- Sia una superhcie rappresentata in coordinate cariest 
togonali dalla equazione :{^{(x,y), dove ^{x,j'\ è funzione 

lente con derivate parziali contìnue * = — , <}=: - - per tutti 

di un campo C) sul piano delle {x ,j'^. Consideriamo sulla su| 
una parte S limitata da una o più linee senza nodi tracciai 
superficie stessa. Questa parte S si proietti sul piano delle x ,j 
un campo C appartenente a C). Scomponiamo comunque C i 
A, e prendiamo in fi, un punto qualunque »»., cui corrispond 
per {,p iq valori che indicheremo con ^tp.^q,- I-a perpend 
al piano delle x ,y innalzata da w, incontrerà la superficie in ur 
H„ nel quale condurremo il piano tangente alla superficie. Il ci 
che ha per base Ìl contorno di A. e per generatrici rette p; 
all'asse delle {, taglia da questo piano tangente una parte k^ 



n - ». 



r^' 



?^i' 



325 

proietta su //,. Fatta questa operazione per tutti gli elementi h^ del 
campo C consideriamo la somma ^k^. Ora, se una quantità A finita 
gode della proprietà che, dato o, esista un numero 8 tale che, per 
qualunque scomposizione del campo C in parti h^ rinchiudibili in un 
circolo di raggio 8, e qualunque sia la scelta del punto w, in A,, ri- 
sulti !A — S>^J <o, diremo che A è il limite di S>^^, quando le //„ 
e quindi le ^„ impiccoliscono indefinitamente ; e poniamo per defini- 
zione che si intende per area della parte S di superficie questo li- 
mite A. Calcolare il limite di S>è, dicesi spianare o quadrare la parte 
S di superficie. 

Ma questo limite effettivamente esiste. Invero è h^=: k^ cos r,, 
indicando con r, l'angolo che la normale alla superficie nel punto 

«, fa coir asse delle {, cioè è >^, := A^V^ + A* + ^«'7 cosichè 
2i, = SA,V1 -r^/ + ^/ ed il limite del secondo membro è 

r[iCVl -^/*+ ^, e quindi 



■^r. . 



^■^■■^^ 






3*^ 



J 

■ t rt 



? »^ì 









:ì> 



A = [rfCVl+/»* + /, 



e 



la quale formola ci insegna così a calcolare l'area A della parte S 
di superficie, che si proietta sul campo C. Se si volesse spianare una 
parte S di superficie per la quale la { non fosse funzione univalente 
di X ,^, si spezzerebbe questa parte in porzioni S^ , S,.... per le quali 
si avesse ^ = \^{x ,y\ { = {,(Ar ,y)y., dove le ^^{x ,y\ i^^x ,>•),.• fossero 
funzioni univalenti, ed allora, indicate con Ai,A,... le aree di S, ,Sj,.., 
si avrebbe A 1= A, + A, 4- ... 






119. Usando, per integrare, le coordinate cartesiane ortogonali x ,^, 
abbiamo 



A=| \dxdy\f\ +/)--f /. 



^assando dalle variabili x ^y ad un altro sistema di variabili u^v 
colli formole x z=z x{u ^v)^ y =^y{u , i»), avremo 



=// 



du dv 






Vi + / -f g% 



326 

dove i valori dì p ^g si ricavano dalle forinole 






dalle quali 



^\dt*d^ 3^ 3« / \ 3« 3i3 3^ 3« / 

/3^ i^ _ if; 3^\ _- /^. ii _ il iL\ 

^ V 3tt 3f 3^^ 3« / \ 3« Si' dv d^/ 



ed in conseguenza 



Ad esempio se « , f sono le coordinate polari p , ^* nel piasa 
delle ;(r ,^, cosichè sia x =: p cos 0, y =: p sen <i, avremo 



,., A=//.,*l/..(|)V.(f)-. 

dove i valori — - , - - sono ricavati dalla z = z(q cos fi, p sen e). 

3B ' 3P \ Wi^ ^ > r 

Supponiamo che si prendano per variabili u^v le ♦* , t del sisteno 
di coordinate polari P , ^ , 9 nello spazio, tali cioè che (Vedi n.* vtì) 

x=z p sen 6 cos (f , ^ = p sen 9 sen (^ , { riz p cos ^ : 

, • • 
allora nel calcolare le derivate di a: ,/ , { rapporto a B , ? da sostituirà 

nella (1) dovremo considerare p come funzione di 6 , qp deiìnita d^» 

equazione della superficie in coordinate polari, cosiche 

3^ 3? dy 3? 

— — = sen cos cp — -f p cos G cos », -^ =sen B sen qp — - -f p costaseli;, 

30 3*^ 3'^ 3^ 

- '■- = cos B p sen B, 

3B 3'^ 



827 

dx d? dy d? 

— =sen G cos x p sen 9 sen cp, -^ = sen e sen x f- p sen h cos -i. 



— - = cos B -— 

3'^ 3? 



e da queste 



^ 9^ 3^ dy .Ce? 

-— ~- — =r p sen ' 

S^ 3? 3? 36 



— sen e -f- p cos ) 
3^ / 



|!LÌi_a?LÌi^_psenecoscp('^cose_psene) + psenc?|f-, 

ae 3? 3? 3e V 3« / 3? 

3{ 3* 3{ 3^ /3? . \ 3p 

~- = — PsenBsencpi — cos8 — psenO I — pcos^— - 

ae 3? 3? 3» V 3» j ^ ^ g.^ 

ed in conseguenza 



P integrazione essendo estesa in modo da esaurire la parte S di super- 
ficie che si vuole spianare. 

In modo analogo si procederebbe se si scegliessero per variabili 
P , tt, oppure p , qp. 

I20. Affinchè la definizione di area di una parte di superficie 
data al n. 118, e dovuta ad Hermite, riesca completamente soddisfa- 
cente bisogna -far vedere che il valore di A si mantiene sempre lo 
stesso qualunque sia la posizione del piano delle x ,^, sul quale si 
proietta la parte di superficie che si vuole spianare. Ora questo si 
vede facilmente nel modo seguente. 

Riferiamo la nostra superficie ad un nuovo sistema di assi orto- 
gonali colla stessa origine dei primitivi ; indicate con x' ^y\ :( le 
nuove coordinate abbiamo 

x=iax -j- ay + ^ -C > 

Il f ' I w f 

^ = c^ -\' cy 4- ^ { , 
do-s a^ b^ e sono i coseni degli angoli che l'asse òx fa cogli assi 



'^) O/i 0? i ^ 1 ^1 ^' s ■*") *'i '^" sono le quantità analoghe relative 
agli assi 0_r', 0{'. 

Siano S„ S,,... le parti di S che si proiettano sopra i campì 
C, , C',.— sul piano delle x, y, e sui campi Cj , C,.... sul piano 
delle X ,_)!, in modo che la corrispondente ordinata riesca funzione 
unìvalente delle *' ,y' o delie x ^y. 

Abbiamo (n. 119) . 

j jdxdyyi +p'-+f=^ 



\dx'^' 9y9*7 Xdx'dy ^'d^7 \d^'3y S/è^'' 

Osser'i'ando che nel calcolare le derivate di x ,v ,{ rapporto ai 
x' ,y dobbiamo considerare {' come funzione di x' ,y data dall'e- 
quazione della superfìcie nel nuovo sistema di assi, abbiamo 



dx' -^ ' 3r' ■^ ' 3*' 



dove p' , q indicano le derivate di ^ rapporto ad a:' e ad y. 
Perciò 



3* 3^ a* a> ^ 



ab) + (a"b' — ab')p' + (ab' ~ tf'%', 



ovvero, avuto riguardo alle relazioni note tra le quantità a, i,f, 

dx- dy dy 2*' ^ ? ' 

ed analogamente 

dx- ay dy 3*' ^ "'a-^' 3/ sy sv 

ed in conseguenza, avuto riguardo alle menzionate relazioni. 
j fdx dyyìr-'-p^+"g' — j jàx'dyyi + p'^ -^q*. 



329 
In modo analogo sì prova che 

/ / dx dyyTVfTf = \ j dx' dyyiTJ^Vf^y.., 

cosichè 

^=1 jdx' dy\/i + /'« + q'^ -f ffdy dyy/i -{-/»•« + q'^ + ..., 

e, ('2 

come volevasi dimostrare. 

Si intende poi, senz' altro, come uno spostamento del piano delle 
x\y parallelamente a se stesso, non alteri la formola precedente. 

121. Applichiamo ad alcuni 

Esempi 
1) Si voglia l'area A della parte di sfera 



staccata dal cilindro 






a* a' 



Abbiamo ^ = \/^' — -** — y^ dove prenderemo pel radicale il 
segno -f-, / = — _J 7 ^ zr, g = - ^^ 



y ^s — x^—y \/a' — x^ — / ' 



Vi -r/' -f g'' = — — , e quindi, come si vede facilmente, 

y^2 _ x^ _y 



^Va'- 



.i 



^ V - -A- g 



^^^o 1 r^„_o.. 1 



^8« / dx I — = 8rf arcsen — / dx^Sa* arcsen 4- • 



b J * 



* ^ 

2) i voglia calcolare l'area A della parte di cilindro 

{* 4- (x cos a -\-jy sen a)' — ^* = , •< a < -- , 
com .esa nel primo ottante dei piani coordinati. 



L' asse del cilindro è la retta x cos a -\-y sen a = 0, -{ == 0, ed fl ' 
cilindro taglia il piano ^ = lungo le due rette 

X cos rn \- y sen a :== =t ^ ; 
cosichè nel calcolo dell' integrale doppio, che esprime l'area richiesta ■ 



i limiti rispetto ad x saranno e 



cos a 



e rispetto ad ^,0 e 



a — X cos a 
sen a 



; e perciò, osservando che 



VI + />* + ?* = 



V^j* — (x cos a -f ^ sen a)* 



abbiamo 



a a—xcQ%% 



cos a sen a 



A 



/../ 



^V 







' \/^* — (x cos a -h^ sen a)' 



a 
cosa 



sen a ./ L 



are sen 



X cos a 4-^ sen 



^i: 



a — jr COI g 
sen a 







.7 



coM a 



sen a ^/ L 2 



are sen 



X cos a 1 
a J 







sen a 



T^ X cos a 
-~--^ are sen 



V^* — x^ cos * a 
^ cos a _j 



] 



a 
cosz 



sen a cos a 



3) Problema del Vi vi ani. 
tìcie della sfera 



— Si voglia spianare la parte di er- 



^2 ^ y^ -\- ^ z=. j' 



:h31 

staccata dal cilindro at' -\-y- = ax. Usando le coordinate polari ;if =p cose, 
^:=psen« e servendoci della formola (2) al n. 119, osservando che 

{ =\' tf ' — P*, abbiamo 

2 ^co^B IT a coso 



V u 



Considerando l' emisfera penetrata dal cilindro, l'area della parte 

che rimane è 2-'/?' — 4a^ (-- — 1 ) = 4^'. 

Questa formola risolve il problema, proposto dal V^iviani nel 
1692, di aprire quattro finestre uguali in una volta emisferica in guisa 
che la parte rimanente della volta fosse perfettamente quadrabile. 
4) Si voglia spianare la parte, contenuta al disopra del piano ^ = 
e a destra del piano x --in 0, della superficie 

(x^ _^./ + ^«)« — 2tf« (x' — /). 

Questa superficie è tagliata dal piano >{ = lungo la lemniscata 
{x^ -^ y^y =: 2a\x^ — ^*). Unito un punto M della lemniscata coli' ori- 
gine e fatto passare per OM e per l'asse delle ^ un piano, su 
questo si descriva un circolo sul diametro OM; la nostra superficie è 
il luogo geometrico di questi circoli. 

Per spianare la nostra parte di superficie giova usare le coordi- 
nate polari nello spazio 

x= p sen B cos '^, ^ = p sen 9 sen cf , ^ = P cos 9, 

cosichè l'equazione della superficie diviene 



p =1 ay2sen 9\/ cos 2'^, 
per cui 



H'-(i)>"- (f)=-^i~;. 



'>;-^f^= 






> , 






'^: 






tv., 

Vi . 



ed in conseguenza (Formola (3) n. 119) 



t: 



«w 






sen* Ci Je 






4 



5) Superficie di rofaiione. Si voglia spianare la zona compresa tra 
due piani xz= a, x znb della superficie di rotazione generata dalli 
curva Y rz:/(X) ruotante intorno all' asse delle x, Ossen-ando che ■ 

1' equazione della superficie è {* =/(*) — ^'^ e quindi 



Vi+/>*+ ?' = 



//w'-/ 



abbiamo subito 



A = 4 ìdxf(x)[/\ -f /"(^f [ — 



^jc 



0- |//(* 



)-/ 



p 
=z2r:lf{xi/ 



I -I- /'(xi il. 



ed il problema generale è ridotto ad una sola quadratura. Si paò 

osservare che dxy 1 -r /'{x) è il differenziale ds di arco di cura 
meridiana jy =zf(x)j cosichè la formola precedente può anche com- 



b 



pendiarsi nella A = 2~- / yds. 



a 



Ad esempio, consideriamo l' ellissoide di rotazione generato, nel 
modo predetto, dalla ellisse 

.9 



A?" y 



-\-^^=ly a>b. 



\/a'^b^' ,,. ^ b\/a'^ — e'x^ . 

Posto = e, abbiamo ds = — ^^— dx e quindi per 

il ay 

l'area A della zona compresa tra i due piani Ar = 0, a: = a:, si trovi 



2-b 



r.b 



A = / dx\f a^ — erx' = — 

a J ^ a 



xVa^ - ^ V H are sen - 

e t 







333 
Facendo x =: a abbiamo l'area della mezza ellissoide, cioè 

rui^J y i — ^* H are sen e \ . 



V**-"* . . .,_... * 



Se a<ib, posto - — , =:e. è ds = dx — r— \/a* 4- b'e^x^ , e 

ay 



quindi 



X 



A = — ^ dx\/a' -{- b^e^x' 



2r.b ir. ,-. ., .-r a* 



a* 



i-L\V + b'e*x* + ^log(bVx+èe\/a* + *V*»1 







^ ^ ^^y,* + A»,v + -g. log ^^^ + V^"^ ^ bw I 

Per x = a^ si ha l'area della semiellissóide, cioè 

. r,v ^ log ^ii±i> 

L e a 

122. Sia { = {{x ^y) r equazione di una superficie, dove ^x ^y) 
è funzione univalente continua di x ^y pei punti d'un campo Cj. 
Sia C un campo appartenente a Cj; scomponiamo C in parti h^ e, 
preso in /r, un punto qualunque w„ sia 7^^ il valore di { nel punto tn^. 

Consideriamo la somma S^,^, ; il limite di questa somma, all' impic- 
colire indefinitamente delle //„ cioè 1' /{^C, definiamo come il vo- 

e 

lume del solido o corpo compreso tra la superficie ^ = ^x ^y\ il 
piano { n: ed il cilindro colle generatrici parallele all' asse delle { 
avente per base il contorno del campo C; calcolare tale integrale 
dicesi cubare il solido. 

È evidente l'analogia tra questa definizione di volume e quella 
di area compresa tra una curva piana, l' asse delle x e due ordinate 
corr^pondenti a due ascisse. 

ì si vede subito, ragionando in modo analogo, come debbasi 
defii ire il volume del solido determinato da una o più superficie. 



834 

Integrali tripli — Cubatura dei solidi. 

123. Sia // =:/(a-,^,{) funzione univalente finita dei punti (*-/.{! 
di un campo finito T, a tre dimensioni. Decomponiamo T in « partì 
od elementi, i cui volumi, diversi da zero, indicheremo con A^, A, ,...ih,, 
notando che chiameremo questi elementi, gli elementi ^1 , /tj,... A«- For- 
miamo la somma S = 2jW, A,, ove w, indica un valore qualunque com- 
preso tra il limite inferiore e il superiore (questi inclusi) dei valori 
che f(x ,7 , {) prende nell' elemento //,. 

Noi diremo che, col diminuire indefinitamente di tutti gli ele- 
menti /r, S ha un limite L, quando, ad ogni numero positivo r, 
anche comunque piccolo, corrisponde un numero positivo 5 tale che. 
per qualunque scomposizione del campo T, per la quale gli elementi 
h^ siano ciascuno rinchiudibile entro una sfera di raggio 5, e qua- 
lunque sia la scelta dalle quantità «^, risulti |S — L| < a, e scriviamo 
allora lim S =: L. 

Questo limite si chiama V integrale triplo definito^ o integrali 
triplo, o integrai e y esteso al campo, o spazio T, e si indica coi 
simboli 

T T 

La funzione dicesi integrabile nel campo T quando tal limite 
esiste. 

S' intende, senz' altro, come qui valgano considerazioni |>erfeita- 
mente analoghe a quelle fatte per gli integrali doppi. 

Si vedrebbe cosi come il calcolo di un integrale triplo, che si 
indica anche usualmente col simbolo 



« /• /» 



possa ridursi a tre successive integrazioni semplici. 

Si vedrebbe pure come, pel cambiamento delle variabili di inte- 
grazione, valga la regola: 

Per trasformare /' integrale 






flT- . ' 



335 

Juan do alle variabili ^ ,>' , { ^^ sostituiscano le u , v , w mediante le 
fùrmole 

X =: cp(u , V , w), y = 4;(u , V , w), z =: x(u , V , w), 

s/ trasformi la fun^one integranda nelle nuove variabili^ ed in luogo 
a dx dy dz si sostituisca du dv dw moltiplicato pel valore assoluto 
del determinante lacobiano 

9y 3y 3? 
9u 9v 3w 



a+ _3+ _3£ 

9u 9v 9w 

9x _3x ^ 

9u 9v 9w 



ielle X , y , z rispetto alle u , v , w, e si estenda P integrale al campo 
T, avendosi così 

j j I f(x , y , z) dx dy dz = / / jf(^^ , * , x)| Al du dv dw. 



Esempi 



1) Essendo Jt ,^ , ^ coordinate cartesiane ortogonali, il campo T sia 
il parallelepipedo determinato dai piani ^ = 0, >• = 0, ^ = 0, x = a^ 

Allora abbiamo 



a b 



a e b 



jf(x ,y , dl=jdxjdy I f(x ,y ,i)di=^ dx f d^ f/(x ,y , i)dy 







b a e 







= ì dy \ dx \ f(x ,y ,i)d^ = , , . 







2) 1 1 campo T sia costituito dai punti le cui coordinate x ,y ^i sod- 
disfa ^no alla relazione 



^^** ^ C' -^" 






Vi'-." 



Ad es. : se /f* ,^ , {I = x% è 



3) Il campo T sia la parte di spazio limitata dal piano {= A e 
parte di superficie conica «'+_>■* in -j^ {*, che è al disopra del 

delle * ,y. Vogliamo calcolare / {*' -r^') dJ. 

Passiamo dalle coordinale * ,^ , i alle p , B , ^ colle foraiok 
x = p cos tì, > m p sen 8, ^=i 
(coordinate •cilindriche). Allora 

!n * "a" 
\ (*' + /) di = I p'di-dodi =1 d<i ( dx I pVf =-^ . 



337 

4) Si voglia calcolare 1 = j f 1 ^^*+y+«* — ^ — esteso al 

campo limitato dalla sfera x^ -\-y^ -f- ^* == r*. La funzione integranda 
è integrabile, quantunque diventi infinita nel centro della sfera. Pas- 
siamo dalle coordinate cartesiane alle polari p , 6 , 9 mediante le for- 
mole 

^ =z p cos B, ;r = p sen cos '^, ^ =r p sen 9 sen '^. 
Osservando che A = p* sen 0, abbiamo 

« 271 r 

I = fsen e^/e r ^9 T^p' pjp = 2^1 (é?'"' — 1). 
00 

124. Gli integrali tripli trovano immediata applicazione per la 
cubatura dei solidi, alla quale già precedentemente accennammo, 

giacché il volume V di un campo T è ì i 1 dxdyd{. Una integra- 

T 

zione si effettua subito, ed il calcolo è ridotto a due integrazioni. 
Usando coordinate polari nello spazio, avremo 



=///'• 



sen B^p dd dz. 



Esempi 

1) Si voglia il volume V del solido, al di sopra del piano -{ = 
e a destra del piano ;c = 0, compreso tra il piano ^ := ^ e i due ci- 
lindri y^ = ax^ ^* -h ^* z= tf*, dove a'^c. Avremo 

y 



\/a^-:^ 



e a y a —V e a 



y=z( dy f dx fdi = \dyya^ -/ / àx=i^ fdyy^^a^ -/ 

0*^ 

e 

- -^\a^ are sen ^ -f><2/ — a^) V^*-/! 
8tf L ^ J 





22 



J^(..„c„„-Ì + <2c--..)V»'-^')l 



2) Volume del solido del Viviani. — Determiniamo il votae 
solido che il cilindro x'-ì- y^-=aK stacca dalla solidità delb 

a x''+f + f = a\ 
Usando le coordinate cilindriche { =s ^, * :=p costì, ^i^psen*, ab- 

no subito 

■i a costì \/o*— p' 2 a costì 

V = 4 r (/a 1 prfp ì dl = A\ d^ f p\/«' — p' rfp 



= _l|*[(„._p.,i]=|..._|^Jse„'<* 



4 , r cos' e "1 ; 

. — tf* cos e — = - 

3 L 3 J : 



Il volume della parte di emisfera che rimane dopo averne tolti 
«rte staccata dal cilindro è perciò -q-"^- 

3) Volume dei solidi di rotazione. — Si voglia calcolare il <i)- 
le V del solido compreso tra i piani x^a, x^b e tra lasuper- 
; generata dalla rotazione, intomo all'asse delle x, della cuni 
:/(«). _ 

Osservando che l'equazione della superfìcie è {*^/(a)*—_^-, afe- 
nò subito 

V = 4f dx f d_y fd^^Afdx UyV^ JWf—y^ 

= 2J dx [ V/W' ->* + 'M are sen -j^ j = r.jj^) à 
il problema è in ogni caso ridotto ad una quadratura. 



L r'^ 



p4 



f 



''•»/.' 



330 

Ad esempio, si voglia il volume generato dalla rotazione intorno 
all'asse delle x dell'area compresa tra l'asse delle x, la cicloide 

xz=a(t — sen/), jf = a(l — cos/), 

e la ordinata y che corrisponde all'ascissa x e quindi al valore /=/; 
avremo 

X t i 

V=i: lydx=zna^(l—cost)^dt=na^ / (l-3cos/-f 3cos*/-cos«/) i/ 







ó 'ó sen' 
;:itf^|/— 3sen /-+- — / H- — sen 2/— sen /H 













3 

4 sen /-f —--sen 2/4- 
4 



-jf-sen^/j; 



il volume totale del solido generato da un intero ramo di cicloide 
corrisponde a t=2nj ed è V =:ÒTz*afl, 

4) Si voglia il volume V del solido limitato dalla superfìcie 

(v)-(i)--(i)+=>- 

Osservando che la superfìcie è incontrata dal piano { = lungo 
la curva ( — )~~^ ( "T" )^^^ ^' avremo V=8 / 1 {dxdy dove C 



e 



indica il campo determinato dei valori positivi o nulli di ;c,^ pei 
quali (^)l-+(^)-r^L 

Per integrare introduciamo le variabili u^v mediante le relazioni 
xz=a sen^ u cos^ v^y=,b sen' u sen' v, 
per cui ^ = e cos'i/. Osservando che 

^=— *tg'v, ^-^jx-h ^-yJTrrsen*//, 

dalle quali risulta che le linee v = costante sono rette uscenti 
dair origine e le linee « -= costante sono linee analoghe alla 









■ **i 



' .fl 



( — \ 3 + (-J-J 3 = 1, vediamo < 
spetto ad u e a V sono e -^; e 



3« di' 


= 


Sacos'vsen'MCOSM 


Msen'fsen'.oìS 


3» 8» 




-3«os',»„.se„'„ 


SAsen'ccosrsen' 


=e« 


».»',cos'.s™--«cos., 




avremo 









V=::8.9fl*i: / sen'rcos* Pifo \ xvi-u 
Ma (vedi eserc. 1 a pag. 182) 



lseii*Mcos'M(/a:=/sen''«(l-sen'K}'i/«^sen''K(l— 2sen'm-sen'i 



2J. ^ 2.4.6 2.4.6.8_ 8 
^3.5~"3.&.7 3.5.7T9~ 5.7.9 



|sen't.cos'i^A^|sen«r(l-sen'^)A = ^ _1^ = _-, 

4 
e quindi V= - - ^abc. 

EsERcrzi 

esteso ai punti (x, y, ^) pei quali «'+y + ^*^r', avendo ini. ( 
con 1 l'angolo che fa coll'asse delle ^ la retta che unisce i ' 



r^' 



.1 < ' ,■..'••• 



341 



/ 



(I), 0, tf), (a:, ^, ;{). (L'integrale rappresenta l'attrazione, secondo la 
legge di Newton, esercitata da una niateria omogenea di densità uno^ 
che riempia una sfera, sopra un punto materiale di massa uno esterno 
alla sfera). 

2. Campo T costituito dai punti (a:, ^, {) pei quali |^| ^ ^, 

(attrazione di un cilindro retto, a base circolare di raggio r omogeneo 
di densità uno e di 2L\Xtzi2i 2/t, sopra un punto materiale di massa 
uno esterno e situato sull'asse del cilindro). 

3. Sia il cono che ha per vertice l'origine delle coordinate e 
per direttrice la ellisse, sul piano { = £;>0, la cui proiezione sul 

piano ;^=0 ha per equazione —r- +4^ = 1- Il campo T sia la parte 

a b' 

di spazio al disopra del piano ^ = compresa tra il cono e i piani 

*— 0, 7 = 0, i = c. 

Abbiamo 

xy ^ _ a^b'^\/c 



r_xy_ 

Ivy 



dT 



36 



r C C dxdydz 4^^* 

4. / / / — — ^^ — = P integrale essendo esteso ai punti 

./ •' J v^*+y-H{* ^ 

^*7^j l^ P®i quali x^-\-y^-\-[{ — df^à^ (Giova usare le coordinate 
polari). 



■• /' /■ \ 



dxdyd\ 



(*'+y+?*)2 



-5- = 4,.log(— ), 



/// 



dxdyd\ 



(x^-Vf^^)'^ 






le integrazioni essendo estese al campo determinato dalle due rela- 
zioni 



x'^ y* z* 
or b^ e- — 



-I- 



i fi 






i '>5 



n.l 






.I.-- 



'ir- y^. 






i-" 






t2 



I si ' 



342 

6. Paraboloide di rotazione generato dalla parabola y = 2^ ruo- 
tante intorno all'asse delle x. Volume compreso tra il paraboloide e 
i piani ^ = 0, x=:x è T^px^] area della zona tra gli stessi piani è 

7. Sia la iperbole-^ — ^ = 1. Per l'iperboloide di rotazione 

a due falde, generato dalla iperbole, il volume V e l'area A della 
zona tra i piani x=ia^ x=^x^ sono 

V = ^^{^^3a'x-^2a^), 



A=7i — \x\/e^x*-a*'ab log ^^—-^ \i^ = - • 

al e ae + à l a 

Per r iperboloide di rotazione ad una falda, generato dalla stessa 
iperbole, abbiamo, per gli stessi elementi tra i piani >> = 0, ^ ==/, 






-:]..= 



V<»'+** 



8. La catenaria j' 



=H 



e à ^ g h\ ruota intorno all' 



delle X. Abbiamo pel volume etc. e per la zona etc, tra i piani 
x=^0^ x=iXj 



=tK 



2x 



^hH, / il -^ 



2.V 



U4*], A=:^[A(.^-r?)+4x]. 



Se la catenaria ruota intorno all'asse delle y, abbiamo, per le 
stesse quantità tra i piani y=-h^ y^=-yi 



V = A.[(^^A')(< 






+ * 



X 

h 



)] 



=Ti}^x{e A —Tf^\'-h{e f' -Ve * W2a]. 



9. Volume del solido limitato dalla superficie generata dalla 
lenmiscata (*'+y)' = 23'(jf' — y') ruotante intorno all'asse delle * è 



it^[log(l+V2)- 



^]- 



■10. La curva^ji'^** — x* mota attorno all'asse delle x\ l'area 
della siiperlìcie cosi generata è 

-g-[3 + 5V2 + -^log(5+4V2)], 

4 
ed il volume del solido da essa limitato è uguale a t^«- 

11. Area A della parte di cilindro — j- -f--ij- distaccata dal ci- 
lindro -^ + ^ = 1. 

A = 4* cH arcsen^L e=:— se a>c, 

A = 4ij^^+-^log(*+-^')l, ^^ ^'*~''' se a<c. 

A=8*i: se a^c, A = 8«* se a = b=c. 

(In questo ultimo caso si ha il doppio dell'area di una volta a 
conca su base quadrata). 

11 volume V .del solido limitato dai due cilindri è 



12, Dai due cilindri *' + {*=ia*,y + j' = a' togliamo la parte 
di un cilindro contenuta nell'altro, e consideriamo delle superficie 
che cosi rimangono la parte, al disopra del piano { = 0, limitata dai 
piani x:=d, A- = — a, y = a,ji:= — a. L'area di questa parte, che 
forma una volta a crociera su base quadrata, è At^{^ — 2). 

13. Area A della parte di cilindro — j- + -^ = 1 limitata dai 



> ' -' 

*■ 



v~^ 



-» * 



vs 






344 
piani y=.Oj yz=:bx; 



A = a*b T: 



1— «' 



2-1 log; , « = -^^— , «i>c, 



l-^J 



ì+e* 



1 4- " ' - are tg < , * ::= 



Ve' — «» 



, «<c, 



A = 4«'i , <j :^ <r. 

14. Volume V del solido, al disopra dei piano '^=0, compreso 



** j>* 



tra il piano ^ = 0, il paraboloide — - =r 1 j — ^- ed il cilindro 



r _ 



w*, w*^l. 



Wz=z:zabcm^(l — ^\ se w«<l, ¥= 



c^fc 



se fw* = l. 



15. Volume V della parte di solidità della sfera Jt' -h^»*-{-{'=#^ 

-4=1, *>1. 



staccata dal cilindro 



9 



9 ' 



8 /V*'~l 



__ 8 /V^ - 



-f- are sen 



ry- 



16. Volume V del solido compreso tra il piano {=0, il pan- 

'2z x^ y^ oc^ V* 

boloide — i=i:--.4-~- ed il cilindro —r- 4-4^ = 1. 

¥V 

17. Volume V del solido compreso tra l'ellissoide 



V =-:,,.*("¥ +*y). 



a 



T 



-H4r4--V = l e i piani ;^ = 0,^ = 0, { = 0, h-4- = 



1. 



/i 



V = ^^{5V2-4). 

18. Volume della parte di solidità della sfera Ar*-f^*-r{*=J* 
staccata dal cilindro x'^(x'^-\-y'^) — c?{x^ — jv') = 0. 



V = — ^(r._2-f-2log2) 

ó 



(Giova usare coordinate cilindriche). 



345 

19. Essendo Or, Oy, 0^ tre assi ortogonali tra loro, consideriamo 
npertìcie rigata generata nel modo seguente : mentre il piano ^OA 
ta intorno all'asse 0;(, la generatrice della superficie situata su 
sto piano, facendo sempre un angolo costante con 0{ la cui tan- 
te indichiamo con X, intercetta su 0{ un segmento OC = X^e, 
e a indica una costante e ^ l'angolo dei piani ^fXr, ;[0A. Si vuole 
'olume V del solido limitato dalla superficie rigata così generata 
ai piani xQy^ {Oar, {OAi, essendo ^i<2t. l'angolo di questi due ul- 
i piani ; e l'area A della parte di superficie limitata dagli stessi 
ai. 



W = 



24 



sare coordinate cilindriche p, B, ^, osservando che l'equazione della 

perficie è allora { ^ À^<i ^. Per calcolare A giova integrare 

ima rispetto a 6 e poi rispetto a p, osservando che i limiti del- 
integrazione relativa a B sono -r- e (i.). 

20. Sopra un paraboloide ellittico 2^ := r- -^ si considerino 

a b 

curve definite dalla condizione che, per ciascuna, le normali alla 

iperficie nei loro punti facciano un angolo costante « coli' asse 

^le ^. Si calcoli l'area A della callotta del paraboloide limitata da 

«ella curva per la quale 6 = ^^. 

3 \ costei / 

Jio^-a assumere per linee coordinate sul piano { = le proiezioni, 

^ questo piano, delle linee che si considerano sul paraboloide, e 

ette U'centi dall'origine delle coordinate). 

01 1 (e^ — e—^ O' — e->\ 
-^- Vrea A della parte di superficie ^=:arcsen I — . — I 



compresa tra i piani x^x 
e *o<*i- 



(Giova prendere per variabili, 

^_ <' — g-^ „— f!!lllZ dall 
servando poi che pei punti de 



12$. Sia u(x^ , »,,....*,) 
(^11 ^11— -^o) di un campo fic 
valori estremi di x^ ; e, J i vi 
estremi di :<'„ in tutto il campi 
dì ATj in m, tratti di ampiei 

•I,, <lt,..ilr-l, Ur , ... dn,— 1 coir 

inm, tratti di ampiezze 1^ = 0,— 

compresi tra e e d;.,. l'intervs 

p, i=ei — ei-i mediante i valori e,, ^, ,..ef — compresi tra (d/.j 

I valori di x„ x,, ..x„ tali che sia 

determinano un elemento, di spazio ad n dimensioni, che ì 

con hr, j. Consideriamo tulli quegli elementi che a] 

completamente al campo T, tali cioè che, se hr,...t è une 

di essi, gli *| , *, .. x„ che soddisfanno alle precedenti disuguagiu» 

siano punti (x^, x^,...x„) appartenenti tutti a T, che rimane cc^: 

certo modo, decomposto da questi elementi. 

Ciò posto, indichiamo con «n.» un valore qualunque compi 
tra il limite inferiore ed il superiore (questi inclusi) dei v' ri » 
«(*, , ;*■, ,.. x„) nell'elemento hr,..i, e formiamo la somma 

S = 2 U,S..lÌrl....pl 



stesa a tutti gli elementi hn.i che appartengono completamente al 



indeiìn ita mente degli elementi 
rt..(, S ha un limite L, quando, ad ogni numero positivo s, corri- 
wnde un numero positivo S tale che, per qualunque scomposizione 
el campo T in elementi hr,...t pei quali sia Ar^S, /.^ !,.... /( ^6, 
qualunque sia la scelta delle quantità ut,...t, risulti |L — S|<a, e 
;riviamo L:=limS. 

Questo limite si chiama /' integrale nP'" definito o integrale mul- 
'plo di ordine n, o integrale nP'", o integrale della «(*i, x^,..Xn) 
steso al campo T, e si indica col simbolo 



//../..„ 



x^, .. Xa) dx^ dXf ... dXn- 



La funzione dicesi integrabile nel campo T quando tal limite 
siste. 

Qui s'intende come valgano considerazioni analoghe a quelle 
rolte per gli integrali doppi e tripli. 

In particolare, ogni integrale multiplo si riduce a successive in- 
frazioni semplici. 

Se dalle variabili «, , x, .. Xn si passa alle variabili yt , y^ ..y^ me- 
ìante le formole 

*,=(p,(/,,^,,..jV«) 



idicato con A il determinante Jacobiano delle x rispetto alle y, 



3ti 
3^. 



3--, j 



3-fn 

3> 



/ / .. \f(x,,^,...x,)dx,dx,..dx„ = \ j ... //(?,, T,..T-)|A<6',if,-Jv| 
gli integrali dei due membri essendo eslesi ai campo T. 

Esempi 
1) Si voglia calcolare 

esteso ai valori di Xi,Xf...»n soddisfacenti la relazione 

*'i -I- *', + ... + x\ ^ r*. 

Passiamo dai sistema di variabili o coordinate Xj,x^...» 
sistema analogo al polare (coordinate polari nello spazio ad 
mensioni) mediante le formole 

flr, = f cosfi,, 

*jzi:p sens, cosft,, 

*j :^ P sen fti sen ", cos 8,, 

*,_[^psenft, senfi( sene,. . .sen e„-3Cosfi„_t, 

Xn-,^^P sen «i sen Of sen 6, ... sen e.,—, sen 8.—, cos 8»— „ 

Xn ;=psent>, sen l'i sen 8g .. . sen^n— jsenSN-i sene.— i; 

si otterranno tutti, e ciascuno una sola volta, i punti dello s[ 
w dimensioni, cioè tutti i valori delle :>:, facendo variare 
a x>, e, ,»,,.. .ft-_, da a 71 e e«-, da a 2i:. 

Per calcolare il determinante Jacobiano A osserviamo ci; 



349 

)rmiamo ^ scrivendo nella prima linea le derivate di Xn rapporto 
p,^i ,B, ..9„_i che sono 

1 / 3*1 3*n-i\ —1/3*1 3*1 \ . 

*» \ 3p a? / «» \ 36, 36, /' 

altre linee seguenti sono 

9^ ?^ 0,0,..0, 
3p ' 3»i 



Moltiplicando gli elementi della seconda linea per — , quelli 

Xn 



*«- 



jlla terza per — ^ , . . quelli dell' ultima per -^^—^ e sommando agli 

ementi della prima linea i corrispondenti delle altre linee^ cosichè 
valore del determinante è rimasto inalterato, si ottiene un deter- 
inaote in cui sono nulli tutti gli elementi da una stessa parte della 
agonale, ed abbiamo così : 

=T-&^ "• ^■- =(-!)" ■' P-*sen-«6,sen-36,...senX-3sene„_,. 

osichè avremo 

= / /... / /f^'*P''"-*sen*-*0iSen'^^e«..senBn-g^p^ei^8j.. JOn-t^Bn-i 

V J J 

iteso al nostro campo di valori, ossia 

SIC ìt T. ^ 7r r 

= I (/e»-i rsen«-2ej rfOi / sen«-3ej d%^... sen e«-2 rfe«-2 e^'' p«-i^P 



71 2 



quindi, osservando che i sen*" erfe = 2 / sen'^Brfo, e che 



r "T 



r n 

sen* 0^8 / sen"«+i erfo = -rr; r-r i^ int. pos.), troviamo 

J 2(m 4-1) 





- 2)« Va/ 



"'™*^ 



I S(r--l} /r.V^ , .. ■ 

( 3.5.7..(»-2>, (yj '^^ -è<l,,p,r,. 

ì voglia calcolare l'integrale 

// ■■ • //('l +*J + .. + *,)*i""-'*,"i-l...fl:,'-«-l^,itt,„Ì„ 

ttit ,m^. . . Mh sono numeri positivi, esteso ai valori posiiiii o 
di Xt,Xf,..x„ soddisfacenti la relazione 

ì facile trovare i limiti degli integrali rispetto a ciascuna virii- j 
perchè, se supponiamo fissati xx , x,.. ;r„_i, allora «r. potrà n- 1 
laOaji — *i— *! — ■- — *~-i; se si suppongono fissati »,,>r,..ii-a i 
*B-i potrà variare da a k — *, — ar, — xh-«, e cosi via, co-' 
avremo I 

■e fosse /(*, + *, + + x„)^ 1, ser^'endoci della formola ' 

iverebbe facilmente ad esprìmere l'integrale mediante le fw> 
iel nostro caso giova fare il seguente cambiamento dì \'ari»bil3 

«, = », »,(1-|,,1 

«. = »,■., (1-»,)(1-«.)|1-",) 



, = »,".(1-",)(1 -">)(! -".ì-.-d-".-,) 
= ",(1-«.)(1-".)|1-".1-..(1- "-.)(!-« 



351 

la trasformazione y:=:uv^ xz=:u{\ — v\ adoperata nelP esercizio 5** 
i pag. 320, è caso particolare di questa), dalle quali formole ricaviamo 

Xy -j- X^ -f- . . . -p Xn ^^^ Uij 



Xti— I 



^n-1 



+ *, 



J «n-i = 



Xn — 1 



Xn — 2 ~r ^n— 1 i Xn 



...«,= 



ATi -j-^t "^ •• I *n 



; vediamo cosi che esauriremo tutto il nostro campo di valori delle 
r attribuendo alla Uj ì valori da a >( e a ciascuna delle altre va- 
cabili u ì valori da ad uno. 

Indicata con Xrs la derivata di Xr rapporto ad w,, abbiamo 



A = 



11 



^ti 



^31 



•*12 
X^i 

^38 




X 



93 



'33 








'34 















^n-m ^n—ìyt 



Xn\ Xn2 



*n— 1 ?n 

Xnn 



na la relazione x^ -\- x^ -\- . . + x^ -.= u^ ci dà 

X^i -p X^i ~h «^31 I • • I Xni 1, 

Xif -r -ATjj -|- x^f -f" . . -(- <Ari,2 = U, 

*«3 "^ ^33 + . . H~ X^^ = 0, 
*34 "T • • I" X,^^ = U, 



^»» — l ) n ~i~ Xnn — vij 

«siche se agli elementi della prima linea nel determinante ^ som- 
biamo i corrispondenti delle altre linee, poi nel determinante così 
attenuto agli elementi della seconda linea quelli delle linee terza, 
piarta etc. e nel nuovo determinante agli elementi della terza linea 
[uelli della quarta etc. e cosi via, trasformeremo ^ in un determi- 
lante avente nulli gli elementi da una parte della diagonale, gli ele- 
Dent della quale risultano 



1, — Xi^j — Afj8 } • • • — Xfi -2, n—lf X 



nny 




al = .,->(i - ",)-'(i - «.)-^ ... (1 - u.-,)'(i 

>i troverà quindi facilmente 
/'^a,)K,'"i+"t+-+'"-->J«,/tt,"i-'(l — «,)**+"'+■■+■■-'<''. 
1 1 

ciò 

ila di Liouviih, generalizzazione dì un' altra ottenuta prima ài 
hlet, corrispondente al caso k:='\,f{x■^+Xf-r..-^Xn) = \,^ 
caso è 

r(mi + m, + ,.-!-«,+ 1) " 
i può ancora ridurre alle funzioni gamma e ad un integnlt 
lice l' integrale 



}j} {\ + ax + by + cO-^+P+l -^ ^' 



m,p,g ,a ,b,c sono quantità positive, esteso ai valori posion 

li di * ,^ ) < pei quali x +ji + x^i,i positivo. 

^osto 

J J ^J ^ a + " + fy+'K)-+i 



r by + ct)'"+F+4 



:F(il). 
^oniamo inoltre 



^ {l-Vax + by + cii''-^F^^' 



-.■({p~x-ji)j'f[?--x~y)dy^ \'-') 



r 



353 



ed avremo 





Derivando rapporto a p, ed osservando che possiamo derivare 
sotto il segno integrale^ otteniamo 



dF(p) 



I 



p P 

3'+{p— ^)j, fd-Hp—x) 



d? 



dx 



=f 



d? 



dxj 











ma 



P-^ P 



^P 



= ?(0)+ J 



a? 



>=/ 



9p 



4»-, 







^m—ljfp—l (p — ;|f — ^)'?-l 



3p 3(p — ^ — JV) [1 + ^a: 4- ^^ + c(p — ;t—j>^)]'«4-p+'7 

e perciò 



r=/<"A/fì 



iF(p) 



Af"» -i^p-i (p — X — y)<J'-^ dy 
\\-{-ax-^by-{'C{?—x — ^)]'«+f +^ * 



\H, 



. ■ V-. m 

'•^^^ 

■te»? 



Poniamo nell'integrale interno jv = (p — Ar)/i, e poi ;r=rp;ifi, o, 
ciò che è lo stesso, cambiamo nell'integrale doppio, che è esteso 
ai valori positivi o nulli di x ^y pei quali x+y^p, le variabili x ^y 
nelle x^^y^ colle formole a: = p^i ,^ 3= p (1 — x^yi] otteniamo così 

^^^^=/(p)P««+p+?-i 



dp 



i 1. 



^jP-i(l ^y,yi-\ 



[\-\-pc±{a-c)px^'\'P(b-'C)yy{\—x^)\^+P^^ 



s^'?*1 



• s*J 



■ìi~ 

• • « 



5^1 



1 i 



=/(p) pW+P+^-l 

+ PC + (J -^)pj|f, + p(* — c)^j(l— ;tj)]m+H-^* 

23 



-9 

•'1 



.^^^^?-^^ 



354 

Nella ultima formola del n. 100 pag, 265 ponendo ^ = à-^?, 
^ = V — X, abbiamo 







[;, 4- v^ -f X(l — ^)]H^ (X + ii)P (|x + v)« r {/ 4- ?)' 



usando queste formole si ottiene 










dalla quale, integrando rispetto a p tra i limiti e ^ ed osservando 
che F(0)=0, risulta 

Fm_i_, rWr(/)r(g) / /(p)p>^+P+^-i^p 



In modo analogo si giungerebbe alla formola generale 



/ / ... / / (^1 + ^8 -h ... + «n) 



(1 + ^1^1 4- ^4*2 4- ... 4- J„ X,)wi4-'*r-.--r". 



k 
_ r (Wi) r(w,) . . . r(m„) r /(p) pm,4-wt-h...4-mn-i Jp 



r(/«j-f. w, 4-...4-Wn) ./ (l-*-?tfi)'"i(l+P<J,)« ...(1 4-p^i«>"'' 



dove nti , m^ , . .nin y a^ , a^ , an sono positivi e il campo di int^^- 
zione è costituito dai valori positivi o nulli di ;rj , jr^ , . . . x« pei 
quali x^+ x^-k- . . , -\- Xn ^k , k>Q (Schlòmilch). 

Esercizi 
_a^miaf"'t...a„«« \pj \ pt J" \pn/ f ^,.,x„"'+-+^- 



piPf.pn / trti m^ , w 









355 

l'integrazione essendo estesa ai valori positivi o nulli di Xi^x^-^.x^ 
pei quali 

essendo k ^a^...a^ ^p^,.,.pn^ni^^.„m^ numeri positivi (Liouviue). 
2. Campo di integrazione: valori positivi o nulli di x^^x^„.Xn pei 
quali xf\ + xjP^ 4- ... 4- ^nP~ ^.1 , /u A ? • • • Z'»» positivi. 



^ Pi Pn/ 



I j '" I m ^ "* ** ^^^ ^, . . . J;i:^ 

" '^ ' Vi— Vi — .. — :rn^n 

(1 Wj Wn \ ' 

/if} , m^ , • • w^ positivi, e »i > nella prima, /» > 1 nella seconda for- 
inola. 

3. Campo di integrazione: valori positivi o nulli di x^x^.^.x^ 
pei quali ;r,' + ^% + • . , 4- x\ ^ 1, 



/ / / 1/1 — (^r-r *«'+... -t- ^nV ^ , r 



i vede così che se w è della forma 4|i o 4|i -i- 2, P integrale è 



356 

esprimibile mediante n, se » è della forma 4fi + 1 o i?+^, me- 
diante n e 1' ( -j )■ 

4. Campo di integrazione : valori positivi o nulli di x, , ;r, . . . x. pei 
quali «,+*, + .,. -I- *„ ^ *, k>0. 



ff-h 



.+«.) 



(*i 



r(i+(«,+».,+..+m.)j i*+p«,)-i..(*+p«.)-.L* + p«, ■■'*+f^.l 

dove »i, , »i, , . . . a, , ;7, ,.., A sono quantità positive. 
5, Campo di integrazione: valori positivi o nulli di;t,_^,tp<i 
quali x-i-y + i^l, i>0. 



y ; ; ^ V 1 + «» + »)■ + £{y 



-\jf-i^-^ dxdyd^ 



T(m)ni>mì) f (i-nì'+i^f-</(u)du r l+"i »l + "j_ 1+'' 



■ r()«+/+j+i)./(ì + 



.)-(l+*»)'(H-£u)4 i+« 



+#iXi;;+«r 



dove m ,p ,^ ,a,ò ,c sono positivi. 

Vale pure la forinola analoga pel caso dì n variabili (Schlom)' hì- 
(Si ponga l' integrale triplo, corrispondente a i = p, uguale i 

(p(p) e sì operi come nell'esempio 3)n. 125; ma sì cominci poi col- 

r integrare rispetto a p fra e *, ponendo a tale scopo -; - b, 

dove 

= =:ax,+ è(l -^>, + ^l - AT,) (1 _>-,), 

e si usi la formola 

I (i->)'-i^-'rf^ ^ np)nq ) 1 r / . g 1 

che si ottiene dalla (a) n. 125 derivandola rispetto a ii). 



357 



i •■ *! 



III. Elementi della teoria 
delle fnnzioDi di variabili complesse. 



- i 



* ^1 



Nozioni preliminari — Serie a termini complessi 
Lie trascendenti elementari ad argomento complesso. 



l'i 



126. Qui si suppongono conosciute le nozioni fondamentali in- 
torno ai numeri complessi e la loro rappresentazione geometrica me- 
diante i punti di un piano. 

Sia i=:x-\-iy ^i^= V — 1, dove x ^y indicano variabili reali, una 
variabile complessa; indicheremo con \ anche il punto che corri- 
sponde al numero complesso {;. Denoteremo con |{| il modulo di 

;(=:;jr -|-/y = p(cose -|-isen B) cioè |{| = p = \/a:^ -H^'. Sia tej=:tt-f-/p 
una quantità complessa che varia al variare di ^\ diremo che L:=M-|-/TS^ 
è il limite di w per a = ^ -f ih^ se, per qualunque numero positivo 
e assegnato, esiste un intorno del punto a, per tutti i punti { del 
quale, a al più escluso, è \w — L|<aj e scriviamo limw = L. Si 

riconosce subito che è condizione necessaria e sufficiente affinchè sia 
lim w = L, che sia lim « = M, lim t; = N quando x ^y convergono 

comunque verso ^ , ^. La condizione è necessaria perchè dall' essere, 
pei punti dell'intorno predetto, li^; - L| < a^ ossia 'V/fw-Mì'+ir-N)^ < ^ 
risulta \u — Mj <o^ \v — N| <a. La condizione è sufficiente perchè, 
se esiste un intorno del punto a, pei punti x , y del quale sia 

\u — M: < -4z , If — N| < -4=: , avremo (u — M)« -{-(» — N)- < o^, 

V 2 A/ 2 

e q indi \/(« _ M)* 4- (r — Nj» < 0. 

Ciascuno poi intenderà da sé come si estendano le definizioni 
di imite agli altri casi che possano presentarsi, cioè quando la { 
var ' in modo che |{| vada crescendo indefinitamente, etc. 




358 

127. Sia una serie 2"n = S(«» 4- «'3«) a termini complessi, o com- 

1 1 

plessa. Fatta la somma Sn dei suoi primi n termini, la convergenza 
e divergenza della serie stessa viene definita precisamente come per 
le serie a termini reali. Risulta subito da ciò che, condizione neces- 
saria e sufficiente alla convergenza della serie S(*»» "I" '^*») ^ ^^® ^°^ 
convergenti le due serie reali S^n , S^n formate colle parti reali e 
coi coefficienti dell'immaginario / di ciascun termine della serie 
complessa. Invero, la condizione è necessaria perchè, dall'essere per 
ipotesi 

(Il lim(ai -h ih + a, + i^J^ 4- . . . -H or^ + i>h) = A -r «B 

quando n cresce indefinitamente per numeri interi e positivi, ri- 
sulta (n. 120) 

lim (aj -1- «j -h ... -}- an) = A, lim{^, + Pi + ". + P«)=B. 

La condizione è sufficiente perchè, supposte verificate queste dee 
ultime eguaglianze, abbiamo come conseguenza la (1). 

Si riconosce poi subito ancora che, condizione necessaria e suf- 
ficiente affinchè una serie complessa sia convergente, è che il resto 
della serie converga a zero al crescere indefinito di «. 

Una serie complessa a termini variabili S^n, dove le w» dipende») 
dalla variabile complessa {, dicesi uniformemente convergente o equi- 
convergente in un campo C, se, dato 0, esiste un numero m tale che 
per n^m e per tutti i punti { di C, è |Rn| < o, essendo R. il 
resto della serie. 

Una serie complessa 

y,un = S(a„ -h /3„) = SPn(cos ^ "f /sen e„) 

dicesi asso lutarne fi te convergente se è convergente la serie S?» ^ 
moduli dei suoi termini. 

Si riconosce subito che una serie complessa è convergente indi- 
pendentemente dall'ordine dei suoi termini, o incondizionatamente, 
se sono tali le due serie S^n > 2^»» ; e inversamente. Ed abbiamo il 
teorema (di Dirichlet^ Vedi n. 132 voi. I). 

La coN(h\iofie necessaria e sufficiente affinchè una serie '*- 
plessa sia convergente indipendentemente dati* ordine dei tern. i ( 
che sia convergente la serie formata coi moduli dei suoi termini 

Invero, se la serie complessa Swn è convergente qualunqu sii 



r 



359 



l' ordine dei suoi termini, lo sono tali le serie Sa^ , ^p^, e perciò 
convergono le serie Sl^nl j Sl?n|> e quindi ancora la serie Sp„, giacché 

è Pi, := Va^* + Pn* -^ |an| -f |3nl ; e se converge la serie S?n sono con- 
vergenti indipendentemente dall'ordine dei termini le serie San , S?n, 
perchè |a^| == p„ jcos Onl ^ ?n , \K\ = P- |sen e^| ^ p^, e quindi è pure 
così convergente la serie complessa. 

Si riconoscerà poi come valgano per le serie complesse i teo- 
remi dimostrati nei n.» 133, 134, 135, 136 del voi. T sulle serie doppie 
e sulla moltiplicazione delle serie; basterà per provarli sostituire in 
quelle dimostrazioni ai valori assoluti delle quantità i loro moduli. 

128 La serie 

dove { = a: -h ly 1= p(cos -|- / sen e), è assolutamente convergente per 
qualunque valore di {, perchè è convergente la serie dei moduli. Se 
{ è numero reale essa ha per valore ^-. cioè è la potenza ;^ del nu- 
mero ^ = 2,718..., e può servire al calcolo effettivo di tale potenza. 
Indicheremo col simbolo e^ la somma della serie (1) anche quando { 
è complesso, cosichè la funzione esponenziale e* viene definita come 
somma della serie (1) intendendo, per ora, che una quantità è fun- 
zione di ;^7z=x -^ iy in un campo C, se, ad ogni punto - valore { del 
campo corrispondono un valore determinato o più valori determi- 
nati di quella quantità. 

La definizione ora data di funzione esponenziale quando Pespo- 
nente non è reale, oltre che essere giustificata dal fatto, che per { reale 
corrisponde alla potenza { del numero ^, lo è ancora dall' altro che, 
quantunque nella definizione di e' per ^ non reale sparisca affatto il 
concetto di potenza, pure la funzione e* gode di tutte le proprietà di 
una potenza con esponente reale. Basterà perciò provare che la for- 
mola fondamentale e* e^\ = ^^+^1, che ha luogo quando gli esponenti 
sono reali, sussiste ancora quando essi sono numeri qualunque. Ed 
invero, abbiamo 

.- = 1 + ^ + |-^ + — — + f _ 2 . 3 . 4 + • • ■ ' 



360 ' 

e da queste (n. 127, e n.» 135, 136 voi. I) 



e' 



_ 1 + f , + ^ ) + iLtiill + _(l± Jill ^ - ^--4--, 
-l + (t + {.>+ i_2 + 1.2.3. •••-'• 



lag. Le serie 

( V A — ini H- ì o o >i — • • • ? ^ — 1 o o + 



e quindi 



da questa 



cosichè ancora 



e^\ = cos { + / sen {, 



e- '- = cos -{ — / sen ;(, 



cos{z= ^ , sen^ = —^ , 

formole dovute ad Eulero, valevoli qualunque sia {, e che Ir io 



1.2 1.2.3.4 '^ 1.2.3 1.2. 3. 4. 5 

sono assolutamente convergenti per qualunque valore di {, essendo 
convergenti le corrispondenti serie dei moduli dei loro teraiinl e 
sono uguali, quando { è reale, la prima a cos ^, la seconda a sen ^. 
Designeremo ancora col simbolo cos { la prima e con sen { la se- 
conda quando { è qualunque, e rimangono così definite^ come somme 
di quelle serie, le due funzioni elementari cos ^, sen { per { coni- 
plesso. 

Si vede subito che 

cos( — ;[) = cos {, sen( — ^) = — sen {. 

Osserviamo che 



i-^- 



361 

loro le funzioni circolari ed esponenziali di una variabile qua- 
que. 

Si ha anche cosi un modo compendiato di esprimere un numero 
oplesso : 

X '^- iy=. p(cos -H I sen (>) = ^e^\ 

Dalla formula 

ì X ^y sono reali, si vede che t^ cosy è la parte reale, ie* seny 
parte puramente immaginaria del valore di ^*+'>. 

Quantunque per le funzioni sen;(, cos;^, quando { è complesso, 
ihsca affatto l' idea di linea relativa al circolo di raggio unità, che 
ha per ^ reale, pure esse godono di tutte le proprietà delle fun- 
«m circolari seno e coseno di argomento reale, e ciò giustifica 
iggiormente le denominazioni di cos{ e sen { attribuite alle serie (1). 

Intanto dalle 

^is __- gQ5 {-fi sen {, e-'- = cos >{ — i sen { 

biamo subito cos* { -f sen' ;{ ::^ 1 . 

Basterà poi provare ancora che hanno luogo per esse le formole 
addizione, dalle quali le altre tutte procedono. Ora abbiamo 

gis gizx :^ (cQs ^ 4- I sen (cos ^i -r /sen { J 

= (cos ;{ cos {i — sen { sen {,) -f /(sen ^ cos {, -f- sen {j cos {) 
= en^-hzi ) z= cos (^ -ì- {i) -f- i sen({ -4- {i ), 
alla quale, cambiando { e {i in — {e — {[i, 

(cos i cos ^i — sen { sen {J — /(sen ^ cos {j -r sen {j cos {) 

= cos({ -f {i) — I sen({ + {i), 
e quali sommate e sottratte danno, 

cos( { -I- {i) =: cos { cos ^i — seu { sen {j 

sen(;{ -r {i) = sen { cos {, i- sen {j cos {. 

E quéste formole riconosciamo subito anche la periodicità delle 
""izio i sen ^, cos{, giacché per esse é 

cos(>{ r 2^) = cos {, sen({ ^ 2') =: sen {. 



La funzione esponenziale e' 

giacché 



Dalle forinole di Euiebo ri 



cos iy ■= — — — - , 

dalle quali, supponendovi y re: 
numero puramente immaginane 
maginario. 

Inoltre, per le formole di i 

cos(;ir T- iy) ^ cos 

sen(* -i- iy) ^ ser 

e, se X ,y sono reali, i secondi 

reale e nella parte puramente it 

Le altre funzioni circolari i 



si chiamano rispettivamente sen 
di i, e si indicano coi simboli 
utilmente adoperale, ed hanno ; 
lari (Vedi ad es. : una nota 
nella traduzione italiana del Per 

130. Se w è reale e'"^^ ^ k 
ritmo neperiano di j, lu^log 
caso di w^u — iv, con u ,v re 
della forma x + iy con x ,y real 
iogarìtmo neperiano di * -+- iy, 



3()3 

Vediamo ora di ridurre log(;e + ìy) alla forma a -f /? con a , fi 
reali. Abbiamo 



quindi 



dalle quali 



gu-^tv :^ ^// ^cos i> 4- / san r) = jf -)- /y, 



X = ^" cos r, y=.c^ sen r, 



<r.i" z= a:« + y, ^« =: \ ^a:'-^ -f /, 



il radicale essendo preso coi segno -t-, perchè ^" è sempre positivo, 

y 



e da questa u = logV^* '^ y^\ ^ — = t^ ^7 ^^^^^ quale, indicando 

X 

y ' • y y 

con are tg — il più piccolo arco avente - per tangente, i;=arc tg — -1-2^'^/, 

X XX 

cosichè 

log(^ H- iy) =L logV-^^ -f-y 4- / (are tg — + 2^:: ì , 

dove >^ è un intero qualunque e il logaritmo nel secondo membro è 

il solito logaritmo aritmetico del numero V^* t y^- 
Posto 

X -\-iy=: p(cos B 4- / sen B) 






.vi 



log[?(cos B + /sen b)] z=z log p t /'(B ♦ 2^:i). 

Vediamo cosi che ogni numero x -\- iy h^ un numero infinito di 
logaritmi che corrispondono ai diversi valori di k. Quello che cor- 
risponde a >è = suole anche chiamarsi il logaritmo principale. 

In particolare, per ogni numero reale positivo, degli infiniti lo- 
garitmi il principale è reale ed è il solito logaritmo aritmetico del 
numero stesso, e tutti gli altri sono complessi, e per ogni numero 
reale negativo, — ? = p(cos ~ -f / sen ::), tutti gli infiniti logaritmi sono 
complessi. 

Si riconoscerà subito facilmente che il logaritmo di un numero 
complesso, cosi definito, gode delle stesse proprietà dei logaritmi dei 
numeri reali e positivi. Dimostreremo la formola log {-hlog{, ^=: log({{i), 
la quale, poiché ogni logaritmo ha una infinità di valori, va intesa 



364 

nel senso, come del resto ora la dimostreremo, che la somma didoe 
valori qualunque di \og{ e log-d è uno dei valori di log({{,l, e cbe 
vi è sempre un valore di log-( che sommato con un valore di log{i| 
ci dà un valore qualunque prefissato di log({;^,). 
Invero 

log { = log [p(cos e -f- / sen 6)] — log p -f '{^ -r 2kT.) 

log >{j = log[?i(cos «1 -f I sen e, )] = log Pj -4- i{^i + 2k{r,) 

log(«,) - log[?Pi(cos(e -f e^) + I sen(e -|- e^) )\ 

= log(pPi) + /(e + Oi . 2k:T.) = log p 4- log p, + i(e + e, -r -ìKr) 

e posto k' =zk -{■ k^y 

log({{i) = log{ + log-[i. 

131. Definiamo {ri come ^^l'^s*, che ha significato conosciuto, este 
dendo al caso di {,{1 numeri qualunque l'identità {«i=^-i'o8= 
se { , {1 sono reali e ;{ è positivo. Abbiamo quindi 



^X -f- iy)-«^l+'>| = ^'-^l+Ó'i ) log(jr-f i>) _- ^,(.vi+/vi^ [log \/x*+ V- + i(arc tg ^ -Uz 



__ ^,.r,log\/:r*-f/-r,(arclg^-f 2A;:) ^ i[j>', log V J^VZ+^i (are ig^-^2*n 

e si ha così, generalmente, un numero infinito di valori per {-i- 
Abbiamo ancora, dalla formola precedente, 

[p(C0S B -h I sen e)]^i(cosei-f'4enei) 
~^-P,2X-:isenei^Pl(coseilogp-esen9i)}cos[?i(sen b, log p-f-(eH- 2>t^)C0S*i)| 

+ /sen[Pi(sen Bj log ? 4- (B 4- 2Jh:) cos »>•];.] 

Si riconoscerà subito che questa formola contiene come 
particolare la 



m 



m r 



[p(cose4-/senB)] « ^zzp» 



cos — (0 4- 2>&':) -f /■ sen — (ft -I- 2ih:l 



fi 



il 



e che ha luogo la formola {-1-^ '« = -{'> {"». 

Come curiosità possiamo notare che t':=:c \ 2 / }^a t» 1 
suoi infiniti valori reali, che l'=:t'— '-*^. 



r^ 



365 



Notiamo infine che vi è un caso di eccezione per la formola 
fi z= /*! log^, quello di ^ = ^, sia che, per essere ii complesso, si in- 
tenda con ^^1 la somma della serie esponenziale, sia che, per essere 
[, reale, si intenda con e^i anche la potenza {i del numero 2,718..., 
perchè tanto nell'uno come nell'altro caso e^\ ha un unico valore, 
mentre che la e'i ==tf^i^og<? darebbe più valori per ^-i, stante la molti- 
plicità dei valori del log e che comparisce nel secondo membro come 
esponente. Così che, nel caso di ^=^e, converremo di considerare in 
:]uella formola per log^ il solo valore reale uno. 

132. Se è sen w = {=:x -hiy^ diremo che 

w =■ are sen { = are sen(;i: -f /y)« 
Ora dalla 



e^^ = cos w-h i sen w := \/l — ;(' + i{y 



ricaviamo 



w = -;- log (Vi — {' -h k\ 



cioè 



rcseaf=— log( yi - {'4-/-{),arcsen(^+ f/)=—^og[\/l'{x'\-iy)^ 4- i{x + /»]. 
In modo analogo 



rCCOS{=:-rlog({-hlVl " {*)' ^""C COS(jf -f ly) = — log[A:-| /)'+A^l-(^+Ì>')^' 

E qui pure si riconoscerebbe facilmente che hanno luogo per 
queste funzioni tutte le proprietà delle funzioni circolari inverse 
are sen {, are cos { quando ^ è reale e |{| ^1. 

Se è tgw = i( diremo w = are tg {. Dalle formole 

giw :r= cos w -f- 1 sen w 



abbiamo 



e da questa 



cos w-{-i sen w 1 -f- ^V 

^2"" = -. = — -—7^ 

cos w — i sen w 1 — i{ 



ttj = are tg { = —T log 



2/ ^ \—i^ 



360 



Concetto di funzione di variabile complessa. 



133. Siano w = u(x ,>'), v = v{x ^y) funzioni reali delle \'ariabili 
reali x ^y in un campo C. La quantità w = u -hiv è funzione ddle 
X yjf nel campo C, ed anche funzione della variabile complessi 
;^=: X -\- iy in quanto che ai valori i = x -hiy appartenenti a C cor- 
rispondono valori determinati per « , i? e quindi per w ; e potrai» 
perciò anche scrivere w = w{^) nel campo C. Ora è manifesto che, 
in questo modo, lo studio delle funzioni ^{) di una variabile eoo- 
plessa { rientrerebbe completamente in quello delle funzioni di due 
variabili reali. Epperò non si considerano tutte le funzioni a({), na 
solo quelle di una certa classe, soddisfacente ad una condizioce, e 
sono esse quelle che si assumono come vere e proprie funzioni di 
una variabile complessa, come ora andiamo a vedere. 

La w^:=w(0 abbia valore determinato in un punto {=*-rn 
e in un intorno di ^ si mantenga finita, cioè siano tali le u{x,j\ 
v{x ^y). Diamo a ^ P aumento A^ = A^ + fày e consideriamo il rap- 
porto incrementale 

^w _ zv{{i- A{) — w({) 



Se di questo esiste un unico limite finito quando A\ converge 
comunque a zero, cioè quando A^, ày convergono comunque a z^a 
questo unico limite vien definito come la derivata di ir = tw({) rap- 

dw 

porto a { nel punto ^, che si indica colle notazioni — r— , u?'({). 

Le funzioni di una variabile reale possono ammettere derivals a 
destra e a sinistra diverse tra loro, o non ammetterne, dipendente- 
mente dal duplice modo col quale può convergere a zero l' aumeno 
della variabile indipendente. Ora, mentre V aumento di una uria- 
bile reale può convergere a zero solamente in due direzioni diverse, 
l' aumento A{ può convergere a zero in infiniti modi diversi, ia 
infinite diverse direzioni, corrispondenti al diverso modo di variare 

del rapporto — ~j quando ^x e AjK convergono a zero ; e corr* od- 

A"^ 

dentemente a questi diversi modi di tendere a zero di A{ P^ ^ 

avere diversi limiti del rapporto incrementale , o avere ùte 

AC 



>• M 



367 

determinato per alcuni, per altri no. Esaminiamo ora quale sia la 
condizione necessaria e sufficiente aftinché esista un unico limite fi- 
nito del rapporto incrementale, cioè affinchè esista nel punto { la 
derivata di w({), ammessa per le funzioni u{x ,/), v{x ^y) la sola con- 
dizione che per esse valga nel punto { = .r -h /y il teorema sul dif- 
ferenziale totale. 
Avremo allora 



"Vi 
^ r ■ 






«(*-T-A* )y-VÒk)^-\-iv(x^-^x ^y-{-^y) — u[x ^y)—iv{x ^y) ^u -f- i^v 



^x -h i^y 



^x 4- i^y 






àx + iiky 



^pc + i^y 



dove a , ^ indicano quantità che convergono a zero con ^x , ^. 



Osservando che 



a a- 3 A? 



A/ 



A^ -T- i ly 



^x 



, si vede 



+ / 



subito che, comunque convergano a zero ùax , A>', esista o non esista, 

AJ' 
sia finito o infinito il limite di -— , è uguale a zero il limite di 

A»^ 
; — — , di guisa che sarà 



lim = lim 

A^o A{ 






A* + /'A/ 






■M 
Ai 
A. 



Ora affinchè il limite del secondo membro sia indipendente dal 
modo col quale tendono a zero A^ » A^ fa bisogno e basta che il 
rapporto stesso di cui si vuole il limite sia indipendente da A<^ , A/, 
altrimenti, se ciò non fosse, il limite del rapporto, quando A^ ì A^' 

A V 

tcnd ossero a zero in modo che fosse -p- =:m,m essendo qualunque 



nun »ro reale prefissato, sarebbe 



Aa: 

3;^: dx 



/ 3tt , . 3^^ \ 
( — -h t — 1 m 

\dy dy/ 



1 -h m 



quan- 



368 

tità che varia con m. Ma la condizione necessaria e sufliciente af- 
finchè quel rapporto non dipenda da \x^^y è che sia (*) 



da cui 



( 



3tt ar 

— + / — 
'ix 'ex 






(1) 



9» 
3* 



ìy 



^y 



il 
a* 



IM 






U : 



Il Cauchy chiamava funzioni monogene di x -\- sy quelle 
w = /(x -j- ty) z=: u -\- tv che ammettono generalmente derivata finiti 
cioè quelle che, in un certo campo, soddisfanno alle precedenti eqoa- 
zioni a derivate parziali. Sono le sole funzioni monogene quelle che ap- 
punto noi prendiamo a considerare, e sono esse che, seguendo Ritmain, 
chiamiamo funzioni della variabile complessa {; e, notando chele 

equazioni (1) possono compendiarsi nella -=^ -f- 1 -^ = 0, poniamo 

qx ^y 

la definizione; 

5^ X , y sono variabili reali ^ diremo che 

w = v^(z) = f(x , y) =r u(x , y) -f iv(x , y) 



^:3 



^< ..■ , 






è funzione di x + iy in un campo, se in ogni suo punto sfatta astré- 
{ione da un numero Jinito di punti o di linee, soddisfa alla rclé'\ 
{ione 



3x 3y 



>. 






'il- 

'i4 



ah — t- hh 

'}} Invero affinchè un rapporto ,, , -.- sia indipendente da fc e ^ è necessario 

a b -\- ok 

e sufficiente che sia nullo il determinante ab'-a'b, giacché se è », .,. =f »f i^ 

a b -{-p K 

dipendente da fe , t, avremo ah -r hk:=: g\a'h + h'k) qualunque siano h.ktc fi 

a:=:ga' , b—gb'y da cui ab' — a'b=0 ; e se ab' — a'b:=0 cioè -^zrz -r-r, detto / e- 

a b 

sto comune rapporto, cosichè a — ;g^a', b = gb', abbiamo «,. — f- 

ao "f-b k 






309 

Notiamo subito come le funzioni elementari delìnite nel n. 128 
seguenti siano elfettivamentente funzioni di x-{-iy nel senso Rie- 
amiiano; e difatti ad es. : per 

f(x yji) = c^-\-'y =z tf" (cosy -f- / sen/) 



p. = ^'(cos^ + /senj^), ^ — ,'^(— sen^-M'cos^'),-- -f i — = 0; 
/(^ yy) = ^o^ix + iy) = log\'V+/-h i Uve Ì^^-^2kTz\ è 

Notiamo ancora che, supposto le u ^v ammettano derivate se- 
mde rispetto ad jt,^ e le derivazioni siano invertibili, le (1), deri- 
ite rapporto ad ;^ e ad y, danno 

3^"^3/~ ' dx''^^/ 

a* 3* 

Posto \' =: — z "f z y vediamo così che la parte reale u ed il 

3^* 3/' ^ 

oefficiente di /' di una funzione u + iv di una variabile complessa 
=:x-{-iy soddisfanno alle equazioni a derivate parziali di 2^ ordine 
:u = 0, A*^ =0 ( A" = equazione di Laplace). Le funzioni che 
)ddisfanno alla equazione di Laplace^ A* = 0, si dicono funzioni ar- 
ioniche. Affinchè due funzioni « , v di x ^y possano essere parte reale 
coefficente dell'immaginario / di una funzione di una variabile 
omplessa x-\- iy non basta che esse siano funzioni armoniche, ma de- 
ono ancora soddisfare alle equazioni (1), perchè le A'« = , A^^' = ^ 
ono conseguenza delle (1), ma non inversamente. Quando siano 
«rie M,i7 soddisfatte anche le (1), le funzioni M,t; si dicono fun- 
àoni armoniche associate. 

Per le nostre funzioni di variabile complessa avremo intanto 

. •/ — ^^ 3" . 3^ _ 1 / 3« • 3^' \ _ 3^ _ J_ ^ 

"^^ """5^ ■" "a^"^' ay "" T Vay"^' 3^7"" 3^"'7" 'èy' 

S intende ora, senz'altro, come per le funzioni di variabili com- 

24 



^^Sf^-- I, ' " ; -.y- *f. 



370 

plesse valgano le stesse regole di derivazione, relative alla somma, 
al prodotto di più funzioni etc, alle funzioni di funzioni etc. dimo- 
strate per le funzioni di variabili reali. 

La continuità di una funzione w (^) in un punto ^q si definisce in 
modo analogo a quello per le funzioni di una variabile reale cioè. 
w (^) è continua in -(q ove ha il valore xs) ({<,) se, per ogni z positivo, 
esiste un intorno di ^^ per tutti i punti { del quale sia | u'({o) — tt'({),' <=: 
o, ciò che è lo stesso, se le u{x ^y) ^v{x ^y) sono funzioni assoluta- 
mente continue nel punto {x^ > ^o )• ^ si intende che la condizioce 
della continuità, per le nostre funzioni di variabile complessa, e 
implicita nella definizione stessa di funzione, perchè l'esistenza della 
derivata ha per conseguenza, come si riconosce subito, la continuità 
della funzione. 

134. Calcoliamo ora le derivate delle funzioni semplici. 
1) /(;{) =^ e'^=.c' {zo%y -t- rsen^'), 

f\:^ z=z — - - =r ^*"(cos^ -h / sen^) =:= e-. 

La derivata è la stessa come se ^ fosse variabile reale. \'edremo 
che questo succede sempre. 



^y _4_ ^-.v _ g-y — £y 



2) cos { = cos X h i sen x 



o 



J 



^ + e-^ . ^-y — ^1/ 



^ — sen ;r 



sen z 1= sen x t cos x 



o ' 



d cos y 9 cos z c^ -h e-'-' . e—^ — e^ 

— == — sen X h / cos a- =: — sen {. 



di 9a; 

d sen " 
Analogamente — - — ^- = cos z, 

di 

3) log i = log V^^ +7 + /(are xg^+2kr.^, 

d log { 3 log i X — tv 1 1 



d{ gA- x^+y'^ x+iy 



r 



i) {-ii=t:-i''>6-, 



371 



dz'i 

--— 1= e-i log Hog { =: ^-1 log ^, 

"il 
1 



) are sen ^ = -r log (Vi — {' + kX 




are tg { = -_: log ^ 



dare tg { 



"■ 2/Vl + '> l-'J~H-i'" 



135. Una variabile complessa ^ può per infinite successioni di 
ilori e con continuità passare da un valore -{„ ad un altro qualunque 
Jore ^ ; basta osservare che i due punti la ^ l possono venire con- 
vinti tra loro mediante infinite linee continue. 

Sia data la /({) pei punti d' un campo C, e sìa ^^ un punto 
so qualunque e .^ un altro punto qualunque di C, /^ uno dei valori 
tó la /(^) assume in i^. Se, qualunque sia la linea appartenente a 
5 che la variabile ^ percorre per andare da ^^ in -(, il valore che 

trova avere assunto la /(^) nel punto i è sempre lo stesso, avendo 
fmpre preso per valore iniziale il valore /,, e facendo succedere i 
ilori di f(:() con legge di continuità, la funzione /(>[) dicesi motio- 
Toma nel campo C. Se invece ciò non avviene dicesi polidroma. 

evidente che una funzione univalente, come e-, cos { e simili, è 
Bcessaria mente monodroma. Si riconosce subito che, affinchè una 
inzione sia monodroma in C fa bisogno e basta che, se ^^ è un 
'into qualunque del campo ed /^ il valore della funzione che assu- 
«amo in .^^„ facendo percorrere alla variabile una linea / qualunque 
* C, che cominci e termini in ^^,, il valore che si trova avere la 
Mizione, quando la variabile ritorna in ^^^ sia ancora f\. Infatti se la 
finzione è monodroma, e ^ è un punto qualunque di /, indichiamo 
^0 {i n i una parte e con ^ n ^, l' altra parte di /. Percorrendo 



{„« ^ arriviamo in { collo sle 
mo con /; cosichè, se dopo a 

da t col valore / e percorriì 
à i valori già presi, in senso ì 
. Quindi percorrendo la line; 
per la nostra funzione il vaio 
e se alla line del movimento 
rendo la linea {^ w; j, arriverei 
jntì percorrendo la linea {^i 
stessa funzione può essere me 

in altre no. Prendiamo Tesei 
- ? (cos 1 + (■ sen '>). h /({) ha 



7(c, 



V7(c, 



,(.l + ,) + ,-„„(|- + =)] 

iideriamo un campo C tale eh 
:Ìpia e termina in uno stesso 
^^0, come ad esempio un < 
;zzo e non contenga nell'intei 
i funzione \'' ■{ è monodroma, 

suoi valori, poniamo X'Polc 

la linea Ljiialunque di C, ritor 
■ ripiglia il valore pi, e '* il 
onodronia in un campo che r 
>artendoci da j^, col valore pr 
ibile una linea chiusa che cir< 
rii da "„ a »„ + 2" e quindi 1' 



'altro dei due valori che V { 



•- ►-. 



l'ir 



873 

136. Se X ^y indicano le coordinate cartesiane ortogonali dei punti 
d'un piano, ed u ^v quelle dei punti d'un altro piano, due relazioni 
della forma 



u — u (x ,y). 



'^ (-^ ^y) 



stabiliscono un legame tra i punti dei due piani, ovvero ci danno una 
rappresentazione od immagine di un piano sull'altro. Ad una linea 
f{u,v)=z() sul piano delle // , r corrisponde nel piano delle A:,r la 
WnesL /[u(x,y),v(x,y)]=:0. 

Siano ora due linee nel piano u , v 

che passino per un punto (u ^v). Indicando con a,p gli angoli delle 
tangenti nel punto (w,r) alle due linee coli' asse delle //, la tangente 
dell'angolo A che formano tra loro queste due tangenti, cioè, come si 
suol dire, dell'angolo che fanno tra loro in (u.v) le due linee, è 



tg A =: - 



tg 



tg^ 



H-tgatgp ' 
fu 

ossia, ricordando che tg a z= — ^ , tg ^ = 



/• 



T J' 



tgA 



'4 uf V —/ u "r 1 



J II r u i" J V T J- 

A queste due linee, sul piano x ^y , corrispondono le due linee 

/l«(^ ^y) , "A^ .y)\ ^ 0, v[w(^ , /) , "-'^x ^y^\ -^ ^\ 

che passano per un punto (a,/) corrispondente al punto (//,t); se 
indichiamo con ji , v gli angoli che le tangenti nel punto (a- . r) a 
queste due linee fanno coli' asse delle .v , 

1 -h tg |1 tg V 

è la tangente dell'angolo B che nel punto (a* , r) fanno tra loro queste 
due linee. Ma, se si suppone che le funzioni u ( x , v ) , v { x ,^') 
ammettano derivate parziali, è 



3// 



tg :^ = — 






S" 



tg V — — 



T H -T— \ V V 



3v ?r 



il 

5.1 






T J' 



C^' 



?v 






'^Mx 






Si 



374 

e quindi 



(1) 



tgB = 



(/■4-+/'''r)(-^''?+-^'?)+(/'4-+/'''?)^'"^"+^--) 

V 3/ •" 3,v/\ 3^ 3>^/ V 3^ -^ 3^/\ cx 3^' 



(/ r^^ K — / tt<f v) I - r ^— .T" I 



3^ 37 9/ 3^ 



/■■'■•[(S)'-(S)]-/'-'''[(|)'-(r;)l 



-h 






Se ora supponiamo, in particolare, che le funzioni // {x ,y \ v(x.j) 
siano funzioni armoniche associate, cioè siano la parte reale ed 
coefficiente dell'immaginario di una funzione 

w=iw{{) = w(x -h t y) ^= u -\- i V ^=z u {x ^y) -\- i v {x , v) 
della variabile complessa {; = ;^r 4- /^ , allora, essendo 

3w 3t? 3w 3^' 

"3^ " ^' 37 ~~ "" 3^ ' 
sarà anche 



(2) 



\ 



3« 3^ 3?' 3^ 
3^ 3^ 3^ 'èy 



= 






3^ 
3^ 



3»/ cr 

3^ a*' 



cosichè avremo 



tgB = 



J V Z li J u ''i V 

U '^ U + J V '^ V 



tgA, 



e quindi B ^=r. A. In conseguenza nella rappresentazione dei due piani 
uno sull'altro ottenuta mediante la funzione monogena t^= u'({) «=s^ 
M -}- / u hi: w {x ^y)-\-iv{x ,/) , le linee corrispondentesi nei iu^ 
piani fanno tra loro angoli uguali ; si ha una rappresentazione e' s- 
dice rappresefita^iofie coìt forme di un piano sull'altro. 



:^75 

Vi può essere eccezione in alcuni punti del piano, nei quali le 
derivate parziali di w , r presentino qualche particolarità, siano, po- 
niamo, zero od intìnito, poiché allora tgB non è più data dalla 
formola (1). 

Notiamo poi che, affinchè risulti sempre /^A = /;^B, occorre 
che siano verificate le equazioni (2) ; di queste tre equazioni, una è 
conseguenza delle altre due ; infatti la 

\dx) \^y) -ex 3/ dy 'ex 
scritta nella forma 

3w /3w ___ 3t^\ 3«^/3w 'èv\ __ 
dx\2ix 3// 3^V3^ "*" 3.v/~ 

combinata colla prima delle (2) ci dà 



cioè la 



dx\dy dx) 'djy\dx dy/~ 



( 3^' y / 3^' \* _ 3w 3^ 3" 3^^ 
\ 3^ / V 3^ / ~ 3-^ 



'èy dy dx 



Ora dalle due 



3'V 3^ dy dy~ ' 



X dy "" dy 3^ ~ \ 3^/ "^ V 3^/ 



3// 3^ 

3 



, ., 3 w 3 ^ 3 '' 9 '^' , ,. , 

ricaviamo subito appunto — = — , — =: — — le quali due equa- 

3 «^ dy dy dx 

zioni tengono quindi luogo delle (2). 

Cosichè tutte le rappresentazioni conformi di un piano (piano 
delle { = ;t -h iy) su un altro piano (piano delle li' =: m -r- ivi si ot- 
tengono mediante la relazione io := xv ({) , ove i: ( {) è funzione (mo- 
nogena) della variabile complessa {. 

137. Qui non sarà inutile ricordare che, dicendo che il valore- 
di ina quantità complessii è infinito, si intende che è intìnito il suo 



37(3 

modulo, qualunque ne sia l' argomento, allo stesso modo che dicendo 
che essa è zero, si intende che è nullo il suo modulo, qualunque ne 
sia l' argomento. E perciò, come al valore zero corrisponde sul piano 
complesso un unico punto, l'origine delle coordinate, così ai valori 
infiniti di ^, corrisponde un unico punto, il così detto punto all'ir- 
finito sul piano ; cosichè questo piano complesso, nel quale rappre- 
sentiamo, univocamente e con legge di continuità (^), i valori daU 
variabile complessa {, si deve considerare come una superficie chiisa 
con un solo punto all'infinito. 

Questo modo di considerare il piano, diverso da quello della 
geometria analitica e proiettiva, le cui convenzioni assegnano al piioo 
una retta all'infinito, non deve ingenerare alcuna difficoltà; bssti 
riflettere che il piano qui interviene come immagine geometrica delli 
variabilità complessa e potrebbe essere sostituito da un'altra qualiuh 
que superficie, purché la corrispondenza tra i punti di questa ed i 
valori della variabile complessa avvenisse in modo univoco e eoa 
legge di continuità. E così che, infatti, si suole, e giova alcuDC 
volte, usare anche la sfera come immagine della variabilità com- 
plessa. Per vedere ciò basta riportare i punti del piano su quelli 
della sfera (poniamo di raggio unitario) mediante la proiezione sl^ 
reogratìca, che si ottiene ponendo il centro di proiezione in un punto 
della sfera e il piano complesso parallelo al piano tangente alla sleo 
in (in particolare facendo passare il piano complesso pel centro 
della sfera, o pel punto di essa diametralmente opposto ad OM 
proiettando dal punto i punti del piano sulla sfera. 

Si può anche osservare che, se ^' indica una nuova variabic 
complessa, rappresentata geometricamente sopra un altro piano chc^i 

diremo delle ^', e se si stabilisce la relazione ^= — r? si vede che fi 

valori di ^ il cui modulo è comunque grande corrispondono valod 
di ^' il cui modulo è comunque piccolo, ed in conseguenza a punti 
a distanza comunque grande dall'origine nel piano delle -[, corri* 
spondono nel piano delle ^' punti comunque vicini all'origine; o. 
come suol dirsi, al punto all'infinito nel piano delle { corrisponde 



(1) la modo cioè che se P„ è il punto del piano che corrisponde i co- 
mero :^,„ assegnato o positivo, sia possibile determinare un 5 tale che 3 [JJp 
i numeri ^ pei quali |^ — ^„| <; 5 corrispondano punti P la cui distanr l'I» 



da P„ sia minore di a. 



F^' 



¥ - |- 



377 



sul piano delle ^' il punto {ero ; e viceversa. Mediante la posizione 

{= — r , lo studio relativo a valori di { di modulo comunque grande 

(in un intorno del punto all'infinito) si riporta allo studio relativo 
a valori di {' di modulo comunque piccolo (in un intorno dell'ori- 
gine sul piano {'). 



Serie di potenze — Funzioni analitiche. 



138. Se CijC^, . . c„ j , . a indicano quantità complesse e i = x-\- iy 

X 

è una variabile complessa, consideriamo la serie il r„ ({ — a)** ^ o 

X 

più semplicemente la serie v e» {". Queste serie, di cui sono caso 

particolare quelle considerate ai n. 140 e seguenti del I volume, chia- 
mansi, come quelle, serie di potenze. 

Ora con modificazioni semplicissime ed evidenti, come sarebbe 
cambiare la parola « valore assoluto )> in « modulo » e simili, i teo- 
remi ai n. 147 e seguenti del 1 volume si estendono immediatamente 
al caso attuale. Abbiamo quindi, senz'altro, i teoremi seguenti : 

Se a , g sono quantità positive^ tali che per ogni n ^ m e \Cn\ ^" < g, 

la serie S c„ z" è assolutamente convergente se |z| < a, cioè per tutti 

r' punti z interni ad un circolo di raggio a col centro nclV origine 
ielle coordinate^ circolo che indicheremo con (0 , a), ed è equiconver- 
%tntc in qualunque campo interno a detto circolo^ che chiamasi un 
circolo di convergenza. 

Se una serie S c« z" è convergente per z zn: z' essa e assolutamente 
:onvcr gente in tutti i punti interni al circolo (0 , jz'l); e se per z =r z' 
tssa e non convergente^ convergente non assolutamente^ essa e non 
u>nver gente per tutti i punti z esterni al circolo (0, |z'i). 

S^ a , g sono numeri positivi^ e qp(n) una funzione di n, positiva 
t^i valori interi positivi di n ^ m, e tale che quando n cresce per nu- 
meri interi positivi sia lini — ^ — ^= k -^^ 1, e si ha Per n ^ m, 

V'(n) — ^ — ' 



378 



Cnl 2t"<g-^ (n), il circolo (0,a) è circolo di cotivergcn{a per la uri 



Scn z< 



I termini d'una serie S <^n {'^ sono funzioni monogene di {, 
sendo ttCn^^~^ la loro derivata; ora; 

Se (0 , a) è circolo di convcrgcn:^a per la serie ^ Cn i" ^ io è pt 

per le serie formate colle derivate successive dei terwiiti dcìh kri 
stessa, cioè per le serie 



V r. ^ -yn-l 



JJ n Cn z 
n—\ 



v n(n — 1) c„ t'^ -«, V n(n — 1) (n — 2) c„ z 



f!-S 



;i: 



M=H 



Dal fatto poi che queste serie sono equiconvergenti in qaa 
lunque campo interno al circolo (0 , ai, e da noti teoremi dimo>tii| 
sulla derivazione delle serie, estendibili senz'altro al caso delle s<:i 
complesse, risulta immediatamente che: 

Nei punti interììi ad un circolo di ionvergenj^a ogni scric di^ 
ten^e ammette derivata unica^ che si ottiene derivando termine a A"» 
mine la serie stessa, la quale è perciò in detti punti una fun;ioi 
monogena ; ed ammette tutte le successive derivate, che sono puri 
funzioni monogene. 

Analogamente poi a quanto dimostrammo al n. 15() voi. l 
proverebbe che per ogni serie di potenze 2 c^ {'* esiste un r^^ 
circolo di convergenza (0, R) , tale cioè che essa è assolutamente coj 
vergente nei punti interni ad esso, e divergente nei punti esier 
Sulla circonferenza di detto circolo la serie potrà essere, secondo 
sua natura, convergente, divergente, o convergente non assolutam-c 
e si potranno presentare queste circostanze in diversi punti di ii« 
circonferenza per ogni singola serie. Il circolo di convergenza 
essere di raggio nullo, di raggio R finito e diverso da zero, o 
raggio infinito ; vedansi gli esempi a pag. 292 del voi. I, valevoli: 
la variabile x è complessa. 

139. Dimostriamo ora un importante teorema dovuto a Oa« 
che dà una relazione, per ogni serie di potenze Z^m^", tra il ^^P 
del suo vero circolo di convergenza e i coefficienti Cn- 

Premettiamo il seguente teorema (V^edi Cauchy, Cours d'ana;) 
de l'École Polytechnique, \.^ partie, pag. 132, 143), di cui h e <^ 
ticolare quello dimostrato nel primo volume ai n. 129 : 



00 



Data una serie qualunque ^ Wn consideriamo il gruppo dr ^^' 

1 



370 



punti 



3 



!w,|, Vi««|, Vlt/.,!,.... Vi«-S-" 



Sia k un punto tale che, in ogni intorno comunque piccolo di 
esso cada un numero intinito di punti del gruppo, ma al di là del- 
Testremo superiore dell'intorno cada al più un numero finito di punti 
iel gruppo. (11 Cauchy chiamava il numero k il limite dei più grandi 



n 



ralori dell'espressione Vi"»il ^^ crescere di n). Questo punto k è, come 
mbito si riconosce, il punto limite, più alla destra, del nostro gruppo. 
Così ad esempio, sia 

«. = 1 , «. = (i -t- Ay, «3 = (i); .. = (i - (1)^ , 



«,=(1); «.,=(i+iy,... 



)ssia le u si ottengano dalle espressioni 

\ \4n-3 / 1 \An-2 / 1 \ 4«— 1 



\2n) '0^2«) '(2// + 1) ' V^ 2« + l/ 



4;i 



àcendo in esse successivamentente « = 1, 2, 3, 4, .. . ; allora q k=:\. 
Ora abbiamo : 

La serie 2 Un ^ assolutamettte converge nie se k < 1, e non con- 
1 

ir gente 5t' k> 1. 

Invero, se ^ < 1 , prendiamo un numero U < 1 e > ^. Allora 
•cr la natura stessa del numero ^, esisterà un m tale che per gli 
'^w risulterà 



V«n;<U ossia j //^ ] < U", 

a cui risulta subito, osservando che la serie 2 ^'"^ ^ convergente 
€r essere U < 1 , la convergenza della serie ]S I //„ ; e quindi la 
onvergenza assoluta della ^ j/„. 

Se poi >&> 1 , prendiamo U > 1 e < ^, ed allora, per la natura 
el numero k , per quanto grande si assuma un numero ;;/, esiste- 
mno infiniti indici ;/ ^ m pei quali sarà 



n 



\l\iu\ >U, I f/H|>U". 
E quindi impossibile sia lim Un = 0, condizione necessaria alla 



^^^h 



ftv".! 



t.-y 



*?> 






■ ■r'^t 



«p* 



.Vi 



-»j^': 






. /■ 



■y»a 



.>U 



n - X 



f» ' ««""V 



:^0 

convergenza della serie ^Un, perchè, assegnato un e qualunque. 
basta prendere «' in modo che sia U"' > 3, ciò che è sempre pos- 
sibile perchè U > 1 , ed allora per tutti gli infiniti « >«', pei quilu 



\'\Un\ > U, avremo I Wn I > U** > U**' > z. 

La serie S ^n non può dunque essere convergente 

Da qui si ricava subito il teorema di Cauchy (Loco ciato 

pag. 151, V80): 

Indicando con ol il numero limite pik alla destra per il g.uppoi 

numeri 



Kn > Vi^'sl ) • • • V '^»! ?••••» 



// vero circolo di convcrgen{a della serie S c„ z** è il circolo \^--'\ 



n n 



Infatti, poiché è y\Cn\ !-{,'* =^ I { I Vie»', la quantità analoga alisi 
del precedente teorema per la nostra serie di potenze è a |^; j essa se» 

1 
sarà quindi assolutamente convergente se | { | « •< 1 , cioè se | { | < — 

e non convergente se | ^ | a > 1 , cioè se | -{ | > — , ciò che profili 

a 

teorema. 

In particolare se a = 0, è a | ^ | < 1 qualunque sia ^ e quini 
circolo vero di convergenza è tutto il piano complesso, è un circa 
di raggio infinito (0 , 00 ) ; e se a è infinito abbiamo a ] { | >L q' 
lunque sia ^ , e quindi il vero circolo di convergenza si riduc 
solo punto ^ero^ cioè è il circolo (0 , 0). 



M 



Notiamo che se fosse lini ViM«| = /, sarebbe l = k. E in t:[ 

n=:x 

di un noto teorema sui limiti dovuto a Cauchy, (*) se il lim 

«=:* j Wi, 

n 



o è infinito, è anche il lim\/]wwì = / o è infinito. Questa os^er 

n=:-x. 

zione può riuscire spesso utile. 



/(^ + 1 ' 
^) Il teorema è il seguente: Se al crescere di ;v, — ,;: ha 



t 



finito o r infinito, e se f[X) si mantiene sempre positiva, allora anchf L*^ 



r.r,t 



converge verso lo stesso limite. 



381 



Applicando, ad esempio, questo teorema alle serie 



f . i' . {" 



i + ^+;r + -33- + --- + -^,r + '- 

1 + >{ + 2 V -+- 3Y -f- . . . «" r + • . • 

riconosce subito che il vero circolo di convergenza della prima 
ie è (0,3o)^ quello della seconda è (0,0) cioè si riduce alla 
a origine delle coordinate. 

Per le serie ì+ll — ^ ) {", 1 4- i: ( ; ) ;?" esso è il 

X n -\- 1 ti n 
colo (0 , 1); e per le serie 1 + S {", 1 + 2 -{", os- 

n=l « 71=1 « + 1 

w-4- 1 

"vando che lim =r. lim __ =: lim (1 ) =^ 1» 

n=rx n n n \ «-/ 

« — 1 



;/ 



;/ -4- 1 

B izz 1, si vede pure che il vero circolo di convergenza è 

» // — 1 

n 
circolo (0, 1). 



140. Tutti i teoremi ora dimostrati per le serie ]S Cn ^ hanno 

u 

ago, con evidente modificazione, per le serie della forma S ^«({ — ^)% 



si possono dedurre da quelli ponendo \ — ^ = {1. Così si ricono- 
erebbe subito che se la serie S ^n ( ^ — aY è convergente per 
= {', lo è pure, ed assolutamente, per ogni { tale che \—a\ < |{' — a\^ 
i>^ in tutti i punti interni al circolo [a^ I {' — ^ .) di centro ^ e di 

ggio uguale al segmento ^ ^1 ; si riconoscerebbe T esistenza di un 
5ro circolo di convergenza col centro nel punto a^ etc. 

Sono pure ovvii le considerazioni da farsi per le serie di po- 
»ze negative, cioè della forma 



V ^« ' u (^ - ay 



382 

Ponendo — =^{i, o ={17 queste serie diventano le serie 

l {—a 

di potenze positive ^ c„ x\**ì ^^ allora basterà tradurre relativamente 

alla variabile { i teoremi ora dimostrati per queste ultime serie. Cosi 

si troverebbe che se una serie v — è convergente per ^ = {', lo è 

, assolutamente per tutti i valori >^ di modulo > |{'|, cioè per tutti i 
punti esterni al circolo (0, '{'') j che per queste serie esiste un vero 
circolo di convergenza (0, R) tale che pei punti esterni la serie è as- 
solutamente convergente, ed equiconvergente in qualunque campo 
esterno, e nei punti interni è divergente, etc. 

E pure facile dedurre i teoremi relativi alle serie ordinate per 
potenze positive e negative cioè per le serie della forma 

S CnC, V cn{{ — a)"- 



oc IX, 



basterà, poniamo per la prima, considerare le due serie 2 Cn {"♦ 



■Ti Cri 

^ — ; e si riconoscerà subito che se la 2 e» -{" è convergente per 

1 t" 

;(=:-{„ e la S — - lo è per { — {„ ed è i Ci i > I {« I ? allora li 

1 { 

y. 

serie i] c^, {*" è assolutamente convergente se I {t | < 1 ^ 1 <C i {, . , cioè 

pei punti interni alla corona circolare col centro nell'origine e à, 

raggi I {2 ! , Ui i ; etc. 



141. Sia((),R) il vero circolo di convergenza della serie S v\{'. 

che indicheremo con P (-(, U). Prendiamo un punto a interno a questo 
circolo; allora, con procedimento analogo a quello del n. 151 vol.L 
dalla serie P ({ , 0) si deduce una serie, che indicheremo con P (^.O.j». 
ordinata secondo le potenze di { — <?, 



convergente almeno nel circolo (j,R — !<?')♦ P^ì punti ^ inte ii^ 



383 
jual circolo avremo 

: dove 

= 11 ) Cn-rJk a^ = ^ [ , ) Cn-\-Jk ^*, o anche a,, = — , 

ssendo (^) = /(/-l'--(/-g^') , perchè 
\ q / 1.2.3...^ 



« I i/^" 



= -Lp,,,«,o)=|^( ";*).. „^ 



La serie P ({ , , tf), ottenuta in questo modo, ed i cui coeffi- 
ienti j„ sono legati coi coefficienti della primitiva serie P ({ , 0) dalla 
ilazione precedente, si dice la sene dedotta (immcdiatamcfite) daJIa 
({,0) rispetto al punto 2. \ il vero circolo di convergenza della serie 
adotta è almeno il circolo (^ , R — \a ), cioè il circolo di centro 
tangente al circolo (0 , R) ed interno a questo, ma, come bene 
ibito si intende, potrebbe essere un circolo di centro j e di raggio 
aggiore di R — i^ . 

142. Ragionando in modo analogo a quello del n. 152 voi. I si 
mostrano 1 teoremi : 

Ogni serie di potente, che non sia nulla uguale sempre ad 
m costante^ può annullarsi prendere uno stesso vaio re , in un nu- 
tro solamente finito di punti del suo circolo di convergenza^ se 
fsto è finito : e se è infinito, di punfi^ nei quali si annulla prende 
^0 stesso valore^ ne può cadere un numero solamente finito in qua- 
nque campo finito. 
Se due serie di potente ^ c^ {{ — \.)" > il ^" (\ — {")" ^ono uguali 
infiniti punti comuni ai loro circoli di convergenza, esse sono 
antiche. 

143. Sia b un punto interno al circolo di convergenza della serie 
{,0,^) dedotta dalla P(^,0); allora, collo stesso procedimento 

r. ir. 

deduzione, cioè osservando che ^a„({ — a}":= ^ a,,\{ — b-\-b — a\*' 



fi 



:he quest'ultima serie si può ridurre alla forma Ìl ^« ( { — ^)*', 



dalla serie P{{,Oja) dedurremo la 

P({.0, ..,») = 

dove 

Questa serie P({,0,a,A), eh 
dalla P(^,(0 rispetto al punto b, è 
nel cerchio col centro in é e tange: 
di convergenza della serie Pi{,0,i 

Dalla 'P{^,0,a,b) potremo d 
P{{,0,i7, A, e) e cosi di seguito; 
dedotte dalla serie primitiva P ({, 0^ 

Abbiamo notato che il circolo 
è almeno il circolo di centro a e 
(0 , R) ; possiamo ora riconoscere eh 
e tangente esternamente al circolo ( 
di convergenza (a,R,ì fosse più am 
la serie P({,0,«,0| rispetto al pun 
(0,Ri) di questa serie è almeno il 
internamente al circolo {a , R,) ed è 
è P(f,(l,^,t), = P(i.l.,^) e net 
circolo |0,R,l, è P(ì,0)^P(; , j,( 
è P 1^,0,^.0) = P({,Ol. -Ma questi 
ordinate per potenze di j, quindi, i 
n. 142 esse sono identiche, e ne ve, 
(0 , R,) sarebbe il vero circolo di coi 

Sei punti i, comuni ai due cer» 
partenenti al circolo (J,R — \a[) nel q 
è pure soddisfatta questa eguaglianza, 
che le due serie sono convergenti en 
dal modo stesso di loro costruzione 

144. &■ </,. um serie P{c,wl si 
samciite h scric P({,^) è deducibili 
d.iila P(t. <!,*). 

Se il circolo di convergenza (S 
tiene nel suo interno il punto 17, allo 



^T 



,'«5 



ledurre la P ({ , ^ , ^ , <?) che è identica alla P (^ , «) ; ciò si vede 
{ubito osservando che nella parte comune ai due circoli (b j RJ ed al 
:ircolo (a , R) di convergenza della P (-{; , ^) abbiamo P(^ , a) = P(^ , ^ ? ^)> 
ì nel circolo di centro a tangente internamente al circolo (^ . Ri) è 
P({,tf ,é) = P(^, a,i ,^), cosichè è ivi P(-^,^) =r P({,tf ,*,^), il che 
)rova l'identità delle due serie P({ , ^ , ^ , ^) e P({ ,/i), la quale ultima 
ì perciò deducibile dalla P (j{ , ^ , ^). 

Supponiamo ora invece che il circolo (^,Ri) non contenga nel 
iuo interno il punto a. Questo circolo è almeno il circolo di centro 
' e tangente internamente a (a , R). 

Chiamiamo B questo circolo. Uniamo con una retta a e b. Tra 
' ed a su questa retta prendiamo un punto c^ interno al cerchio B ; 
lalla P ({ , a , A) potremo allora dedurre rispetto a Cj la serie V ({,ayb,Ci) 
ordinata secondo le potenze di f — Cj e nei punti { interni al circolo 
2„ descritto col centro in e, e tangente internamente al circolo B, 
[uesta serie ha lo stesso valore di P ({ , a). 




Ma da P('{,^) deduciamo rispetto a e, la P(;^,^,^,) ordinata 
scendo le potenze di { — Ci , che per tutti i punti interni al circolo 
^ di centro c^ e tangente internamente a (^ , R) ha lo stesso valore 
iP({,^). Il circolo Ci contiene nel suo interno il circolo B e 
Hindi anche il circolo C ; perciò le due serie P({,^,^,i:,), P({,^,t*i) 
inno lo stesso valore, quello di P ({ , a\ in tutti i punti interni a C; 
se dunque sono identiche e in conseguenza la serie P (-{ , a , ^ , 1 1) 

25 



converge ancora in tutti i pi 
uguale a P (^ , a). 

Prendiamo ora un punto 

Dalla P(i,a,b,c,) dedurremt ___,,,..,_,_,,__ ,_..... 

terni al circolo C di centro Ct e tangente internamente a C| è ueiuie I 
a P {^,a ,b ,Ci) e quindi a P ( ^ , a). Ma da P (< , ") deduciar 
rispetto a ir, la P({ , a , e,), che nei punti interni al circolo Cj di 
Ct e tangente internamente a (i,K) ha lo stesso valore di P 
Le due serie P d , a , è , e, , c^), P {f , j , e,), ordinate entrambe i 
alle potenze di { — Cs, sono identiche, avendo lo stesso vai 
lutti i punti interni al circolo C', ed in conseguenza L 
P{^,a,ò,c,.Cf) è convergente nel circolo C, ed ivi ha il w 

Così procedendo arriveremo certamente ad un punto f, t 
il circolo Cn di centro c„ e tangente internamente a ia,R)c 
il punto a. Basta osservare che, indicalo con d il raggio del 
B, possiamo prendere i, distante da a di R — 2rf + :, ess 
quantità arbitrariamente e sufficientemente pìccola, in modo 
sia dentro B tra è ed a. Il raggio di Cj è allora 2d — i. Poi p> 
prendere t, distante da a di R — 4i/ + 3t ed allora il raggio 
è 4 (/ — 3 e ; poscia prendere Cj distante da a di R — SJt-7^, 
di seguito arriveremo a prendere un punto c^ distante d; 
R — 2"tl-^-(2' — l)ìed il circolo C„ di centro c„ conterrà i. 

a quando « sia tale che risulti R — 2''rf-)-(2" — l)'-<"^ 

2" (d — ')>-., «■ Ora il primo intero « che soddisfa a 

relazione è certamente ti n ito. 

Noi arriviamo dunque, dopo un numero finito di operazic 
cedenti, ad una serie P ({ , a , i , Ci , t, , . . , c„) , la quale, pei 
punii interni a C„ ha il valore di P(^, a}. Ora, poiché a è 
a Cn, dalla P {{ , u , A , t, , e, , . . . c„) possiamo ded 
P ({ , a , b , Cj , c\ , . . . c„ -, a), la quale, per tutti i punti del cir 
centro a e tangente internamente a C„ è uguale a P(^,a,ò,c,, 
cioè a P(i,fl|, cosichè le due serie P (f , i), P(ì,a,^<:„c,,. 
ordinate entrambe secondo le potenze di i — a, sono identic 
in questo modo la serie P{^,a) è slata dedotta medialameni 
P({,i7,è). 11 teorema è così completamente dimostrato. 



387 

145 • ^^ ' circoli di convergenza delle due serie P (z , a) , P (z , b) 
hanno una parte comune C, e le serie dedotte da esse rispetto ad un 
punto e di questa parte sono eguali^ e quindi identiche^ allora: 

Le serie date si possono riguardare come dedotte Vuna dalPaltra^ 
hanno lo stesso valore in ogni punto interno a C, e per questi punti 
le serie dedotte da esse sono identiche. 

Invero, le due serie P (^ , d( , e) , P ({ , é , e) ove convergono sono 
identiche; ma dalla P(^,^) deduciamo la V(i^a^c) ossia P(;^,A,c), 
la quale ultima, poiché è dedotta dalla P (i , b\ dà per deduzione la 
P({,^); cosicché dalla P(.^,<2) abbiamo potuto dedurre mediata- 
mente la P(^,^). 

Sia ora e un punto qualunque interno a C. Poiché e è interno 
\ C esisterà un circolo {e , d') di raggio d' col centro in e tutto in- 
«rao a C. Consideriamo inoltre il circolo analogo (e , d) relativo al 
punto c^ nel quale circolo le due serie P ({ , ^) , P (^ , ^) hanno lo stesso 
calore perchè in esso» é P (^ , ^) := P ({ , ^ , ^), P ({ , ^) = P ({ , 3 ^ ^) e 
^({> ^ > ^) = P ({ > ^ > 0- P^^ provare che anche in e ha luogo l'egua- 
{lianza P(^' , ^)=: P {e , b\ dimostriamo prima che si possono descri- 
vere circoli, in numero finito, concatenati in modo che, i circoli 
istremi della catena essendo {c^d) , (c\d'), essi abbiano ciascuno il 
«ntro nell' interno del precedente e siano tutti interni a C. Le due 
angenti comuni ai circoli {e ^d) , {e , d'), e che li lasciano ciascuna 
la una stessa parte, determinano coi circoli stessi un campo C| che 
ippartiene a C. Se, poniamo, sia d ^ d\ prendiamo un e qualunque 
positivo minore di ^ e, a partire da f, segnamo sulla retta e e i 
winti <7| , ^2 , a^ ,... in modo che sia d — e =: ^ ^j m: ^j ^j z= ^^ ^3 =z ... ; 
rriveremo cosi ad un punto an (n finito) tale che e apparterrà al 
egmento a^ ^»-f i- Allora, se col centro in ^i descriviamo il massimo 
ircolo Aj contenuto in C,, il punto e ed il punto ^^ sono contenuti in 
[uesto circolo ; V analogo circolo Aj col centro in a^ contiene inter- 
amente ^1 e ^3 e così di seguito, ed avremo la richiesta catena, la 
[uale, come ben s' intende, potrà spesso costruirsi con un minor nu- 
nero di circoli. 

Ora se da P (:^ , ^) e P ({ , ^) deduciamo P ({ , ^ , ^i , P (^ , ^ , ^J, nel 
ircolo A, è certamente P ({ , ^ , ^J = P (^ , ^z) , P (^ , * , <?i) = P ({ , ^i; 
Qa nella parte di Aj che è interna a {e ^d) è P (^ , ^) = P ({ , ^), 
[uindi V{i,a,ai) , ^{i^b,a{) sono identiche e perciò dentro tutto 
^1 è P (^ , ^) = P (^ , b). Analogamente si proverebbe che vale questa 
guaglianza entro Aj etc, e si arriva così a provare che anche entro 



(*:■ ,d') è P (^ , a) = P (^ , A) e perciò 
vasi dimostrare. 

Poiché ora in qualunque punta 
P (^ , i) ne segue che, e" essendo un 
e in un certo cerchio di centro e' esse 
P(^, *,e") = P(i,*), le due serie 
identiche. 

Da questo teorema si ricava sub 
sono eguali in una parte, anche pi< 
circoli di convergenza, esse sono eg 
interni, ai circoli di convergenza. Così, 
^dt")^') dedotte da una serie P (^ 
vergenza escano da quello di converj 
una parte comune, sono eguali anche 
al circolo di convergenza della P ({ . 

146. Riflettendo a quanto è st^i 
troverà perfettamente giustificato e op| 
concetto di /unzione analitica rnonogi 

Una serie P{{,ii) è, nei punti j 
convergenza (a , R), una funzione uni 
serie P (^ , a , *), dedotta dalla P ({ , a 
continua nei punti interni al suo cir< 
ha nei punti comuni al circolo (a,F 
lo stesso valore della funzione w (j) di 
se il circolo (i,R,) esce dal circolo 
punti interni a (>z . R) si attaccano con 
nei punti di (è,Ri) esterni a <i»,R)- 

Ora, quando il circolo (A,R|) 
Strass dice che la P(^,ii,^} dà, nei 
la cotitif magione analitica o il prolung 
nitada P{{,«) entro (fl,R). E stccoi 
logamente da qualunque altra serie 
taniente, si potranno dedurre successi 
P {{ , a , i , i." . i.,), . . - , ove esse conve 
di convergenza della serie, dalla quale 
diremo che esse danno, nei punti ini 
convergenza, la continuazione analiti 
serie deducibili dalla P({,ii) si dic( 



389 

analitica w (^), della quale P ({ , j) è V elemento primitivo, od ori- 
ginario. L' insieme di tutti gli elementi costituisce la fungane analitica 
nella sua totalità. Dalle considerazioni fatte nei numeri precedenti 
risulta che come elemento primitivo di una funzione analitica può ve- 
nire scelto uno qualunque dei suoi elementi. 

147. Non è nostro intendimento, e la natura di quest' opera non 
Io comporterebbe, di dare ulteriore sviluppo alla teoria delle fun- 
zioni analitiche secondo il concetto del Weierstrass^ e perciò, limi- 
tandoci ad averne accennato il principio fondamentale, faremo sola- 
mente le seguenti considerazioni. 

Può avvenire che i circoli di convergenza di serie dedotte non 
escano dai circoli di convergenza di quelle serie da cui furono de- 
dotte, per modo che la funzione analitica, di cui tutte queste serie 
sono elementi, non esista in certe parti del piano, le quali parti 
costituiscono allora, per queste funzioni, delle così dette aree lacu- 
nari. Ne abbiamo un esempio semplicissimo nella funzione analitica 
definita dalP elemento 

P ( ^ , 0) ==:;( + jf»» + {"«* -^- ^"'^ -^- ... + ^'«** -+-.... , 

dove »i è un intero ^2, il cui circolo di convergenza si riconosce 
essere, anche facendo uso del teorema di Caucliy^ il circolo (0,1). 

Ora questa funzione non è prolungabile al di là di questo cir- 
colo, ed essa ha perciò per area lacunare tutta la parte del piano 
esterna a questo circolo. 

Infatti, per un valore ^ di modulo P < 1 e di argomento — — - 

(k intero qualunque ed n int. positivo) la nostra serie, a partire dal 
termine ^'"'', diventa la serie a termini reali positivi 



r,mn _4_ om''+^ _u r.ni'^'^^ 



P"'"^' + ..., 



che cresce indefinitamente al tendere di p verso l'unità; perchè se 
A è una quantità positiva prefissata comunque grande, e ^ un nu- 
mero compreso tra e 1, potremo intanto fissare il numero intero 
positivo r in guisa che sia r ^ > A, indi assumere p = Pj così vicino 

all'unità che risulti pi»''*^'""'^ > ^, ed allora, per tutti i valori di P^pi 
e < 1, la somma dei primi r termini della serie precedente risulta 
>r^>A. Cosichè avvicinandosi il punto { al punto b^^ di argo- 



Pi { , 0) cresce indelìnitamente. 
niti in qualunque tratto comi 
Ora questi fatti escludono app 
dalla P({,0) entro il circolo {' 
{0 , 1). Invero se una qualunqu 
vergere In un circolo {a , Ri us 
avrebbe anche valore finito e 
conferenza di (0,1) e interni 
sterebbe un intorno di h per 
■P(,-,0,a)— P(*,0,«)|<3; n 
a (0,1) sarebbe P(j,0,d) = 
ora, vi sono in esso sempre 
iP({i"i"l'i prende valori mag 
il che contraddirebbe alla disu 

148. Ciò premesso, disting 
analitica u'{{), i punti del pian 

Nella prima classe porreni 
che circolo di convergenza di 
Qiiesti punti si chiamano punt 
o punti nei quali la funzione : 
scono il campo d'esistenza del. 
connesso, cioè si può andare d 
altro qualunque mediante una 
stesso; per vedere ciò basta rii 
colo di convergenza contiene : 
prolungamento analitico media 
fenati tutti appartenenti al can 
il cui circolo di convergenza 1 

Ad una seconda classe ass 
al circolo di convergenza di q 
cioè, che esiste per essi un ce 
circolo di convergenza. Q.ues 
quale la funzione non esiste, fc 
funzione. Questo campo potrà 
su Ita re composto di più pezzi 

Ad una terza classe assegt 



391 

ad alcun circolo di convergenza di alcun elemento della funzione, 
ma ogni loro intorno è attraversato da circoli di convergenza di ele- 
menti della funzione stessa. Questi punti, della terza classe, diconsi 
punti singolari o singolarità della funzione analitica. Se la funzione 
ha un'area lacunare, essi sono al confine tra questa e il campo d'esi- 
stenza. Questi punti singolari potranno essere in numero finito, o for- 
mare un gruppo infinito di punti, o costituire una o più linee continue. 

149. Sia a un punto singolare di una funzione analitica w ^). 
Supponiamo che: 

1) Esista un intorno del punto a formato tutto (escluso il punto a) 
da punti della prima classe, cioè da punti regolari di w[3J), 

2) In detto intorno, o in un intorno in esso contenuto, escluso 

al più il punto a^ i valori di — -^ siano tali che essi vengano dati 

da una serie di potenze ^o + ^ik — ^)-^^%{.l — af -\- . , . 

In questo sviluppo bisogna supporre b^ -=: 0, perchè, se ciò non 
fosse, si avrebbe in tale intorno 



wii) = 



1 



*o-l-^i({ — ^)-4-^2k — ^)'4-... ^(1— w) ' 



h h 

avendo posto — m = ^- (^ — a)-\'-^{i — ay-\- , . . . ; ossia, poiché 

esiste un intorno di a così piccolo che risulti | w | < 1, sarà ancora 
in quest' ultimo intorno 



w{i) = 



'0 L 



1 + M + W' + tt^ 4- . . . 



che può, in virtù dei noti teoremi sulle serie doppie, ridursi alla 
forma 



w(0 = 



1 + ^1(1 — ^) + ^«K — af + ,.. 



il che proverebbe che il punto a non potrebbe essere punto singo- 
lar(, ma sarebbe invece regolare, per la funzione analitica it'(^). 

Supponiamo dunque b^ =: 0, o, più generalmente b^ = 0, ^i = 0, 
/^2 " - , . . . bn-i =: e ^n diverso da zero. Avremo allora in modo 
ana ogo 



892 

valevole per tutti i punti { del precedente intorno, escluso il punto 1 
a. Dalla qual formola risulta 

On{{ — a)** bn {l — aY-^ hn i — a 

c„ ^- -4- 1 ^- -4- 2 

l'ultima di queste formole ci dà lo sviluppo della w{^ nelPinton» 
di un punto singolare a soddisfacente alle condizioni 1), 2), sviluppo 

che contiene un polinomio in ed una serie, che qualche volo 

potrà ridursi pure ad un polinomio, ordinata secondo le potenze in- 
tere di ^ — a. La penultima formola poi ci mostra come la funzione 
^'({) {\ — ^T sia regolare nel punto a, e che la tt^{) diviene infinita 
d'ordine n nel punto a (Vedi Voi. I, n. 37). 

Questi punti singolari a, soddisfacenti alle condizioni 1), 2) di- 
consi poli^ o infiniti, o punti singolari non essen^ialiy ovvero sinp' 
larità polari o non esscniiah\ della funzione analitica. 

Se un punto singolare a non soddisfa a tutte e due le condizioni 
1), 2) esso dicesi un punto singolare essenziale o singolarità essen^A 
della funzione analitica; notando che può essere soddisfatta la eoe* 
dizione 1), esprimente che il punto singolare è isolato da qualunque 
altro punto singolare, ma non la 2) ; mentre se non è soddisfatta li 
1) non lo è necessariamente neanche la 2). 



393 



Integrali delle funzioni di variabili complesse. 
150. Cauchy fu il primo, nel 18?5, a stabilire il significato 

a'+ ih' 

preciso, dandone una chiara definizione, del simbolo / /(-{) J{, dove 

a-^-ib 

/({) è funzione della variabile complessa j{, riducibile per ogni si- 
stema di valori di x ^y alla forma u {x ^y) 4- iv {x ^y\ essendo u , v 
funzioni reali di x ^y^ 

Sia / una linea appartenente ad un campo dove la f{^ è mono- 
droma e finita, e che unisce tra loro i punti a = ^ -|- 1^^ ^ =: <?' 4- ih\ 
Siano {jj = a , ;^, j ;^, . . . ^n— 1 , ^n= ì puuti qualuuque appartenenti ad 
/ e succedentisi andando da a verso 3 ; consideriamo la somma 
S^Su'^Ct. — ?*— 1)9 dove w, indica un valore qualunque di /({) 
lungo il tratto di linea / compreso tra i punti {,-1 e ^,. Ora una 
quantità L dicesi limite di S al crescere di n^ se dato a, esiste un 
corrispondente numero positivo 5 tale che per qualunque scomposi- 
zione di / mediante punti ^ pei quali risulti | ;[, — {5_i| <5, e qua- 
lunque sia la scelta dei valori w^^ sia sempre |S — L| < j, ed L chia- 
masi P integrale definito della funzione f (z) preso tra % e ^ lungo 
la linea 1, che dicesi linea cammino di integrazione^ e scriviamo 

L=z\f[z)dz—ìf(l) di lungo /, e la /({) sarà allora integrabile da a 

a 
a p lungo la linea /. 

Supponiamo che le coordinate dei punti della linea / vengano 
espresse per un parametro / mediante le formole 

x^^{t) ,y = 'Ht\ 

(in particolare potrà essere /:=:a' o /=>') e che si ottengano tutti 
i punti di / da a a ^ facendo variare / da /^ a /) sempre crescendo 
o sempre decrescendo, e che cp (/), '+ (/) ammettano derivate continue 
pei valori di / da /<, a /j. Posto 

tPz=/(^) = «[^(/), '|(/)J + lt;[^(/),'+(/)]=z «(/) + /!; (0 = l* + /t', 



■.m 

abbiamo 

= Ì:«.1t(',1' 

Alla prima somra 
per le altre) possiamo 



t. — t,-ì 

dove, essendo la -f' {t) t 
tità che possono tuHe 
quantità positiva asseg 
cientemente pìccoli. 
Avremo quindi 

Supponiamo la fui 
allora è anche integrai 



; quindi lini^i,«, (/, - 

nessa poi anci 



IP ' ' 



■* ■••'r ■■" -il-" 



395 



abbiamo in ultimo, procedendo in modo analogo colle altre somme 
suddette, 

lim S = / « 9' (/) di^-fvViOdt+i) fv:p' (/) J/-+- iu^\t)dt \ 

^ J J J 



Ai 



ti) 



/o 



/() 



(1) 



? 



=/(« + 'f) l?'(0 + '>' (01 '^^ = \fk) di , 



la quale formola non solo ci prova l' esistenza dell' integrale della 
/({) lungo la linea /, ma ancora ci indica il modo di calcolarne il 
valore. 

Per esempio, per calcolare l'integrale lungo la retta che unisce 
i punti a , 3, basta porre 



x = :f(t) = a + {a'-a)t, y=ì^{t)z=zb+(b'—b)t 



ed allora 










per calcolare quello da a a ^ lungo un semicircolo che passa per a 
e p, basta porre 



x = --[a + a' + y {a-^aJ-^-{b-bycosq, 



1 



^ = _[^ + ^' + V(^-^T + (^-*Tsen/], 



ed allora 






1 



noài = - V (« - "')' + (* - *')' . 



:'*-u=! 



• ' ìk 



' .V 



• /4^ +t^~+l'V(a-a'f-\-{b-bT(cos t -f- « sen /) ](-sen /+ 1 cos/) di, 

Al 



3Ut} 

dove 

d — a' 

i^^ ^: are cos — ■ ■ ■ = 

\/(a-ar+{b-by 

Notiamo che si poteva anche p 

m», ammessa la integrabilità Ai u,i 
y è (n. 113} 



lim M, (ar, — *j_i) = \udx, 



lii 



lim I', \x, — iXj— i) ^ Ivdx, lii 
cosicché 

lira Z if. (f . — is- 

> l 

= \vdx — ^vdy-^i 

'i ^ 

= j'(u-hiv)dx + ij(t 

Da quanto precede risulta poi, 

//(!)«'! = - 

il cammino di integrazione essendo 1 



kl-J- 



/ ' . . . 



ì^:ì; 



897 



se Y è un punto di /, 

? r p 

//tò '^< = //(O ài + ffii) di, 



a 



a 



i 



la qual forraola vale anche se il punto y è fuori della linea /, purché, 
indicando con /^ la linea di integrazione dell* ultimo integrale del 
secondo ^membro, la f(^ sia integrabile su /j, e la linea di integra- 
ÙDue del primo integrale del secondo membro si componga delle 
linee /ed /j. 

151. Abbiamo anche qui un teorema analogo al primo della 
media. 

Invero, essendo 

/'/({) ài = /'« y (t) + 1 V (/)] di + / \v y (/) + / -ì; (/)] ^^ 

a A) A) 

e poiché, applicando il primo noto teorema della media, è 
h 



fu [q:' (/) + i '\>' (/)] dt = w, (a —a)-h im^ (b' — b) 

= Wi (pi — a) -h- i(nh — w,) (^' - b), 






^v{^\t)-\-i'^\t)\dt = n,{}-^)-\-i{fJ,-n,){b'-b\ 



/o 



iove Wj , w, sono valori compresi tra il limite superiore e V infe- 
riore di « nell'intervallo (/q^^i) ^ analogamente «i,«« per v, abbiamo 

ì 

j/k) «'e = K -«- '«1) (? — «) + '■(*' — *) K — w, + « («, — «,)], 

X 

J, se la _/*(^) è continua lungo la linea /, 

3 
;i) /*/(^) J^ = !«[/, + e (/, - /,)] + /V [/„ + 9' (/, - t,)]\ (3 - a) 

+ Ì{b' — ^) fw, — Wj 4- / (Wj — «i)], 

love ^ e ^ 1, ^ e' ^ 1. 



.«'.^^ 



..^•ìK 



V.\ 



V 



ki 



• >1 



j ( 



f; 



398 

Queste formoie corrispon 
media per gli integrali di fui 
dovuta al Darboux, che è più 
è caso particolare, e che pere; 
primo teorema della media pi 

Scriviamo 



i=l/{i)di=f 



cosicché, indicando tì un certe 

1.1 = .)■>- 

ed applicando il nolo teoremi 

dove M è un numero compre 
di \u+iv\ nell'intervallo (/„ 

linea /. Se la /({) è continua 

|I[=tì| «(/■)-[- /V 

dove J'o^/'^/i e ^ indica 
sponde a i^ t'. 

Ma indicando con cf l'ar 
/(O, è 1=^ 1 1 I f^', /({■) = I 

I^«|/k')l^^'a. 
' ed in conseguenza, indicando 






3V)9 



supera V unità, abbiamo 



//({)''{=>■ arco //({), 



a 



che è la forinola che corrisponde a quella del primo teorema delia 
media. 

152. Proviamo ora che in ogni punto ^ della linea di integra- 
zione l'integrale di /{) è funzione di {, Poniamo 



( K • ,^:f 



• »! 



UO = ff(i)Ji; 



a 



allora 



Z+/l 



T-fA 



V (0 = \ìm-^^-^^^^ 






dove A = A{^=^AAr + / ^y indica un aumento qualunque attribuito 
a {, e l' integrale da { a { -h A è condotto lungo una linea qualunque 
ohe unisca i punti {©-(+/', le coordinate dei punti della quale 
supporremo espresse mediante / e in modo che { corrisponda al va- 
lore /e ^ + 7/ al valore t+ k di /, essendo k quantità che converge 
a zero con /;. ^^a per la formola (1) n. 151 abbiamo 



7+ A 



■^\f{l)dl = u{i^^K)-^iv{t-\-Wk\ 



i^y 



^x-\-I^y 



-,- [w« — Wi+/(w,-;/i)| 



e poiché comunque h converga a zero è lim (m^ - m^) =z lim (wj - wj 
lim « (/ -H e >è) = K (/), \ìmv(i-hh' k)=iv (/), sarà 

r-f/j • 

lim 1 ffiO di=--u (/) -H iv (f) =/{(! ; 
quindi la I ({) ammette l' unica derivata 



=0, 



i'W = 4:j/(0'/t=/U'X 



cioè //(<)</{ è funzione del limite supei 

linea di integrazione, e ha per derivala /( 
Se F (0 è funzione di {, che, lungo la 
bia per derivata /({), avremo 



Invero, posto f = ? (^)-H( + (/J, in me 
/q a / corrispondano i punti della linea d 
posto F ({) = U (/) + 1 V ((), avremo 

. * 



F'(tì=/(i) = lU'» + 'VWl 



l'i 



e quindi 

fio ài = [u (/) + iv (ti] [f- (r) + !>■ {/) ]di = iu {,,-t-,^ i.jj «., 
e da questa 

j / (?) l'i = I [» CI + ■■' Wl (?' M + ■■ t' (') 1 * = / [U' (') + <■ v l'il . 

= U (/) + / V (() - |U fti + ,■ V (/,)] = F ({) - F (.). 
Cosi ad esempio, qualunque sia la linea di integrazione, è 



,s;Ji = 



isen ^ i/^ .■= cos a — cos ì, /«■' à{^=e'- 



153. Se la /(^i diviene infinita in un punto e delia linea di i 
legrazione, perchè esiste un intorno del punto e per tutti i punti < 
quale |/(,{)| si mantiene maggiore di qualunque numero prefi''a 
o perchè ciò avviene per tutti i punti di un intorno sulla Ilo ' 
integrazione, o perchè comunque piccolo si prenda un intomo ii 
su detta linea vi siano sempre in esso dei punti nei quali J/( I ■ 



F^ 



I 

401 I 



maggiore di qualunque numero prefissato, allora poniamo la defi- 
nizione 



c-5 i 



jf{l)d^ = \ìmjf{i)d^, 



a 



restando il punto e — 5 sempre sulla linea di integrazione. 

E se la linea di integrazione si estende all'infinito, poniamo la 
definizione 

X f 

a a 

quando il punto { si allontana indefinitamente sulla linea di inte- 
grazione. 

154, Il cambiamento di variabile negli integrali di funzioni di 
variabile complessa si opera precisamente come negli integrali di 

l 
funzioni di variabile reale. Sia //(,) d, preso lungo la linea / e si 

a 

ponga ^ = ^(<^i), dove i^-=x^ + iy^ ^l{l\) è funzione di ^, che 
ammette derivata, e sia a = ;{(ai), ^i = {(3l), essendo a = a-h-/^, 
^z=:a -{- ib\ aj=^j-f-/Aj, ^^z=z a\-\- ib\] dico che avremo 

l'integrale del secondo membro essendo preso lungo quella linea /, 
che corrisponde alla linea /, linea l^ le coordinate a?, ,^i dei punti 
della quale vengono date dalle .;Vi =/i (.jc ,^) ,^1 =/8 (^ ,/), essendo 
questi valori di x^ ^y^ quelli che si ricavano dalle 

^ = Fi (^1 yyx) ^y = Fj (^1 ^yi), 

sup] osto che sia 

i==x + iy = {(u) = ^ì (^^ ^yx) -+■ ^'F* [*i ^yi)' 

26 



> *- 1 



1 






402 



Ora, se si pone at r= ? (/) ,^ = .j» (/) cosichè sia 
F, (*. ,^.) = 9 (/), F, (*, ,^.) = i, (0, 

//({) à{ = /'[« (/) + iv (/)] h' {/) -I- i V (01 A, 



fo 



avremo 



*,=/i(*,;K) =/, wo , -K/)] =/.(0 ,^,=/.(*,^) =/,[?(') , K01=/^'^ 

ed analogamente a'i =/i (/i) , *'i ^/j (^i), 

/Uki)l =/[F,(*, ,;>'i) + «F,(*,,^,)]=/[?(/)-HiK01 = «(O+M*). 



?'U) = [t'W + «ì''(')] 



i/ 

'^C.' 



cosichè 



f/k k.)] ^' (t .) <^f . =[[«(<)+ '■" (<)i f 9 (0 + iv m àt = \m ^^• 



^0 



f-t 






■jt:. • . . 






li' 



155. In seguito alle considerazioni fatte finora possiamo riunire 
in una sola formola alcuni dei risultati di integrazioni di funzioni di 
variabili reali, che si presentarono sotto aspetto diverso a secondi 
dei valori o del segno di certe quantità : come pure si potrà eoe 
semplicità ricavare il valore di un integrale da un altro già cooo-j 
scinto; il che verrà dichiarato con i seguenti semplici esempi. 

Possiamo dire sempre che, supposte x^ a, b^ e reali^ è, se 4d^— ^j 
è diverso da zero, 



f 



dx 



J ax' + bx-{-c y4ac — b' 



are tg 



2ax + b 
V Aac — *« 



(vedi pag. 456 voi. I); invero se Aac — i*<0 il secondo me br 
diviene 



iyj b^ — 4,ac 



2ax-\-b 

are tg , 

{y b^ — Aac 



r^ 



t .> 



403 



cioè 



1 + / 



. 2ax + b 



iyb^ — Aac ^' 



. log 



1 — » 



iyb^ — 4ac 
, 2ax + b 

i^b^-^àac 



— 1 



log 



yb*'4ac-\-2ax-\-b 



log 



yb*'4aC'{2ajC'hb) 



Mh^—\ac V*«-4«c-(2tf;t + *) V*«-4^^ \lb^-Aac-^2ax+b 

che non differisce che pel segno della quantità sotto il logaritmo 
(ciò che non importa, perchè di essa dobbiamo prendere il valore 
assoluto) dalla formola trovata a pag. 356 voi. I quando 4ac — ^^ < 0. 

Cosi ancora per ^lv^xq 1 — da / — i=arcsen — , basta 

porre in quest'ultimo x^zix^ ed allora 



r dx, ^1 
*/ V^' + V ' 



ix^ 1 1 , (\l Xx^ Xx\ 
are sen -^ = -7- — log ' 1 + -^ ^ 



= — log 



V^' 



'- = log 



V^'+V — ^i 



= log-5J / '^ =ìog(\/a'+x,*+x,) + C. 

a 

Cosi ancora, conoscendo 

x^dx 1 , x^l y2 X 



r x^dx __ l^ x—l \ 



arctg— :t. 



^ x^~— a:' — 2 
integrale, abbiamo 



r ** dx 
troviamo subito j— , — — , giacché, cambiando x in tx nel primo 



h 



x^dx 1(1, />— 1 V2 /;r 

X* — x^ — 2 I f 6 lA- + 1 3 y 2i 

1(12 A^2 1 , V2 — ^ì 

= r <— -r are tg :«• + - - -- log — ^ 

I rO * 3 2/ • -v/o 



V2 



1 1 , V2 — A^ 



v-,^ 
'.«' 






\v1 



J" 



404 



Teoremi di Cauchy 



156. Se f (z) = u -h i V ^ monodromafiniia e continua in iufic wt 
campo C, // cui contorno sia s, e le derivate di u e v rapporto ai ; 
x,y sono integrabili in C, P integrale di i(z)àz esteso al coniom 

di C è uguale a ^ero, cioè j f(z)dz = 0. 

s 

Infatti 

//({) ^i = I («^^ — vdy) + il {udy + vdx) ; 



s 



ma poiché u , v sono funzioni univalenti continue di ;r , j? in C e le , 
loro derivate sono ivi integrabili, abbiamo in virtù della forinola c^ 
Gauss al n. 113, 

'/•'■*-*>=-//(f +!)•"*. 



e 



e gli integrali nei secondi membri sono zero perchè, essendo /{{) 
funzione di ;j; in C, è ivi 

dx Zy~' ' dy dx "" ' 

in conseguenza 1 f{{)d{ = 0, 

m 

S 

157. Dal precedente teorema fondamentale di Cauchy risata 
subito che il valore dell'integrale / /(^) i{, quando si integri per doc 



~0 



linee differenti che uniscono i punti {^ e ;{i, ma tali che nella parte 
I del piano da esse limitata, incluse le linee stesse, la /({) sia moDO* 

I droma finita e continua, è lo stesso; ossia, il valore dell' intf.'ni^ 

I non cambia quando, rimanendo fissi gli estremi, la linea di in ìgr^ 




^v^ 



zione si deforma senza spezzarsi e rimanendo sempre in un campo 
ove la f{i) sia monodroma finita e continua, cosichè allora la linea 
di integrazione non ha influenza sul valore dell'integrale; perchè se 
/ e /j sono due qualunque di tali linee, {o * <i > to ? Cn ^ P®^ teorema 

di Cauchy, j/{^)di=j/(Od{-\-j/(^)d{ = 0, da cui 
f/iVdl=j/(l)d^, cioè jf{i)di=jf(i)d^. 



405 I 

•1 



5'i)»-i ro^^i 



Altra conseguenza del teorema di Cauchy è che gli integrali di 
fi{)di estesi, nello stesso verso, lungo due curve chiuse 5,5i, l'una 
interna all' altra e tali che neir area da esse racchiusa, incluse le linee 
stesse, la /(;() è monodroma finita e continua, sono uguali; perchè 

avremo j /{() dj^-\- //({)^^=r:0, l'integrazione essendo condotta nello 

stesso verso (poniamo il positivo) lungo s ed s^ rispetto al campo da 
esse limitato, verso che è perciò opposto lungo di esse. Cambiando 

il verso in uno dei due integrali, avremo //(^) ^-{ =//({) (i!{. 



Come esempio calcoliamo l'integrale / — esteso ad una curva 



chiusa 5 che racchiude nel suo interno il punto aj ove la funzione 

integranda diviene infinita. Descriviamo col centro in a un 

^ — a 

circolo <J di raggio R tutto contenuto nell'area determinata da s ; nel 

campo limitato da 5 e da a la funzione si mantiene mono- 

droma finita e continua, cosicché 



J ^ — a J i — a 



Per calcolare il secondo integrale poniamo ^ — a =: R^<^', di guisa 
che. essendo R costante pei punti { di o, sarà d^ = i R^B» Jh, ed in 



• « 



» * ^mr " ,. f 



>>•• ' 






406 



conseguenza 



2- 



/-Ì-=.-/"rfe = 2.,-, 



O 



per CUI 



.1 X- a 

S 

Calcoliamo ancora j ({ — a)"* d^^ ove n è numero intero qus- 

« 

s 

lunque. Se « è positivo, pel teorema di Cauchy, il valore dell' int^ 

graie è zero. Sia n negativo, cioè consideriamo Pintegrale l- — ^, 

• l'I ' 

s 

n intero positivo. Descritto il circolo o, come precedentemente, e 
posto i — a=z R^fl' abbiamo 



2?C 






Uff 



valevole se m è diverso dall'unità. Cosichè vediamo che 



j(^-^)-i(=0 



se « è un intero diverso da — 1, e per « = — 1, il valore delPic- 
tegrale è 2^1/. 

158. 5^ f (z) = u + iv è monodroma finita e continna in un cm^\ 
C, il contorno s di C incluso^ ed u, v hanno le derivate integrM] 
in C, e z indica un punto interno a C, abbiamo 



f(z) 



f(z') = _^/_ll^d 
^ ^ 2tiì j z — z' 



z. 



e* '. 



fU) I 

Invero, la funzione di ;{, , -, è in C dappertutto monodrontfl 

finita e continua, escluso il punto i=z^ìtì cui diviene infinita. 0«; 
si circondi questo punto ;{' con un circolo o tutto contenuto i C.^ 
descritto col centro in ì e di raggio R, che potremo assumere »i> 

colo quanto si vuole, la funzione 



è monodroma finita e >n- 



l — l 



r^ 



407 
tinua in tutto il campo limitato dalle linee s e da o ; cosicché avremo 



Jl — l Jl—l 



dove V integrazione lungo a si intenderà condotta lasciando a sinistra 
l'area racchiusa da a, se P integrazione lungo s è condotta lasciando 
a sinistra il campo C. 

Posto 1—^ = Ri?e', è 

271 2TC 

3 

e quindi 

ed essendo /(^) continua in ;{', dato 8, esiste un numero R, tale che 

5 

l)er R^Rj e qualunque sia è |/(^'-h- R^^O— /U')l < tt" cosichè 

allora 

f/k) di 



i—i 



2nif{0 



<8. 



S 



Ma, la quantità di cui si prende il modulo nel primo membro 
essendo una costante, rispetto a 6 e ad R, dipendente solo da {' do- 
vremo avere 



jJ^di-2^if(O = 0, 



s 



cioè /(;(') = — —7 / p^^j come volevasi dimostrare. 

dm J ^ — { 

s 

Questa formola è notevole ed importante. Essa dà il valore che 
la f{^ ha in un punto ^', interno al campo, mediante i valori che essa 
ha sul contomo s di esso, così che i valori sul contorno, quando la 
funzione debba essere monodroma finita e continua in tutto il campo, 
la determinano completamente in guisa che non vi possa essere che 



408 

una sola funzione, monodroma finita e continua, avente quei valori sol 
contorno. Osserviamo però che questa formola non va intesa nel 
senso che si possano sempre assegnare arbitrariamente sul contonio i 
valori di una funzione, che nel campo debba essere monodroma finita e 
continua^ poiché potrebbe avvenire che non esistesse una tale funzione, 
avente quei valori prefissati sul contorno. 



159. Una funiione monodroma fmita e continua f(z)==:u-fiv 
in tutto un campo C, e tale che le derivate di u ,v sieno in esso ìk- 
tegrabili, ammette tutte le derivate f {z) ^f" {z)„.., Jinite e contìnui 
in tutti i punti z interni al campo. 

Invero, abbiamo /"(/) = ——r /- —,dz\ ma la ^ , è 

l-^iJl — l ^ ^ — t 



con- 



tinua rispetto a ^' per tutti i punti ^' interni a C, ed ammette deri- 

^ e perciò, derivando rispetto a ^', potremo 



vata contmua 



applicare la regola di derivazione sotto il segno integrale ottenendo 






Proseguendo così, in modo analogo, si troverebbe 

s 

f- (-■]— ^'^ /l_Ziil_ j. 



ed in generale 



2.S..f> f fii) 






w^ 



4()9 



Serie del Taylor e del Laurent 



i6o. Supposta /{{) monodroma finita e continua in un campo 
C, incluso il contorno s, e i .un punto interno riprendiamo la for- 
inola 



(I) 



-"' .'1, — i 



Ora dalla formola 



1 



a 



>i 



(2) 1 4- a + a^' -f. -f- a"-i = , 

1 — a 1 — X 

7 — a 
ponendovi a = — , ricaviamo 

1 _ 1 . { —a . . ( {'"-^)"-^ . ii—ar 

~i . VA "T" • • • "T" / *„ ~i~ 



Supposto a non sia un punto di 5, sostituendo questo valore di 
-p nella (1), abbiamo 



/({•) = I„ -f- (^ _ a) I, + (,'- _ a)M, -H ... + ({' - «)"-! 1„ . , -f- R„, 
iove abbiamo posto 

I - J_ f.Ji<^A_ R _ iLnf): r /(o '^t 

* . .V 

La quantità Rn, ove il contorno s non sia di un sol pezzo, bensì dei 

pezzi s^^ s^.-'Suj si comporrà di un numero finito di termini della forma 

{ — aY i' fi^)^^ 

— - — ~ I -i_i-_^ q\iq in virtù del teorema della media, 

saranno uguali a ^ ~- ri —^ j •> dove À,. è quantità 

Il cui modulo non supera 1' unità e ;r è un certo punto sopra Sr- 

Se ora supponiamo a sia un punto interno al campo C, e tale 
:he i* cerchio descritto col centro in <j e con raggio !{' — a\ sia tutto 



410 

interno al campo, sarà sempre 






< 1, e quindi, al crescere in* 



dehnito di «, è lim ] j-^ r- ( — 1 J =0, e qmndi 

ancora lim R„ 1= ; così che allora varrà Io sviluppo in serie 

/(0=io-i-({'-«)ii + k'-«)'i,+. ..+({• -a)»i,+.... 

e la serie del secondo membro è quella dal Taylor, perchè (o. Ió0)i 

Da quanto precede risulta che una funzione /(-{) è sviluppalàk 
colla serie del Taylor, ordinata secondo le potenze di i — Oj in toaì 
i punti i interni ad un cerchio col centro in a nel quale la /({isi 
mantiene monodroma finita e continua, avvertendo che lo sviluppo 
medesimo è valido pei punti interni, anche quando sulla circonfeitto 
la funzione cessi di essere finita o continua, perchè, qualunque sìa 3 
punto i interno al circolo, possiamo tra esso e la circonferenia àr 
passare un secondo circolo concentrico e sul quale la /({) è finita e 
continua, ed assumendo questo secondo cìrcolo come il contorno! 
della precedente ricerca, si giunge alla serie del Taylor. Possìmm 
dunque enunciare il seguente importante e fondamentale teorema do- 
vuto a Cauchy : 

/ valori di una funzione monodroma finita e continua in " 
cerchio di centro a, il contorno incluso oppure no, possono, per og» 
punto z interno al cerchio, esprimersi mediante la serie del Tajl^^ 
relativa al punto a. 

Se ^ = si ha la serie del Mac-Laurin. 

Questo teorema ci può risparmiare, per le funzioni monogene à 
variabile complessa, lo studio del resto della serie, come avevamo 
dovuto fare nel calcolo differenziale per le funzioni qualunque i 
variabile reale, e la sola ispezione della funzione può bastare» 
accertarci della sua sviluppabilità o no, secondo la serie del Taylor. 

Cosi ad es. ; poiché la funzione diviene infinita nel punn» 

1 = — 1 , e dappertutto altrove è monodroma finita e continua, esa 
è sviluppabile colla serie del Mac-Laurin in tutti i punti { ' temi 



w^ 



411 



1 an circolo col centro nel punto ^ = e di raggio uno, ed è svi- 
ppabìie colla serie del Taylor, secondo le potenze di ^ — a, in 
ti i punti ^ interni ad un circolo col centro nel punto ^ e di rag- 

U-ll. 



x6i. Dimostriamo ora che se una funzione monodroma finita e 
otìnua è sviluppabile nei punti { interni ad un circolo col centro 
a in una serie ordinata secondo le potenze di { — j, questa serie 
quella del Taylor. 

Sia infatti 

)/U) = Ao4-AiU — ^) + A,(;^ — a)2 + ... + A,(^-tf)«-i-...; 

oltiplichiamo i due membri per "w^i ? ^^ integriamo lungo 

a linea chiusa a racchiudente il punto a e tutta interna al circolo, 
dchè possiamo applicare alle serie di potenze P integrazione termine 
lennine, avremo 

co 

B tutti gli integrali nel secondo membro sono zero fuori che 

^{ 
=r27ci (n. 157), quindi 



O 

o 

oe mostra appunto che lo sviluppo (1) è quello del Taylor. 

i^. Sia /({) monodroma finita e continua in tutti i punti di 
^ corona circolare di centro ^ e di raggi R, Ri, (R> Rj), il con- 
>mo incluso. Indicando con 5, Si le circonferenze dei circoli di raggi 



K, R, e {' un punto qualunq 



intendendo l'integrazione lunj 

a sinistra la relativa area circ 

Il primo lerraine del seco 

a quanto si fece al n. 160, n 

I. + I,H'-») + I.(5' 



Per trasformare il seconc 
formola (2) dei n. 160; avrei 



1 
7-T~ 


1 


-(^ 


-'f 


per cui 








I 

ir, 


,-/(t) 


"<{= 


A 

t'- 



dove X è il solito numero il 
un certo punto della circoi 
limRn^i^O, cosichè si avrà 1 






413 
Tiembro della (1), ed osservando che 
ibìano valore se la integrazione è con- 
ia lungo una curva chiusa appartenente alla corona circolare e 
cbiudenle il punto a, poniamo lungo un circolo di centro a e 
Qggio Ri , dove R > R, > Ri , e di circonferenza s^ , possiamo 
ivere : 

/u')^ Io H-i.{r-'»)+i. ({'-")•+■ ■.+in(i' -«)-+.-. 
1 



K L-. 






n<)ài 



ay-^^ 



Analogamente a quanto notammo al n. t(iO, si riconosce che 
Kto sviluppo è valido anche se sui circoli di raggio R, R, la fun- 
ae cessa di essere finita o continua. 

Abbiamo quindi il seguente teorema, dovuto a P, A, Laurent 
1 18-1;! : 

Una fungane monodroma e continua entro una corona circolare 
centro a, pud, nei punti interni z di essa, rappresentarsi mediante 
w serie che procede secondo le potente intere, positive e negative, 
1 — a. 

la modo completamente analogo a quello tenuto al n. 101 si 
mostrerebbe che una tale funzione può svilupparsi in un sol modo, 
tondo le potenze positive e negative di j — u, cioè collo sviluppo 
i Iaurrnt. 

Supponiamo che dentro al circolo di raggio Ri vi sia il solo 
!Dtro a, nel quale la funzione divenga iniinLta o discontinua. Allora 
' sriluppo del Laurent varrà per quanto il punto ^ sia prossimo ai 
miro a, giacché potremo sempre descrivere col centro in a un cir- 
)lo di raggio R, che escluda il punto {, ed allora nella corona cir- 
Diare coi raggi R, R, la /{{) è monodroma e continua. In conse- 
fenza: se i ^ un punto nel quale la f{z) è infinita o discontinua 
° è il punto più vicino ad a nel quale la f (z) è pure infinita o 
woltiinua. pei punti z interni al circolo di centro a e dì raggio 
*~b;, escluso il centro a, la f(z) è sviluppabile in un sol modo 
B ieri' ordinala secondo le potente intere, positive e negative, di 

" Dumo a ìt certamente un punto singolare (Vedi n. 149) di 



A 'ri 



414 

una funzione analitica, di cui fa parte la nostra funzione /{{) ; perdiè 

se col centro in un punto qualunque e del circolo (^7-^) descri- 
viamo un circolo che passi per a^ in questo i valori di /{{) vea- ^ 
gono dati da una serie di potenze^ che definisce una funzione analitica ! 
di cui fan parte i valori di /({) in (^,Ri), e per questa fanziooe : 
analitica il punto a è un punto singolare. 

Diremo quindi anche il punto a punto singolare isolato per li { 

fio- 



163. Supponiamo il punto a sia un punto singolare isolato (di 
infinito o di discontinuità) per la /({) ; varrà in un inforno del punto 
a (un circolo col centro in ^ e di raggio \b — a\ se b è il pooio 
singolare il più vicino ad a) lo sviluppo del Laurent. Ora se la parte 
ordinata per le potenze negative di ^ — a è un polinomio di grado 
n, la funzione ha nel punto a un infinito d'ordine n (vedi voi. 1; 
pag. 55) e si dice allora che il punto a è un polo o un infinito 
una singolarità polare della funzione. Invero essendo allora nelFiB- 
tomo di a 



(1) 



/(?) 



B, 



B, 



B. 



? — « k — a) 



(t — «)' 



+ A, + A, (? — «) + A, (? — «)*-!-..., 



dove Bn è certamente diversa da zero, abbiamo 



(2) 



lim k -<,)-/•(?) = B„ 



:=a 



che dice appunto che ^ è un punto ove la /({) diviene infinita ^ 
ordine n. 

Dalla (1) scritta così 



si ricava 

/(O Bn + B„_,(^— «)-!-.. . + B, (?-<»)''-' + Ao(-f — a)"- 



415 



1 



Ila quale sì riconosce che la inversa -y—r- è finita nel punto a, e 

iprìamente nel punto a diviene zero di ordine », giacché 
1 1 _ 1_ 

f/(c) {^ — ay-^K' 

Inversamente, se è verificata la (2), nello sviluppo di /{{) nel- 
Dtorno di a la parte ordinata per le potenze negative di ^ — a è 

polinomio di grado n in . Infatti, per la (2) si vede che 

un certo intorno di a avremo 

k-^)V(0 = B, + cptó, 

ve ^ ({) è funzione monodroma finita e continua, che si annulla 
r ^ = a, ed avrà quindi la forma 

?({)= Al ({ — 4 + A, (^ — tf)« + ... -f-A„ ({ — <?)'•-+-.. . 

siche 



d= 



B. 



+ 



Ar 



({ - ^r ({ - ^)"~^ 



An~l 



-\-An-{-AnJf.i({—a)-\-.. 



Cosi pure si riconosce, senz' altro, che, se la inversa di /({) è 
Bla nel punto a, la /(^) è pure finita in a se 



/(O 



è diversa da 



1 



ro in tf, oppure è infinita di ordine n se la ha in a uno zero 

ordine n. Tutto ciò è in completa armonia con quanto è stato ac- 
nnato nel n. 149 per le funzioni analitiche. 

164. Supponiamo ora che nello sviluppo di fd) nell' intorno 
A punto singolare a la parte ordinata per le potenze negative di 
^tf sia una serie, di guisa che non valgano più le precedenti con- 
derazioni. Cominciamo allora dal provare che in qualunque intorno 
Mnunque piccolo di a vi sono sempre dei punti nei quali \f({)\ 
•pera un qualunque numero positivo B prefissato comunque grande. 
Itero, i' indicando un punto di un intorno di a, consideriamo Tin- 



«rale 



r/(7) dz 

j j-j dove 5 indica una curva chiusa qualunque lungo 



iqnalì |{— tf|<|f' — ^|, poniamo un circolo di centro a di rag- 



VÌK 



<»1 



^. 



»1 



^.'^^ 



416 



^ 



gìo R comunque piccolo, ed il cui sviluppo dà luogo alla serie cd^ 
potenze negative di j( — a. Abbiamo 1 

s 

i 

dove X è il solito numero il cui modulo non supera V unità e l\ 
un certo punto della circonferenz.i s di raggio R col centro in i 
Ora se |/('{)| si mantenesse sempre minore di una certa quaiitità,i 
quindi anche |/(S)|, comunque impiccolisca R, potremmo seropi 



prendere R cosi piccolo che risultasse 



mi)4!<,, essendo e 

' i — i ! 



munque piccolo e prefissato, cosichè, essendo il nostro integrale 

i'f(z)dz J 

pendente da R, dovrebbe essere / , =0, ed allora la funnal 

•' i — i 

S 

/(^) non avrebbe alcuna singolarità in a^ essendo lo sviluppo diqoesf 
integrale che dà le potenze negative di { — a. 

Ciò premesso, osserviamo che anche --— - deve avere nel pflflH 

a una singolarità della stessa natura della /({), altrimenti questa 1^ 
a sarebbe finita; e che anche /(-{) — A, dove A è un numero qo 
lunque, ha nel punto a una singolarità come la / (>{), cosichè ciò i? 

viene anche per la funzione -—— r— Dato quindi un numero poi 

tivo comunque grande B = — -, vi sono sempre dei punti, in un » 

G 

1 ' 1 . 

torno comunque piccolo di a^ nei quali — - \ > — , cioè 

quali l/(i)— A|<a; 

cioè, assegnato un numero qualunque A, e preso un numero qw-i 
kmque positivo arbitrariamente piccolo, in qualunque intorno dclj 
punto a vi sono sempre punti nei quali il modulo della differenaj 
tra il valore che la /({) prende in essi ed il valore A è semprtj 
minore di a ; e si potrebbe anche dimostrare, ciò che qui non pò 
siamo fare, che la /(-{) prende in essi effettivamente il valore A, pff 
modo che i punti nei quali la /({) prende un qualunque v^We A 



v 




u«'.-"i:tje . 4 



417 

i condensano nel punto a, cioè costituiscono un gruppo di punti di 
DÌ j è un punto limite. Vi possono però essere due valori che, come 
imostrò il sig. Picard, non vengono presi dalla funzione in un in- 
)mo del punto singolare. 

I punti ^, della natura ora studiata, vennero chiamati dal Weter- 
frass^ come già accennammo al n. 140, punti singolari esscniiali della 
inzione. Essi erano già stati studiati dal Casorati nella sua opera 
Teorica delle Funzioni di variabili complesse ^ pubblicata nel 1868, 
ag. 430 e seguenti. Il Casorati chiamava questi punti, punti di discon- 
nuità ; le precedenti considerazioni intorno ad essi sono analoghe 
quelle da lui svolte nella citata opera. 

Come esempio semplice consideriamo la funzione 



f7-^=H h 



1.2(^ — tf)« l.2.Z{i — ay 



;he ha una singolarità essenziale nel punto a. Vediamo in quali punti 
lei piano questa funzione prende un valore qualunque r(cos9 + isen9), 
lioè in quali punti ^ è 



cy—^ = r (cos ^ -4- / sen ?). 
Posto ^ = a + «' ? , avremo 

1 Jc— a — i{y — 3) 



\k intero qualunque), da cui 



\ogr + i{'^ — 2k-r.)^ 



- = log r, „—— -r = — cp + 2 ^ ::, 



dalle quali ricaviamo 
^ ' ^ (log rf + (2/fci: - T)' '-^ ^ ^ (log rf + (2/èn - ?)' ' 

1 

ed avremo tutti i punii i'=.x + iy nei quali c\—<^ assume il valore 
''icos^-h/sen ?j attribuendo nelle (1) a k tutti i valori interi; e si 
^ede che, al crescere di k^ questi punti si avvicinano indefinitamente 
al punto ^ = a 4- 1 3. È escluso il valore r (cos ^ + /sen e) == 0, che 

1 
non viene mai preso dalla funzione e'-^ , 

27 



• ' . 



418 



Teorema sulle serie di funzioni. — Considerazioni sulle fun- 
zioni analitiche e sulle espressioni aritmetiche. 



165. Se i termini Un (z) di una serie S Un (z) sono funzioni mmy 

drome continue in tutto un campo C, e la serie è equiconvergenU sul 
contorno s di C, questa è funzione (monogena) nei punti interni 2 
C, e le sue derivate successive si ottengono derivando termine a Ut- 
mine la serie stessa. 

Invero, se ^ è un qualunque punto intemo a C, avremo, pel 
teorema di Cauchy, 



Zr.t I l— ^ 



per CUI 






ma la serie S «n ({) essendo equiconvergente sul contomo 5, e qniadi 

anche la serie S ^ , giacché {' è punto interno a C, a^Te^Ie 

1 { — ^ 

ancora 



oc 



/>S ttu ({) 



Ot .'' 



1 / e — { 



In conseguenza 



OH 



s «n a') 






5 



OD 



Ila 



dalla qual formola risulta che S «n ({') è funzione monogena 

1 

variabile complessa {' pei punti ^' interni a C, giacché, stai " 



• ; - 1 



419 



ce 



continuità rispetto a r' della funzione -, ^ , si ha 

il—O- 

.9 



Inoltre abbiamo 






e quindi 



00 



1 . 2 . . . r « / «/n (^) 






« 



oc 



dalla quale, in seguito alla equiconvergenza di — -j- sopra 5, 



* 



ricaviamo 



ce 



^ ,,,, 1.2... r / -P"^-^) , iy^ 



i66. Da questo teorema risulta subito che, se ^ è un punto in- 
terno a C, per tutti i punti appartenenti al massimo circolo di centro 



00 



a e tutto contenuto in C, la serie S m,, (-{) può svilupparsi in una 

serie di potenze P(;^,tf), che è un elemento di una funzione anali- 

tica, che in quel circolo coincide colla serie S «n ({), e che coincide 

pure con questa in tutti i punti comuni ed interni al suo campo 
d'esistenza ed al campo C, campo che è stato supposto connesso, 
avendo nella dimostrazione fatto uso del teorema di Cauchy. Se ora 

una serie ^Un[i) soddisfa in -più campi distinti Cj, C^,... Cn alle 



420 

condizioni cui soddisfaceva 

sibile che essa rappresenti 

stessa funzione analitica, ma [ 

vale a dire potrebbe anche succedere che in quei diversi campi li 

serie rappresentasse dei pezzi di funzioni analitiche diverse. E àii 

che effettivamente ha luogo, come ora vedremo, e ciò prova che; 

ti 'concetto di funzione analitica (secondo la definizione del Wei» . 

STRASS) di una variabile complessa e il concetto di una dipendi'^' . 

esprimibile mediante una successione di operazioni aritmetiche (esprcj- I 

sione aritmetica) non coincidono intieramente. 

Consideriamo, invero, prendendo un esempio classico do 
allo stesso Weigrstrass, la serie 



(1) 



■ 1 ^ t^ r 



la quale è sempre convergente assolutamente se | .{ | g 1, ed è e 
convergente in qualunque campo tutto interno o tutto estem 
circolo (0,1). Infatti, se [ ^ | < 1, e prendiamo {' in modo che 

1 i i < I ■{' I "^ li abbiamo 

I r I ^ Uh ^^ Iti" ■ 

U^-H-i |- i~ur ^ i-u'i*-' 
I f' I" 

ma la serie S -— r-^— è convercente, perchè il limite del 

porto di un termine al precedente, per n crescente ìndelìnitami 



La serie (1) è quindi assolutamente ed uniformemente eoa 
gente se | ^| < [ {' |, cioè assolutamente ed uniformemente con 
gente in qualunque circolo io , r) essendo r<i\( \, il che prova ci 
assolutamente convergente se | { | < 1, ed è equi con vergente in i 
lunque campo interno al circolo (0, 1). 

Se I { I > 1 e prendiamo {' in modo che sia 1 < | {' i < ! 
avremo 

! 1 I 1^1 1 



Ui "' + - 



'iH'-è-ì ^^^'i^— 



-■ *• 



-;♦•'■ •*?^\ 






e la serie 2 



'"•'"O-tff) 



421 



è convergente perchè il limite del 



rapporto di un termine al precedente, al crescere di «, è 



\< 



<1. 



Si vede da ciò, come precedentemente, che la serie (1) è assoluta- 
mente convergente se | ^ | > 1 , ed equiconvergente in qualunque 
campo esterno al circolo (0,1). 

Nell'interno del circolo (0,1) la (1) è quindi, in virtù del teo- 
rema al n. 165, sviluppabile in serie del Mac - Laurin, la quale è un 
elemento di una certa funzione analitica tt^(^). Se a è un punto 
estemo al circolo (0 , 1) e -{; è un punto qualunque del circolo di 
centro a e tangente al circolo (0 , 1), ma che non contiene questo 
circolo nel suo interno, il valore della (1) è dato da una serie di po- 
tenze di (i — a), che è così un elemento di una certa funzione ana- 
litica Wi (^). Ora le due funzioni analitiche sono distinte completa- 
mente tra loro, perchè la w (;[) non può essere continuata fuori del 
circolo (0,1) e la w^ ({) dentro al circolo (0 , 1). Ciò si deduce dal 
fatto, che noi qui ammetteremo, che se :^q è un punto della circon- 
ferenza del circolo (0 , 1), in un intorno comunque piccolo di {^^ vi sono 
sempre valori di {, il cui modulo è < 1, e valori di { il cui modulo 
è > 1, pei quali il modulo della nostra serie supera qualunque nu- 
mero positivo prefissato ; dal che si trae, ragionando in modo analogo 
a quello tenuto nelP esempio del n. 147, che appunto la w (^) non 
può prolungarsi all' esterno e la u?, ({) all' interno del circolo (0 , 1). 
La serie (1), che converge nei due campi distinti formati dai punti 
intemi e dai punti esterni al circolo (0,1) rappresenta così la funzione 
analitica w {^ nelP interno ed un' altra funzione analitica Wi ({) all'e- 
sterno del circolo (0,1). 

Le due funzioni analitiche w{^^ ^i ({) definite dalla serie (1) 

hanno però tra loro una relazione semplicissima, w{i)z=iwA — j, 

è facile riconoscere. Potrebbe perciò generarsi il dubbio che, nel 
caso in cui una espressione aritmetica, nelle diverse parti, nelle quali 
essa esiste, rappresenta dei pezzi di funzioni analitiche diverse, tra 
queste debba allora esistere una connessione necessaria^ che permetta 
dedurre dalle proprietà di una di esse quelle delle altre. Questo 
dubbio viene completamente a svanire mediante un altro esempio 
dovuto pure al Weierstrass e che passeremo a sviluppare. 



come 






*« 



m 



* ^tMlC^ 



422 

167. Intanto dimostriamo un semplice teorema sulle serie m^ 
diante il quale si potranno costruire quante si vogliano espressiom 
aritmetiche rappresentanti porzioni di funzioni analitiche diverse ('l 

Se fii ^ft^^n^j. . , è una successione crescente di numeri inLn 

X 

positivi y e S^ indica la somma dei primi n termini della serve Su,. 
la serie 



(1) 



X U« -f 1 -\r U« -^-2 + . . . + U^ 

S 



^""r ^-r-f 1 



è convergente ed ha per valore 



è divergente^ ed ha per valore 



1 « > 

se la serie "^u* 

Ui+U2-f-...H-u«j i 

1 1 , . 

u, 4-U4 + ... + U1, S 



S u„ ^ convergente ed ha il valore S diverso da ^ero. 
1 

Basta osservare che il termine generale della serie {1) ^ 
— , per cui la somma dei primi suoi m termini è 



Sn 



S„ 



r+l 



M «M+fJ— JH + ... + M L-W-- — 

[Sn, S„,j [Sn,, SnJ [Sn^^^ S„ ) Sn^ S,^^ 



che al crescere di m ha per limite 



-^— se limS» ^_ — x,cioèscb 



1 



X .11* 

S «^ è divergente, ed ha per limite -^ ^, se la S »« èconver- 

1 Oh. S 1 

gente ed ha per valore S ('). 

Dal quale teorema si ricava subito che: 

Se le Un == Un (z) sono funzioni della variabile complessa z i ^ 



{}) Vedi una mia nota: Sulle espressioni analitiche rjppresentaati p ^^ 
di funzioni analitiche diverse. Rivista di matematica, anno 1895. 

(*) Per fi, = 1 , «r-hi =■ «^ 4- 1 = » -|- 1 si ha il teorema contcnut oe^^ 
esercìzi 2°, 3** a pag. 252 del voi I. 






423 






serie S u^ (z) è convergente e vale S (z), diverso da ^ero, in un campo 
1 

C, ed è divergente nei punti non appartenenti a C, e nei quali i suoi 

termini hanno tutti valore determinato^ la serie (1) rappresenta una 

porzione della funzione analitica 



u, (z) + u^ (z) -h . . . + Un^ (z) S (z) 
ftei punti z di C ^ e una porzione della funzione analitica 

— — -— — — fuori del campo C. 

U, fz) -h Ug (z) + . . . Mn^ (z) 

Ad esempio : partiamoci dalla serie geometrica 



.* f.N 



«£ 



i' 



8 1^ _J^ ^«— 1 



i+^+r-i---- + 



1 — T** 1 

ed osservando che Sn =: -^ ^^— , S (?) = ^^ se 1 ? 1 < 1, e che la 

1—^ ^^' 1— { ixi^' 

serie stessa è divergente se | { | > 1, si vedrà che la serie 

'•=1 (l_;^"r)(l-^V+l) 



vale 



n-c+f +.-. + { ' 



e vale 



1 



ancora la serie 



n.-l 



-^ se I { I > 1 , e quindi 









^ #/:'• 



I 



3c r r 111 r r-i 1 r 



S - 



(1-t 



) 



-1 (1 - {') (1 - C"-+1) 



rappresenta la funzione 



i-t 



se I { I < 1, cioè neir interno del 



circolo (0,1), e la funzione se |.(| >1, cioè all'esterno 

i' (1 — {"') 
di detto circolo. 



•k'.'J 



m 



iZ'-y.f^- 






424 



In particolare, per «i = 1, «r-f-i = 2nr = 2'*, si vede che la sene 



— I i: f. ^ 



vale 



1-f l~c' 1 — {* 



se I { I -^ 1, e vale 



+ ...+ 



1 



^'■-^-1 



1-^^ 



1^, -'- -— ,(i_,y-l^l>' 

Da quanto precede si deduce subito che le serie 



n„ . ,— w. 



.r-1 



1 — {"1 ~r l(l_^"r)(,_^«r+l) ' l-C r^l^»'-l 



F4^ 



Kf' 









hanno per valore + 1 nei punti ^ interni al circolo (0 , 1), e pei 
valore — l nei punti { esterni a dettò circolo, risultato dovuto, in 
altro modo, al sig. J. Tannery. Indichiamo con T(;() una espressione 
aritmetica dotata di quest'ultima proprietà, la cui esistenza è ora pie- 
namente provata. 

i68. Ciò posto, leghiamo tra loro la variabile complessa { cùz\ 
un'altra variabile complessa {i , che potremo rappresentare georae-| 
tricamente nello stesso piano complesso della variabile { o^ per mag- 
gior chiarezza, in un altro piano complesso, mediante la relazioctj 
lineare 



(1) 



__ a ^1 + 3 



r{i 



essendo a , (3 , y ? 5 costanti qualunque, tali però che il determinante 
a 5 — 3 Y sìa diverso da zero, altrimenti — ^^ sarebbe indipef>- 



e 



.dente da j^^. 

Nella rappresentazione conforme del piano delle :^ sul piano delkl 
{i, che si ottiene mediante la sostituzione lineare (1), ai circoli di ue 
piano corrispondono nell' altro pure dei circoli, considerando la reni| 
come caso particolare del circolo. Invero si abbia il circola ce 
piano delle ^ , 



dove a^b^Cyg sono delle costanti reali. Indicando con A* il hl 



leio 




425 

KBpiesso coniugato di un numero complesso A, ed osservando che 
iora è 

f f t 

X -hy -^l.x^ 2 '■^"" 2/ ~ 2 ' 

h equazione precedente può darsi la forma 
sia 

rendo posto B = è — /^, ed è questa la forma generale deli'equa- 
one di un circolo, espressa per le variabili -{ , ^', dove osserviamo che 
coefficiente di ^^' ed il termine indipendente da ^ sono reali, e i 
^efficienti di { e ^' sono complessi coniugati. 

Sostituendo ora a { il valore (1) nella (2) e notando che 

%' "* -4- 3' 

— ^^ —, la (2j si trasforma nella 



• \ l 



^) ^1 il 11 -+- B, ^j + B'i ì^ -f- ^1 = 0, 

Bendo 

<ji =: ^ a a" 4- B a r' -h B' a Y + ^ Y y', 

B, =: « a ?' + B a e' + B' il' Y + ^T e', 
B'i = ^ a 3 + B a' s -h B 3 y' + ^ r' 5, 

, poiché ^1 ,^1 sono reali e B, , B', complessi coniugati, la (3) rap- 
vesenta appunto un circolo nel piano delle ^i 

Si riconosce poi anche subito che ad ogni circolo del piano ^i 
»rrisponde un circolo nel piano ^, giacché dalla (1) ricaviamo 

:he esprime ^i linearmente per {. 

I rapporti di tre delle costanti a , ? , y » 8 alla quarta si potranno 
tempre determinare in modo che a tre punti « , z; , tt> del piano ^ 



►*•>-' 



fc'^ 



['!«• • 



% 



426 

corrispondano tre dati punti «, , t?, , Wi del piano delle {j. Se nelli 
formola (1) si pongono successivamente per ({;,{i) le coppie {«,«.1 
(v , v^) , (w , z(;,) si hanno tre equazioni che servono alla determiiu- 
zione di tali rapporti ; ma facciamo più presto a stabilire la rekzioae 



^ — v 



W — V 

w — u 



«. w. 



Ci — ^1 



w,-u. 



tra ;f e ^^ che è lineare in { e {^ ed è appunto tale che ai punti : 
u^v yW corrispondono i punti «j , r, , zcJj j 

Far corrispondere a tre punti del piano ^ tre punti dati del pia» j 
{, equivale nel nostro caso a far corrispondere ad un circolo del 
piano { un dato circolo del piano ^^^ , 

Possiamo inoltre fare in modo che ai punti interni ad un àt- 
colo A nel piano { corrispondano i punti interni ad un dato circolo 



Aj nel piano ^j. Invero se -{=: — 



h 



è la sostituzione per la qoile 



ai punti della circonferenza di A corrispondono quelli di A^, sega 
ai punti interni di A non corrispondono gli interni di A,, fareno 
la sostituzione 



ti — ^i = 



K' 



^« — ^1 



dove ^i,R indicano il centro ed il raggio del circolo A^. Invili 
di questa formola al circolo A, nel piano delle j(^ corrisponde i 
circolo A, dello stesso raggio nel piano delle j^^ e dì centro ^ii 
perchè se |^^ — «J = R avremo ancora |^, — ^j^l = R , ed ai p«* 
esterni al circolo Aj corrispondono i punti interni ai circolo A,, 
perchè se |^i — ^ij|>R risulterà |;{, — <iJ<R. In conseguenza il 
sostituzione 



_ aR« + 3(^,_,,,) 





n lo 




a 1 |3 


\ 


R' 

T —4- « 



^^'-hH{2 — a,) 



{2 — ^1 

ossia, scrivendo ^^ in luogo di ^,, 



_ Ji ^ f+- g R' — 3 ^i 



w^ 



427 

fa corrispondere ai punti della circonferenza di A quelli della cir- 
x>nferenza di A„ ed ai punti interni al circolo A i punti interni 
il circolo A^. 

Siano ora dati i circoli Aj , Af , . . . A^, nel piano delle {, tutti 
sterni tra loro, ed indichiamo con Aq la parte del piano esterna a 
atti questi circoli, e siano arbitrariamente assegnate le funzioni ana- 
itiche /j, (^) , ^i (^) 7 . . . ^n {{) tali che U ({) esista almeno nel campo A^. 

oi z — |— 3 , 

Sia z, :=■ — — la sostituzione mediante la quale ai punti 

nterni al circolo (0,1) nel piano ^j corrispondono i punti interni, 

— ) ha per 

calore 4- 1 nei punti interni, e — 1 nei punti esterni al circolo A^, 

perchè è — ~ <1 oppure >1 secondochè il punto ^ è in- 

emo oppure esterno al circolo A^. 
Formata ora T espressione aritmetica 

» 

i vede subito che questa ha per valore t^J^i) nel campo Aq, e ha 
•er valore ^i ({^ , ^j (0 > • • • ^« ({) ^1^' interno rispettivamente dei cir- 
oli A^ , A, , . . . An ; e questo è l' esempio generale del Weierstrass, 
ui avevamo accennato alla fine del n. 166. 



5 






. V 



rj* 



Residui. Calcolo di alcuni integrali 



169. La /(^), funzione monodroma in un campo C di cui s sia 
I contorno, abbia dentro ad esso le singolarità polari o essenziali 

Descritti col centro in questi punti dei circoli 5j , 5, . . . 5« interni 
I campo e racchiudenti ciascuno la sola singolarità che è nel centro, 
vremo 



i; 



f/(0 di = 1/(1) di+j/(i)di+...+j /il) di. 



y. Il 






.iP. 
A'-' 



s^ 



428 

Calcoliamo uno degli integrali del secondo membro, poniamo il primo 

fi^di. In un intorno di a abbiamo lo sviluppo 



/ 



/({) = Ao + A, (^ — «,) + ... + 



B. 



+ 



B» 



? — «. (-C — «i)* 



ed in conseguenza 



|/(0i{ = B,[-^Ì-=2^,-B,, 



ed analogamente per gli altri. 

Cauchy chiamava residido della /({) relativo al punto singolart 

a, il coefficiente di nello sviluppo di /(^) nel!' intomo del 



punto singolare a^ ; vediamo così che il residuo relativo ad Jiè 

essendo a una curva chiusa qo>- 
' t — "i 



Uguale air integrale — — r / — - — < 

2nt J { — a^ 



lunque appartenente all' intorno di ai e racchiudente a^ ; e vedianio 
ancora che questo integrale è nullo se manca il termine in 

in detto sviluppo. La formola (1) ci mostra che — — 7 l /ii)^ ^ ^ 

s 

guale alla somma dei residui di /({) relativi ai punti singolaà *' 
numero finito, che la /({) ha dentro al campo il cui contorno è x 

170. I teoremi di Cauchy sugli integrali e sui residui sono speso 
utili pel calcolo effettivo di alcuni integrali definiti e per quello defi» 
somma di alcune serie. Diamone alcuni 

Esempi 



K 



1) Si voglia calcolare il valore di /— ^ r"^^> ^^^^ ' ^ 

' e ' I " X 



n- 



- oc 



riabile reale, a e e sono reali e a>0. 
Consideriamo la funzione 



cos (^ ;{) + / sen (a ;{) e'^y 



429 



Jove :^ = X + i^. La /(f) diviene infinita nei quattro punti 

{ = ce'' * (>^ = 0, 1, 2, 3). 

Consideriamo il campo limitato dall' asse delle a? e da un semi- 
:ircolo 5, al disopra di questo asse, di centro zero e di raggio b 
iestinato a crescere indefinitamente. 

Dentro a questo campo la f{^) ha i due punti di infinito 

ITI . 37t 

\z=ce '^ ^ C2=^ ce * , cosichè avremo 



2) 






love Hi . jie sono i residui di /({) relativi ai punti ^i , ^e ; e questa 
òrmola sussiste per quanto grande sia b. Ma al limite, per b cre- 
cente indefinitamente, il secondo integrale del primo membro è zero, 
nvero, posto >{;=:^^'0, è 



it 



'Z 



M 



be'^ ^wò(tos0-f rsonO) d^ ^ Che ^^ *^"0 tf'^^'' cosO+O) d^ 



b*e*^^ 



__ . fbe ^^« 







(cos4 0+/sen4e)' 



id il modulo della quantità sotto il segno integrale è 



be—^^ ^^^^ 



< 



'-!-**( cos4e+/sen 4e)| ^ab scHey^84.^_l_2^<^< cos 4^ ^«^^sene b^\/b*-2c* 

1 
< 



*y^4__2c* 



[uantità che può rendersi piccola quanto si vuole prendendo b suf- 
icientemente grande; cosichè il limite dell'integrale è zero. 
Calcoliamo adesso i residui [i, e fij. Osserviamo che 






r 






.*•••;? 






« 



vi 



che sviluppando -^ ^ in frazioni semplici è 



1 



1 



c* + i^ 4^j3 ^__^^ 



<i) 



430 



dove 9 (0 non contiene potenze negative di { — ^i, cosichè il coef- 

1 . , e'^^ 
ficiente di — ■. nello sviluppo di —z r nell'intorno di ti.ciae 



giaci 

|i,, è — — ;r-, ossia 



4c 



3 > 



V- = 



^/flc(cos-^-f /scn^) 



e 



V2 



371 



4^f cos 



^sen 



3r. 



) 



V2 



(«-1) 



Analogamente si trova 



V2 



|i, = 



4 r 



\/2 



= (1 + 



e quindi 



ac 



t tac -^tac 



„V2 "V^h"^^ e 



^ + f^«=4^^ 



-h 



1-1 ' 1+/ 



■4(;« "^ 



(ac ac\ 

cos — ir + sen — r l. 
V2 \ '2 • 



Passando al limite nella (2) per b infinito, ed osservando che 
primo integrale la -[ è la variabile reale x, si ha 



00 






I 



*cos(ax}-\-i senta x) . ^ e 

— -dx=z — ::: - 

V2 



—ac 



c*-hx* 



a e i 

cos — - -\- sen 



\/2 



rH 



00 



da cui 



. rsen {a x) 



/ . — — ^A? = 0, e 



— X 



rcos(^ x) dx 



Tz e 



— ae 



— « 



V2 



,.3 



/ ac 

( cos — :r + sen 

^ \/2 



V2 ^^ 



Ì'cos(ax)dx 



."•/ .e <,c\ 

— T-) cos — ; -I- sen — - I, 

2) Gli infìniti della funzione monodroma ^ — sono nei punti 

= i", dove i è un intero qualunque. Per determinarne i residui 

«rviarao che, dall'essere lim — — ^1, abbiamo, in un certo in- 

; sen \ 

■no di ? =: 0, — - — =: 1 + A, ? + A, f' + A, ?* + , e poiché 

^ sen^ ri i »i 

■ — non cambia valore cambiando {in — {, dovrà essere A, :^ 0, 

1 = 0,., . , cosichè 

= +A,H-A^{S + .., 

sen^ < 

da questa 

1 

n'{~ 

Mcando il termine in — — ; — nello sviluppo dì r — in un in- 

^ — kr. " sen' { 

^o dì 7^:jt:c il resìduo di r — relativo ai suoi punti di ìnfi- 

sen' j 

lo è zero. In conseguenza, se 5 indica una curva chiusa qualunque, 

t>e non passi per alcun punto di infinito, è / — 4—^0. Si ricava 
' ; sen' ì 

^ cìi) che / j— è funzione monodroma di {, perchè qualunque sia 



-■ - - 



432 

la linea di integrazione da {^ a { il valore dell'integrale è sempre; 
lo stesso, cioè 

r ^^ _ 



/ — \- = cot { — cot io . 



'0 



3) Si voglia il valore dell' integrale 

I = -g^ f /^^^ i^ ~ "^"^ di, (m intero positivo). 

esteso alla curva chiusa 5, sulla quale e nel cui interno la /i{ì è 
monodroma finita e continua, e che racchiude i punti {' ed &. 

Osservando che la funzione sotto V integrale diviene infinita ne 
punti ^' ed <j , avremo I = ji,» + }^a, dove ji,» e v^a indicano i reskiii 
di detta funzione relativi a ;^' e ad a. Calcoliamo questi residui. 

Nell'intorno di {' è 



/({)=/k')+k-0/'(0 



• 5 



/(f -^n+/'(0+^V#/'k') + 



^-ì i-ì ■- -■ • 1.2 ' -•■ • - •• 



• y 



\l-ar -'-^'^ ^' (i'-<»)^ 

quindi t»v=/(i'). 

Neil' intorno di a abbiamo 



111 1 



h+I^+lL=4+... 






^ 



(i — dr 

quindi il coefficiente di nello sviluppo di Try '^' 



r^ 



433 



ossia \ia, è uguale a 



(?'-«)%.,. ^. . k'--»)"-^ 



j /W4-(c' - «)/ w+^l^/"(.)+...+ 1^15^/ « - '. (-) 



In conseguenza 



dalla qual formola si riconosce anche che I è il resto della serie del 
Taylor, secondo le potenze di ;[' — a^ troncata al termine w**'™® , rela- 
tiva alla funzione /(^'). 

4) Si voglia la somma della serie 

sen a 2 sen 2a 3 sen 3a 4 sen 4a 



1«4_X2 2' + X* 3«H-X« 4« + 5L« 

A tale scopo cercheremo una funzione che diventi infinita in 
infiniti punti coi residui uguali ai termini della serie, ed allora il 
limite dell'integrale di questa funzione esteso ad un contorno che 
ingrandendosi continuamente finisca per racchiudere tutti quei punti, 

moltiplicato per — — r, sarà uguale alla somma della serie. Nel nostro 

caso si trova facilmente questa funzione di ^; essa è la funzione 

,,,,,, — Ti che diviene infinita nei punti 7 = 1,2,3,4... 

coi residui assolutamente uguali ma di segno contrario ai termini 
della serie, ed inoltre diviene infinita nei punti iX e — iX. Prende- 
remo come linea di integrazione un contorno s formato da due rette 
parallele all'asse delle x condotte pei punti jy = hyjy = — //, dove h 
è numero reale positivo qualunque, da una retta parallela all' asse 
delle y condotta pel punto x =: h (e gioverà assumere allora 

h=in -i- yy n intero positivo), da due semicircoli descritti con 

<«/ 

centro nei punti ^ i=: X, ^ = — X e di raggio e, e dalle tre porzioni 
di asse delle y comprese tra questi due semicircoli e tra essi e le 
rette parallele all'asse delle x. 

Integrando lungo questo contorno, lasciando l'area da esso rac- 
chiusa a sinistra, e facendo crescere indefinitamente li (facendo cre- 

28 



ìt. 



K 



1 ' 

scere «), l'integrale moltiplicato per — — r è uguale a w^wo la somma 

2*t t 

della nostra serie. 

Ora la parte di integrale, che si riferisce alle parti rettilinee di 

contorno sull'asse delle/, è zero, perchè essa è, posto {^iy. 



X+s 



y sen (a iy) dy 







X-fe -A 



y'^ + ^') sen (^ iy) 



^iy) I I 1 



X-8 



~X-s 



somma che riconosciamo subito essere zero cambiando y in —y nei 
due ultimi integrali. 

Supponendo a compreso tra — ^ e tc (esclusi rbr) si vede anche 
che sono zero gli integrali estesi alle rette parallele all'asse delle x, 
quando si faccia crescere h indefinitamente. 

Poniamo i = x-\-ih e dimostriamolo per l'integrale 







// 



■"j[(;.+/A)*+X^sen[7r(;t+/^T] ""j[(;c + /A)*i 

h {) 



gixoL ^ - aA _ ^- l'Jra ^W 



-j-X'] ^«Jfr:^-7:A-^— fxi:^"^ 



che è zero se a = 0. Se a è diverso da zero, osserviamo che 



X -f- /// 



(^ + //,)«4_;J 



v^* 



r< 



A\/2 



\/(x^ — A« + X«)« + 4/1 V ^* — ^ 



? » 



< 



cosichè 



gixQL ^-aA _ 


- ^' 


tXfX 


gT.h 


^t'ATTC ^-~// — 


-^- 


-ÌXK 


enh 


^/^-2a//-|_ 


^2a// _|_ 


2 _ 






-2aA _|. ^2aA _ 2 COS 2 a a: 



2r.A 4_ ^2iiA — 2 cos 2 TC ;r 



gOLh 



—a A 



1 + <r-2a* 



^ -27:A _|_ ^2ruA — 2 



.TiA — g—nh ^A(5:— a) 1 — ^— 2i:A 



A«V2 



' ^ A« — X ^A(7t-a) 1 _ ^2;t/; J ^ — ^i»^ 



1 



1+^ 



ttk 



X« ^ACi-a) 1 -g-^^ 







Al crescere di h l'ultimo termine ha per limite l'unii se 
a>0, il termine ^, ^^ ha per limite V^ ® ì^ termine --p -^ 



h* — X« 



^ 



nr^ 



rv: 



435 
ha per limite zero se a > ti. Ed allora lim 1 = 0. Lo stesso si pro- 

verebbe, in modo analogo, se a < e | a | < ti. 

Ed analogamente ancora si proverebbe che è zero V integrale 
esteso da a — A, quando h cresce indefinitamente. 

Consideriamo ora, posto ;{ = A -h i^, l' integrale 



I 



""7 IWi-^ivY 



{h -j- 1 » sen [(A + 1» a] 



—A 



P + /»« + y^^\ sen [n (A 4- iy)] 



ày. 



1 



dove /r = « 4- —, e facciamo poi crescere h indefinitamente. 
Osservando che sen r,{h-\- iy) ■=. ( — 1)» cos (t iy) e che 



h + iy 



abbiamo 



< 



AV2 



< 



K\J% 



< 



V2 



y(/,«_y_f.x*)'+4Ay V(A'— y)«+4Ay * ' 



> i7' 






j. \/2 rVgV°^+g-'-^y«--2cos27fa _2V2r 



2y2rye^y^+e-^y^-2cos2hci 



^TZy -^ ^— ^^ 



^ 



~A 






< 



2V2 Cey^-{-e-y^ 



I 



lì J e^'^ + e-y^ 





r;;r4v, 



e poiché, come facilmente si riconosce, ha valore finito V integrale 



f 



gyy. -^ e "y^ 

— — dy se OL è compreso tra — « e ti , si vede che si potrà 



ne 



-he-y^ 



rendere | Ij | minore di qualunque numero positivo prefissato pren- 
dendo h suflRcientemente grande, cosichè lim Ij = 0. 



h=.ao 



Rimangono perciò solo i due integrali relativi ai due semicerchi; 
posto jj = iX-f-E^®' Tuno di essi è 



(3) 



2 



*\lui 



(x X + a^^O sen [a (ix + se^^)] 



[(/X + e^e^y -h X^ sen [ii(iX+ g^e/)] 



e^' A, 



.■5 



•1 

3 

.5 



436 



e l'altro si ricava da questo ponendovi — ix in luogo di ix, 

quale ultimo integrale, cambiando in esso B in -f- ti, i limiti si cas- 

^ 3« 
giano m — e — e la quantità sotto il segno diviene quella 

^ <^ 

dell'integrale (3), cosichè la somma dei due integrali risulta 



3n 



'v/m 



(iX -J- e««0 sen [a (iX -+■ e<?«')] 



-40 



se^iy 4- x«] sen [n (ix + E^ei)j 



e^^d^y 



che è uguale a — 27ii moltiplicato pel residuo della funzione 
, , , .r- — %-, — r-* relativo al punto tzzzìx^ cioè è uguale a 

sen(a;X) 
— 2t^ì- : — :— . Avremo dunque infine 



2 sen (ti i\) 
1 / 5^;(Sen(a^) 



;•/ 



2'^iV({*-f-X*)sen( 






. sen (ai X) 

I . 

2sen(it/À)l 



2 t'" '^^^ — ^"'^ 



e quindi otteniamo la somma della nostra serie, cioè 



TC e — *X — ^ax 



2 ^-r.X — ^TtX 12 + X« 2- + >^* 



sen a 2 sen 2 a 3 sen 3 a 4 sen 4 a 

- n • • • • 



X« 



4*+X= 



valevole se — :ù<a<7t e qualunque sia il numero reale X. 



Esercizi 

1. Se /({) è funzione monodroma finita e continua in un cirook 
di raggio R e di centro >(y, il contorno incluso, ed M è il massimo dij 

|/({)| lungo la circonferenza del circolo, allora è |/*({o)I<^ 57' 

dove, se « = 0, cioè per la /({;o), si intende che 1 . 2 ... « si ridnf 
ad uno. Dal che si deduce subito il teorema, di WeUrsira$%: 
R<Ri, essendo (^ , Ri) il vero circolo di convergenza della 

2^«(^ — ^Y' ^^ ^^ indica il massimo del modulo della sen- 



punti della circonferenza del circolo (<? , R) , è | tf,, | R" < M 

ff:=0,l,2,3,... 



F^ 



43T 



2. Se /(;f , u) è funzione ad un sol valore finita e continua 
delle due variabili complesse ^ , u pei valori di { appartenenti ad 
un circolo di raggio R e di centro ^^^ e pei valori di u di un cir- 
colo di raggio R^ e di centro Uq , i contorni inclusi, ed M è il mas- 
simo di |/(^,«)| per qualunque coppia di valori di { e 1/ delle cir- 
conferenze di quei circoli, allora è 



a-^'-ZUc^o) 



dCdu 



m 



<(1.2...«)(1 .2...W) 



M 



R"Ri 



m 



3. Si provi, facendo uso del metodo ora seguito al n. 170, che 

, dove X ,a^o sono quantità reali. (In 



/ x^ ax 



{x* -h ««) (*• + *«) ^ + * 



— X 



questo esercizio e nei seguenti a^òyC, indicheranno quantità reali, 
x^y variabili reali, ^ variabile complessa). 

4. L'integrale J-^^—^, 



(f+l) 



esteso alla circonferenza del 



« I 



circolo x'^ +y —2x — 2>' = e uguale a —-. 



00 



/sen ^vV 
dx (Vedi pag. 204). Perciò si 



integri la funzione 



^OJri 



lungo il contorno della mezza corona cir- 



colare, al disopra dell'asse delle x^ limitata dai circoli ;r* -4- j^* = R*, 
«* -f- ^* = r*, facendo poi crescere R indefinitamente e convergere 
r 2l zero. 

6. r^-p«no cos ( p cos e) Je = 2it , / ^psene sen fp cos e) ie = 0. 

b 

(Si integri la funzione lungo il cerchio di raggio | p 1 col cen- 

tro nell'orìgine). 

In modo analogo si trova 



2TC 



2n 



/^-Pcostt cos (p sen e) rfe = 2ii, p-Pco*e sen (p sen e) rfe = ; 



iS^i 



i 



.V 



•V 'V 



-"*! 



■ ■♦.-. 



1. 



1. 



.'■tilt 






3<* 



&y' 



U 



w 



H" 



*, 






438 

e generalmente, se « è numero intero, 

(o 



/^pcosflsen(fsene+if«i)*:0. 



se«<0, 
( - 1)« . r^ se « = 2m 



271 i^ ^' 1.2...» 

Lpsene cos (p COS -f- «9) rfo = . 








27C 



/• 



^Psenesen(pcose + «e)^0= ^(~ !)"• 



27:p' 



» « = 2«i + 1, 
» «<0 , 

se « = 2w , 

» « = 2i» + l7 



1 .^x.^ 

» «<0. 



7. Se /({) è funzione monodroma finita e continua nel circolo 
di raggio uno col centro nelP origine, si ha, essendo a quantità anche 
complessa, 



271 






/m 



rdf) = 



J 



2«/(0) 



se \a\<l 



ae 



|2n[/(0) -/(!)] .. \a\>\. 



In particolare 



2tr 

/t 



^j ^j 25t se |<i|<l 



Si ricavi, se a è reale, 



21t 



/ 



1 — a cos e 



JG = 



^2« se 



1 — 2^JCose-j-^2 ^^ ^ |tf |>l,^'l— 2^icose-h<»* 



1/1 



sen 6 Je 



= 0. 






i — 2^i^~^ se a > 



» a<0 



da cui si ricavano It for- 



r- 



>ff'.. 



mole altrove dimostrate (Vedi pag. 256) 



X 



ì 



U 



cosxdx Ttr-^ 



2a 



rxs 



Asserì xdx 



x^ 



tU-'^ 



2a 







439 



..>j 



(Si integri ]a funzione -r 



lungo l' asse delle a- da — R a 

ta — ^ 

-|-R e lungo il semicircolo di raggio R col centro in ;{ = e si 

faccia crescere R indefinitamente; l'integrale lungo il semicircolo è 

zero, e per provare ciò lo si riduca ad un integrale in esteso da 

a ---, e poi questo si spezzi in due uno da a e l' altro da s a 



f) 



21 
■j, 



/' a^ cos* x+ ò^ setr x _ a^ù 

—- ~ — dx = n—- 
c* cos' X -^(T sen* x cd( 



a'd-A-bh 



dy 



n 

2 



/2* cos z I h' sen z 

(Si integri la funzione -r —" ~ r-^ lungo il contorno del 

c^ cos* { 4- ^ sen* { 

Il TT 

rettangolo i cui lati sono ^ = 0,^ = /r, x=. — , x= -— ^ si os- 

servi che sui lati x = — /— - , xr=:-^ la funzione integranda prende 
gli stessi valori, e si faccia crescere h indefinitamente). 

e-(a^rib)xxn-\dx=- ^-^TT- , «>0 , «>0, che com- 

(a + 1 bp 



prende come caso particolare la nota formola 

OD 

r(«) 



f 



e-ax X^-^dxzzi 



a' 







(Vedi pag. 260). 

(La funzione c^ ;{"— i è monodroma finita e continua nel campo 

limitato dalle rette ^ = 0,^ = — x e dai circoli ;v* + ^* = R' , 

** H- J'* ^r r* , e situato nel primo quadrante degli assi. Si integri 



Vi 



il 



V.- 



440 

lungo il contorno, facendo poi crescere R e decrescere r, indefinita- 
mente). 

Si ricavino le formole 



/* r (n) cos I n are tg — j 
^^ax ^u-ì cos òx dx z=z — 

* r (n) sen / n are tg — i 

I e^^^ x^—'^ sen bx dx = 

'o (a^ + b')J 

ovvero 

00 

r ^ n / N 1 ^ r(«)cos«o 





oc 



1^- P-^cosG sen (p a: sen e) ;c«-i dx = — i^ 



r («) sen nH 



n ' 





dove p>0 e — -~<®<-^. 

00 

11. Ie-ia+it>^'x^dx= ^/- ;.. , ^>0, 1*1 <^, 



da cui 

'o 

12. Sii 1=/ , l'integrazione essendo condotta lango 

j 2 — cos{ 

la retta y = a; allora I = 1^ se - log (2 +V 3") < « < ;iog(2-^■3l: 

V3 

1 z:r -^ se « < — log(2 + V^ ) , o se a > |log {2 — yl 
V3 




441 



13. La somma della serie 



sen a 2 sen 2 a 3 sen 3 a 4 sen 4 a 

1« — X* 2* — X« "^ 3« — X* 4* — X« 



~t" • • • > 



love X è numero reale qualunque non intero positivo e — « < a < «, 
w sen (a X) 
2 sen(KX) 

1 sen 2 a sen 3 a sen 4 a 

14. -. = sena 2~ + ~3 4~ + "- 

love — « < a < 1^. 

15. Seguendo il metodo tenuto alla fine del n. 170 si provi che 



4 "^ "3 "*""5 7 



9 



442 



lY. Equazioni differenziali. 



Integrazione delle espressioni differenziali 
con due o più variabili. 

171. Consideriamo la espressione differenziale con due variabili 
indipendenti x ^y 

(1) M^jr4-N^^ 

dove M=:M(jf,^), Nr=iN(*,^) sono funzioni continue di *,/, in- 
sieme alle loro derivate prime, in un campo C. Se esiste una funzione 
ui^x^y) il cui differenziale totale du eguagli nel campo C la esprts- 
sione (i)y si dice ciie la (1) è un differem^iaU esatto o che è intt- 
grabile ; la u più una costante arbifrarìa oe è allora P imt^raU fp» i 
rate o completo^ o la primitiva generale completa ; ed integnre ^ 
la (1) significa appunto determinare la funzione u tale che sia 
du :=:M,dx-\-^dy. 

Ma non sempre esiste l'integrale della (1)^ ossia non sempe 
la (1) è un differenziale esatto. ÀfHnchè ciò avvenga è necessario e 
sufficiente che le funzioni M , N soddisfacciano in C alla relazione 

(2) 3M aN 



'èy a* 

Invero, la condizione è necessaria^ perchè, ammessa l'esisteon; 
della u tale che 

duz:^ — dx-^^dy = ^\dx + ì^dy, 

dx dy 

cioè tale che = M, = N, abbiamo, da queste due nltinc 

3* dy 

eguaglianze, = , = ; ma 1 secondi memW 

'èx'èy dy dydx dx ' 



p^ 



443 



sono funzioni continue di x^y^ per ipotesi^ quindi le derivate nei 
primi membri sono uguali in C, e perciò = 



dy dx 

La condi:{ione è sufficiente, cioè, supposto verificata la (2), ve- 
dremo ora che esiste una funzione u di x^y tale che 

(3) -^ = M, -^ = ^. 

3 * dy 

Infatti, costruiamo la funzione di a:,^ 



u = \}A{x,y)dx + ^(y), 



^> 



dove i punti (x ^y) appartengono a C ed j^q è tale che i punti (x^ ^y) 
che vengono considerati appartengano pure a C. Questa funzione, 
qualunque sia la /unzione ^{y) di y^ soddisfa, come si vede, alla 
prima delle (3). Ma potremo determinare ^{y) in guisa che essa sod- 
disfac^a pure alla seconda delle (3), giacché, essendo 



X 



du fdM(x,y) j ,, ^ 



dy J dy 



•^0 



ossia, per la (2), 






dy ' dx 



X. 



basterà assumere r^{y) tale che sia 

9'(^) = N(*'o,^). 



cioè 






^*r^ 



444 

Perciò la funzione 



(4) «= / M(;v,^)</rH-/N(A-o,^)i^H- costante 



^0 



od anche 

X y 

(4)' u^JM(x,y)dx+jìi(x,,^)dj^ 



! -^0 '"O 



soddisfa la (3), cioè la (1) è un differenziale esatto e la (4), o (4)', ce 
è r integrale generale. 

Si intende poi senz' altro come, se ci partissimo dalla funàoK 



M z= / N(Af , J^) d> + c|; (^) 



V 
- 



che soddisfa alla seconda delle (3) qualunque sia ^{x% si potrebbe,! 
procedendo analogamente, determinare la ^(x) in guisa che esa 
soddisfaccia anche alla prima delle (3), ottenendo cosi T integrale 
sotto l'aspetto 

(5) i^=^ l^{x ,y)àx + 1 M(x ,j}fQ)dx-\- costante, 



■\ 



od anche 



(5)' u=fì!i(x ,y) dy+{yi(x ,y^\ dx. 



'\ ^0 



È quasi superfluo notare che due integrali qualunque dellj(tt 
non possono differire tra loro che per una costante giacché hanno b 
stesso differenziale totale Mt/* + Nd'^. 

Notiamo ancora che se {x^ ^y^) , (* ^y) sono le coordinate (" ; ^ 
punti qualunque Wq ,nt di C, ed Sj , Sj due linee di C che un con» 
questi due punti e tali che nella parte di piano C^ da esse li ùtfl 
non vi sia alcuna parte del contorno di C, allora, indicane* • e* 



445 
I l'integrale da m„ ad w lungo la linea s, in virtù della for- 
ila di Gauss dimostrata al n. 113, è 

(si) [{Mdx ■+- N J» = (j.) / (M^ + ìidji} . 



conseguenza, se si suppone ìl contomo del campo C sia di 
>ezzo, per modo che tra due linee qualunque di C che uni- 
ue punti qualunque di C non vi possa essere alcuna parte 

torno, il valore dell'integrale 1 [Mdx~\-ìidjf), se Mdx + ìidy 

fferenziale esatto, è indipendente dalla linea di integrazione, 
i e quindi una funzione monodroina di x ,ji nel campo C. Essa 
tÌDcide colla funzione u data dalle formole (4)' , (5)', perchè, pren- 
Eodo per linea di integrazione da m^3.m la spezzata formata dalle 
rtte Y ^^at X = *, ed essendo sulla prima dy ^0 sulla seconda 
«; = 0, si ha 

j {tJidx + ìsdy) =ÌM.{x,y^)dx+ì'Ìi{x,y)dy; 

itegrando da Wg a m lungo le rette X^^*,,, Y ^:y, si ha 

j {M<J*4-Nrf^)= / N(:r, ,yj dy -i- j H{x , y) dx, 



secondi membri coincidono con quelli delle formole (ii)' , (4)'. 
iassumendo abbiamo : 



J 



■ r 



446 

5^ M , N sono funzioni continue insieme alle loro derivate prim . 

in un campo C , la condii^ione necessaria e sufficiente affindù ' 

3M 9N 
Mdx + Ndy sia un difieren^^iale esaito è -^ = — ; e quando quisk 

è soddisfatta V integrale della precedente espressione è^ se il cantùm 
del campo è di un sol pe^^o, la funzione di x ,y 



Ix + Ndy), 

(^0 -ya^ 



u = r(Md: 



/ integrazione tra i punti (x^ , Yo) e (x , y) di C essendo condotU 
lungo una linea qualunque di C. In particolare si ha ViniegraU sot^ 
uno degli aspetti (4), (4)', (5), (5)'. 

Si intende poi che gioverà scegliere i valori x^^y^ in modo che 
le quantità integrande da essi dipendenti riescano le più semplici 
possibili, e delle precedenti forme di integrali quella più facilmente! 
calcolabile nel caso che si considera. 

Esempi 
1) Sia la espressione differenziale 

dx / 1 X 



V^*+/ \^ yVx'^+y 






^-^:ì 



cosichè M = -.=^=, N = 1 f 1 " \ jM^gN 

y x^ ^y y\ y^^ +y ) dy dx 

campo in cui si considera è una parte qualunque del piano cai not 
appartenga la retta jy = 0. 

Usando la formola (4) e prendendo Xq = 0, abbiamo V integri 



X 








2) La espressione 

y^ dx ydy 



^'V^*+/ x\l x^-\-y'^ 



447 

d differenziale esatto, ed il suo integrale, usando la formola (5) 
endo y^ = 0, si trova essere 



y 





tatti i punti del piano esclusi quelli della retta x=zQ, 
3) Sia il differenziale esatto 

^'\-f + xy{2y + x)+y 2f — x^ + xy{2x—y) — x 

(**-4-y)(^»+/+l) (x'-\-y^)(x^+f+\) -^' 

(x,y) 

aveme V integrale calcoliamo V integrale / (M rfo: + N dy) lungo 

se delle x e lungo il circolo che passa pel punto {x ^y) col centro 
P origine. 

Perciò poniamo ;r =: p cos e , ^ = p sen e , ed osserviamo che l'in- 
rale lungo V asse delle ^x , per essere allora at = p , dx=:dp , 
=0, dy=zO si riduce a 






P 
-^^|^rfp = log(p*-hl)-log(A + l), 



*•« 



'integrale lungo Parco di circolo, osservando che su esso è 

= — p senese, dy = 9cos^d^ si riduce, dopo facili riduzioni, 
8 

- 1 ift=: — e ; cosichè l'integrale generale della nostra espressione 



ferenziale è 

=^^og (p« -I- 1)_ log (x\ + 1) — e 1= lo-: (A-'+y + 1) — are tg :^ + C. 

X 

172. Consideriamo ora una espressione differenziale con tre 
riabili 

»ve M=:M(;f ,>,{), Nzz:N(a-,^',;^), P = P (a: ,^ , ^) sono fun- 
<>oi cnntinue insieme alle loro derivate prime in un certo campo. 



'• :^> ?!ii 









I ■ 






448 

La condizione necessaria e sufficiente affinchè la precedente tiprt 
sione sia un differenziale esatto, cioè affinchè esista una funzione 
il cui differenziale totale la eguagli, è che siano verificate U if\ 
equazioni 

3M_3N 3M_3P 9N_3P 

3^ "~ 3^ ' 3{ ~ 3^ ' ^ "" ar ■ 

La condizione è sufficiente^ perchè se esiste una funzione» 



(1) 



che 



(2) 



3^ "èy a^ 



derivando la prima delle (2) rapporto ad^ e a ;{, la seconda ra| 
a a: e a ;(, la terza rapporto a a? e a ^ si ottengono sei equazk 
dalle quali si hanno subito le (I). 

La condizione è sufficiente. Invero, partiamoci dalla funzione 



r 



'>^' 



X 



«=/M^^4-cf(^,{), 







la quale, qualunque sia la funzione c^, soddisfa alla prima delle (; 

Proviamo che si può determinare qp in guisa che soddisfaccia anc^ 

alla seconda e terza delle (1). 

Abbiamo 



3w 

dy 



=1 



dM 

3/ 



9? 3tf Cd^i 






J di 



li 



X 



X. 



ossia, per le (2), 



;-^ = /«'^^;;i^+|i=N(*,7,^-N>«,^,o+è 






dj> 



ìy 



57=/3^-'"+3f = '''"^'"-''*-^'<>+l 



ai 



-t-. 



e queste coincideranno colla seconda e terza delle (2) se r 



^F. 



449 



determinare qp in guisa che sia 

3" d'-t 

Ora questo si può, perchè, per la terza delle (1), 
è un differenziale esatto, il cui integrale è 






-% 



Vediamo quindi che la data espressione è un differenziale esatto 
e che il suo integrale generale è 

u=: Mdx + j N(*„ ,> ,i)(fy+ P(x„ ,A>'{)<'C + C; 



^0 -'n 



e si intende, senz'altro, come esso si possa anche avere sotto gli 
aspetti 

j », » 






u= l^dy+ j M{x ,^0 7 {) ^ -*- / P(^o 7>'o ) O^t + e, etc. 



- (» 



V xz xy 
Esempio. — - — dx + ; ^^-— dy — ; rr dz. Riconosciuto 

y + i {y + iY {y + if 

che sono verificate le condizioni di integrabilità, se si prende atq = 
nella prima forma dell' integrale, si ha subito 

.r 

Jy+{ y+{ 



173. In modo completamente analogo si proverebbe che: 
La condizione necessaria e sufficiente affinchè la espressione dif- 

29 



ri»-p3 



m 



.■«■re ;7*; 



»«■»> 



^•■ 



te 






— 

Si- 



.■fc 



450 

Mjdxi + Mjdxg + . . . + Mndx„, 

rfov^ /^ M sono funzioni continue, colla derivate prime ^ delle varijtili 

X in un certo campo, sia un differenziale esatto è che siano wr//irj/. 

, n(n — 1) . . 

le -^ equazioni 

9X2 9X1 93^3 9^1 3^»» 3^1 

9X3 9^2 9Xh 9^1 

9^»» c^»« - 1 

e V integrale generale è dato da 

u = / M^dxi 4- ; M2(x^i ,X5...Xn)dxj+ / M3(x^i , x% , X3 ,. .x,)dx3 + .-. 

+ / Mn(x^ , X% ,... X^-i , Xn)dx^ + C, 

o da formole analoghe facilmente riconoscibili. 

Esercizi 

1. Se nel diflerenziale esatto MJ^r + N^/y si cambiano le varis- 
bili X ^y in u ^v colle formole x = x[u , v) ^y =y{u , v\ dove le *./ 
ammettono derivate seconde, la nuova espressione differenziale in v.: 
è pure un differenziale esatto. 

^ _ x^-\- xy-\-y^ / dx dy\ . x * .r 

2. du= .T i =^), tt = log harctg-+C, 

x^+y^ \ X y r y y 



ti 



J 



jppir^^ 



451 



du = ( tg^' 4— ) ^^ + (—ì tR ^ + sen^ ) ^, 

\ cosr X / \cos*^ / 

tt = A' tg^ — ^ tg ;if — cos^ + C ; 

y y 

du = (^ + ^f-{ ^-—\dx^(^ ^_^4.f_l)flrjr 

\^ x* sen(2;ify)/ \^* sen(2^) x / "^' 

X 2. 

u = b^ogìg(xjy) — e^ +C; 



yfjx — xydy x \/y^ + 2xy ^ 
du = ^ ^ ^ , tt = are sen h -^ + C. 

y y" y y 



« = are sen -^ — ^— ~ + C. 

X -T ^ X 

4. Se ^ è funzione di x ^y definita dalla equazione 
V espressione 

è un differenziale esatto il cui integrale è u = j f({)d:^+C, 

5. Se Xo , X, , X, sono funzioni razionali di x^^x^^x^ e si pone 

X, — (^0 -f- ^1 + ^?)'i ^i = (to + «{ -^ ^'i^fj ^t = ({o + «'51 + «>5e)', 
dove o> è una radice primitiva terza dell'unità, la espressione diffe- 
renziale 

X^dXf, -\- Xjrfjf, + X^dx^ 



equazione 



sì trasforma nella espressione 

dove --f è sìmbolo di una certa funzione razionale, e la condiiront 
necessaria e sufficiente affinchè sìa un differenziale esatto èksdj 

In generale: Se X, , Xj , . . , X._, sono funzioni razionali Ji 
*,,*,, *!.— I, e si fwne 

Jr*=(to+«>*fi + "'"T.+ -+"""-"*i— i)" , (* = 0, l,2,...»-l 
dove 0) è una radice n™"" primitiva dell'unità, la espressione 
ferenziale 

X^dx, + Xjdxi + ... + X,_, (fo, - , 
si trasforma nella espressione 

'■({U . f I > O .- ìn-,)</Co +_2¥(T« , U+i ,■■ U-l , Io , Ù .- <—M 

e la condizione necessaria e sufficiente aftinché sia un differei 



esatto è che siano verificate le 
è dispari), equazioni 



(se « è pari), o le — - — ( 



3{. 




Se. 


ls = , 


,2,.. 


~ se » è pari 


j, = . 


,2.- 


— - — se « è dìspari. 



EQuaziooi differenziali. 
Equazioni differenziali ordinarie dì primo ordine. 

174. Equaiione differenziale è una relazione ira una /- 
riabili, una o piU funzioni incognite di queste variabili, ehi 

di queste funzioni. 



:t\' 



' -:* ! 



453 

Distinguiamo due specie di equazioni differenziali. 

1. Equazioni differen:^iali ordinarie^ o semplicemente equazioni dt'f- 
feren^iali; sono quelle che legano una o più funzioni di una sola 
variabile indipendente e le loro derivate; una equazione difl'eren- 
renziale dicesi d* ordine », se contiene derivate d' ordine «, senza 
contenere delle derivate d'ordine superiore ad «. 

2. Equai{ioni a derivate par:{iali\ sono quelle che legano tra loro 
una o più funzioni di due o piU variabili indipendenti e le loro 
derivate parziali; una equazione a derivate parziali dicesi d'ordine 
n se contiene derivate parziali d' ordine n^ senza contenere delle 
derivate parziali d' ordine superiore ad «. 

È quasi superfluo notare che una equazione differenziale potrà 
non contenere esplicitamente alcune o tutte le funzioni, alcune o tutte 
le variabili indipendenti, ma deve contenere esplicitamente una deri- 
vata almeno. 



Ad esempio 



~d^ 



dy 
Zx -^ + y* = 0, che scriveremo anche così ; 
dx 



dy 



dx 



dx 



f + 'àxy +y = 0, e -j- 4- -~ + A^r = sono equazioni dififerenziali 



di secondo e primo ordine ; — ^ 

^x 



n _ 



= 0, 



a^tt 



^x'òy '' 'èx'òy^i 
equazioni a derivate parziali di secondo e terzo ordine. 



+ tt = sono 



••fti 



f*y 






' 9- 



175. Occupiamoci delle equazioni differenziali ordinarie, comin- 
ciando da quelle di primo ordine tra due variabili x ^y il cui tipo 
generale è 

Vediamo primieramente come possano aver origine equazioni 
di questa forma. Sia <^{x ^y ^c):=0 una equazione, dove e indica una 
costante alla quale si possa attribuire qualunque valore, o almeno 
qualunque valore appartenente ad un certo campo di valori, e sia cp 
tale che 9 = 0, per ognuno di quei valori di e, definisca, in un certo 
intervallo, ìsl y come funzione di x, che ammetta derivata y\ la 

quale sarà data dalla — + —-y' = 0. E propriamente, se x^^ ^y^ , c^ 

cx 0y 

sono valori di x ^y ,c pei quali sia -^(x^ ,jVo , ^0) = ^1 "^i supponiamo 



l 

» ■ 

fi 



454 

che in un certo campo C dì valori di ;t,r, cui appartenga (x^.n) 

come punto interno, la 9 = definisca jf come funzione continua e 

che ammette derivata rapporto ad x ^y =^y{x ^c\à\x ^c che in (j^,,:,) 

jy prenda il valore y^ ; e supponiamo inoltre che in un certo campo C, 

I per x^y^ cui appartenga (^^0,^0) come punto interno, la qF=Odeft- 

nisca anche e come funzione e = '!(*■ ^y) continua di jf e / che in 
{Xq yy^) prenda il valore c^. Ora si riconosce subito, stante la conti- 
nuità delle funzioni y =y(x , e), ^ = ^(x ,^), che, restringendo ovt 
occorra il campo Cj, i campi C e Cj sono legati tra loro in gelsi 
che ad un punto (x^^yi) di Ci corrisponde un punto (jt, ,^,)diC 
essendo Ci = 4>(*i 9^1) ^ dove yi =yixi , ^J. 

Noi abbiamo scelto arbitrariamente i valori x^ ^y^ nel campo Q. 
cosichè, ove siano per la 9 soddisfatte le condizioni ora poste, l'ar- 
bitrarietà della e porta per conseguenza che si possa scegliere arbi- 
trariamente il valore y^ della funzione y^ definita dalla ? == 0, che 
debba corrispondere al valore .^i di x^ ossia, che si possa detenni- 
nare il valore di e in modo che per x=zxi la y assuma il valore 
prefissato /j, entro certi intervalli per x, per y e per e. 
Ora se dalle due equazioni 

noi eliminiamo la costante e otterremo una equazione della fonci 
f{x ^y , jf') = 0, cosi che la y definita dalla 9 = 0, e qualunque sia ^ 
renderà identicamente zero la f(x ^y ^y') sostituendo in questa per/ 
e y quella funzione e la sua derivata. 

176. Data una equazione differenziale f{x ,/ ^y) = 0, inUgr^^ 
o risolverla significa trovare la forma che bisogna attribuire alla fun- 
zione y di Xy affinchè questa equazione si riduca ad una identità; na 
più generalmente ed ordinariamente, integrare o risolvere unacq!»- 
zione differenziale significa trovare una relazione ^{x ,y ^c)^^ ^ 
X ^y ed una costante e, tale che, soddisfacendo la 9(* ,^ , ^) alle coe- 
dizioni precedentemente poste per la cp, eliminando e tra la <p=:Oe 

la h— y = si ottenga la equazione proposta f{Xyy,f)^% 

qx oy 

o una equazione il cui primo membro sia il prodotto di /(*,. .') 
per un fattore che non contenga y'y e tale che si possa determir • ^ 
in modo che per un valore arbitrario x=:Xi la y assuma un ^ ** 



455 

prefissato /,, intendendo sempre che, secondo la natura della equa- 
zione diiFerenziaie che si considera, la variabilità di x ^y ^c potrà 
essere illimitata o limitata a certi campi. Ed allora la equazione 
^(jr ^y , ^) r= chiamasi la equazione integrale generale o completa^ o 
la equazione primitiva generale o completa^ o la soluzione generale 
della equazione differenziale proposta, e la funzione y che viene de- 
finita dalla ^{x ^y ,c) = 0, che in certi casi potrà essere già risoluta 
rapporto ad ^ cioè avere la forma ^ i= ^(a: , ^), chiamasi V integrale 
generale o completo, o la primitiva generale o completa o la solu- 
{ione generale della equazione differenziale proposta; notando che 
spesso chiamasi semplicemente integrale generale la equazione inte- 
grale generale '^(x ,^ , ^) zr: 0. E notiamo ancora che. una equazione 
differenziale si ritiene come integrata o risoluta, quando il problema 
è ridotto alle quadrature, quando, cioè, la funzione ^{x ^y , c\ o 
la espressione di y per x^ contenga degli integrali di differenziali 
in ^ o in X, anche se le integrazioni non si sappiano eseguire in 
termini finiti. 

Attribuendo alla costante e valori particolari si hanno degli in- 
tegrali particolari della equazione differenziale proposta. 

La equazione /(;t,^ ,y) =0 determina, corrispondentemente ad 
ogni punto {x ^y) del piano o ai punti [x ^y) di un certo campo, uno 
o più valori di y\ cioè, ove si ponga ^' := tg a di guisa che ad ogni 
valore y corrisponda una direzione a, ad ognuno di tali punti ven- 
gono coordinate una o più direzioni. Il problema della integrazione 
della equazione differenziale consiste allora nel determinare quelle 
curve ^{x ^y ^c)=zO tali che in ogni loro punto la tangente abbia 
una direzione uguale ad una delle dire{ioni a corrispondenti a quel 
punto. 

Esempio. Mediante la derivazione, dall'equazione C*-f-C>'*— ;i;'=0 
otteniamo (Zyy' = *, ed eliminando C si ha la equazione differen- 
ziale -^ + ^v- — ;c« z= ossia xyy^ —yH' — x = 0. 
V y w 

La equazione C* + C^* — x^-.=z{) ne è la equazione integrale o 

integrale generale, e i rami della y ^yzz^z^z—- -- — , definiti da 

essa, costituiscono ciascuno l'integrale generale. Notiamo che la equa- 
zione differenziale può ridursi alla forma 



(Zxyy _y _ yy _|_ 4x'') {2xyy' — / 4- \y -f- 4;^') = 



L 



456 



\fxi — C« 



e che^ = , — soddisfa alla equazione 2xyy -^'-\/>'^H-43r = a 



yx^ — c« 



ve 



alla 2xyy —f-\- \fy* + Ax^ = 0. 



Dimostrazione dell* esistenza dell* integrale generale 
per le equazioni differenziali di primo ordine. 

177. Se la equazione differenziale di primo ordine che si consi- 
dera non è già della forma y = ^(^ ,^), ma bensì del tipo generale 
f(x ,y ,y) =: 0, supponiamo che la equazione /=^ definisca uno 
più rami y' come funzioni di x ,y in guisa che si possa considerare 
/ come il prodotto di più fattori della forma y' — <?(* ,>')• 

Per dimostrare quindi che ogni equazione differenziale di primo 
ordine ammette, sotto certe condizioni, V integrale generale, bastai 
provarlo per le equazioni della forma y — ?(a- ^y) = 0. 

Per dimostrare l'esistenza, sotto certe condizioni, dell' integrak 
generale delle equazioni della forma y = ^{x ^y) seguiremo un me- 
todo dovuto a Cauchy e semplicizzato dal Lipschit!{ (^), che si pre- 
senta naturale per la analogia con quello relativo alla integrabiliii 
delle funzioni di una variabile in un intervallo. 

Supponiamo la ^(x ^y) assolutamente continua in un certo intonia 
C del punto (x^^yo) formato dai punti le cui coordinate ar ,/ sw^- 
disfanno le relazioni \x — x^\<:ia^ \y — yQ\<i^\ inoltre esista dcì 
costante positiva k tale che sia verificata la disuguaglianza 

dove (^,^1) , (x ^y^) sono punti qualunque di C sulla retta X-^ 
essendo x qualunque ma tale che sia \x — XQ\<,a. La condiziofif 
espressa da questa disuguaglianza è comunemente conosciuta colìi 
denominazione di condizione del Lipschii^, 

Se M è il massimo di Yi{x^y)\ nel campo C, sia A^'*^^ 
che risulti MA -^ ^. Prendiamo un x in modo che sia |^ — -J^»! -^ 



(V Lipschiti - Lehrbuch der Analysis - pag. 500, §§ S4, 85, 8<>, 



457 

e, per fissare le idee, sia jt > x^. Decomponiamo l' intervallo (x , x^) 
in tratti A,, di ampiezza h, = ^^ — .^*— i , mediante i punti x^ , x^ ,... Xn-i 
e determiniamo successivamente le quantità jVi j^'j ,^3 , . . . in modo 
che il punto (^, ,^s) si trovi sulla retta passante per (;c,_i ,j>',_i) 9 
la cui direzione coincide con quella determinata dalla equazione pro- 
posta y := 9 (;c , ;v) corrispondentemente al punto (xs^i^jys~i) cioè 
sulla retta 



avremo così 



(1) 



Y —j^s~ 1 = (X — ^,_i) 'i(xs-i ,jys~i) ; 

< 



avendo indicato con ^' il valore di Y cui si giunge per X = ^ me- 
diante questa scomposizione di {x^ , x) in tratti //, . 

In questo modo ad ogni scomposizione di (x^ , x) in tratti cor- 
risponde per X = a; un valore, che chiameremo genericamente /, di 
Y. E diremo, come è naturale, che / è il Jimite di j^', quando co- 
munque diminuiscano le ampiezze di tutti i tratti nei quali si decom- 
pone {xq , ;r), se, assegnato un qualunque a positivo, esista 'un 5 po- 
sitivo tale che, per tutte le scomposizioni di (;Vq , x) in tratti h^ ^ 5, 
risulti sempre \y — /| <a. Ora dico che ^ ha appunto limite finito. 

Invero, dalle (1) ricaviamo intanto 

y, —yt = //r-f-i '^{xt ,yt) -\- ht+2 'iix /4-1 ,;K/-f 1) + . . . + /f, cp(A',_i ,ys-\) 
da cui 
(2) I y, ^yt I ^ M(jr, ~ xt) < MA ^ b. 

Assegnato poi o, sia Sj quel numero pel quale, in ogni punto 
{x ^y) di C. e per \^x\ ^ 5j , |A^| ^ ^i, è verificata la disuguaglianza 

I ^{x + A* ,;k + ^y) — ^{x ,jv) l< a , 

numero 5, che certamente esiste per la supposta continuità, e con- 
segiente equicontinuità, di ?(^,jv) in C. Indichiamo con 8 il più 

picc">lo dei due numeri 8j e -rj-, e consideriamo una scomposizione 




458 

qualunque di (x^^x) in tratti A, ^5, così che sia ancora A,M^5i. 
e chiamiamo y il valore di Y in x^ dipendente da questa scom- 
posizione. 

Consideriamo ora una seconda decomposizione dell' intervallo is 
tratti h'r = x'r — xr-^i , ottenuta dalla precedente suddividendone 
ciascun tratto A, in ulteriori tratti, ed indichiamo con y ^ ,y , , . . ./ 
i valori di Y che così corrispondono ad X = ^', , ^r', , . , . x. 

Siano x'i = Xs—i , x'i^i , x'i^^ , . . . x'm j - . - x\ = x^ i punti di sud- 
divisione del tratto /r,. Avremo allora, come risulta da considerazioni 
precedenti, 

I >•». -/> I < (*'m - *••') M < //. M ^ ?„ 

ed in conseguenza, poiché è anche x'n^ — ^'^ < ^'« ^ 5i ? sarà 

in virtù della quale, dalle 
^'/+.i —/i = A'/+i <f(x'i ./f) , 

y 1^2-:^' li 1= A'/+2'^(*'/+i,y /-f 1 )=h'i-\.2^{x'i,yi)+h'/^2 Mxi^^i^'i^iy^iX'jA, 

yn—yn^l=h'n>f{x'n-i,yn^l)=h'H f(^'/ jyi)-hh'n[:f{Xn^ljyn-l)-r(x\f 1 

si ricava, osservando che //'/-m -h A'/4.2 + ... + /'„ = ^, ? 
e quindi ancora 

yn —yi = K [^(*'' ^yi) + e a j 

essendo e un numero compreso tra — 1 e +1. D'altra pane è 

ed in conseguenza 

yn — /. =yi —ys-\ + //, [^{xi ,y,) — ^{xs-i ,y,-i) 4- 95] , 

dalla quale, poiché è x'i =ixs-i e quindi per la condizioi « 
Lipschit^ è 

I ^{x'i j/O — '^(^*-i ,yi-i)\ <^\yi —yt-\ I , 



« 7.' .* ■ 






459 



• • 



ricaviamo 



forinola che dà la differenza assoluta, in un punto x^^ tra il valore 
y^ di Y determinato in quel punto dalla prima decomposizione e 
quello yn determinato dalla seconda. Indicando con V^, Vj, Vj, . . .V 
le analoghe differenze assolute nei punti ^qj^u^s^ • • • ■* avremo 



ossia 



V,<V,_i + A,(*V,_i-f-a) 



V. + j<(v,-i + ^)(l+*/0 



e quindi successivamente ancora 



V,-i + y < (v,-i! + ^ì (1 + ^ A,-]), 



\ i\ 



• '. . 



^• + T<(^»+t)(^'^^*'^' 



le quali moltiplicate tra loro, ed osservando che V^^=iy^ — ^^izzO, 
danno 

V,-h -^- < j (1 +^^^0 (1 + M,) . . . (1 -\-k\). 
e perciò altresì 



Ma 



t quindi 






o . o ..... . o o 



V + -- < -~ e^f^\ e^^t e^^i ...= --- ^*(Ai+A2+. •) rzz — ^*(-v-^o) 
3ssia, poiché V= [^ — y|, 



< À 



\y -y|<-r(^*<^-^o'— 1). 



460 

Stabilita questa forinola consideriamo due decomposizioni qua- 
lunque delP intervallo (Xq , x) in tratti di ampiezza minore o uguale 
a 8, e siano /' , /" i valori di Y che esse danno nel punto *, e sa 
y il valore di Y cui si giunge in x colla decomposizione di (x,,z) 
che risulta dall'insieme delle due precedenti decomposizioni. Avremo 
allora, in virtù dell'ultima formola, 



y--y\<-[eH^— 0)^11 



y'^y\<^[c^i--o)^\] 



dalle quali 



2 



|y'-_/'|< [^ii^-^o)_i] 



valevole per tutte le coppie di decomposizioni dell'intervallo i^j.^i 
in tratti di ampiezza non superiore a 5. Vediamo dunque come, as^ 

segnato un numero positivo Oj e preso o = mx-x Tv ^^^ ^ 

numero 8 tale che pei valori y ,^'" di Y corrispondenti a due qua- 
lunque decomposizioni di (x^^ , x) in tratti di ampiezza non superioR 
a 8 sia verificata la disuguaglianza \y — >''"|<^i; ma questa è li 
condizione necessaria e sufficiente affinchè la quantità designata eoa 
jy ammetta un limite finito, limite che indicheremo con y{x). Allo 
stesso risultato saremmo giunti se si fosse supposto x<^Xf^. 

La yx) è quindi funzione di x^ finita e perfettamente detensh 
nata nell' intervallo (x^ — A, Xq~{- A). 

178. Dimostriamo ora che la jf(x) soddisfa alla equazi<08 
y = ^(x ,^), cioè che la yx) ammette derivata y{x) e questa è oguafe 
a (p[x ^yx)]. Consideriamo un valore ;i: di X ed un altro valore «+i 
e supponiamo, per fissare le idee, h positivo. Assegnato il nmneo 

positivo o, consideriamo il numero — e sia 5 il numero determiffi» 

precedentemente, e fissiamo A < 5, Indichiamo con jp il valore di ^ 
in X cui si giunge mediante una qualunque decomposizione di (Jf^ 7^' 
in tratti, con Y' il valore di Y che si ottiene in x-\-h assumeado 
^ come valore di Y in x, cosichè sia 

(l) . T^jy = h^(x,y), 

e con y il valore di Y in jv + /i cui si giunge assumendo j s» 




4(51 



valore iniziale in x dì Y ; allora, poiché è già A < 5, avremo 



(2) 



v-yi<-g^(^*-i). 



Poiché jV ejy' hanno per limite y{x) ey{x + h)^ potremo sup- 
porre le decomposizioni che hanno condotto ad ^ e y tali che risulti 



(3) 



X*) -jkI < V ' I ;»'(* + *) -y l< ^ 



e, stante la continuità di ^(x jjf)^ possiamo supporre h^ in modo che 
per A ^ Al la differenza \y{x) — jy\ sia cosi piccola che risulti 



,A 



dalla quale 

che in virtù della (1) diviene 



IM*,X*)]-Y'+>|< 



oA 
X" 



Da questa disuguaglianza e dalle (2), (3), osservando che 

\Xx+h) —X*) — h\* ,X*)]I = 

IX* -+■ h) —X*) — a=f[* ,A*)] + y- - y' +>- —jy +y — y I 

ricaviamo 



5/è 



ossia 



X^ + A) — X*) 



— ?[* >X*)] 



< 



3a 



a ^ 



kh 



1 



5>& 



valevole per ogni h ^h^, 

^*'^ — 1 



la lim 

A=0 



= >i, e quindi 



. ^*'^— 1 



zrzk + oL, essendo 



a 



quat ita positiva che ha per limite zero al diminuire dì h ; cosichè, 




462 

ove già non fosse « < ^, assumeremo h ulteriormente più piccolo in 
modo che sia « < ^, cioè esiste un h^ tale che per h^h^ risulterà 






1 : 

w 

ò 



33 



a 

5^ 



il che prova che lim 

A=-fO 



y(x + Zr) —X*) 



4^»X^)]- 



In modo analogo si proverebbe che 



e perciò 



A=i— « 



/£=:0 « 



come volevamo dimostrare. 

179. La funzione precedente y{x) prende il valore y^ per *=^jJ 
proviamo ora che di funzioni soddisfacenti la equazione differenziile 
y z=z ^x ^y\ e che per x=ix^ assumano il valore ^o? ^^on vi è che li 
sola y{x). Invero, se esistesse un' altra di tali funzioni, :[r=:;j(af), poS» 
u{x)=:y{x) — i{x\ poiché è 

avremo 

u'{x) = ^[x ,y{x)\ — ^[x , ^(^)] 

da cui, tenendo conto della condizione del Lipschii^ 

\^\x ,JV(a;)] — '^\x , ^*)]| ^ k\y{x) — :c(x)| 

ove poniamo anche il segno d' eguaglianza per comprendere aode, 
il caso y(^x) = ^x)^ ricaviamo 



(1) 



du(x) 



^k\u{x)\. 



463 
Ora, qualunque sia la funzione vlx) che ammetta derivata in x^ 



dHx)\ 
dx 



dv(x) 



dx 



, perchè se in ;v la v{x) è diversa da zero esi- 



irà un intorno di x, essendo allora la v{x) continua in x^ nel quale 
v{x) mantiene lo stesso segno, cosichè pei punti 'x + h di esso è 



\v(x + h)\-\v(x)\ 



v{x + //) — v(x) 



se.(*) = Oè i^+M.^ 



W') 



v(x + h) 



; in ogni caso è dunque 



dx —\dx 



Avremo dunque, per la (1), 

d ì u {x) 
d^ 



^^l«Wh 



da questa, moltiplicata per ^-^U-^o)^ ricaviamo 



d_s 
dx 



L>-A(.r-X0)(|/(Ar)|S^0. 



La funzione e—^^^'-^^^)\u{x)\ è quindi mai crescente nell'intervallo 
ifi — A , jif^ -f- A), ma per xz=zXf^ essa si annulla, quindi nell' inter- 
rilo (*o , x^ + A), ove non sia nulla, è sempre negativa ; ma poiché 
-^x~xq> è sempre positiva, e | « (^) | è sempre positiva o nulla, 
lo^rà essere sempre nulla, cosichè u(x) =^y(x) — i{x) = nell'intera 

allo (*o > *o + A). 

Servendoci della formola (2) scritta nella forma 

) — e-i{x-xo) \u(x)\ ì ^ 
dx t ) 

i trova, in modo analogo, che deve essere u{x) = nel!' intervallo 

*o — Ajor^). Cosichè in tutto l'intervallo (x^ — A , at^ -f- A), avremo 

*mpre ^at) m j[(^), come volevasi dimostrare. 

Riassumendo abbiamo il teorema fondamentale: 

Se in un certo intorno del punto (xq , y^) la funzione <?fx , y) è 

''Ontinua e soddisfa alla condizione di Lipschiti 

l<?(x , yi) — 9(x , ys)! < k I y, — y^l 



464 

essendo k una certa costante positiva^ la equa{rone dtfferen{iaU 

ammette in un certo intervallo (Xq — A , x^ -|- A) un unico inUgrà 
y = y(x) che per x = Xq prende il valore y = y^. 

Esempio. Quantunque il metodo tenuto per dimostrare il teorena 
precedente non si presti per ottenere, in termini finiti, Tintegrik 
di una equazione jy' = ^{x ,^), diamo qui un esempio di integrale 
ottenuto seguendo questo metodo. Sia l' equazione 

^ ~ x' 

e siano Xq ,^o due valori qualunque, Xq diverso da zero. Il se- 
condo membro della equazione proposta soddisfacendo in un co» 
intorno del punto (^o j^o) alle condizioni richieste, per calcolare P 
tegrale jf(x) ci serviremo di una speciale decomposizione di (x,,4 
in tratti, cioè divideremo {x^^x) in n tratti di ampiezza uguale adi 
cosichè x^^z Xq-ì- h, x^=: x^-{- '2h , . . . x^=x^-\- nh. 
Avremo allora 






^3 =y^-^h^z=^ (;t, + 3/0, 



Xn — \ Xq 

ma, qualunque sia n e quindi anche al limite per « crescente 
finitamente, è x^-i-nh = x^ quindi j^(x) =i — *, cosichè V in 
della equazione proposta, che per xttzìXq assume il valor ,v 
>' = —^ X ; posto ~- = C, è y = Cx. 



•*'o ^0 



p^^ 



» r ■ 



405 



i8o. Tra altre dimostrazioni dell' esistenza dell' integrale delle 
equazioni ditferenziali y = 'i(x ^y) sono notevoli quelle dovute ai 
Proff. Peano (^), ed Arsela ('). In esse non occorre supporre verificata 
la condizione del Lipschiti^ della quale essi hanno solo bisogno per 
dimostrare l'unicità dell'integrale. La dimostazione che noi abbiamo 
data dell'unicità dell'integrale, che per x=zXq assume il valore ^o, 
è appunto dovuta al Prof. Peano Q), 

Di una dimostrazione, da cui ha origine un metodo di integra- 
zione delle equazioni differenziali detto delle approssima^oni o inte- 
grazioni successive^ terremo cenno altrove. 

Un'altra dimostrazione dell'esistenza dell'integrale della equa- 
zione ^'= ^{x ,y) nel caso che le variabili x ,jv siano complesse è pure 
dovuta a Qauchy \ noi la daremo, anche perchè storicamente impor- 
tante, colle semplicizzazioni introdottevi da Briot e Bouquet 

Abbiamo allora il teorema : 

Siano Xq , yo due costanti qualunque^ e sia ^(x , y) funzione uni- 
valente continua, monogena rispetto a ciascuna delle variabili x^y^per 
tutti i valori di x,y tali che jx — Xy| < R, |y — yo! <Ri> allora esiste 
una unica funzione y di x monodroma e continua entro un certo circolo 
col centro in x^, che soddisfa ivi alla equazione differenziale y' = ?(x,y)^ 
e che per x = x^ assume il valore y^ . 

Infatti, le derivate successive di una funzione y =y (x) che per 
x^zXq assume il valore yQ=y(^XQ) e che in un intorno di x^ sod- 
disfa alla equazione y' = '^{x ,/), si ottengono dalle formole 

y = ^(x ,y) 



•t?r^ 



13 



. •'"- 






•ti 



(1) 



/ = 



9'»' . 37 



.•/ 



y = 



2x 

dx^ 



dy 



3*9 ,, 



dx dy dy 



T^y 



ì±y" 

^y^ 



ponendo in esse x=:^x^^^ yz=zy^\ indichiamole con y (^o) > ^ ' W > 



(») Atti della R. Accademia delle scienze di Torino, anno 188fi. 
(*) Memorie dell'Accademia delle Scienze di Bologna 1895, 1890. 
K^\ Nouvelles Annales de mathómatiques, 189::^. 



;o 



■*— -*- 






iv. "■ 






?;'-'. ■ 



K: 



K- 




y'\x^ ... Se questa funzione è monodroma continua in queir intorno 
essa non potrà essere che 1' unica funzione 

(2) ^=X*.)+(*-*,)y(xo)+ ^l:z^)^>„)+i^Li|?y(x,)^... 

Il teorema rimarrà perciò completamente dimostrato se prove- 
remo che la serie, nel secondo membro della (2), ora costruita, t 
convergente per tutti i punti x interni ad un certo circolo di rag- 
gio r col centro in ;vo, e che la funzione^ data dalla (2 soddisia 
alla equazione y =^{x ,^). 

Ora, indicato con M il massimo di | ^{x ^y) | pei punti x del 
circolo di raggio R col centro in x^^ e pei punti y del circolo di 
raggio Rj col centro in y^^ costruiamo la funzione 



(3) 



^K* , Y) = 



M 



(-^i^)('-^) 



e consideriamo la equazione differenziale 



(4) 



Y'r3<K*,Y), 



che possiamo anche scrivere cosi : 

Y-^„ 



('-^)-- 



M 



1 — 



x 



0, 



'0 



R 



in modo che si vede come la si ottenga colla derivazione rispeoo 
ad X dalla equazione 



(Y -A) - 2^7 ^^ ~-^«^* + MR log (l - 



* — X, 



R 



.)=c. 



che ne è così la equazione integrale generale. Ponendo C = 0, u» 
dei due valori di Y che essa definisce, cioè 



l, 



(5) 



Y =y, -I- R, - V'R.)/ R. + 2MR log (l - ^^) 



assume per *=x^ il valore Y=^o» ^^ ^ funzione ntona •* 
e continua di x per tutti i punti * interni ad un circol »* 



■», »£•»»■ 



467 

centro in x„ , che non contenga nell' interno alcun punto nel 
quale la quantità sotto il radicale si annulli, cioè il punto valore 

x = Xq + R\\ — e *'^"*/. Cosichè pei punti interni al circolo di 

raggio r = R \1 — e * ^*«/ col centro in x^ la (5) è una funzione 
monodroma e continua di x, che soddisfa alla (4), che per x = x, 
assume il valore Y ■=j'„ e che ha in questo circolo lo sviluppo 



(6) Y=jy„-|- (*-*•.) ¥•(*„) + 



(*-*o)' 



Y'(*o) 



2.3 



Y"K)+..., 



dove i coefficienti Y'(ArJ, ^"(xq^ ... si ricavano dalle equazioni 

r(x) = ^x,Y) 



di' . di' 



(7) 



^■"<'^>= ,x ' 3Y 



Y' 



3'+ 



3x' 



dxdY 



Y' + |!ÌY'«+^Y" 



av 



av 






"•1 



. \< 



ponendovi x = ^q, Y =yo. 

Osservando che dalla (3) si ha 



a-+ 



m 



1 . 2 ... « 1 . 2 ... /» 



M 



ajt»» 3Y"« 



R 



n 



R, 



'i _ * — *o x""*^ Yi _ ^ —^0 \""*"' ' 



( 



R 



n 



.. )■ 



Della quale ove n o m sia zero si intenderà sostituita l' unità in luogo 
lei prodotto 1 . 2 ... «, o 1.2... w, abbiamo 



3«+'«'|(:ro,^o) 



1 . 2 ... fi 1 . 2 ... /72 



3*"3Y 



m 



R' 



Ri 



m 



M; 



d' altra parte è (Esercizio 2 i pag. 437) 






}UÌDdÌ 



3^" df 



R' 



Ri' 



a^+'^cpCATojA)! ^ d^'^'^'^x.^yo) 



Jjr" 3^"» 



< 



a*»» aY»' 



{•$ 



I 



r' 



K- 









468 



Ora dalla prima delle (1) ricaviamo iy(A?o)i = |?{jro JJ<' 
e dalla prima delle (7) Y'(a:o) = M, cosichè \y(x^)\<YXx,); Mi 
seconda delle (1) 



I >"(*«)! éi 



9?(*o .^o) 



dx 






!/(*•)! 



e dalla seconda delle (7) 






3a: 



aY 



e perciò, in virtù della (8) e poiché iy(^o)l < Y'(jfo)> nsulia 
l/'(*o)! <Y"(jCo); e così, analogamente, dalla terza delle (1) e dalle 
(7) risulterebbe \y"{x,)\ <Y"'{x^), ed in generale 

|y«)(;ro)|<Y(»)(^o). 

Perciò, i moduli dei termini della serie (2) essendo, a partire 
dal secondo, minori dei moduli dei termini della (6), la quale è coo- 
vergente finché \x — Xq\ <r, risulta che la (2) è assolutamente coih 
vergente finché \x — x^l < r. 

Rimane ora solo da provare che la funzione y di jt, defioiia 
dalla (2), soddisfa alla equazione dilferenziale y = <f(x ,^). 

Ora, poiché possiamo derivare termine a termine la (2), è 



(9) 



y =y {*.) +(x- xo)yM + ^^^-^y'M 



Sostituiamo poi il valore (2) di ^ nella ^(x^ji); osserviamo cbe 
r<R, e che, se, per qualunque valore di x tale che ];r — x\\<' 
pel valore di ^ dato dalla (2) non fosse sempre \v — ^'o| < Ri, ta- 
sterà però, essendo la y continua, un valore ri<C r tale che ^ 
\x — *'ol < ''i sarà sempre \jf — ^•^)|<Ri; in conseguenza, fin^ 
\x — '^ol'^''ij 1^ ^{^ ìJ^) ^ funzione monodroma e continua di ^f 
sviluppabile perciò colla serie del Taylor, cioè 



(10) ^(x ,^) = ^(x^ ,y^) -f. T'(*o j>'o) (* — ^o) -f- ? Vo ,JVo) 
dove, avendo posto 



(^-V 



+ 



(f (x , V) = y 



"?"(* )^) = 



^ V y 



3'? , 39 , 



3^ 



3>' 






469 



':m 









In conseguenza il secondo membro della (10) coincide con quello 
della (9j e, finché \x — -^o' *^ ''n è y ■= ^(x ^y). 
Il teorema è cosi completamente dimostrato. 



.' ^•^^ 



Integrazione delle equazioni differenziali di prìmo ordine 

risolute rapporto alla derivata. 



v'4 



i8i. Non sappiamo integrare in termini finiti una equazione dif- 
ferenziale di primo ordine nella sua forma generale y(«',^,y) = 0, 
ma solo equazioni di tipi speciali. 

Cominciamo dalle equazioni risolute rapporto alla derivata, cioè 

Wix y\ 
da quelle che possono ridursi alla forma ^' = ^(x ^y\ o y :=:z — ^ , 

o MJ[y + N(/v = 0. 

Separa\ione delle variabili. Se M è funzione della sola x^ N fun- 
zione della sola y si ha subito l' integrale generale della equazione 

.r y 

VI^jr-i-N<r=0 nella forma|AW;t+fN^= C od anche [}\dx+\^dy=C^. 







Si dice allora che nella equazione le variabili sono separate. 

La via naturale per la integrazione, in termini finiti, delle equa- 
zioni della forma y = 9(:r.^) sarebbe di calcolare, in termini finiti, 
il limite indicato al N. 177, ma tale calcolo praticamente non riesce. 
Si cerca invece generalmente di trasformare 1' equazione proposta in 
altra, nella quale le variabili siano separate. 

Se è M = XY , N i== XjYi dove X, Xi sono funzioni della sola a-, 
Y, Yj della sola ^, allora dalla equazione X Y ^^ + Xi Y, ^=i: 0, 
nella quale le variabili non sono ancora separate, ricaviamo 



M 












470 

X Y, 

'~dx^-~-dyz=z 0, nella quale esse lo sono, e si ha T integrale 

generale ^ ^dx+ -^ djy = C. 

Esempi 

1) (1 + x)ydx + (1 —jf) xdy = 0, 
ossia 

X y 

r integrale è 

I dx-h dy = Ci, cioè log(Af;^) -^ x >' = C, 

od anche, posto Ci = log C, 

xy = Cc^ 



— X 



2) Nella equazione {x +y^) dx + 2xy dy=:zO le variabili non si 
possono separare, ma, posto^* = «, essa diviene xdx-\-udx-\-xdu:=^\ 
ossia xdx + d(ux) =: 0, nella quale, considerando ux come una diioti 



X* 



variabile, le variabili sono separate. Essa ha l'integrale — -+-tfAr=:Cy 

ossia x^ + 2ux = C, e quindi si ha P integrale generale della pro- 
posta, x^-\-2y^x = C. 
3) Dalla equazione 

dx dy ^ 

(1) —= + --z:É= = 



ricaviamo subito 



dx , f dy 



J yi-x" J Vi 





ossia 

(2) are sen x + are sen^ =: C ; 



w 



471 



ma V integrale generale può trovarsi anche sotto forma algebrica. In- 
vero, dalla equazione differenziale proposta scritta così : 



ricaviamo, integrando per parti ciascun termine del primo membro, 

j ivi-y Vi— ^v 

ossia, per la (1), 



(3) ;,Vl_y+^yi_;,* = C„ 

che è l'integrale in forma algebrica. 

Se si stabilisce di determinare le costanti C , Cj in modo che per 
x = Xq la ^ assuma uno stesso valore ^y, le (2), (8) esprimono la stessa 
relazione tra x e y. 

Possiamo ricavare dal confronto dell' integrale nelle due forme 
(2), (8) la nota formola di addizione per la funzione circolare scf/o. 

Infatti, posto are sen x = u^ arcsen^ = i;, da cui x =z sen w, 

;^r=senv, yi — ;v' =: cos «, \/l — ^'^cosf, le (2), (3) divengono 

(4) ^ + r zrz C. sen u cos v -\- sen v cos « = Cj ; 

indicando con w il valore di y che corrisponde ad x=:Oj si ha 
dalla (2) are sen w=:C, da cui w ^^ sen C =: sen (u -\- 1?), e dalla (3) 
a» z=: Ci = sen (u + r), e la seconda delle (4) diviene perciò 

sen (tt + v) ziz sen u cos v + sen v cos u. 
4) Anche la equazione 

dx dy 

(ò) -^= + ,_ _■_ = 0, 

Vi-^' VI—/ 

Iella quale si ha subito V integrale in forma trascendente 



.r 



dx r dy 



J VI — *' •' VI—/ 





«) /—===::+ /-=^=z = C, 



472 

dove le integrazioni non si sanno eseguire in termini finiti, possiede 
pure l' integrale in forma algebrica. 

Per trovarlo poniamo — =^di ed in conseguenza, per 

Vi — -^^ 

dy 
la (5), — ==7 = — ^^9 da cui, indicate con apici le derix-azion; 

vi-y 

rapporto a {, abbiamo 



*'=\/i-;rSy = -Vi-/, 

e da queste 

x" = — x' — --2x^. y = -■ 2v^ , yx" - xy" = 2xy (y'-r\ 

V 1 — X* 

dalla quale ultima, scritta nella forma : 

yx" — xy' %xy(yx'-^xy^ 

yx—^xy 1 -H at*^* ' 

si ricava 

d d 

— log {yx—xy) = — (1 + ^'/) , 

e da questa, integrando, 

log (yx — AT^') zzi: log (1 + ^y) + log C, , ossìa , ^,,r = Ci- 
ovvero 






che è il cercato integrale in forma algebrica. 

dx 

V 

riore x dell' integrale come funzione dell' integrale stesso, eie >■"- 



/Ci X 
— — :; 1= M , e consideriamo il limite Y^ 
V 1 — X* 







i^^- 



473 

clamo, come si dice, V inversione dell' integrale, ed indichiamo con 
<F(tt) la funzione x di «, xz=:'4(u); noi veniamo cosi a definire una 
nuova trascendente cp («) : il confronto dell' integrale nelle due forme 
(6), (7) ci permette di trovare la formola di addizione relativa a 
questa trascendente cp, cioè la formola che esprime T(«+f) mediante 



V 



dy 



cf{u) e ^(v). Infatti posto / — =p dacui^ = ?(r), le (6), (7) 

J V 1 — y* 



divengono 



(8) 



u-hv=^\^j = ^1 5 

1 + ^(«)* ^ (vy 



indicando con w il valore di ^ che corrisponde ad x = 0^ la (6) ci 



n' 



là / = C , da cui w = cf (C) = cp (« + t;) , e la (7) 

J vi-y 



v = Ci =^{u-\-v), ed in conseguenza la. seconda delle (8) diviene 



^(u -\-v) = 



^(u) 



u)[/ 



^{vy 



(v)\/i-^(uy 



i + ^{uy^(vy 



he è la formola d'addizione richiesta. 

182. Equazioni omogenee, — Sono quelle della forma yidx-\-ì^dy:=.0 
ssia MH-Ny = 0, dove M, N sono funzioni omogenee di x ^y 

elio stesso grado r; cosichè, essendo hì = x''^y^\ Nr=;r'-4j( ~ 1 , 

[ potrà scrivere la proposta equazione cosi : 



,p-)<^+.|(-f)^,. = o. 



y 

Poniamo ora — ={? da cui ^ = {a:, dy=:xdi-{-idx^eà 

X 



/remo 









^'it 



•»a 



f <* 






Hi) + ^-ik)] <'< + *';(ì) ^^ = ; 



474 

separando le variabili ed integrando si ha 

la quale, ove si eseguisca in termini finiti la integrazione e si sosti- 
tuisca per { il suo valore -^^, ci dà l'integrale generale della pfc- 

X 

posta equazione espresso in x ^y. 

Esempi 

1) La equazione 2xy -^y- y = x^jf\ che possiamo scrivere: 
(y — x^) dy-\'2xydx:=L0^ è omogenea. Essendo -A — ) = 2 - • 

ossia log.+j^^^i^=:C„ log.+j(^^--l)it = Q. 
da cui, posto log C = Ci , si ha — ~ = C ; e da questa, pch 

y 

nendovi { = -— , otteniamo l' integrale generale della proposta eqoi- 

X 

zione. cioè x^ +>** = Qv. 

2) L' equazione non omogenea 

{ax -^hy^ c)dx-\- (dx -\- Vy + c)dy:=-^ 

si trasforma in una omogenea nelle variabili x , y ponencc 
X T=z x^ + X ^ y '=-y^ +y e poi determinando convenientemente k 
costanti Xq ^y^. La equazione proposta diviene 

{ax + hy+ ax^-^hy^ + e) dx -\- (a'x'-\-l/y + a'xQ + b'y^-hc)di^^'< 

che si riduce alla equazione omogenea 

{ax' + by') dx' + (a'x' + *>') dy = 



ove si determinino le costanti 
dX(^-hb%-\-c' ^=0 , il che potrà sempre 

a b . , e 



:i A"o ,^0 d^^^^ equazioni axQ'\'byfs^ -^ | 
)trà sempre farsi ove non sia jì'— ' =^'- 



Se poi è ab' — db = cioè — ^ = -,-, ed è -p diverso q»^ 

ab e 



a h 

ste due frazioni, posto — ;- = -rp = w, ]a equazione proposta si può 

a b 

scrivere : 

(ax + Vy + e*) dy + m[dx + i^) dx + ^</je = 0, 
che, posto aX'^Vy=^^^ diviene 

({ -f C) di 4- [(/w? + ^)^' — ({ 4- ^>'j ^^ = 
nella quale si separano subito le variabili. 

Se, in ultimo, è — ;- = -yt = — :~ = ''^j ^^ equazione proposta si 

i2 ^ e 

riduce alla dy + wrf;c = 0, il cui integrale è r + wjt = C. 

3) La equazione precedente è caso particolare della 

^ --fya'x + Vy-^-c* }' 

per integrare la quale porremo ax '\- by -\- e ^:=.u^ a x + Vy -\- e -=1^ v^ 

da cui adx -^ bdy ^=^ du^ a dx + b' dy ^=: dv^ e se, come supponiamo, 

^ _. ,, ,. , _ b'du — bdv adv — adu 

è ab — ab diverso da zero, dx z=. — 7; tt-', dy = — jr-t co- 

ab — ab ab — a b 

siche la equazione proposta diviene: 

-'■S=/(t)(4-*). 

che si integra, separando le variabili, col porre — =1 -(. 

V 

183. Equazioni lineari. Sono quelle di primo grado in ^ e y\ 
cioè quelle della forma 

y + p^ = Q. 

dove P , Q. sono funzioni della sola x. 

Per integrarla moltiplichiamone i due membri per c^^^^., cosichè 
essa divenga 

dx 



475 

I 
I 



476 

da cui, integrando^ 



^IfPd^ = fOcf^d'^ dx + C, ossia jy = e-f^''^' \ ÌQei^'^^ dx-\'Q 
che è appunto V integrale generale della proposta equazione. 



Esempi. 



1) yy I —x^ -^yi — ;r« = (^ + Vi +A-») Vi + x" ; abbiamo 



per cui 

p dx r ^ ^ dx 

J 



" " V 



,!ogLr-f N/l-fx* 



1/ Vi—*» J 



=(*H-Vl+**)[arc sen « + C]. 
2) y -^y^\x) = <f(*) <f'(*), 

I 

= ^-^ ^) [^«ìPa-) )cp(;i?) — 1 { + C] =: q^(;c) — 1 + O-^wt»; 
così ad es : l' integrale generale della 

» 

y -\-y cos AT =: " sen 2.V è ^ = sen x — 1 -+- O-^*'' ^ . 
184. Equazioni di Bernoulli, Le equazioni della forma 

dove P , Q. indicano funzioni della sola x^ si riducono al tipo »** \ 
ponendo <^[y) = {, giacché otteniamo così la equazione trasf" ^ 
{'4-P^rz=Q., che è lineare rapporto a {. 



fF*-*^ 



», ' 



477 



Caso particolare ed importante della precedente è la equazione 
\i Bernoulli 

y + Fy = Q^»», ossia y-y -{- P^i-» == Q., 

;he si scorge essere della forma precedente scrivendola così: 



jr"^y^(ì — «)P 



vi— « 

1 — n 



Posto quindi 



il— n 



1— « 



= ^ essa diviene -(' + (1 — '') Pi ^= Q^ il 



:ui integrale generale è ;{=: ^^""^/^'^^h Q.^<^-''^/P'^^^a:+C, l,dacui 
'integrale generale della proposta: 

y-n = ^{n-Dh^JxLi _ „) ^Q^(l-n,/P^;r ^;», + cl . 

Qui si è supposto n diverso dall'unità; se fosse « = 1, nel- 
1* equazione proposta dy + ^ydx = Q_ydx si separano subito le varia- 



bili rtducendola alla 



dy 



+ {^ — Q)dx = 0, da cui 



logjc + / (P — Q.) rf* = e. 



^^•. *:>», 



.•f 



ìi 



r 



Esempi 



1) y-\-y = A/yì è P=l, Q = *, « = -;7> quindi 



,=e-'lMlLe^P' 



Vy=e 



[i/ 



] 



X 



dx-\-C\ ossia V> = ^ — 2 + ^. 



2) y cos^ — a stny cos x=zb sen 2x ; posto sen^ = ;{ abbiamo 

^' — ^^ cos x = b sen 2;r, 

il cui integrale è i = Ce'f^^^'^ (senjpH L e quindi l'inte- 
grale generale della proposta è 

sen^ = Ce^ "" -^ 1 sen x-\ I . 



478 



i85* Per integrare le equazioni della forma 

"^ (i) "*" * (i)^ ^ '''''"^''-^' ""-^^ 

ossia 

si pone —=:;?': essa si trasforma allora nella 

X 



<f (t) dx + i{0 (xdi + idx) = ojc^+s d{ 



ossia 



dx 



Hi) 



axmi-2 



^i Hi) + i:Hi) 



Hi) + i?Ax) 



L/-i ' 



che è lineare in ;v se m = — 2, o nella quale si separano senz'alt 
le variabili se mz=z — 1 , e che è una equazione di Berxoulu se 
è diverso da — 2 e da — 1. 

Esempio, y^dx 4- x^dy = x\xdy — ydx), 
ossia 



/ 



X 



Ydx-\- dy=^ (xdy — ydx\ 



È <f(^) 1= {', 4;({) z= 1, ;« zz: 0, quindi la equazione in .r e { 

dx \ ;c- 

-1 - H — rn — * "= -—. - ) il cui integrale è 
^i ^\i r + ^ 



X 



/i^ r ré-h 






r integrale generale della proposta equazione è perciò 



1 



X 



cy 



X +y X -{-y 



ossia y = 






i86. Equazione di Riccati, Della equazione 
( l) y + L/ + My 4- N =: 0, 

dove L , M , N indicano funzioni della sola x^ si trova colie q *^i 




479 

jre l'integrale generale, quando se ne conosca un integrale parti- 
olare ^ r= u(x)y cioè quando si conosca la funzione u(x) tale che sia 

(2) U + Lw« + Mtt + N rz: 0. 

Infatti, posto jv = « + ;{, in virtù della (2) la (1) diviene 
he è del tipo della equazione di Bernoulli e che ci dà, integrandola, 

L = ^/(2L«-f MW.vr A ^-/(2L«4-M)Jx ^;, ^_ ci , 



i 



>cr CUI 






C-4- A^-/t2L«+M)i.-^^ 

Esempio. — Con semplicissimi tentativi si trova che ^ =zx è in- 
egraie particolare della equazione 

y — xy'' + 2x^y — :^ — 1 = ; 
[uindi r integrale generale è 

y = » H -. = •»? H r , 

C, — / dx xe-f^^'^-''^' >^^ Ci — -~ 

Hi anche y = x-\ ^ . ^ . 



Del fattore integrante o moltiplicatore 
delle equazioni differenziali Mdx + N^ = 0. 

187. Un altro metodo per la integrazione delle equazioni ditfe- 
enziali y = ^(x ,jv) è quello del fattore integrante. 

La equazione Mdx -}- N^ = dicesi equazione differenziale esatta 
« il suo primo membro è un differenziale esatto. Allora, se « è l' inte- 



«. 






480 



I 



graie della espressione Mdx-\-ìsdy, tt=:C è l' integrale generale delb " 

equazione proposta. Così ad es.: sì riconosce subito che Tequazioce 

Xuv — ydx 

xdx +ydy H — = è una equazione esatta, il cui integrale 

X -}-y 

generale è 

I- (;,« ^f) + are tg ^ = C. 

Z X 

La equazione XYi/;f + Xj Y^^ = 0, dove X, X, sono funzioni 
della sola;t, Y, Yj della sola^, non è esatta, ma lo diviene se lasimol- 

1 X Y 

tiplica pel fattore ^.--:r^, poiché allora diviene ~y-dx-\--7^dy-^\ 

il cui integrale generale è 

.'X r Y 



l-d.^\-^-dy = C. 



Ciò che avviene per questa equazione particolare, avviene ii 
generale, cioè: 

Esistono sempre dei faf fori ji, detti moltiplicatori o fattori inir 
granii^ tali che moltiplicando per uno di essi la equazione differt^ 
\iale Mdx + Ndy = 0, questa si riduce ad una equazione esaìU 

ii(Mdx + Ndy) = 0. 

Infatti, sia f(x ,^ , C) = P integrale generale della 

(1) . MÌA:-+-N4y=:0; 

risolvendo rispetto a C l'equazione /=0, si ottenga «(**^)=^^' 

ditferenziando allora quest'ultima si ricava — dx-\-—-ày = ^^ 

^ 'òx ly 

c\\\ primo membro non può differire da quello delia (1) che pera 

fattore p. funzione di ^ ,7 e indipendente day, cosichè sarà — — *-^ 

e* 

— rzjiN, e l'espressione ji(M(/Ar + N^fy) è perciò un differenzut- 

"èy 

esatto. Rimane così dimostrata l'esistenza di un fattore integrante? 
che sarebbe subito conosciuto ove si conoscesse l'integrale g^ ^\ 
« = C della (1). 

Di questi fattori ne esiste un numero infinito, poiché ogn ^^ 
fattore della forma v-'i(u\ dove ? è una funzione arbitraria, '^ \^ 



"ari*-"*" 



481 

un moltiplicatore della (1), giacché 

[ir(u) [Sldx -f- Nt/)»] =: z(u)Ju. 

i88. Sia \x un moltiplicatore della Mdx -h N Jy r= 0. Allora avremo 
2([aM) 3(fxN) 



"^r- 



3/ 



3a: 



0) 



ossia 



Nli_M^=r. 



dx 



'iy 



2M 3N 



L 'èy 



dx \ ' 



e questa è una equazione a derivate parziali di primo ordine cui 
deve soddisfare la funzione }i; ma il determinare la funzione |i, od 
anche soltanto una funzione «i speciale che la soddisfaccia, costituisce 
in generale un problema più difficile della integrazione della equa- 
ziale differenziale proposta, che noi volevamo risolvere servendoci 
del fattore integrante. Cosichè è solo in alcuni casi particolari che è 
utile servirci del metodo del fattore integrante, in quelli cioè nei 
quali sia facile riconoscere una funzione |i che soddisfaccia alla (1). 
Due casi notevoli sono i seguenti: 



- ^-- 3N\ 
1) Sia ~( — ) funzione della sola x^ /(-v); allora la (1) si 



l^/aM^ 3N 

'A 11 9'^ ^^ 9'' 
riduce alla — r:; 

3^: N dy 



' ia/W) ^^^^ quale si soddisfa supponendo 

3'i 
|i indipendente da j^, cosichè — ^ = 0, e prendendo per jx quella fun- 



d'^ 



dy 



zione di x per la quale è -—- = ix/(x)] cosichè \i := e'-^^^^-'^ soddisfa 
la (1) ed è perciò un moltiplicatore. 

In modo analogo si riconosce che se -tfI "^ ^ — )^==^(/)? 

ji = ^/^'-''*''^ è un moltiplicatore. 



2) Se 



3M 3N 



dy dx 

funzioni di x e di ^, la (1) diviene 



= ìs-i{x) — M'l(^), essendo :f{x\ '^{y) due certe 



N-^^-M^'^ 



•i[N<*) — MH^)], 



la quale viene soddisfatta se si prende |i in guisa ciie sia 



31 



^ì 



Si 



• *^ 






482 

e ji risulterà appunto tale, se, posto ja = XY, dove X , Y debisBc- 

essere funzioni delia sola x e della sola y^ si determineranno X.Y 

^X dY 

dalle equazioni -——:=:^\^ix). --—=iY'\(y) cioè se X=:^'^^^', 

dx dy 

Y = é''^^'^^y, Cosichè il fattore integrante sarà nel nostro caso 

Esempi 

-2/-^ 1 

cosichè \i = e ' ^ =. — ^. La equazione propostasi riduce alla equa- 



zione esatta 



\—^—y\dx'^r(y — x)dy=^, 



il cui integrale generale è 

y^x — 2x'^y — 2 = O. 

2) /^;c+(;t^— l)^^ = 0: 
l / aN 3M \ 1 1 „ . . I I . 
I _ \ =: ji rzz — , e 1 integrale generale e 

.Af^ — log^ = C. 

2 2 1 

cp(;v) = i(^'):i=: ,1 — ——^, e l'integrale generale e 

X y x^y 

xy{x -\-y) — 1 :== Cxy, 

189. In alcuni casi si riesce con speciali ripieghi a \xo\^^ ' 
fattore integrante. Così ad esempio, cerchiamo se si possano deter- 
minare le costanti w , « in guisa che x^y**^ risulti moltiplicatore à^^* 
equazione 

{2ay + Sbxy^) dx + (3ax + 4bx'y)dy = 0. 
Dovremo avere 
x^[2a(fi + l)y*'-hSb{n-\-2)xy»+^]=y*'[3a{m+\y''-\-4bÌm'\'2K\' 'A 



:3((M-Hl), 3(w + 2) — 4|w + 2) da cui w = I, 
, , — xy^ h fattore integrante, e l'integrale generale 

190. Se nella equazione 



poniamo *-|-aX in luogo di *, _y + iY in luogo di /, dove X e 
V indicano funzioni di x ,y ed e è una costante della quale vogliamo 
trascurare le potenze superiori alla prima, essa si riduce alta 

-(^— f--f)(*-f--f*)=» 

ossia, per la (1), 

Se il primo membro di questa equazione è uguale al primo 
membro della (1) moltiplicato per un fattore indipendente da dx. 
li}: si dice che la (1) ammette la ira$Jorma\ione i n fin if esimale X, Y. 
La condizione necessaria e sufficiente affincbè ciò sia, si ottiene eli- 
minando dx, ày tra le (1), (2); essa è perciò espressa dalla equazione 

Va* ^y ì \2x 3,v / 

Va» ìf 1 Va» a.' / 



^VMX + NY/ S«VmX + NÌV 



la quale mostra che — ^^ è un moltiplicalore della (1), 



E si riconosce subito clic, inversa; 

grante della (1) e X, Y sono funzioni àìx.j! tali che .1 =: ^^ — ^ , 1 

la (I) ammette la trasformazione infinitesimale X,Y. 

Si ha cosi un mezzo per determinare il fattore integranle Ji 
certe equazioni. 



1) Se la equazione Mi* H- Nj/j» ^:: è omogenea, essa ammene 

la trasformazione intìnìleslmale x ,y, cosichè -r-- -r— neèui 

'■^' Mx + hy 

tore integrante. 

Z) Come facilmente può verificarsi, la equazione 

{x*_y^ —ajdx-{- x'ify = 

ammette la trasformazione infinitesimale x^, 1 — 2xy, cosichè 



ne è un fattore integrante. Si troveià allora che l'integrale g 
rale è 

Se tf^O, l'equazione proposta si riduce a _r*i/.v + (fy — 0, il 

intecrale è x ^ C. 

Esercizi 
1. Equazione differenziale y + ay — b=:0, integrale f 



485 



2. {-Jx H- 1) (/ +/ — 1)/ +jy{2x — 1 ) = , 
f + 2y-h2x = 2ìog [C_y (2x + 1)J. 



3. x\/l+f +y /VI 4- ■«' = 0, 3V 1+ ;c- 4- 2 V 1 4-/ = C. 

4. (1 — sen x) (a* — y*} +j> (x -+- cos;i;)y = , 
(* + cos jr)*"' («» +/) = C {a- —y'). 

5. {x+y)^dj> — adx = Q, x-+-y = atg{--^' + C\ 

6. a{xy —j>) = (x +yy)\/x-+y — a\ 

a are tg - = y x^ +/* — a^ -\- a are sen — zz=:z=z: + C (si ponga 

4: =: p cos e, ^ =r p sen 6). 

8. Determinare la funzione ^ di a: tale che sia 

2 — M 



/ ^ydx = — \yàx ; y =: Cx^-" 



9. integrare algebricamente 1' equazione 

dx dy 



v(i— ^«)(i— >è«;v«) v(i— r)a->^'Vi 

.V 

— ■ — e chiamata con Uu) la fun- 

\/a—x')'a — k'x^\ 







zione x à\ Uy e posto inoltre [i(«)z=:^/ 1 — >•(«)'? 

\{u)=^y 1 — ^'À(tt)^ [M")? I^(")j ''i") sono le funzioni ellittiche di 
Abel e Jacobi], si trovi la formola d'addizione per la funzione >.(//). 
L' integrale algebrico è 



■*'V(1 — /) (1 — k^f) +^V(1 — x') (1 — k^x^) =z C(l — k'xyi 
e la formola d'addizione è 

x(«) iiiv) v(t; + H^') :•(«) ^'(") 



X(w -|- u) = 



1— >&'^X("tt)«"À(t'y 



486 



Ut 



he. 
h. 



1 0. xdx +ydy=zxdy — ydx^ log \/x^ 4->'* — are tg -^ =r C. 



1 



W.y 4-\V +/ = xy\ jc« = 2C^ + C^ 
2. ( a; — ^ cos - ~-\ dx -\- X cos — ^Tv = 0, jf =^ C^ 

13. xy' — y i=^log^ — log x) ^ y=z xe^^. 

14. xdx +ydy = mydx, 



- sen — 

X • 



in 



\2^-- mx+x\/m^ — 4j 

5 w 2 V — /« a: _ . , , 

log\^^' — /WA7 + A" H ^zzzziz: are tg =z= = C se w| <2. 



\;4— ;;j' j*rV4--w^ 



log (>' — x) 



logf/ + A:) 



.X" 



y — X 



y + x 



= C 



= C 



se m = 2, 



se m = — t 



15. ( l — AT*) ^ + xydx = adx, y = ax-\-C\/ì — Jf* . 

10. dy -{-ydx = ax"dx , 
y = Ce-^ + alx*" — nx^-^ + n(n — l);c'»-2— w(« — 1){« — 2)jC-^+.Ì 
se « è intero positivo. 



17. 2a(1 4- Ar« »y -h 2Af*7 = 1 , 2y\/ \+x'' = log 



Vl-|-jr--l.,, 



— -^L. 



18. {x+ \)dy — nydx — e°'{x-[-\)''+^dxz=z^^y = {x-{-\ni^'\-^y 



19. ydy — (1 -\-y'^)dx in: V 1+^* cos axdx , 
, ,- r ^ sen ax — cos ax ^ 

\ 1 +/ -—. h c.«. 

l -f- a 

20. y cosy + sen^ = x , sen^ zzi ;r — 1 + C *;-"*'. 



21. y + 



«^ 



Vi + ^' 



y-<:^yrT^-A^^„^,^'T^^-£,^n..^ 



erso 



d? 1. 



-wrr^r- 






.«*■»- 



487 






ax 



^=C[VH-^--*] + -5r+ ^-{y i+x'-x)\og(x + yi-rx')se « = 1, 



'^S 



ax 



= —1 



?^C[\/l-hx'+x\-h'^ + ^(V\+x''-hx)ìog(x-\-\/l-\-x') se w 

• 22. ^/4-^^yiog^zi=0,j^= .^ r ^ 1 • 

l+C-r + log;v 

*-23. dy -\-y (cos ;r — y"^ -^ sen 2a:) Ja: = , 

o 

iri -«=ii:2senAr+0("-^^*cna-_^ _t_^. 

n — 1 

24. ^-^(jcV + ^Z) — 1, -^ = 2— Z + O""^. 

25. Si riduca alle quadrature 1' integrazione della equazione 
(P -f- Q_x)y = R + Q^ , ossia ?dy — Kdx + Q./A:i/y — ^Ja:) = 0, dove 
Pj Q-> R sono funzioni omogenee di a:,^, e P, R dello stesso 
grado. 

20. Equazione di Jacobi : 
(d -I- ax 4- tf » {xdy -ydx) -{b + b'x + b"y)dy + {c-\- ex + cy) dx = 0, 
cui si può dare anche la forma 

{\x^ + Bxy 4- sa: + ?^ + y) ^ = {^^xy -\- B/ + ol'x -h ^> + y') ^J^. 

Si ponga A: = w4-a, ^:iz:z;-f-^ e si determinino a , ;} in guisa 
da ridurla alla forma di quella dell' esercizio precedente. Si troverà 
che i valori di ^c , ,i si ricavano da due delle equazioni 

a — X -\-aoL + ^"^ — , 
b + (b' — X)a + ^'V = , • 
^ +c'a + (c" — X)3=:0, 

dove X è una qualunque delle radici della equaz.one di terzo 
grado 






■U 



M 



''i\ 



!fR 



a — A a 



= 0. 



^•~X ^" 



e" — X 



488 

Come esempio si troverà che l' int 
{-■2-+- -'x +y)(>-d}' -yJx) - (- 2 + ir +y) ti/ ^- (- 4 + 2jr + :it) A -H | 
^ (x~lìO- -l)^C(j,~2x)\ 

27. Ridurre alle quadrature l' integrazione delle equazioni 

dove P , Q sono funzioni della sola x. 

2&. (.v' +y -|~ if) rf* + 2ji(/)' = 0, moltipiicatore |i =(', jntegnlÉ 1 

29. j>(tìx^ - aj>) dx - x(dx^-2ay)dy= 0, |. = -, , *^ -(- Cj-^ - «/ =0. 

óO. Un moltiplicatore per la equazione di BtHNOtiu 

[Pj.-—y''Q_)iÌx-^dy = è :i — . Si trovi tal moltipliciiL.; 

ponendo, nella (1| n. 188, ii,=^y\i, e determinando |i,, 

31. Un moltiplicatore della equazione 
dy-\-y-dx ^ {-- |-P*)</j^. dove P è funzione della sola i 

ante la (Ij 

è , = ..a'=).'^ dove ^ = * +^- ; se ^^ - Hxy) è , = <■'- 
dove ^ ^ xy. Cosi ad es. : 
^ (-*' + xy + 2xy — / —y'^) dx + (>•' +/'* + 2xy — ar' — a'i </r =' 

t (it>' -.V) dx + y2xy - x)dy = 0,.^ = ~. A7I*' +^') + \+0 

t 3:1. Data ÌAdx'\-'ì^dy = 0, si cerchi il moltiplicatore ji s 



fc 



IP^^ 



•»-'r. 



489 

nendolo funzione simmetrica di a: , r. Se M^dx -+- Nj^» =; è la equa- 
zione che si ricava dalla proposta scambiando x^j^ tra loro, «i è pure 
moltiplicatore di questa equazione. Dalle due equazioni cui deve 

soddisfare ^ si ricavano i valori di — — , ^ ; chiamate a, 3 queste 

funzioni, dovrà essere — = -- (ahri menti la supposizione fatta non 

è ammissibile ed è inutile tentare la ricerca di }i in questo modo). 
Potremo allora determinare |i. Così, ad es. : 



■ò^ 



(1 — xj^) dx -f- (X' — y) J>' zz: , v-=z 



x^-\'f ~'òxy + \ ' 



log 



X -f-/ + 1 



\ x^ +^' — xy — X — y -h 1 



9jt V 1 

_l_ Y 3 are tg ^ ~ = C . 

V 3 (1 ->•) 



34. La condizione affinchè la equazione dy+l Q.Wa = 0, 

dove P , Q. sono funzioni della sola x^ ammetta un moltiplica- 
tore |i= - — --7~7i- è che sia Q. = — -.- (7^), ed allora 

[y+f[x)Y l—n d,\ VQ./' 

P 

è/{x) = -ri — . 

35. Data la equazione {ax -\- by -\- e) dx -|- {ax -\-h>y + e) dy =1 
si determinino m , n, m , ;/ in modo che essa ammetta la trasforma- 
zione infinitesimale mx -\- «, m y + n. Si avrà quindi 

'1 

M ~ _ 

\aX'rby±c)\Kab''ab)x-\-{fic-bc)\^{ax-^by^c)\{^^^^ ' 



^1 



3^3. Data la equazione ydx — xdy + axy (jc»» + ^)« dy = 0, la si 

vdx —^ xdy X 
scriva cosi: ^ '— — \-ax'*ydy = e si ponga ^=vy. 



(Af^ + ^j" (>'• + *)« 

Si trova immediatamente il moltiplicatore della equazione trasformata 
in r,^, dal quale si ottiene il moltiplicatore della equazione pro- 
posta, 

yn - 1 

|i = r- . 



x"^ 1 -}- abxy (x"* -\- b) " 



490 



37. Il primo membro della equazione 

^ydx -f- ìxdy = x'^y^i^ydx + hx Jy) 



ha un moltiplicatore della forma 



xy 



, il secondo uno delL 






(x^ y>.) 
forma - — : r^ dove ^ , ^> sono funzioni qualunque. Le si deiemii-i 

nino in modo che quei moltiplicatori diventino uguali. Si otiiecé| 
così un moltiplicatore della proposta. Si trova 

11— AfX2C-l^'.^-l — ;,.vr-m-l^/5-n-l^ dove X = ^ , v ziz -. 

ad — ,:*,' *5 — ^,' 



Equazioni differenziali di primo ordine non risolute 

rapporto alla derivata. 



igi. Studiamo alcuni tipi di tali equazioni. 
Equaiioni differenziali di primo ordine e di grado n. Sono qudk 
della forma 



(1) 



-.(!)"+ ■".(ir'---^-^f-''-v 



dove le P indicano funzioni univalenti di x ^y. 

In particolare, si dicono equazioni algebrico - differenziali « '• 
P sono funzioni razionali intere di x ^y. 

Supponiamo di saper risolvere la proposta equazione rapporto i 
y\ cosichè essa assuma la forma, omesso il fattore P^,, 



•ì.) 



(/-A) (y-A)..(y~^)=o, 



dove le / sono funzioni di x ,/, che potranno anche a gruppi o wn: 
essere uguali tra loro. 
Siano 



;lle equazioni 

dico che 

W F>(-« ,> , <=} U^ ,^ . ^-) ■ ■ ■ U^ ^> ,c) = 

è l'equazione integrale generale della jl], cioè che derivando rap- 
porto ad X la (4) ed eliminando e tra la equazione che cosi si ricava 
e la (4), si ottiene la (2) o ciò che è lo stesso la (1), a meno di 
un fattore indipendente da y. 

Facciamo, per brevità, la dimostrazione nel caso di « ^: 3. Per 
eliminare e tra la equazione 





Fi {' ,y , e) F,(« 


« k 




(5) 


dx ^ ' di 


''Fi. 
dove -5— 
dx 





y,... eliminiamo e tra la Yf{x ,y ,c)r=Q e 

la (5), cosichè, osservando che la eliminazione di etra Fi(ji:,_v,f)^^0, 

~ — 1=0 dà per risultato !i,(_ji' — ^,):=0, dove [j, è funzione di 

X ,ji, ed indicando con 'J', =; il risultato della eliminazione di e tra 
Fi ^= e F,Fj 1^ 0, otteniamo 

Analogamente, eliminando e tra F, =0 e la (5), tra F^^rO e 
la (5), avremo equazioni della forma 

vii-fiy ~ A) - 0, i„.^,(y - p,) = 0, 

dì guisa che il risultato della eliminazione di e tra la FF,F3^^0 e 
la (5) sarà 

■M^'^i'z^iWhiy - Pi) (/-A) (y-Aì = o 

cioè la (2), pel caso « ^ 3, fatta astrazione dal fattore l'|!isi's't','i,% 
che Don contiene y'. 



41)2 



Esempi 



1) Supponianrio p^ ,/>2 .../>„ costanti, il che avverrà certamente 
Py , P, ... P„ sono costanti. Gli integrali delle (3) sono allora 

e quindi V integrale della (2) è 

cosichè si ottiene l' integrale generale della proposta equazione 

y + ^ 

tuendovi in luogo di y. 



Cosi l'integrale di y^4-3y3 + 2 = è 



(^)V»(^)'— 



Ciò vale anche, come sì può facilmente riconoscere, per qu^i 
lunque equazione differenziale di primo ordine che non contenga espl:^ 
citaraente x ^y. Così l'integrale generale della equazione ^*''-i-3f''-fl='] 



e € ^' 



K^)— • 



2) Si riconosce facilmente, considerando / come incognita, ci 
y -=zy è radice della equazione 



r'^ — (sen x + cosx ^y)y^ + (sen x cos x -\-y sen x -f>' cos x)y — y sen a: cos i ' 
cosichè questa si riduce facilmente alla 

{y — sen x) {y — cos x) {y — y) z=i 
e si ha allora subito V integrale generale 

(y 4- cos x-\- e) (y — sen x + e) {y — ctf) = 0. 
8) Le Po , Pi , . . Pm della equazione (1) siano funzioni omo '^ 



493 
dello stesso grado di x ^y^ cosichè la (1) possa ridursi alla forma 

.0 (f )y- + .. (i)y- 4- ... + v-„ . : (-J)y + .. ( J) = o. 

y 

Posto — =: ;^, da cui y = ;tf' -H- ^, e sviluppando le potenze di 

X 

x{ + .^ ed ordinando rispetto a a:{', essa diviene della forma 
ossia della forma 

4-0(10) IN' - /» (OJ K -A(^)l • • • K - />«(?)]{ = 0, 

il cui integrale generale è 



h« - -/i^,] h "^ -ìjU - [''" ^* ".'/^ 



=0, 



che è quello della proposta tenendo conto della posizione fatta 

Sia ad es.: l'equazione 

y^'3 -^yy^ — xy -\-x^ = Q, 

y 

Posto z=z— diviene 

{*(*•{' + ^f - ^{x^ + (f - (x^ H- ^) + 1 = 0, 

la quale, riconóscendosi subito che il primo membro ha per fattore 
jr^'H-;^ — 1> si riduce alla forma 



^ • 



e si ha l'integrale generale di questa equazione 
e quindi l'integrale generale della proposta 



^-^ 



494 

od anche 



(jF-AT-hO [(y^ + cy-x'\=0. 



Z92. Equaiioni differenziali di primo ordine risolute rapporto 

una delle variabili. Le equazioni della forma x = riy) si integraa 

dy 
ponendo y 1= — =/; allora abbiamo 



(1) 



« = ^(/), 



dy 



da cui dx = --r— =2 ^'{p) e da questa 

P 



(2) 






Eliminando p tra le (1), (2) si ottiene una relazione della foi 
/{x ,^ , C) = che è l' integrale generale richiesto. 

Se r eliminazione di p non si può o non si vuole fare, si 
tiene che le equazioni (1), (2) costituiscano l' integrale generale de 
proposta equazione, come quelle che esprimono x ^y mediante 
parametro p in guisa che i valori di x ^y che corrispondono a qi 
lunque valore di /> (o a qualunque valore di p in un certo inteniUf 
sono tali da soddisfare alla data equazione differenziale. 

Le equazioni della forma 

X = ^{y ,y) 
si integrano in modo analogo; posto y =:^ si ha 



e da questa 



x = 'i{y,p) 



ilx z=. — dy H db 



ossia 



\dy p)'^^ 



+ |i./=o. 



Supponendo di integrare questa equazione, che è della 
Mf/y + N(/^ r= 0, si ottiene una equazione della forma 



(^) 



^U,P^C)-=^- 



..^ -» 



495 



i 

i 

• ■ « 



Eliminando p tra le (3), (4) si ha l'integrale generale /(x,jf,C)—0 
della proposta equazione; oppure si ritiene che le (3), (4), conside- 
rato / come un parametro variabile, costituiscano l'integrale generale. 

In modo analogo si vedrebbe che le due equazioni 



y = -iip), X .-= p^ dp+C 



costituiscono l'integrale della equazione ^ = ^(y,; e che le 

y = ^{x,p), ^(x,p,C=0, 
dove la '4; =: è r integrale della equazione 



(t -')'"+ '?*="■ 



:ostituiscono l'integrale generale della equazione j^' =:^ (a: ,y). 

Esempi 

1) x = ey'-\-y. 

Le (1), (2) diventano qui 

x = eP-[-p, y=p{e'^-{-pyÙcP-\-p)dp + C,^.p{er>+p)'evJ 4-C, . 

« 

Volendo tra queste eliminare />, servendoci della prima di esse 

a seconda diviene yz=px — (x — p) — ~ 4- Cj dalla quale 

2 



iz=zx-^\ db \/^' — 2/ + e , avendo posto C = 1 — 2Ci . La prima 
Jiviene quindi 

)ssia 

ihe è r integrale generale. Notiamo che, non volendo introdurre 
[uantità complesse e poiché il valore d'una esponenziale è sempre 
ilora positivo, dovremo dei due segni prendere l'inferiore. 

2\ y=yy^ + 2yx. Risolvendo rispetto ad x e ponendo y=/ 



TT? 



h 

r 

i ■■'' 



41>6 



e a: 



^(1-/) 



'ip 



, da cui, differenziando ed osservando che" 



:, dy . . dy dò ^ . , _ 

dx = — , SI ottiene — = — -, che , integrata , dà py = C. 

minando p tra questa equazione e la proposta y =. py -f- 2/x, si 
tiene T integrale generale ^* = C + 20^. 



3) y=za \/ 1 +^'' . Posto y =p, è 



/ = ^Vn-/' . A- = 



• ^/> 






+/' 



+ C = ,2log(/>+\'l+/0+l 



Volendo eliminare j6, osserviamo che 1' ultima può scrive! 

.r-C 



cosi : p-\- \' \-\- p' z=e " , dalla quale 

1 



.r-<: 



==-(/>- \l-^')='^ •' 



p-\-\'\+p' 

e quindi /> = — ( ^ '' — e '* ) 5 in conseguenza abbiamo 



y = a^\ + \{e 






4) j> = Xr(y -+- ?(y), ovvero, posto al solito / 

dalla quale 

pjx = ir|(>>) + [xVip) + •/(/.)] i/ , 



/>. 



ossia 



^^ ■ ■HP)-P 



X — — 



f'(P) 



^p) -P ' 



che, essendo lineare in a-, dà, integrata, 

x:=e ■ M-tFi-f — I 1-J~f— 

L }'^{P)-i 






+ C 



J 



Eliminando p tra questa e la proposta equazione ne or 
r integrale generale. 



„ tegrale generale della equazione ^:^ «_)>'' +_v'^ 

si ottiene eliminando/' tra la equazione ,v ^/i^* +/>' e la 

Ponendo in questa per ^ il suo valore _>i — p'x, e poi risolven- 
dola rispetto a p, si ottiene 



a l'integrale generale èy=p'x+^, dove/ ha questo valore. 

193. Equazione di Clairaut. Nell'esempio precedente bisogna 
supporre ^{y) diverso day ; se è ■^(y')-=y si ha la equazione 

7 = ^y + ?(/!, 

cbe chiamasi equazione di Clairaut, e che è meritevole di speciale 
considerazione. 

Posto y^/, abbiamo 

(1) y = px + -i(p) 

ila cui 

pdx=pdx + xdp-i--i'{p)dp ossia Jp\x -i-w'{p)\ — (i. 

Possiamo soddisfare a questa equazione assumendo dp = 0, da 
i:ui/^=C e quindi si ottiene l'integrale generale 

iella equazione di Clairact, 

Ma possiamo pure soddisTare alla stessa equazione assumendo 

x+?Xp)=0, 

-•d allora eliminando p tra questa equazione e la (1) abbiamo pure 
in integrale, che non contiene costante arbitraria e non può neanche 
«tenersi dall' integrale generale (2) attribuendo alla C un partico- 
lare valore costante, poiché si vede che si ottiene dall' integrale gene- 
rale eliminando C tra la (2) e la equazione «-|-<f'(C) = 0, cioè 



498 

assumendo nella (2) per C il valore, funzione di jr, che ricaviamo 
dalla a: + cp'(C) = 0. 

Questo integrale chiamasi un integrale singolare^ o solu^om 
singolare della proposta equazione. 

Esempio. — y -rr-px -\-p^. V integrale generale è y =Cx-\-0 t 
V integrale singolare si ottiene eliminando p tra la precedente eqna- 

zione e la x + 2p = 0, cioè è ^ = . 

194. Se una equazione differenziale non appartiene ad alcuno 
dei tipi finora considerati si cerca allora di integrarla con speciali 
artifìci e trasformazioni. 

Se il primo membro della equazione proposta può scindersi nel 
prodotto di più funzioni, /i(^,^,y) ./j(jif,^,y)... = 0, e <fi(jf,^>^i>-Q' 
^t(*>^?^«) = 0, .. . sono gli integrali generali delle equazioni /i = 'X 
/j = . . . , allora ^^(x ,^ , e) . cpj (;r ,/ , ^) . . . = sarà Pintegrale gene- 
rale della proposta. 

Esempi 
1 ) L' equazione 

(1 -h x^)y* — 2xyy +/ — 1=0 
può scriversi cosi : 



U - *yy - (1 -y*) =(^ - xy -V 1 -y'*){y - xy h-vi-^'"*) =•'• 

Gli integrali generali delle due equazioni (di Clairaut) 



7 — ;^y — Vi— y«=:0 , ^. ~;fy+vi--y*=o 

essendo 



Ci:r— Vi— Q«=:0 ^ y -.C^X + \/\ -^C^^ = , 



ed avendo esse l'integrale singolare comune ^ = V** + l^ la equa- 
zione proposta ha l'integrale generale 



(>'-C;r-Vl-C«)(^-CA: + Vl-C«) = (jy — O:)'-(l-C«) = 0. 
od anche 

(H-Ar«)C* — 2;c>'C+y— 1=0, 

e l'integrale singolare y — jv* = 1. 



499 
2) y + f{x) sen^ 4- ^>{x) cos^» 4- '+(«) = 0. 

Poniamo tg— -^ = -{, ed allora la equazione (Vedi num. 288, 



voi. I.) si trasforma nella 



< +A^)i 



a-{') + ^(i+c*)=o 



ossia nella 



che è una equazione di Riccati e della quale perciò si determina 
colle quadrature V integrale generale, quando se ne conosca uno 
particolare. 

Così ad es.; se '^(x) =: — f{x\ ^ = 1 è integrale particolare della 
corrispondente equazione in ^, e V integrale generale si trova essere 

tg i-jvl" [f[x)J'^^''^^^'dx + ci — ^/^'^^'^^ = 1. 

3) La equazione 

axyy^ + (jt* — ay^ — b)y — Afy = 0, 

posto x^ i=zl^ y'^z=z Ti da cui y = ~j- = ^-7^ -^ , si trasforma nella 



dx Vr< di 
di 



-S (^)V (?-«>!-*) Sr - 1 = 0, 



{' 



dti 
~dì 



4-1 



)=4("$-0- 



di' 



di 



di 



a 1- 1 

dl^ 

che è una equazione di Clairaut il cui integrale generale è 

AC 

r = Cg 7^ r-? ® l' integrale singolare è ar^ + (yjb — \/ If =. 0, 



• Si 
> 



/ r 



-Vi 



^jy 






500 

cosichè r equazione proposta ha V integrale generale 

bC 



.« — r^i 



^ aC + l 

ed ammette ancora l'integrale singolare ay^ + {\/b — xY=zO. 

Esercizi 

1 . ^'3 _ (jj,s _|_ xy +/) y^ -h (x^j; + xY + xf) y — x^f = 0, Y'm- 
tegrale generale è 

2. (^« — x^)/^ + ^;cf^« — a:«)^'- — / — bx = 0, 

(y+^-c) [(^ - C)« - (are sen ^y] := 0. 
3. x^y^ + 3jr;i>'' + 3/ = 0, 

;r3/ + 2C^JV 2"cos {-^ log a: W C* = 0. 

4. ^'3 -4- 1 — a: :ir 0, 64(^ + cf — 27(> — 1 )< zz: 0. 



5. ^ =y + Vi +y% / == 1 -4- C^-»^. 



6. ^^ = A:(y + Vi +y^), x^ +/ = Cx, 

7. y^-\-ax — bjy = 0, 

b'^x — 2b\/bj; — «a? + C = 2a log [*V^>' — ^ — ^1 

8. ^^y« -4- (2a: — *)/ z=^, y = aC^ + (2x — b)C. 



9. ;9''=^ + Vl+y) i"*' generale x=zCy-h\/l-\-C'y ia*- 

singolare ^ = — V^ — ^^' 

I0.y\/l+y^=f(x'hyy). Ponendo x*+y=2{, si riduce ìà 

una equazione di Clairaut : l'integrale generale è V(* — Q'-h^ ' * 
e Pint. singolare si ottiene eliminando { tra le equazioni 



^-^' + V(^-cT+/=/'(0 e V(*-cT-h/=^/( 






501 

1 1 . f{xy ^y ,/) = 0, f(Cx ^y , C) = 0. 

Ì2.y'-2xy' — 2/ f(yy\ int. gen./ — 2C;e -h 2C/(C), l'int. sing. 

si ottiene eliminando ( tra ^=x{+{/(-^\ e :v +/(^) + ^f'{{)=^- 

X 

13. (^y— ^) (xy —2y)'^x^'=:Q^ int. gen. ^ = Cjr'-f--— , int. 

singolare yz=i2x'^ . f Si ponga —=i^\. 

14. y«4-;ry -f-Ar« = 0, 4(>' + C)' + 2a:»(j^ -f C) + ;t:^ = 0. 

15. ^'^ + axy' + x^=z 0; posto /' := tx^ l'intg. generale è formato 
dalle due equazioni x=i- 



ai ^ „ a' 1+4/^ 

, ^ + C = —^ ^^ ^ ^^ , conside- 



randovi / come un parametro variabile. 

16. y* +yy +y = o; posto y^=^ty si trova l'integrale dato 

1 +/ 8 f 



dalle due equazioni a: 4- C = log 



Z'-^"" 1 + / 



17. ^\/l +y*=:«(A:+^'). Si risolva rispetto ad a:, ed allora si 
troverà l'integrale generale (x — C)* +y = «*C*, e, procedendo come 
per la equazione di Clairaut, l' integrale singolare eliminando p tra 

le equazioni y\/\ +p^ = n{x +py\ p — «V^ + /^' = ^• 

* 1 
\S. y^ =y\y -{- xy\ integ. generale ^zz:— -— , integ. sin- 

golare Ax^y^ — 27 = 0. ( Si ponga ^ =: — J . 

19. (! — y)' — y'^e-^"' = 6"'^^. Si ponga y'-=py si prendano i 
logaritmi dei due membri, si derivi rapporto ad a; ; si ottiene così 
r int. gen. (1 — C*) e^^ = (1 + Cef^f, ed il singolare <?** +e^y = \. 

2tì. yy\x^-^'y^-^a^)^x{x'+f--a')={Slx^+yy=2a\x^---y^)+C^ 
21. (y* —^O' =>'(/• +yS (si ponga >r = ;['), 



[(;r+C) -5->arcsenV>'-4-2Vl-^t T [(•*^+C)«-J2 are sen \/r-2\/l-^i*1=0. 
22. ^'« - |y' = {y - ;ry, 

[(-^)V|]'('-±5)=„-.,.. 






'»^ 



•x r 



■J-'J 
* i 



■r, 



^1 

I 



502 



Equazioni difFerenziali d'ordine superiore al primo. 
195. Il tipo generale delle equazioni diflferenziali d'ordine «è 

(1) /(^,^,y,y,../«)) = o. 

Qui valgono considerazioni analoghe a quelle dei n. 175, 176. 
Sia una equazione finita tra x ^jf ed n costanti Cj , Cj ... d, 

^(•^ ^^ 9 ^1 j Q 9 • • ^n) = 0. 
Derivando successivamente n volte rapporto ad *, abbiamo 

y =0 



3^ ly 



Eliminando tra le (2) e la a> = le costanti C, otteniamo dm 
equazione del tipo (1). 

La cp = dicesi allora la equazione generale integrale \i^ 
graie generale della (1); ed il valore di y espresso per ;c e perle 
C, che si ricava dalla 9 = 0, o un ramo della funzione y definiti 
dalla cp = 0, dicesi l'integrale generale della (1) se si possano deter- 
minare le costanti C in guisa che, per un certo valore x^ di x (ap- 
partenente ad un certo campo o qualunque), le ^,y ,^'',...>^'''"^ 
sumano valori prefissati jVo5yo?>'"o >— J^o^"~^^- ^^i integrali particolan 
sono quelli che ottengonsi dall'integrale generale, attribuendovi ill« 
costanti particolari valori. 

Integrare l'equazione differenziale significa trovarne l'integrai* 
generale. 

Se tra la cp =: e tra le prime n — 1 delle equazioni (2) < ^ 
niamo successivamente tutte le costanti, eccetto successivamei: ; l^ 
C, ^Cj,... C«, otteniamo n equazioni difFerenziali di ordine * -^ 



della forma 










! fi(-«,^.^j 


..>"- 


),C,) = 0, 


■'■'■) 


\ U',y^y, 


../"- 


NC.) = 0, 



ciascuna delle quali dicesi un integralf primo o di primo ordine àéW& 
equazione proposta, ed il loro insieme forma il sistema degli inte- 
grali primi. La conoscenza di un integrale primo è un primo passo 
alla integrazione della equazione, che è cosi ridotta a quella di una 
equazione di ordine « — 1 . 

Se tutto il sistema è conosciuto, eliminando tra le (3) le 
/ ,_)>' .. .y-'-'^) si ottiene l'integrale generale della proposta equazione. 

Se tra la ¥ = e le prime n — 2 delle equazioni (2) eliminiamo 
tutte le costanti ad eccezione delle Cr , C, otteniamo una equazione 
della forma 

che dicesi un integrale secondo o di secondo ordine; di queste equa- 
zioni se ne ottengono — ^ — - — -, il cui insieme forma il sistema de- 
gli integrali secondi. E cosi di seguito, si ottegono gli integrali terzi, 
quarti etc. 
Posto 

dy db, dp„-2 

la equazione ditferenziale proposta diviene 

(5) ■ /(«,,, A .A... /..-,, ^j = li, 

cosichè ad essa si può sostituire i! sistema formato dalle equazioni 
di primo ordine (4), (5) tra la variabile j: e le funzioni incognite 
J>,p\ ,Pì,—p^~i- Si sarà perciò provata l'esistenza dell' integrale ge- 
nerale per la equazione proposta, se si dimostrerà che le equazioni 
(41, (ó) ammettono un sistema di equazioni integrali, cioè « equa- 
zioni tra le j' ,pi,pj,. . .p,K-, con n costanti arbitrarie. 



504 

La dimostrazione dell' esistenza del sistema integrale per le equa- 
zioni della forma 

dy 

~dx ~^^^^ '-^ '^^ '^« " • • A-i)^ 

dp-^ dPn 1 

— =fi(x jjK , A » • • • A'-iX • • • ^^ =M^ >y ypi ' ' 'P« ')j 

delle quali le (4), sono casi particolari, e all' ultima delle quali si 

riduce la (5) risolvendola rispetto a j~ . si fa, sotto certe coudi- 

dx 

zioni cui debbano soddisfare le funzioni f^ ?/«»•• /n, in modo ana- 
logo a quello dei n. 177, 180 per le funzioni di due variabili; ma 
noi ommetteremo qui tale dimostrazione, riservandoci più tardi d: 
dare quella che risulta dal metodo di integrazione per integrazioni 
successive. 

Passeremo ora invece alla effettiva integrazione di equazioni àìi- 
ferenziali d'ordine n appartenenti a tipi speciali. 



Alcune operazioni coi simboli D e xD. 

196. Premettiamo alcune proprietà dei simboli D e xDy dovt 

du du 

Dw = -— 5 xDu = X — ~ . 
dx dx 

J' d} 
Con D'^ , D^ .... intenderemo -r-r , -1-5— Valgono, come e nota 

dx' dor 

le formole (r , n interi positivi) 

Con D-^ = -Yr- intenderemo l'operazione inversa di D ciò tiie 
che D-^(D7/) = «, cioè D- ^ — /«^a: + C o semplicemente, aslrr odo 



D- 



1^=. juJx. Con D"''' si intende D-'(D-'u) ciiiè 
/ (ir / udx ^ / Ui/j:'... 

— u = I dx I . , . I udx ^ ludx" . 

Le formole (I) valgono quindi anche per esponenti r,n interi 
positivi o negativi. 

Sia 
^D) = A, + A,D + A,D' + ... + A.D' + ... + B,D-i + B,D-' + ... 

una funzione del simbolo D ordinata per le potenze positive e ne- 
gative di D, i coefficienti A , B essendo costanti o funzioni di x; si in- 
tende subito il significato di -^Dju, cioè 

AflU + A, Da -J- A,D*« + ... 

Allora ha luogo la forinola 

Infatti De-" = ai:"'; D-e^'- = a*e-",...; Vy-'e" — D-Ua-'De'-) 
= (»-' D-'Ds'"' ^^a-'f'^', (come risulta subito anche da 

D-'e'" = j e^^ dx =z a-'' e") e quindi D--^" =;d— -i!-'-'",... 

ed in generale D"e" ^ a''^'"^, dove « è numero intero qualunque. 
In conseguenza 

4,(D)^' = A,<!'"-)-A a*''> + .\,^V^-H... + B, a-' ^"-|-B,tf-" <;"+... 

- e'-(A, + A,a + A,fl' + . . . + B.rt-' + B'a -- ■+- ...- = ■i^ia^'^. 

Se « è funzione qualunque di * abbiamo la formula 

\ayeio D(e''^u)=:e^<{Du-\-au)^e''-{D + a)u, da cui 
r "D(*^^tt)^=(D + a)H, formola che trasforma il simbolo D + a 
nel simbolo (;-^^D(iHj); cosichè dalla formola precedente st ricava 
e-a,. iy[^x ^-ax D(e^^-u]] — e-''^ D\e" w) = (D + af u, 



intendendo che(D-\-a)' indichi (D + j) (E 
otterremo 

,4) D"(*'»w)z=^-'(D + * 

Relativamente al simbolo (D-Hi)", si 

(D + a)" « = (D- -)- «a D"-' + ^^ 

Poniamo (D + a)" «=: t/,, cosichè, intendendo con (D + j^ ' 1 
l'operazione inversa di (D + a)-", sia w ^(D + o)— " «,. 
La formola (4) diviene 

da cui 

cioè (D + a) "u, = e -'•^-D --(£'•' u,), 

formola che definisce il simbolo (D + a)-". La (ò) mostra e. 
i4) sussiste anche per valori interi negativi di n. Servendoci 
<4) sì ottiene immediatamente la (3). 

Relativamente al simbolo (D + a)-" osserviamo che 

(D + «)-'«=-^i-^.=*-.'D-H<"K) = .— 'j<"«^ 

Nell'ultimo membro integrando successivamente per parti, ] 
dendo sempre ^"-•'dx per fattore differenziale, e prescindeodo 
convergenza della serie che nasce in tal guisa, si ottiene 



1 /, D D' D' \ 

che è lo sviluppo che si otterrebbe se, considerando D come 

1 1 1 

quantità e non come un simbolo, si sviluppasse =- =^ — 



r 



T=ì 



507 



vergenza della serie perchè la formola precedente sarà esclusivamente 
adoperata quando u è funzione razionale intera dì Xy nel qual caso 
essa si riduce ad un polinomio. 

Integrando successivamente per parti, prendendo sempre udx 
per fattore differenziale, si arriva, analogamente, alla formola 

1 / ì a a^ a^ \ 1 

Possiamo intanto dire che operare col simbolo -y; equivale 

ad operare col simbolo che si ottiene sviluppando -=r per po- 
tenze ascendenti di D, o di - — . Così analogamente si vedrebbe che 

1 
Sia '+(D) funzione razionale intera di D; il simbolo — -=— deve 

essere definito in guisa, che operando col simbolo +(D), di cui è 

noto il significato, sul risultato, ottenuto operando con sopra 

una funzione «, si ottenga la funzione primitiva «. Ora sviluppiamo 

,-^ ■ in frazioni semplici, considerando D come una quantità, cosi 
4<D) 

A 

che risulti una somma di termini della forma 



= y 






ed assumiamo quest'ultima formola come definizione del simbolo 
^ . Si riconosce allora subito che '1>(D) ^ u=:u; perchè es- 

sendo + (D) il prodotto di termini della forma (D — ^y«, 

'^(D) = A(D — a^)^i (D — az)'"ì . . . , 
abbiamo 

'^^^^T(D)'' = ^\^ ^^I^^ j« = l.« = «. 



V...-' 






f.**' 



LV i 




508 



In luogo poi di 



1 



nello sviluppo di 



1 



si potiaiax) 



(D—ar "^^ 1>(D) 

sostituire gli sviluppi in serie per potenze di D, od anche sviluppare 

m sene , come ad es : 



<KD) 



1 



AD^ + BD + C 



C 



1 + 



AD' + BD 



cr 



BD 



C 



1 



AD' 4- BD 



B Vd 



/ AD' + BD \' ) 

\ C ) ~"Ì' 

-m-) 



AD 



A A'D 
B ■*"~B^ 



..). 



Le formole (2), (3) ora dimostrate valgono quindi se in esse 
i(D) è funzione razionale qualunque di D. 
Se nella (3) poniamo e^^-*' « =: r , abbiamo 

'I (D)v — e^"" c|; (D + tf ) {e -^^ v). 



197. La formola di Leibniz è 
(1) D'»(«t?) = uD'^v + «DwD''-i V 



«(«-1) p,, 



D*i/D«--r + « 



Questa formola vale anche se w è intero negativo. Invero. c« 
successive integrazioni per parti, abbiamo 

-- uT>-H — DuD-H 4- D«ttD-3r — D-i(D3|/D-3i;) = . . . 

cosichè, per provare la formola in generale, basterà, ammessala ^' 
per n z=z — m , dimostrarla per w = — (f« -f- 1), la qual cosa à 
far facilmente, come il lettore potrà, senz'altro, verificare. 

In seguito a ciò osservando la forma del secondo membi 
(1), se '4>(D) indica funzione di D ordinata per potenze pò ti« 



w 



r^ 



509 



egative di D avremo la formola seguente, che è la generalizzazione 
i quella di Leibnt^j 

(D)(uv) r= uMD)v + DuV{D)v + ^ VP> + ^ V' (P)v + . . . , 

ove V(D)^'i>"(D)y... indicano le derivate di c|;(D) rapporto a D. 

Questa formola vale anche, se, come del resto si suppose, i coef- 
cienti di D in 'I(D) contengono la variabile a: e se 4^(D) è funzione 
azionale qualunque di D. 

198. Consideriamo ora il simbolo d'operazione xD, Con {xDy 
benderemo {xD) (xD) . . . (xD), non già x"^ D\ Per definire il simbolo 

fD)~i , poniamo {xD)u = v^ da cui u = (;rD)-* i? ; ma Du = — , 

X 

f' dx 



= D-i — = / — dx^ cosichè (xD) ''^v=: D-i — == / e quindi 

X J X X J X 

-., rdx rdx rdx 

J X J X J X 

Posto x = e^ y abbiamo 



du du du 

«ichè il simbolo ;rD si trasforma in questo modo in D/. 
Se l' indica la solita funzione, abbiamo le formole 

'+(;rD);^ = ^d)x^^ '\>{xT>) (x^u) = x^^(xD 4- a)u. 
Invero, posto xzme^^ dalle (2), (3) N. 11)6 ricaviamo 
'^{T>t)e^t = ^{ayat^ .|(D/) (^^' u) = e^^ ^(Dt + a)u, 

te si trasformano nelle precedenti, sostituendo per D^ il suo va- 
re *D e x per e'. 

Tra il simbolo xD e il simbolo D passa la relazione (n intero 
►sitivo) 

x^^D*" r= :rD(A-D — 1) (a:D — 2) . . . (jrD — « -f 1), 

Infatti è 

xDu = xDu, ;eD(;^D — \)u = xD{xDu — u) = x^ D«i/, 



» ■« 



'J?7* 






510 

cosichè la formola vale per « = 1,2. Ammettiamola vera per n 
e dimostriamola per « =z /w -h 1 : nella 

;r'» D'" tt = ;cD(;rD — 1) . . . (a-D — w -h !)«, 

poniamo u := (atD — m'v cosichè 

D^^ « = D«(:vD — m)v = ;rD«+i r, 
ed otterremo appunto 

Ar«4-i D'«+i i» = A-D(;cD — 1). . . (a:D— w -f l)(jtD — m)r. 



= irJ 









(1) 



Equazioni differenziali lineari d'ordine n. 
199. Sono quelle della forma 



dove le a^^ai , . . an yX sono funzioni della sola x, che poi 
anche in parte o tutte essere delle costanti. La integrazione 
(1), che dicesi completa^ si riduce, come vedremo in seguito, a qi 
delle equazioni della forma 



(2) 



^0^^"^ -4- ^l/"-l) + ... + <?« -l/ + tfn^ = 0, 



che diconsi omogenee o sen^a secondo membrOy delle quali ora ci 
cuperemo. 

Posto cp(D) = ^oE>" + «,D«-i + ... + ^„-iD + ««, la (2) 
scriversi 



(2) 



?(D)^ = 0. 



Siano y^ ^y^ —ym integrali particolari di questa equazione 
tali che ?(D)^r = 0. Avremo 

^{D)(C,^,+C,;v,+ ..+C^>.)=C,<D)jF,+C,T(D)^,+..+C«r(LH 

dove le C sono costanti, cosichè C,^i + C,^, -H ••• 4-Cw/» è 
tegrale della (2). 



Supposto si conoscano n integrali particolari )\ ^}\ , . . .y^^ la 

y = C,^i -H C^yt + . . . + Cnyn 







i integrale della (2), e sarà ancora l' integrale generale qualora si 
ssano determinare le costanti C in modo che per xz=Xq la y e 
/ ^y ,^"— ^> acquistino valori prefissati; la qual cosa, ponendo mente 
a (3) ed alle 

y = C,/i 4- Cj/j -h . . . 4- Cf, y'ny 
y = L^y i 4- C^y « 4- . . . -}- Cny n, 



te da quella si ricavano, si vede aver luogo, se il determinante, che 
chiama il Wronskiano del sistema delle y^ ,^j •••:^«? dal nome del 
atematico W^ronski^ 



A = 



y\ 



y% 



y% 



'yn 



y'n 



yi 



(«-i)^j(« 1) 



yn 



•«— i; 



er ari=^Q sia diverso da zero; il che succederà quando A non ri- 
ilti nullo identicamente, escludendo il caso speciale che Xq sia ra- 
ice della equazione in ;r, A =^ 0. 

Se dunque A è diverso da zero, la (3) è l'integrale generale, ed 
Uora si dice che yi ^y^ ,..yn costituiscono un sistema fondamentale 
i integrali particolari o un sistema di integrali particolari distinti. 



aoo. Se della equazione 9(D)y = si conoscono m integrali par- 
icolari, la sua integrazione è ridotta alle quadrature ed a quella di 
^na equazione dijferenT^iale d* ordine n — m (nel nostro caso pure li- 
leare); cioè, come suol dirsi, l'ordine della equazione si può abbas- 
are di m unità. 

Sia, infatti, ^'i un integrale particolare, cosichè qp(D)^, =0. 









u^> 



512 



Posto jr =j>iU abbiamo, per la formola di Leibniz geoeraliiaa. 
?(D) (/,«) = ttT{D);f, + Dtt?'(D)^, + D'« ±^^^ 4- . . . 

2 «! 

che è pure lineare In i/, ma non contiene esplicitamente u. 

Ponendo Du=:v essa diviene la equazione lineare di ordine 
« — 1 in r, 



v'^\'D)jfi 4- Dv 






3! 



n\ 



h 












(i 



^." 



Indichiamo con v il suo integrale generale; allora u 
è r integrale generale della equazione in 2/, e 






(1) 



y = ^\yi -h^ijvdx 



è l'integrale generale della proposta equazione in jfy cosichè il tc>>| 
rema è dimostrato per w = l. 

Se della equazione in jf si conoscono due integrali particobri] 

y , il 
Vi ,^'2, allora, poiché se ^ è integrale della proposta è — ÌDiegraie| 

y 

della equazione in «, sarà — integrale particolare di questa eqm- 
zione (è escluso il caso in cui, per essere <^j>i -f- (TtJ't ^"' ^n 

y ,.l 

Vi = 9',), e quindi D ^-— è integrale particolare della equazione di 

y\ 

ordine « — 1 in v. La integrazione di questa, procedendo come cn 

di 

abbiamo visto, si riduce a quella di una equazione di ordine n — 
in una variabile w^ della quale equazione indicato con u' rintegnJ«| 
generale, sarà, per la (1), 

y\ y\ J 

V integrale generale della equazione in u, e quindi 

tt=C,+C,-^-+-/D-^(/A:/zo^=C,+C,-^ + ^/tw/*-/^! • 

Vi J yx J j>i yJ • /> 






513 
e perciò 



f* 1» 



(2) 



^nrCi^j + Cj/j \y\ j wdx —y^ j ^-wdx; 



il teorema è Cosi dimostrato per in = 2. 

Se si conoscono tre integrali particolari y\ ^y^ ,^3 della equa- 

zione proposta, saranno D =-— , D ^— integrali particolari della equa- 

y\ y\ 

zione in t;, il cui integrale generale sarà in virtii della (2) 



'e; = C,D ^ + C,D ^ n^-^ [ idx - D :^ -^-'- zdx, 

yx yi yx J ^> d -*'*- 

indicando con { l' integrale generale della equazione d'ordine n — 2 
cui si riduce la integrazione della equazione in v. In conseguenza 

tt=C, + C,-^-*- +€3^ + /b-^ Jxizdx—fD^dx I -^ {ii* 
^V, Vi ' /i .'^ .' y, I D^t^ 

e quindi 

yi ' \ /i / 

che dimostra il teorema per /;/ = 3. E così di seguito. 
Ad esempio, se della equazione lineare di 2"* prdine 

a^y -\-a^y -^ a^y = () ossia '^(D)jv = (a^T>^ 4- aj> + ^2)^ = 
conosciamo un integrale particolare ^^ osservando che 

cf'(D) = 2a,DH-^p cp'\D) = 2^o, 
l'equazione in v risulta la 

i<2^ioD -f- a,)y, -^ Du^o^i = ossia — = — 2 -^^- — -^ , 



da cui V :== C, — , e quindi y = C^y^ -f Cj^'j / — ax, 

y\ ^ y\ 






33 



514 

Così pure se della equazione lineare omogenea di 3^ ordine 

si conoscono due integrali particolari /i , ^j , si trova facilmente l'in- 
tegrale generale 

201. Come abbiamo accennato precedentemente, si trova me- 
diante sole quadrature V integrale generale della equazione compleu 
cp(D)^ = X, quando si conosca quello della qp(D)/ = 0. Invero, se 
y^ indica un integrale particolare della equazione completa cosichc 
sia ^{D)^o = X e ^ è r integrale generale della corrispondente equa- 
zione omogenea, y -\-y^ è l' integrale generale della proposta equa- 
zione, giacché 

,f (D) {y + A) ^ -^ (D)^ + cf (D)^„ = X. 

L' integrale y si chiama anche la f unitone complementare nell'in- 
tegrale generale della equazione completa. 

Ora per trovare questo integrale particolare procediamo col se- 
guente metodo, conosciuto col nome di metodo della variazione d^U: 
costanti arbitrarie^ e dovuto a Lagrange. 

Sia 

(1) y ==: C,>'^ -f- Ci^2 + . . . 4- Cnyn 

la funzione complementare. Vediamo se sia possibile assumere pe: 
le C funzioni di x tali che ^ sia integrale della cp(D)>' = X. 

Derivando la (1), nell'ipotesi che le C siano funzioni, ab- 
biamo 

y = C^y\ -f- Cj/'s -h . . . + CnVn 

-\~ C\>'i 4- C',72 4- . . . + Cnyn , 

intendendo con C la derivata di C rapporto ad x. Supponiamo 
le C tali che sia 

(2) C\y, 4- Co\ 4- . . . H- CnVn = , 



515 
cosichè allora risulterà 

Derivando e supponendo le C tali che 

(3) c\y, + c',y, + ...+c'„y«=o, 

avremo 

/ = C,y\ + C,y\ + . . . + C^y\ . 

Cosi proseguendo fino ad avere n — 1 equazioni come le (2), 
(3) tra le C, , C'j , . . . C n , si ottengono le seguenti equazioni 

/ C\^^ + C\y^ 4- ... 4- C'n^'n = , 

, Ciy\ + ^\yt + . . . + c v; = , 

(4) 



e successivamente 

y =c:,/, +c,y, +... + c„/n 

/ =Ci/, 4-C,/j +... + c^y'^ , 

y») = c^j^,c«) + c,^,(«) + . . . 4- Q^n'«) , 

4- C\^,(«-i> 4- CV2^«-i) 4- . . . -f- C'„^n<«-i ; 

Dosichè, come si riconosce subito sostituendo il valore di y dato 
dalla (I) e questi valori delle sue derivate nel primo membro della 
j(D)^ = X, la (1) ne sarà integrale, se determineremo n — 1 delle 
C in guisa che soddisfacciano alle (4) e li restante di esse in modo 
:he sia 

[5) ^o(C'i^i<"-^^ + C'uV"-^^ + . . . + C'„>'J«-iO -= X , 

assia se per le C prenderemo le radici delle equazioni (4), (5). 



516 



Risolvendole abbiamo 



^0 A 

dove Ar indica il complemento algebrico di ^^(«-i) nel Wronskiano 
A del sistema delle ^^ ,^« , • . •^n. 
In conseguenza è 

/X A 

dove le Cr indicano delle costanti, e 

r=l \ J ar. ^ / 



'— rX A 

è l'integrale generale della ^(D)^ — X, e S J't / — -^i» ne è il ri- 

r=i J aQ A 

chiesto integrale particolare ottenuto con semplici quadrature. 

Così ad es. : se conosciamo V integrale generale, ossia due inte- 
grali particolari distinti yi ,^y , della equazione di secondo ordioe 



l' integrale generale della 9 (D)^ = X sarà 



Se della 7(D)^ = si conosce un solo integrale particolare /i 

J ao 

, come si è visto alla 



se ne ha subito un altro y^ =yi j j 

line del n. 200. In conseguenza 



dx 



yx' 



-f^dx 



*»0 



•^'' ='''ì^ 



dx 



J do 



y\ 



517 



^ =iy^y\ — y^y\ -=■ e j e T integrale generale è 

J au ^ j ao J flo 

^f^dx r^dx 

V C e 



[/3L ..1 [/^ X...] 



ossia^ integrando per parti l'integrale nel terzo termine del secondo 
membro , 



r^dx 

r e J ao ' r f e l 



Equazioni differenziali lineari d'ordine n a coefficienti costanti 

o a coefficienti funzioni speciali di x. 

102. Sia la equazione 

qp(D»;V = (^oD" + tf,D"-i 4- ... 4- an-\ D + an)y = 0, 

dove i coefficienti ar sono tutti costanti. Per integrarla, vediamo se 
si possa determinare la costante a e la funzione v di jr in guisa che 
y=zea«f V risulti integrale particolare. Ora per la formola di Leibniz 
generalizzata e per la (2) del n. 196^ abbiamo 

Z ti ! 

(1) 

L Z n\ \ 

cosichè, se <z è una radice semplice della equazione di grado n^ 



518 

!f(a):^0, o, se si vuole, dalla equa 
essere una incognita e non un si 
caratteristici della equazione lin 
!f(D)(e"-^f)=:0 prendendo per f t, 
prendendo per ti una costante C ; 
colare. Se <c è radice doppia della 
^'(a)=:0, in virtù della (1) risulterà <f(D)(e»-'r) z=0 se prenderen» 

V tale che DV^O, cioè 4^ = 0, da cui -f ^C, ,t-^C,«+C, 
dx* dx 

ed allora £" (C,* + C,) è integrale particolare, contenente due co- 
stanti arbitrarie; e cosi di seguito si vedrebbe che se x è radux 
rip'> della equazione garatt eristica, nasce da essa l' integrale parti- 
colare 

^«' (C,;*:-' + C,*--2 + . . . + Cr-i;t + C.) 

con r costanti arbitrarie. 

Indicando con a, , a, . , . a„ le radici della equazione caraittri-tici 
con r, , r, . . . r^ Ì loro gradi di molti pi ìcità, l'integrale generale t 
perciò 

y='£e-'^^\CuX''-^ + C^.x'''-^ + .-. + Cr„\ 

Questa forinola vale, dt qualunque natura siano le radici a delii 
equazione caratteristica. Ma se i coeHìcientt della cf(D)^^0 som 
reali, possiamo evitare gli immaginari che in essa compariscono k 
vi sono delle radici «complesse, nel modo seguente. Sia a, ^a-(-« 
radice semplice complessa, cosichè vi sia anche la sua coniugaa 
«,;=(! — 1^, La parte di integrale Ci^"!-' 4-C,e'>', che proviene 
da queste due radici, si riduce a 

i»v(C|£'>+C,e-'?^)=e"[C,(cos?*-|-<sen^)-t-C,(cos?« — isenjxi] 

= e''■''{c^ cos ìx -t- c, sen ?*) , 

(avendo posto C, + C, =^ e, , ;'(C, — C») ^ e» da cui C, = — 

C, ^ -!— ^ — ^j, che è priva di immaginari e dove e,, e, sod' co- 
stanti arbitrarie qualunque. Alla espressione precedente si può s> àx 






519 

dare la forma 

Aj^*^ cos (^A' + Aj) , o la forma Bit'^^'sen{f;c-h Bj), 

dove tra le costanti c^.Cfy Aj,Aj e 3^,84 passano le relazioni 

Cj = A| cos Ag , i'f = — Aj sen A^ ; Cj = Bi sen Bj , ìt^ = Bj cos Bj , 

cosichè le Aj , A^ oppure le Bj , B2 sono costanti arbitrarie. 

In modo completamente analogo si troverebbe che, se a^ , «s 
sono radici doppie complesse coniugate^ la parte di integrale che 
proviene da esse può ridursi alla forma 

^** [(^i ^ "1" ^«) cos ^x + (^3^? + c^) sen '^] 
o alla forma 

e^^'[c^xcos ^X'\'C2)-{-c^cos(}x-\-c^)\ etc. 

E così di seguito se a^ , a^ sono radici triple etc. 

Esempi 

l)y~. n\y =z ossia (D« — n^)j^ = 0. 

Equazione caratteristica D* — n^ =. 0, quindi y = C^<?"-^ -h Cj^-"-^ 
è l'integrale generale. 

2)f—2my+{m^ + n')y — ossia (D^ — 2wD -4- w« -4- «')^ r= . 

Equaz. caratt. D' — 2;«D + /»"' -f- «' = le cui radici sono 
m db i« ; quindi y = ^"*^ (C( cos «;c -4- Q sen «;(? ) od anche 
^ = Cj ^'"* cos («;t + Cj) od anche y ■=: C^e»^^ sen {nx + Cj) è l' inte- 
grale generale. 

In particolare, se tn = 0, si ha l' integrale ^ = C^ cos nx -f- C^ sen nx 
della equazione y" 4- n'^y = 0. 

3) (D^ — 4D« + 5D — 2)y — 0. 

Equaz. caratt. D^ — 4D«4-5D — 2 = (D — If (D — 2), quindi 
^ m ^(Cj^r 4- Cj) 4- Cg^^x è l'integrale generale. 

4) (D^ — D — 6)/ = ; le radici della equazione caratt. sono 
2, — 1 4- i\!2, — 1 — I V:>, quindi 

y z= C^e^ + e-^[C^ cos (a?V2) 4- C3 sen (^\/2)] 

è ' integrale generale. 

5) (D^ 4- 2D* 4- l)y z= ; la equaz. caratt. ha le radici doppie 



520 

/, — (', cosichè r integrate gene 
^ =z (C, + C^x) co 
od anche 

/ z= C, cos (« + ( 

6) Potrà avvenire che, es 
lineare funzioni dì x, la equazi 
a costante /■?'■ . Allora , con 

^"(C,+C,*+...-J-Cr*--')« 

Cosi, sia la equazione 

/'-(3Ar + 2)/H 

La equaz. caratteristica 

jy ~ {-.ix + 2) D' 

ha l'unità per radice doppia; 
graie particolare e^{C, 4-C,il. 
generale colla forinola alla fine 

303- Sia ora la equazione 
cienti di D in f(p} sono costi 
Conosciuto l'integrale generale 
colle formole del n. 201, trovai 
completa. Ma per forme specia 
colare un integrale particolare ( 
1 



sopra 


X e 


I 


imbolo 


1(1» 


. 


J — 


1 


X. 


Queste forme 


spc 



1, Sia X funzione razionale 

condo le potenze intere di D, 

tenze D*+', D*+2 , di D 

D*+'X = 0, D«+=X=0,... Se 

è la /^*i"ia, si raccolga D' nel 
nello sviluppo di 7-7^7^ si tra! 



w^ 



gr^ 



i < 



521 



Esempi 



1) (D* — n*)jf = w ; ^ = -p^^ ^ m = -^ w , e T integrale 



generale è y = 



m 



n 



D« — «^ 



-\- Cj cos nx + Cj sen nx . 



/?• 



2) (D*— 2D+l)^:=r;r';^ = 



1 



Ar« = (l + D + D«)V 



(1 - D)^ 
= (1 4- 2D ^- 3D*)^* =1 ;f' H- 4;c 4- 6, 

e r integrale generale è 

^' — jc* 4- 4*- -f- + (CjA: .4- Cy)^'. 
3) (D* — 2iy + D«)^ zn x^ ; 



e l'integrale generale è 

^ = Ci^ + C, + e^(C^x -h C4) + 



x^ x^ 



20 ' 2 



+ 3;t* + 12^*. 



4) (D^ — 2D3 -h 2D' — 2D + 1)^ = 1 -r JV 4- a:« ; 



y = 



1 



^(H-:v-hA:«)— (l42D-h2D«) (1+Jc+Jr«) = 7 + 5A-4- A-' 



1-2D +2D 
e l'integrale generale è 

j^ = e'{Cx -h Cj) 4- C3 cos ;if i- C4 sen x -\- x^ -i- 5;if -f- 7. 

IL Sia X un aggregato di termini della forma c^^Y; allora 
ibbiamo 



cf (D)^ = 2^^* V, ^ = S -4^ ^^^ V = S^^-^ 



^(D) 



?(D 4 a) 



V. 



In particolare se V è una costante C, e a è radice rP'^ della 
equazione caratteristica sf(D) nr (r = 1 radice semplice, r = non 



/ ■ 



<ii 



^i 



È 



ni 



«1 






M 






Ss** 









svi» 






Dt-. 



:-.- 



i. 



> ■ 



524 



Se tf = », 




^^['"'D^é^] = "^ h2^] = ^[S] = 



jrseoftx 



2) (D^ + 2D* + 1 )^ = a:« cos tf;r. 



y=K} e'^' 



1 



[(D+ij):4-l] 



■.r«> = KÌe^^^ 



1 ^i 

4taD (10j*+2)iy^J 



la funzione complementare è (CiAt -f- C») cos x -f- (03^: + C4) senx. 
Se «* = 1, poniamo sia ^ = 1, è 



^ (2 



-|-?(^t-t")|=-t[(M")— f- 






3) (D* + 4);v = ^ sen*;if ; osservando che sen' x = -^(1 — co52x< 
abbiamo 



2 D'+4'' 2^^' 



•^ ~ o n« 



(D+2/)'+4l 8 2 / 4iD 



1 \ 
s. 



D * 



XX X" 

int. gen. ^ = Cj cos 2x -f- C^ sen 2;c -f -- — -- cos 2x — 77^ sen T 

o o2 lo 



525 



4) (D* — 1 )^ = A-^ sen 2x, 



=■) 



Ile*" 



(D+2 



L__(*^)j=ii^^«- 



1 



/ (D+2«-t-l)*-l 



*=I 



e«e 



2igg 



1 



/ 



>2(2i-2) 2i+J.^< 
"^ 2i~2 



3t. gen. ^ = C,<?* -h C«^— * — (:t- ljsen2;if + ( Ar4- — j cos2Ar . 

IV. Il caso generale in cui X sia funzione qualunque di x si può 



>ure trattare con questo metodo. Sia qF(D)^ = X, da cui ^ = 
sviluppando —7,^7- in frazioni semplici abbiamo 



1 



<f(D) 



X. 



= 77?^ X=S -J^X=ZAme^r^ ^?-^«X=sAm^'J /... Z^- 



?(D) 



(D-a)"^ 



D 



m 



^*Xd:r«. 






< .5» 



■ 7'' 
»1 ■ 



Esempi. 



1) y«)=/(jf); integrale particolare 



^ = Dn /*) =/'^/ • -//C*)^ = //(^y*" ; 



! la funzione complementare è 



0,:^"-* -h Cj;V«-« + . . . -t- Cn-jAT + Cn. 

e^xdx 



, (0..3D..„=,^,^.-/,f|5._-.,/l^, 



•<f;rd* 



/rr~T» = ; (es. 18,pag. 459 voi. I), /- 7^= / 



e^'^dx 



(1+^) 



« > 



•> dopo aver integrato per parti P ultimo integrale, 
i / e*'xdx _ ^»« r«««</* 



526 
cosichè 

V integrale generale è 



3) (D'— l)>'=*log«;^=r--^— ^^log* — y^-^*logi. 
e, adoperando la formola di Leibniz, 

1 1 , 11, 1 1 , .11. 

=z -— / ^'^'^ log xdx K'I ^^ j ^~^ ^^S *^* 

— — / e"^ log xdx H — — / dx I e^ log xdx ; 



m ^ 



la funzione complementare è C^e^ -hC^e '^, 

4) (D' - 2)y = 4.V' ; ^ = V2(^, - ^)-V 



-.cosici^ 



esso 



Per calcolare il primo integrale poniamo x = u -t -j^ 

diventa e '^ /(«* + — + «V'^^)^"*^^? ^ poiché 
ju^du — u — =1 —/ X^i/, si riduce a 

posto ;r=:t' — 7"/^? si trova analogamente, pel valore del s >cÌ3 



J 



tegrale, — ^»+_V2j,e perciò 

l' integrale generale è 

a04. Anche le equazioni lineari della forma 

- tf^/"' + «^"-ly-" + ... + a„-.ixy + any = X, 

ove le n, , n, . . . a» sono costanti, si integrano con metodo analogo 
quello per le equazioni a coefficienti costanti. 
Per integrare la equazione 

d 
odicando con d- il sìmbolo d'operazione ;r -- = :rD, trasformiamola 

lediante la relazione (n. 198) 

X'nD"'==8<»— 1 {*— 2)..,(!f~ff(+l), 

osichè essa diventerà 

= ,(I>};V = 0. 

Vediamo di determinare la costante x e la funzione t> dì x in 
lodo zhe yT=x^v riesca integrale della equazione proposta. Osser- 
ando che 



■ ■ è radice semplice della equazione ff(!^):=0, che chiameremo, 
sguerdo il Fuchs, equazione deierntinanie , basterà prendere v uguale 



1 



528 

ad una costante C, perchè y = Qx^ risulti integrale della proposi { 
equazione; se a è radice doppia della equazione determinante, preD- ■ 
deremo v in modo che sia *'» = 0, 9"H' r= . . . , cosichè, ossennrio 
che 0^1ogA:r=l e quindi d-* log ;t = 0..., prenderemo r=:C,logjf+C . 
ed allora ^ = jr* (C^ log x -H Cj) è integrale particolare con due co- 
stanti arbitrarie; e cosi se « è radice tripla della equazióne detenni- j 
nante, si riconosce che^ = x^ [C, (log x^ -f- Q log ;c ■+- C3] è integnlt ■ 
con tre costanti arbitrarie, e cosi di seguito. Cosichè se a^,«,,...i« i 
sono le radici della equazione determinante, r^^r^^,.,rj^ i lorc \ 
gradi di moltiplicità, l'integrale generale della equazione proposta è 

y — S;f«s[Cu(Iog xY^-"^ -f- C2,v(log xYt-^ -h ... 4- Cr.,]. 

I 

Se, essendo ^q , ^1 , . . . reali, «j , a^ sono radici complesse conia- i 
gate semplici, a, z= a -f- /3, «« = " — '.^9 della equazione detenninantt. | 
la parte di integrale generale che da esse proviene 

si riduce, come immediatamente si riconosce, alla forala 

.r» [/Tj cos(3 log x) -f- c^ sen (? log at)] ; 

e così, analogamente, se a, , «j sono radici doppie complesse coci> 
gate, la parte di integrale, 

a:»+'^(C, -f C, \o%x)-^x'^-i\Q^ -h C, log x\ 
che da esse proviene, si riduce alla forma 

x"^ K^i + c^ log x) cos {} log x) + (^3 + C4 log x) sen (^ log x)l 

e così di seguito. 

Determinata così la funzione complementare della equaaaoe 
q:(3-)^ = X, per averne un integrale particolare nel caso che Xsi 
una funzione razionale intera di log a-, o della forma a:"*X, si opei 

1 
analogamente a quanto abbiamo visto, nel n. 203, col simbolo -77- 

sopra X. 

Le equazioni della forma 

àj^ax -h hYyy^) -^a^{ax^- ^)«-i/«-l) -f. ... -\- an^\ {ax -f b)y + J.j =S 

si riducono alle precedenti col porre ax •\' 0-=.^, 



529 

Notiamo ancora che le equazioni che abbiamo studiate ora si 
riducono a quelle a coefficienti costanti ponendo x^=>é^. 



Esempi 

1) xy -H Xy —y = log X, ^(») rr: ^(?^ — 1) + ^ — 1 = *« — 1, 

jr = — ^ Ioga?, e siccome possiamo subito trascurare le potenze 

seconde di ^ perchè O'n+i(log;r)'» = 0, abbiamo y^= — log^ir; le ra- 
dici della equazione determinante essendo ±1, la- funzione comple- 
mentare è C^x -h CjAT-i, e quindi l' integrale generale è 

y =: C,x H — log x. 

X 

2) xy — xyi-2y^x]ogx, 9(8-) = ^« — 28- + 2, 

XÌOgXz=zX , ,x, o/c , i\ ■ o ^Qg'^^'^Ig rl0gA=Afl0g^, 



%. 



»*-2»+2 ^ (8-f l)«-2(d-4-l)+2 "^ 8-* -ti 

e l'integrale generale è 

y z= ^[Cj cos (log x) -h C, sen ( log x)] + Af log x. 

3) *y v + 6;r>"'-h9;ey-h 2;^' 4-^^=3(1 -f log^)', (p(^)=:(V4-l)S 

int. gen. 

j^=(Ci+C8logA:)cos(log^)H- (Q+ C3log^)sen(logAr)-h(l +log^)*— 4. 
4) xy — 2y=zx-hcosx, 9(8-)=: ^« — 8'_2, 

1 / X * 1 ;r 1 / 1 1 \ 

= — y + -3*'-^^-'cosA; — — *-i-^*cos* 

AT* 1' cos;vJjv 



;c AT' 1 cosxax 1 / _ 

rr: h / 5 — -— / COSATA, 



:u 



530 

e, poiché 



/ 



COSJir 



dx=' 



cos X 1 i%en x 



x' 






cos;r sen;r 1 fcosxdx 



sarà 



>' = — 



"2 



sen;r 
~Sx' 



cos * a: sen x 


jf* fcosxdx 
6 j * 


6 -^ a 



la funzione complementare è Cj^if* 4- 



e. 



Esercizi 



1. y _7y^6r=iA:«, 
int. gen. jv = Ci^* + e^(Cie^\/^^ + Cj^-^Vis) 4. 



6 



18 



2. yv — ^ = ^*, ^ = Ci^4C2^— ^*-fC3Cos;v-f C4sen4P-h— *r' 

3. jj^v _ 2y»v + 5^,- __ 10/ — 36/ + 72^ = ^^ ^ 



-'^~(w-2)'(w+2)(wH9) 



+^'*(Cj + CjA:) + C3 ^-«^ 4- C4C0sav + CsSeoM 



se »i = — 2 rintegrale particolare è 



xe 



-2n 



52 



^ se w=i2 è 






104 



jV=Ci^'>^V2 + Cj^-^^N/a + C3Cos(ArV7) + C4sen(jtV7) 4- -7 



seoi» 



— 5tf--14 



se a 



. , /^ „ . . , , ;if cos (jcV7) 
= ±yi V int. particolare è dL ì^Ty-^ • 



Qat 



61 



5.y-9/ + 20,=.',^ = -4-_ + ^- + C,^ + Q^^. 



,»-! 



JT 



6. (D — ^)'»>'=:^«^,^'=:^^^(c, + C«Ar + ... + CK-- . 

7. Sia la equazione ^{T>)y = ^■'i^ + e^t^ + -f- ^r-^»-», f^*^ 

^1 , jj . . . «n sono le radici di ^(D) = 0, L'integrale generalf .^ 



-. r 



1 « i * 1 " • 



531 



le radici a sono tutte diverse» 

y = C^e^A 4- ... + Cn^«^ 4- x \'T^-^ H — y-t + . 



^n^r 



?'M' 



sé j, = flj , è 



. ..+a:< 



jr^^i* e^z^ 



e così di seguito. . 

' = ^ (Cj + Cì;c) + ^-'(Cg 4- C^a:) + (C5 + C^) cos a: 






{C': + C^)stzix 



9. (D* + »V 



sen (Xat) -f pfA-*' -f A^^, 

120^ 



wx 



»;r 



X" 



nx 



n 



% 



A- 



p|A^ 



sen (Xjr) 

(ii log p/ + «* ■ ~«*T^ 



+ 



«ir 



}}X 



«;i: 



Y(C,e^''^Ce N/'^)cos-^i-(C3^V2 +c,^ \/2)sen-^. 



10. y -f 3/ -^ 2y = 



1 



l-f ^'^ ' 



y = 



y= 



:C,^-* + Cj^-^ -H ^-^(1 + ^-^) log (1 + e^). 

11. ^/' — «V" + 2^y — 2^ = 3a: + .v3, 

;r(C, log a: -h + C^x'' 4- - - - — * (log ^)^ 

12. xy" — (2m — 1) xy 4- (w* -h ^/')>' = n^x"" log Af, 
;r'"[Ci cos(« log x) 4- Cg sen (« log a)J -h x"*" log ;^r. 

13. (l+;t)V"'4-(H-^ry' + 3(l4-^}y — 8^ = 



VI 



— 1 



y = Ci (1 4- ^)* + Ci cos [2 log (1 4- a:)] 4- C3 sen [2 log (1 4- x)] 



8 



8 



-51-^'^ + *+ 85 



1 



\\+x 



■ »1^ 



Vi 






>.'.'i 






532 

14. X^(ÌOg X— 1)/' — A7'+^=:0,^z=CiAr + CJogJC. 

15. (1 + ^)x'y + (1 + 2x^)xy — (4 -h 2x^)jy = ; si detennirj 
un integrale particolare della forma ***• ; l'integrale generale è 



•y=-J+'^j\'^<^+^'y'-j^^è 



-f- VSarctg 



1 

2(1-1- ;t3)~+r/ 



A V 3 S ' 

16. >' " + 2(X + a)y + (^^^ 4- X« + 2^X + ^ U zz: 0, dove X? 
funzione della sola x ; 

■ 

(Si ponga y = r«-/tX+'') J') . 

17. jy," + i.^' _^ = 0, ^ =: C,«'' ^* + Cjf -- '^\ (Si faccia n 

cambiamento di variabile molto semplice). 

t 

18. ;e>" - (1 + ax)y-h ay = bx% y = C^e^^ + C^(ì + ax)--r 

(La equaz. caratt. relativa alla equazione senza secondo membro la 
la radice a), 

19. y + {a + 2bx)y + 2abxy = 0, y = e-^'\Cj^ + C.^e^^'^^ 

20. Se y^ è integrale particolare della equazione 

y^e'^^' sarà integrale particolare della equazione 

rfP\ 



y-Vy- + (Q_-—)y = 0. 



o 1 

21. ^' + —y +y == 0, ^ = — (C. sen a:+ Q cos x) (la eqr jk« 

X X 

sen a: > 



ammette r mt. par. y =. j 




533 



22. 



2 /' 2 \ 
^. y ^' 4- ( 1 j:)^%y^=^ ^(t^i sen *• -H C^ cos x\ 

23. y* 4- P(^V* — '^'^-y' + 21^) = ; si determinino due integrali 
particolari, e si calcoli poi l'integrale generale 



— 5 ^'^^V/ — 



3 



24. (;c« + 2)y'" — 2;r^" + (;c2 + 2) jv' — 2;t;^• = ^t:^ + 2 , 

(_ ^ /senjf-^cosAT , \ /^ ^ /cos a: -|- ;c sen a: , \ 



+ 






'3 



1 * 1 

are tg ^J . 



V2 



\ 



:rt 



■ '4 



Integrazione di alcune equazioni differenziali 
d' ordine superiore al primo. 



205. Eguaiioni della forma — -— -=/(;tr). Sono già state inte- 

grate (Vedi pag. 525) col metodo delle equazioni lineari ; ma si pos- 
sono integrare direttamente. Si osservi che la equazione essendo 

dn — ly 

""j — zr ^^/(*) ^^^ ^^ ^^ ^° integrale primo 



^- = l/i^)d. + c\, 



e da questo analogamente 



dx'' 



-^ = ldxl/{x)dx + cx-hc^, 



il quale dà, allo stesso modo, 



rf»-3y ere 

-^r=jdxjdxjf{x)dx + C, 



X^ + C^X -\- ^3 , 



> »•■ 



i 



"*,. 






?: 



' r ; 



n 



534 

e cosi di seguito finché si ottiene l' integrale generale 



-24-...-l-C,_ix+C. 



yz=iidxìdx... ìf{x) dx + CiA:«-i + C^x^ 

L'integrale multiplo si può ridurre ad integrali semplici. In- 
vero, integrando per pai ti, è 

I dx ìf{x) dx = X ìf(x) dx — i xf(x) dx , 

ed analogamente, da questa, 

jdxjdxj f(x) dx = 2p//(;c) dx — 2x \x f(x) dx 4- jx'f{x)dx^ 
e poi 
ìdxìdx^dx{f(x)dx=2.z\x^^f(x)dx''3x^L 

ed in generale, se sono n le integrazioni successive nel primo 
membro, 

I rfjc fjjt ...//(>) ^AT = 2 . 3...(« - 1 ) Tat»-! /^^^ 

■ \ xn-^ìx^f(x) dx--... 4-(— ly-ij Ar«-i/(x) dx . 



dn-^y 



d^y / d^'-^y \ 

2o6. Equazioni della forma --^ = fi — — — ) . Se » =2, 

dx** \ dx^—^ / 



a» 



se si ha la equazione -tt ^^ J \'~T~ ) -> ^^ P^"^ ~j~^=^Pì ^ 
(1) 



aik« 



/(/>), da cui 



-HL^'^'' 



inoltre dalla dy = pdx = ^^rr^ si ricava 



(2) 



fiP) 

J 1 



jy 



J AP) 



+c,. 



535 

Le (1), (2) costituiscono l'integrale generale della equazione 
proposta, ed eliminando p tra esse si ottiene l'integrale stesso sotto 
la forma ^{x ,^ , Ci , Cg) = 0. 

Trovata la (1), se da essa si può ricavare p espresso per x^ 
pz=z^{x j Ci), si può terminare l' integrazione osservando che quest'ul- 
tima equazione ci dà 

j; = ^ '|(^ , Ci) </^ + Cj , 

che è il richiesto integrale. 

Nel caso generale si pone — — y" = ^? ^^ allora la equazione 

UrX 

proposta diviene -~- =zf[p) dalla quale si ha la (1). Se da questa si 
può ricavare p espresso per je ,/ = '+(;if , Cj), si avrà, per compiere la 
integrazione, da integrare l'equazione lineare — — — = c|;(*,Ci). 

CIX 

Se dalla (1) non si può ricavare^ espresso per x, si osservi che 

dp 
essendo dx = , dalla ^(«—')=:/> ricaviamo 

AP) 

dò 

yi^i-'^ì dx = dyC'-^) =p ^ 



Apy 

dalla quale 

^ J-AP) ' 

ed, in modo analogo, da questa, 

y„-3) — fJt^ \p JP_ 4. e» a: + Co 

e così di seguito, tinche si ottiene 

e le (1), (3) costituiscono l'integrale generale, che, eliminando / tra 
esse, assume la forma '^{x ,^ , C, , Cj . . . Cn) = 0. 

Esempio. — yj" = \/b'-hy'\ 



-I ■ — ♦ 



ftJCV""**" 



r 



ì 



P , 



536 



Posto /=/>, èf{p) = -^ — ^^^^ e la (1) ci dà 



X = V**+/ + Ci, dalla quale/ =/ = \/(a: — C,)- - b\ equaàow 
lineare, il cui integrale è 

jl> = CiX + C3+f dx I dxy{x — C^y+b' ; 
posto X — Ci = ^ è 

fdx fdxy/(x — C,f-b* — ['^^1 <'C Vi* - *' 

= /*|^- W?^^' - *' log (? + vf^^j 



_ ?*-2** 



6 



Vf-*' 



{ log (t + V-f — **i, 



e l' integrale generale è 



I 



y=-^ [(X- O' - 2*'] V(* - C.)' - b* 



_ (a: _ C) log [Jt - C, 4- V(* — C,)' — **J + C,* + Q. 



dy / d'-y 



biamo 



207. Equazioni delia forma --~^=fl ^_^ j . Se H = t^ 

dy 



dx' 



=:/(_j'), che possiamo scrivere cosi 



^^^'^'' = ^-^^^'^'^^' """^ ^{^)^=V(yyy, 



537 



da cui (^) = 2 l/(j/)dy + C„ dalla quali 



e da questa 

(1) ^=l-=== + Q, 



J(''2//(/)'^>'+Ci 



che è l'integrale generale della proposta equazione. 

Nel caso generale, posto ^_^ =:!/>, l'equazione proposta di- 

viene -7^ =/(/>), che, in virtù della (1), dà 

(2)' x=[ ^ ^ hC. 

^f{p)dp ^ C, 

Se da questa si potrà ottenere p := ']>(x , Ci , Cj), rimarrà da in- 

tegrare la equazione differenziale lineare ^^J^ = 'ì(a: , C^ , €2). Se 

non può ottenersi questo valore di p, procedendo in modo analogo 
a quello del n. precedente ed osservando che 




dx = 



dp _ dp 



\2Jf(^dp + C, 



^{P) ' 



si arriva alla formola 



Esempio, y = -^ . Posto y=p, la (2) diviene 

1 



^1 



538 
da cui 



1 



ve 

avendo scritto Cj in luogo di — CjC2, la quale integrata dà 
1 



y= ^KCi^4-C )V{C,x^C^y-^ 1 +log[C,AS-Q-hV(C,:r+Ct)»+l(-C,. 

2C,VCx 

2o8. Equazioni della forma f(x ,/«') ^ym-\-\) , . . .y«)) 1= 0. L' or- 
dine di queste equazioni si abbassa di m unità ponendo j?^"'=/, 
giacché esse si riducono cosi alla forma 

Se da questa si può ricavare Pyp'= ^(x , C, , C, . . . C.» -m), la in- 
tegrazione della equazione lineare y"^"^ =zp z= :^(x , C, , Cg ... Cn-m) à 
darà l'integrale generale della proposta. 

Esempio. — Posto y=p', la y'=xy'-\'f(y") diviene p^zxp^-^jXfi 
che è una equazione di Clairaut, il cui integrale generale è 
p z= C^x +/(C^) ; in conseguenza y" = C^x +/(Ci), da cui successi- 
vamente, 

che è l'integrale generale della equazione proposta. 

La equazione di Clairaut ammette anche V integrale singolare 
ottenuto eliminando /' tra la p ^= xp' -^ f(p' ) e la *-f- /(/*)= '^ 
che, posto p =yy può considerarsi come un integrale primo $i«^ 
lare della equazione proposta, da cui poi si ricaverà un integrale, con 
due costanti arbitrarie, della equazione proposta. Cosi, ad es.: Tiutegrilé 

generale della equazione^"=;c^"-|-;^"'' èy=iC^ 7r+Cj*"^ + C^-h^t 

e r integrale primo singolare è ^" = , da cui si ottiene l'in«" 

4 



X* 



graie della proposta, con due costanti, y:= — + C^ -f- Q 

48 

209. Equazioni della forma f{y ^y ^y" . . .y*'^) = 0. L' ordii i 
queste equazioni, non contenenti esplicitamente la variabile ind se- 




539 

dy 
dente or, si abbassa di una unità ponendo y = -^ i= ^ e prendendo 

y come variabile indipendente. 

d d 

Infatti, osservando che dalla posizione precedente risulta -z~ =/ , ? 

avremo 



^P-^yy -P\P^.+\^-ry)\' 



w. 

y 



dalle quali si vede che y" è espresso per -j- , y"' è espresso me- 

dy 

diante la derivata prima e seconda di p rapporto ad ^, e cosi via; 

/ dp d»-^p\ 
cosichè la nostra equazione assumerà la forma 9 {y^pt-ry j — i^ )=^i 

che è di ordine n — 1. 

Esempio. — Della equazione 5(Vi) ""^TlTl^^^ ^^ abbassa 

d^y 
l'ordine di due unità, perchè non contiene y e y\ ponendo — ^ = ;[ ; 



essa 



/ dz\^ d\ 
diviene allora 51 -— - 1 — 3{ -7-^=0, il cui ordine, non contenendo 

dz 
essa X esplicitamente, si abbassa di una unità ponendo -p =/> e pren- 
dendo { per variabile indipendente. In virtù della prima delle (1) essa 
diviene 5/* — 3{/> -j- = 0, dalla quale, separando le variabili e inte- 



5 j- 1 5 



1 j» j -t 

grando, si ottiene ;[*=:C'j^, /=— - ^^ ed in conseguenza -^ = —- ;^ 3 (ja 

C^i dx C>| 

C ^ . 3 

cui x + Ct= — ^(avendo ora scritto C, in luogo di ^Ci), e, 

e — 

da questa, { = — r- , (dove Ci è in luogo di C, •' ) ; ed in ul- 

(*-hQ)~ 



540 

C 

timo dalla y" zrz^^z ^ — - ricaviamo ^=CiVjir-|-C,-fQr+Q. 

(dove per — 4Ci abbiamo scritto Cj), e questo è V integrale gene- 
rale, che può anche ridursi alla forma 

ponendo C, in luogo di Ci* e Q in luogo di CiQ. 

210. Equa:^ioni differenziali omogenee. Attribuiamo alla variabile 
indipendente x la dimensione uno^ alla y la dimensione «, alk i 
la dimensione n — 1, slUsì y" la dimensione n — 2, e così di seguito. 
Se tutti i termini d'una equazione differenziale risultano allora di 
una stessa dimensione k^ diremo che la equazione è omogenea di 
grado >^ e di indice n. Per riconoscere se una equazione è omogenei 
si cercherà se vi è un numero n che possa rendere tutti i suoi ter- 
mini dello stesso grado di omogeneità. Così ad es.: sia la equazione 

x*y" — x^y — xy^ 4- 4y^ = 0. 

In seguito alla convenzione fatta, il primo ed il secondo tenni» 
sono di grado « + 2, il terzo e quarto di grado 2«, cosichè, se a 
determina n tale che « + 2 = 2«, cioè se si prende « z= 2, si vede 
che la nostra equazione è omogenea di grado 4 e di indice 2. Coa 
si . riconosce che la equazione ^y"' + x^yy'y" =y è omogenea di ii^- 

dice — — . 

L' ordine delle equazioni omogenee si abbassa di una uniti Ifr 
fatti, se « è l'indice di omogeneità, poniamo 



osservando che -^— = , — ;— == c-^ -1-, abbiamo 

ax dt dx dt 

« 



/ 



(^)' y"=^jg+(;!«-3)g^l3«'-6« + 2)-J + «(«-l)(«-2)c' •-. 



\ 



541 

dalle quali si vede che y'"^, che è di dimensione n — r, contiene 
come fattore ^»-''", e / non comparisce esplicitamente altro che come 
esponente di e. Così che, se la equazione è omogenea di grado k, 
si raccoglierà in ogni suo termine <?*', e la equazione, liberata dal 
fattore ^', non conterrà esplicitamente la variabile indipendente /; il 
suo ordine quindi si abbassa di una unità come si è visto nel nu- 
mero precedente. 

È notevole il seguente caso particolare. Supponiamo che le 
dimensioni dei termini della equazione f{x ^y ^y ^y", . .) = siano 
i« + ^1 , ^« + ^3 , . . . Non vi è allora che il solo valore « = oo che 
renda eguali le dimensioni dei suoi termini e la equazione è così 
omogenea di indice infinito. Il numero kn che comparisce nella di- 
mensione di ciascun termine indica che essa contiene in ciascun ter- 
mine le quantità y ^y ^y' ,^"' . . . elevate a degli esponenti la cui somma 
è k^ cioè che la funzione f(x ^y ^y ^y'* ,...) è omogenea di grado k nelle 
quantità y ^y ,^'',.- Diremo allora che la equazione proposta è omo- 
genea in y e nelle sue derivate^ e queste equazioni sono omogenee di 
indice infinito. Ma ad esse non si può applicare il precedente pro- 
cedimento per le equazioni omogenee di indice «. Per abbassarne 

V ordine di una unità si pone y = el^^^^ da cui 

(2) y = ;[*/?"- y = (?• + ^').A'^- y = i^- + 3«' + ?')^^''',.- 

dalle quali si scorge che la derivata y'*) contiene solo la derivata 
f»"-!). Sostituendo nella equazione proposta, si raccoglie un fattore 

e^M"^ in ogni termine, e la equazione in ^ che si ottiene, liberata 
da questo fattore, è di ordine inferiore di una unità a quello della 
equazione in y. 

Se poi ki = kiZ= /èj..., tutti i termini della equazione hanno la 
stessa dimensione kn-\-ki qualunque sia l'indice n; gioverà allora, 
in generale, prendere « = 0, e trasformare perciò la equazione colle 
formole x =^ e^^ y = {e^^ = {, ossia cambiare la sola variabile indi- 
pendente da X in t 

Si potrà anche far uso della sostituzione yzizef''^^^ che corri- 
sponde al supporre « = oo. 

Esempi 

1) aj^y"z=:{y—xyy. Come si trova subito, è omogenea di in- 
dice uno. Posto X = e^j y ^= ef;(^ ed usando le formole (l), essa di- 



542 



viene 



di 



a (^ ^ j/) ~ (■^)' ^^^ ^^ integra ponendo -^ z=p, per- 



dt=: 



che diventa /j^J^ = {/* — <?^) A, da cui 
{ — ^ / -^ F~r = ^ iog ;p^-r> ® perciò m ultimo 



y =z ax log 



1 — Ci^t; 



2) ;rK" - 2xyy — 2^ + 2^' n= 

Questa equazione è omogenea di indice — 1. Posto, perciò, 
x:=ie^^ yT=:or^^:{:=:e-^:{^^ essa diventa, in virtù delle (1), 



d^l di 



di 



r-^(l+2^) = 0, 



dt_ 



che, posto — - - =/ e presa 7 come variabile indipendente, si riduce 
di 

alla — - = 1 -h 2{, da cui /> = r -f- r* + C, ed in conseguena! 
di j n I . I /- li 2^ + l — C, 

TTTrc ' ^'^^^ ^"^^^ / -h log Q = ^ log .,--_^-i-^rc; 



rf/ = 



avendo posto Ci = \/l — 4C; ed in ultimo 

2^9' -h 1 — C, 



2;rr+l — Q 



log(Q.) = -log-^^^ -_P^--, ossia C..^'=^y^-i-:^e-. 

avendo scritto Cj in luogo di Cj^S e questo è P integrale generi: 
della equazione proposta, il quale può anche porsi sotto la fornu 



^ i^ c,-Ki+c,)y^ 

3) xyy" + axy^ '\- yy =z (^. Qualunque sia l'indice n è equa2Ì(JCt| 

omogenea di grado 2;/ — 1. Prendiamo perciò « = , ed in coIB^ 

d^y dy 

guenza poniamo x=ze\ La equazione diventa ^'—^ + fl -j- — . f| 



dt 



dy 



dp 



posto -^ =/ e presa ^ per variabile indipendente,^ -f- -^ ap^^ . : 



dt 



dy 




543 

:ui py^^ =: Cj e perciò 



3) ^ = C.,-^ , 

lalla quale -^ — ^- = C'i/ + C'2 od anche jv^+i = C^Z + Q; Pinte- 
jrale generale della equazione proposta è quindi 

>^+i:=C,log;^ + Q, 

« ^ è diverso da — 1. Se a= - 1, allora P integrale della (3) è 
og^ = C^/ + log Q , e perciò log^ = Cj log x + log Co ossia 
/ = Cj«<^. è l'integrale generale della equaz. xyy" — ;ty*-t-^y = 0. 

4) xyy" =^yy + xy'^ H . È omogenea rispetto ad y ed 

ille sue derivate; poniamo perciò ^ = <?-'^'^^, ed in virtù delle (2) 
ibbiamo 

di bxz^ xdz — zdx bxdx 
X -j^ = ^ H — ossia — — 



àx yà' — x' ^ \fa^ — x' 



la cui Ci = — * y ^* — ;c% { = z=z=:=L , e, posto 

1 



= _ .. v^* - ** + -^ log [C + * V4« - x*\ + e, , 

; quindi T integrale generale della proposta equazione è 

— Vi 7>'-.vg _L 

y^e^'xe * (C + * V ^« — ;t«)** , 

C 
«sia, posto -7j- — C, , ^r' 'i ^*'» = C« , 






< j 



jK = c,(*c, + V'»'-*')'^ 



,, - -j^x .«_...« 



bU 



I 

W 
t 



2U. Equazioni differenziali esaite. — Una equazione 
/(•^ -^y ly ìy" • • .y"^)= O dicesi esatta se la funzione / è la derivit 
rapporto ad x di una funzione fii^ ^y ^y y .^<"~^^ ) presa conside-j 
randovi y come funzione qualunque di x. Allora /^z=C sarà 
integrale primo della equazione f=0. Così ad esempio, la eqm^ 
zione 2A:(y + l)y' +y* + 3y = è esatta perchè il suo prii 
membro è la derivata rapporto ad x della funzione *y'' -|-2ry'4/l 
e quindi x;y"^ + 2xy -^y mr C ne è un integrale primo. 

Cominciamo dalle equazioni lineari 

(1) Pn^) + p«-iy«-^) + . . . + p^y -h Po^ 4- P = 0, 

Osservando che, in virtù della formola al n. 205 voi. I, è 

|Ky'-)^;r=p^y''-i)-PVy'--2)+PVy'--3)-...+(-i)'--'Pr<'--i>>'+(4X^ 

l'integrale del primo membro della (1) si riduce alla forma 

(2) / Vdx + \Q.^ydx -+- Q,> + Q.,/' + . . . + Q.»/»-" , 

dove 

Q, = P, - P\ + P", _ p-3 + . . . + (_ l)»p.(»l, 

Q., = P, — PV+i + P"r+2 — ... + (— 1)"-^P 



M — r 



Ora la espressione (2) è sempre integrale del primo memb; 
della (1), ma il modo con cui dipende esplicitamente da x vam 
variare della funzione y di x^ ed affinchè^ qualunque sia questa 
zione, rimanga sempre la stessa funzione esplicita di jc e di y.j 



h 



occorre 



che sia ÌQ,Qydx = e perciò, affinchè ciò avvenga qualunq: 

sia la funzione y di x^ occorre che sia Q.q = 0. In tal caso, e 
allora, la equazione proposta è esatta, e 

I vdx + Q.,^ + Q.,y + . . . + Q„y«-^> ^ C 

è un suo integrale primo. 

Esempio. Si riconosce subito, col procedimento precedente 
la equazione 

xy" + ^y' + xy -hy = 



xf + 2/ + */ = C, 

: un integrale primo. Questa ultima equazione non 
tia della equazione xy" + gy -\- xy ^^H è integrale ] 

\= (Es, 21 a pag. 532), cosìchè, servendoci dell; 

ila fine del n. 201, si ha il suo integrale generale 

„ cos,* „ sen x C, 
^ - C, -— — + Q — ^ + -^ , 

he è l'integrale generale della equazione proposta. 

Consideriamo ora una equazione dilferenziale quali 
Dtende subito come, affinchè essa possa essere esatta, fa bii 
i più alta derivata comparisca al primo grado. Sta quind 

t(* j^ ,y ■ ■ ■^'^''1 + -i- (■« ,j' ,y ■ ■ ./"-'))>"! = 

a nostra equazione, che porremo nella forma 
Vdx:= f{x ,ji ,y , . . .y-"-^>'dx + '{'{x ,y ,y , . . .z!"-») (//« 
Poniamo 

V = j-^(x,y,y,.. y''-iì)rf/'<-if, 

'integrazione intendendosi eseguita considerando *,>',^ 
Mme costanti, cosichè sia 

: quindi 

Se si riconosce che il secondo membro è il differenzii 
funzione U, di * ,y ,y . . .y"—'^>, allora la equazione propos 
; un suo integrale primo è U + L',^^C. Se il secondi 
non è u^ diflerenziale esatto, la equazione proposta nor 
Per riconoscere poi se avvenga il primo o il secondo caso 
il secondo membro lo stesso procedimento che si è ado] 
Vdx, e cosi successivamente. 



V ^ 



fi \ 

i ■■ 



S~f 



546 

Come per le equazioni differenziali di primo ordine della fonna 
M^jf 4- N(/^ = 0, cosi per quelle di ordine n della forma 
Mdx + N(/y(«-i) = 0, dove M , N sono funzioni di x ,^, y,^^..^■-' , 
esistono dei fattori integranti o moltiplicatori ji, funzioni di x.i. 
y, ..^''-1), tali che ti(M^ + N(/y«-i)) = è una equazione esatta. 
Indicando con ^ {x ^y ^y\ . .y «-D) = C un integrale primo della pro- 
posta equazione risoluto rapporto alla costante, la dimostrazione è la. 
stessa di quella per le equazioni di primo ordine (Vedi n. 187). 

Esempi 
1) Sia l'equazione 
yy "~ ^y^ — ^yy^ =^ ^ ossia ^dx •=. {yy — xy^)dx — xydy = ; 

posto U = — xy I dy' =^ — xyy' abbiamo Ydx — dU = 2xy'= 4/)? 
quindi 

/ — xyy' = Ci 

è un integrale primo, il quale, integrato separando le variabili, dà Fin- 

tegrale generale della proposta equazione, x = C^V^* — C, , che può j 
anche porsi sotto la forma 

jv* + ^2 A* = Cj . 

2) V = (2^ +/)/' + (2 -hy" + 2yy + 'òx)/ +/» + 3/ + *' =0. 

Posto 



U, = l\2x +y)dy = (2x +/)/ , 

è Vdx — d\}^ = ]{2yy 4- '^)/ + (y^^ + 3/ + x^)\ dx = \\dx ; 

per riconoscere se il secondo membro Vidx è un differenziale esatto 
poniamo 



ed allora è 



U, = h 2y/' + 3*) dy =yy^-\- 3*)-' 



V^dx — d[]t=zx'dx = d^, 



547 
e quindi la equazione proposta è esatta, e poiché 

Vdx = d{], + d{]^ + d^, sarà Ui-hUj + ~=z:C, cioè 

x^ 
(2x +y)/ + (yy + 2x)y + y = C 

un suo integrale primo. 

3) Proponiamoci di determinare la forma della funzione R di at,^^ 

e le funzioni P , Q, di jv in modo che la equazione y' H = , 

or 

ossia Vdx =zdy-\ — dx =zO ammetta un moltiplicatore della forma 

ji=:P^-|-Q^' (Eulero). 
Dovendo essere allora 

.^\dx = dy(Py + QJ) -I- -^ (P^ -h Q/) = 
una equazione esatta, posto 

u = j'(p>. +Q^') dy = Pyy + Q^ , 

dovrà essere 

n VaUr — JU = [-^ (Pj- + Q^') - ?yy - P/'« - Q.' ^ j dx 

un differenziale esatto, e quindi dovrà essere intanto 

(3) ' 2P + Q.' = 0, 

cosichè, essendo allora 

,^Vdx - d\2 = ^^ dx + {—-Vy\ dy , 
dovremo avere ancora 

a / Rp^ a / R \ 

— - — - =: Pv| ossia 

I RP P^ 3R 1 aR RQ.' p. 









.t< 



jj 



2 



548 

la quale, ove si prenda per P tale funzione che sia P' = cioè 
P:= — Y-*— ^j Y e ^ costanti qualunque, e in virtù della (3), si j 
riduce alla 

■ 

P^ 9R aR . . ^^. 3R , Q> 3R . 
-^ — rz: — od anche (4) ^^ ——0; 

e questa, essendo, per la (3), Q,=:oL-\-2?x-\-fx^ ^ a costante qua- 
lunque, serve a determinare R. Perciò si osservi che, posto/ = { V Q- ' 

abbiamo R(^,/) = R(^ , {\/Q.) da cui, indicata con l — | la deri- 
vata totale di R rapporto ad a:, si ha 



\dx/ dx dy dx a^r 3/ 2VQ. a^ a> 20. 



y 

quindi R è funzione della sola { cioè di — ::::::, vale a dire che sod- 

disfacciamo alla (4) prendendo R = -xi | L dove 9 indica unaiim- 

zione qualunque. 

Da tutto questo si raccoglie che 1' equazione 

ammette il fattore integrante P/ 4- Q/' , dove P = — TJf — •• 
0.= a-|-2^A: + Y^*, ed un suo integrale primo è 

ossia, per la (3) e se la funzione -^ |-^| non presenta singolarità 

Ivo./ 

per/=:0, (formola (5) a pag. 444), 



y 
2 



\/(iJ Ivo./ 






549 
Un caso particolare notevole è quello in cui 



= (•'-'1- 

equazipne 


a ^ 

VQ 


3 


" {bf+air 



~ , al quale corrisponde la 



a V 

y" -I -Il — 

^ (h' + Q.') ' 

che ha perciò P integrale primo 

212. Quando una equazione differenziale non rientri in alcuno 
dei tipi precedenti bisognerà, per integrarla, ricorrere a speciali arti- 
fizi e trasformazioni come nei seguenti 

Esempi 

1) y +/(^)y + cf (>')7'* =0 {Egu^ione di Liouville). 
Ponendola nella forma 

v" dx 

y 

se ne ricava l' integrale primo 

>og^ -+- //(*)</■«•+ /?W<(V = log e,, ossiay = C, «-//i-V^- W^OK'i 

da cui si ha l'integrale generale 

2) (1 + ;c«)y + 2Ar(H-Jr«)y-f-^' = 0. 

L'ordine di tutte le equazioni lineari omogenee si può abbassare 

^i una unità ponendo j^ = e^^'^^ ' ma la integrazione effettiva riesce allora 
varamente. Nel nostro caso giova porre ;r m tg /, ed allora la equa- 



1 

l 



550 

zione diventa (Voi. I, pag. 218) -37^-h y = 0, il cui integrale è 

ai 

^ ^ Cj cos / + C2 sen / , e quindi 

^ zzi: C| cos (are tg x) + Cj sen(arc tg x) 

=i C, cos I are cos — zzzmzz \ + Cg sen ( are sen 

l Vl + ^V l 






è l'integrale generale della equazione proposta. 

2)y'+(e^ — x)y^ T=.{S. Prendendo^ per variabile indipendenie 

d'^x 
la equazione diventa ~ -\-x^=z^ (Voi. I, eserc. 4* a pag. 229i, il 

cui integrale generale 

je :=: Ci cosj; -h Cj sen^ + -— 



è r integrale generale della equazione proposta. 

4) (^* +y)y' + (^ — xy') (1 +^'') = 0. Preparando la equazioae 
in modo che la variabile indipendente sia qualunque, abbiamo (VeS 
cambiamento di variabili Voi. I) 

{x^ -+-/) (dxd^y — dyd^x) 4- (ydx — xdy) (dx^ + dy) = 0. 

Ponendo x =z p cos B, ^ nr p sen e, essa diventa (Vedi Voi I 
pag. 221) 

P«(2ipVtì — ?d^f,d^ -h ?V83 + pd.^d'^) — P«(/;(i/p* -h p'ie')i=a 

ossia d^^d^ — pd^ p^6 + pdpd^^ = 0, la quale, prendendo ? come * 
riabile indipendente, diventa 4'- + p^ = 0. che, integn« e- 

Jp flP* 

porre -—=/>, dà p^z^C, ^^'0, da cui si ottiene l'mtegrale 
flp 

della equazione proposta. 



mri- 



■' ■ ;> 



551 






JV^ 



\V4- 



e nelle derivate ; posto perciò jy = ^^' , essa diventa 



(Eulero). È equazione omogenea in^ 



__ JzJ^ 



(1> 



dx 



%\/a' 4- X 



— 1 _ 



che è una equazione di Bernoulli, il cui integrale, posto 
1 

/ zj^ \x + Va +x^\ * , si trova essere 



(2) 



Per calcolare | ^^a: osserviamo che la (1) ci dà 



d^ 



dx 



a + ? 



da cui, integrando, 

1 



, ^dx^ 



a -f- 3 / 

— log Cj + log ^ \og{x + \/^* -+- x^) = / ^dx^ 

% % 1 



■'■■>. 



m 



^>v 



«4 






vt. 



)ssia logQ — :=- --j{dx, e quindi ^ = ^•'''*^*= /Cj — j , cioè, 

>er la (1), 



'»Ì 



^'^. 






a+t^ 



ssia, modificando le costanti, 



^ = Q 






1 4-a 



1 — a 



questo è l' integrale della proposta equazione. 

213. Le equazioni differenziali che abbiamo fin qui studiate espri- 
levano, salvo poche eccezioni, una relazione tra le derivate di una 



552 

funzione, la funzione stessa e la variabile indipendente, ed esse vi 
potevano ridurre subito ad equazioni tra i differenziali delle varia- 
bili. Molte volte la equazione differenziale è data sotto quest'ultima 
forma. Essa deve essere allora omogenea complessivamente rispetto 
al grado ed ali' ordine dei differenziali che in essa compariscoDc. 
altrimenti ogni somma di termini omogenei, dovendosi annullare da 
sé, perchè ogni tal somma è un infinitesimo di ordine diverso da 
quello delle altre somme analoghe, la equazione si scinderebbe in 
varie equazioni differenziali. Data poi una equazione in tal fomu. 
bisogna che sia fissata quale è la variabile che si considera come 
indipendente, giacché la relazione finita tra le variabili, cioè l'inte- 
grale, cambierà al cambiare della variabile indipendente, a meno che 
la equazione non rappresenti una relazione tra i differenziali, che 
rimanga inalterata qualunque sia la variabile che si prenda coms 
indipendente, ciò che avviene quando la proposta equazione sia A) 
che diventa una certa equazione quando la si prepara in modo che 
la variabile indipendente possa essere qualunque. Allora la equa- 
zione proposta, fissata che sia la variabile indipendente, è sempre 
la trasformata di quella certa equazione in questa nuova variabile 
indipendente, e l'integrale rimane sempre l'integrale di quest'ul- 
tima equazione. Tutto ciò verrà compreso meglio coi seguenti 

Esempi 

1) Sia la equazione dy =iXdx^, dove X é funzione della sojì. 
Se la variabile indipendente é la x, il suo integrale è 






jy= jdx Xdx-h C,x + Q 



Supponiamo invece che la variabile indipendente debba esseR 
5, essendo s tale che i/s* = dx- -f- dy, cioè supponiamo ds costase. 
Per integrarla in questa ipotesi, integreremo la sua trasformala quac* 
per variabile indipendente si assuma x^ Preparando l'equazione ì^ 
modo che la variabile indipendente possa essere qualunque, e fKf'- 
dando che la variabile indipendente nella d^y = Xdx* era i '• 
essa diviene dsd^y — dydh =iXdx^-ds\ ma dsd^s=:dxd^X'^djfJ[i ^ 
poiché prendiamo ora x per variabile indipendènte, dsd*5^ \ 
ds^z=zdx\l-{-y^), indicando con apici le derivazioni rapportc 1 »■ 




553 
e quindi 

dsd^y — ^yj^ ^ xdx' ds ossia (rfs* - dy)dy = Xdx^ ds\ 

d'y = xdx\ì +y% y = x(i -hy% 

il cui integrale generale è 



y=[dxtgUxdx + cJ^ + C,, 



che è cosi l'integrale generale della equazione d*y = Xdx^y quando 
si supponga ds costante, il quale è ben diverso da quello della stessa 
equazione d^ = Xdx^ nell' ipotesi di dx costante. 

Invece, qualunque sia la variabile indipendente che si scelga, 
r integrale della equazione 

(1) dxdy — dyd^x = Xdx^ 

è sempre lo stesso, quello cioè della equazione y'z=X, perchè 
la (1) è ciò che diviene questa ultima equazione preparandola per una 
variabile indipendente qualunque. 

2) Si voglia trovare la relazione tra x e y affinchè sia 

x^ — a^ j xdy^ + xyd^y -\-ydydx 
\ ) ~Zi~t IT 



x^ + a^ ydy 

lìéìV ipotesi di ydx costante. Per eseguire la integrazione, integreremo 

la trasformata quando si supponga dx costante. 

Per una variabile indipendente qualunque , posto ydx = dh^ 

osserviamo che, indicato con dh^y il d^y che comparisce nella (2), 

dh d^y — dydVi 
è dh^y = , ossia, poiché dydx -\-yd^x =: d^hy è 

dyidydx -\-yd^x) 

d^y = d'^y ^^—^ — 3 , che, supposto dx costante, diviene 

ydx 

dy* 
d^y =zdy =^. La trasformata della (2) quando dx è costante è 

perciò 

X' — a^ , xd^y + dydx x- — a^ , 

— - —dx= -r- — — , ossia -ò-v- v/ = xy -\-y , 



:n 









. t \ 



r 

r 



f 



554 

2a^ , . dy 

xy" = -jf\ che si integra ponendo -7- = p; sì trova così 

che è perciò V integrale generale della (2) nell'ipotesi di/ijr costante. 
V integrale della stessa equazione nell'ipotesi di dy costante è 



--(ir-^)- 



Esercizi 
1. ay =^y^^ l' integrale è ^ = Q — a ìog(x -h C,). 

2.y= 1=, ^-^~'^- =yyy - 3y VQ + 4C. ve 

3. (* + a)y" 4- */' =y\ y = log {x' + C\) + ^ are tg ^ +C, 



4. yy' -y = — :^^,— , y = (Z^\x + \V -4- x^^'"^ ^i^(.t+ V^'^ A 

5. xy - ^3^' = ;.>"^ - 4/, log A- + C, ^ j _-^__, ^ ^ ^- . 

7. (A: + 2y)y' + 2y* + 2y + 2=:0, A?«4-y+^ = Ci*4-C. 



8. ^Af^^ — xds^ d^y ■=. adx ds\/{d^xY + [d^y)\ supposto 



ds =z\ì dx^ -\- dy- costante; C^y = x + 2ax ^C^. 

bdx* ds^ d^y 
9. dx^ dy — xds^ d^y = — ^iz: — {ds costante), 

\/'dx^ + a^ ds' d'y 

-f- C, integrale generale : vi è ancora un vt 



b 
tegrale singolare costituito dalle due equazioni x = 



(l + *r^ 1^ 



V — ±^ - *-_ _i i I H I are \!^{ao\ -^ 



555 



lì. y^ —}y = « vy« + ay\ 



integrale generale C^x -\- \og(C^y+ n\^l + a^Cj^) -h C^^ 

. ^ . , x-i-C 

mt. singolare y z=na sen . 

a 

12. yi-logyy 4- (H- log^)/* = 9,jy = ^^+c«. 



13. (^_^y)y = 4yi^ x = C,[\/\ -|. C,;r^— 1] ^Vi+^^^-»' 

(La equaz. è omogenea d' indice qualunque, giova assumere l' in- 
dice uguale a — 1). 

o o 

14. ds dy + 3y d*s = {dy costante), (*H-C,)~ +/"»" = Q. 

15. a!y"V«M^* + ay - x\ ««^ = - ^ - -| a^'x + |- (a* + x^)~ 

.7 y 

I- C,[xV^M^ --x^-^a^ log (;c + \/aM^J + C,. 

16. ^dy^ndx^dy — xdyd^x-\-xdx d}y^ X = X(>): si suppongano suc- 

dx 
cessivamente costanti dx ^dy ^ xdy , xdy , — ; si ha sempre lo stesso 

X 

r dx 
integrale y + C^^^ { ; perchè? 

17. xyy''-\-(x—\)yy'-h(y^-hl}xy'^ = 0, e'^ = C, e^ix -^l)^C^, 

18. — io~ = ^-^-' Se si suppone ds costante l'integrale è 

d^x dy 

;r = C^ y x — C + a log ^— ^-- ; se si 

suppone 4y costante l' integrale è / = ^V^ "1"/' "1~ ^u 



*=2 [M/i+A^-logC/^ + Vi-h/'Ol-i-C,. 

^ J5«rf*v \ X ^^ 

19. r-r^ = — cos — (a5 costante), 

dx^ a e 

y=i cos h Q^x 4- Cj. 



556 



20. i+y^i-xyyz=ayyi-i-y\ 



^ = e, log C.IC. + ve.. + .'->■) _ ^,c;Mr7=P. 



a — X 



dx 



21. yd'^x — dx dy + y'^d'^y = ; se si suppone — costante Fm- 
tegrale è ^* = C^j»r-hCg ; se si suppone^ii!^: costante è l+Civ'^Cif-^ '. 

22. y (cosy H J — ( ^) -^y^seny — senx = il 

\ X +y / V ^ +y / 

sen X + sen^ + log^A- -\-y) = Cj;!? + Cj. 

23. y(x -hy) ^ya -+-/) = 0,y = C, \og{x +y -|- C,) + C,. 

24. (ay' + x'')y = xy', x = a\2pìog-f,-, 

25. ^*^" = xy -f- 2a>7' — 4y^ ; P integrale, a seconda del valore i 
una costante che si presenta nel corso dell* integrazione, ha le tre 

forme seguenti: x^ = (x^ — yO^og 



e.' 



^ = Ci 






"'\ y = x* + C^« tg (C, log ^) : 



vi è pure un integrale singolare y = Oc*. 
26. (x- +y^)y —yy'^ 4- xy'^ -hxy' —y = Oyy^^x + CjA^ = C 



Applicazioni Geometriche. 

214. Abbiamo già accennato nel n. 176 ad una interpretazione 
geometrica di una equazione differenziale di primo ordine. Ora p if* 
vi sono elementi di una curva, data da una equazione /(jr ,/) = "^^ 
coordinate cartesiane, che contengono nella loro espressione le lefl- 
vate di y rapporto ad x, come ad es. : gli angoli della tangente ::^ 



557 

mnto della curva cogli assi, la sottonormale, la sottotangente, il raggio 
li curvatura et., si intende come il problema di determinare una 
;urva che goda di date proprietà riferentesi a tali elementi, darà 
uogo ad una equazione differenziale, che sarà la traduzione analitica 
li quelle proprietà geometriche; si avrà così la equazione differen:{iale 
Iella curva^ la cui integrazione ci permetterà di arrivare alla equa- 
:ione della curva. 

Analogamente se la curva sia riferita ad un sistema di coordi- 
late polari o ad un altro qualunque sistema di coordinate, la cui 
celta opportuna dipenderà poi dalla natura del problema proposto. 

215. Risolviamo ora appunto alcuni di tali problemi. 

1) Trovare una curva tale che in ogni suo punto la sottotangente 
tia air ordinata come una costante a sta alla differenza tra P ordi- 
tala e r ascissa (Problema proposto ai geometri trent'anni prima 
iella scoperta del calcolo infinitesimate da De Beaune, amico di Car- 
PESio. Questi ne trovò la soluzione, senza indicare come vi arrivasse. 
1 problema era allora di un genere nuovo, perchè non richiedeva 
li dimostrare qualche proprietà di una data curva, ma da una pro- 
metà di una curva incognita domandava di risalire alla curva stessa. 
1 problema fu poi risoluto da T Hópital e da Giovanni Bernoulu 
:ol calcolo integrale). 

Ricordando che la sottotangente in un punto di coordinate (x^y') 

dx 
\ y -7-, V enunciato del problema proposto si traduce nella equazione 

iifferenziale 



\ dx a . dy 


y X 


■ - y - ^ — osbid z 
y dy y — X dx 


a a ' 



:he è una equazione lineare, il cui integrale generale è 



X 



y=^x-\-a -h Ce 



Abbiamo cosi un numero infinito di curve che risolvono il pro- 
l)lema, quelle che si ottengono dalla precedente equazione attribuen- 
iovi alla costante C tutti i valori. 

In particolare per C = abbiamo la retta yz=x^a. 

2) Trovare la curva per la quale il punto di me{{0 della nor- 
male geometrica è sul circolo X'^ + Y' = a*. 



558 

Le coordinate di un punto M della curva cercata siano {x.))jh 
ascissa del punto N nel quale la normale in M alla curva taglia Tasse 

dx 
delle X è, come si ricava subito dalla equazione Y — ^= ^{X— i) 

della normale in M, x +yy\ e T ordinata è zero, cosichè le coorii- 

nate del punto P di mezzo della retta MN sono x 4- —yy\ -^ J- 

Esprimendo che il punto P, qualunque sia il punto M cioè qua- 
lunque siano X ^y^ è sul circolo X^ -|- Y* = tf*, abbiamo l'equazione 
differenziale della curva richiesta 

/ 1 \* 1 

( ^ + —yy \ + —y'*- = a^ ossia 2x -{-yy = \/4a* — /, 

dove al radicale si sottintende preposto il segno ±. Per integnik 

poniamo \/4a^ — y^ = u ; essa si trasforma nella uu =:2x - », che e 
omogenea, il cui integrale è (u — x)(u + 2x)^ z=zC ^e quindi queDo 
della equazione in x ^y è 



{ y4a' — / — x) {\/4a' — / -+- 2^) = C 

od anche (4^* — / — 2x^ — C)* = x^4x^ —y% 

Le curve rappresentate da questa equazione risolvono il pro- 
blema. In particolare per C = abbiamo la cur\'a 



(V4^*— y — a) (\/4a'—y^-h2x) = 

che si compone del circolo x^ -hy- = 4a\ e della ellisse 4i^i'jr=^^' 
circolo ed ellisse che soddisfanno ciascuno alle condizioni àé 
problema. 

3) Determinare le curve per le quali il raggio di curcatnn . 
uguale in ogni punto alla normale geometrica. 
La equazione del problema è 

• -; ^^.y{\+y')^ ossia (H-y^rp/Z^^O, 

y 

e quindi ancora 

(1 +y' -hyyl (1 +/' -yy") = 0. 



559 

Integriamo ciascuna delle equazioni 

1 -+-/' -\-yy = , 1 +y ^ -y/ = . 

La prima ammette l' integrale primo j^' + a? = Cj , il cui inte- 
grale è ;c* 4-^ = 2Ci^ + C2, che rappresenta dei circoli i cui 

:entri sono sull'asse delle x, 

dy 
Per integrare l'altra equazione si ponga — -i=/> e si prenda^ 

dò 
per variabile indipendente. Essa diventa allora \+p^ — yp-~^=.i)^ 

ialla quale, integrando col separare le variabili, si ottiene 

C^dy 



t' :=: Ci V 1 ■+ A' ^ quindi dx ■=: — da cui 

f = e, -H e, logCj»- + Vy - e,*), y + V/ - C,« = r "^^, ossia 

ì posto Cj = ei^ , Cj + C,C3 — C, abbiamo infine 

iquazione che rappresenta delle catenarie. Queste catenarie e i pre- 
:edenti circoli sono le curve richieste. 

4) Curva per la quale V arco contato a partire dalV asse polare è 
xguale alla derivata rapporto al raggio vettore del corrispondente 
ettore. 

Indicando con p , 9 le coordinate polari di un punto della curva, 
*arco che termina in quel punto ed ha origine nel punto in cui la 

e 

rurva incontra l' asse polare è / *^^ V/ P* + ( "i— ) ed il corrispon- 



e 

1 '' 

lente settore è — / P^d^^ cosichè dovremo avere 



e e 



^-ji/.v.!=y^'..(*)', 



^ 



560 

da cui, derivando rapporto a 9, abbiamo 



che è la equazione differenziale del problema : essa si riduce i 
-— = da cui p =r C ; quindi le curve richieste sono i circoli col 

u9 

centro nel polo. 

2i6. Problema delle traiettorie. 

Sia il sistema di curve rappresentato dalla equazione /(te,T3,''i='^- 
dove l , f\ sono le coordinate cartesiane ortogonali correnti tà ahi 
parametro, che individualizza le curve del sistema. Chiamerefflo 
traiettoria del sistema una linea che in ogni suo punto d'incontro 
con ciascuna linea del sistema la taglia secondo una data legrc 
costante. 

Indichiamo con x ^y le coordinate correnti della traiettoria e U 
legge secondo la quale essa deve incontrare le linee del sistema sa 
espressa dalla equazione 

IV T- / df\ d\ dy d^y \ 

dove l Q X ^ri Q y sono uguali tra loro essendo (è , r^\ (x ,/) le coor- 
dinate del punto comune alla traiettoria ed alla linea del sistema, ms, 

dr^ dy n 

come è chiaro, sono diversi tra loro -^- e -f- , etc. Per trovare l e- 

a» dx 

quazione differenziale delle traiettorie sostituiremo nella (l) inlucfo 

dfi d^fi 
di -- y -jf: »... i valori che si ricavano dalla /(g , r^ , j) = e p 

tra questa equazione e quella così ottenuta dalla (1) elimineremo i. 
il risultato della eliminazione, ove si scriva x ,y in luogo di s»^ = 
la richiesta equazione differenziale delle traiettorie. 

Il più interessante problema delle traiettorie, quello che oni- 
nariamente è considerato come il vero e proprio problema delle ts- 
iettorie, consiste nel determinare le curve che tagliano le cun ^ 
dato sistema sotto un certo angolo costante a. Se a è retto, le is- 
torie chiamansi ortogonali. Indichiamo con T l' angolo che I ^^ 
gente nel punto M alla traiettoria fa coli' asse delle a-, con T Ti ^* 



561 

che la tangente nel punto M alla curva del sistema che passa per M 
fa coir asse delle x, cosichè sìa 

abbiamo allora 

tga = tg(T-r)= ^«T-*«T' ^"^ 



H-tgTtgT ,_^dydn ' 

1 -f- 



^;i: ^g 



, cot a — - 

j . ari dx 

da CUI 



^ cot a + -/- 



che nel nostro caso corrisponde alla (1). 

1) Eliminando a tra h /{^ , fi , a) z=z e la ^-\-M^l=() si 

3S 3tq «5 



ottenga 



-^(6,.,^) = 0, 



la quale sia perciò la equazione differenziale delle linee del dato 
sistema. Ponendo in questa equazione ^ = x, >j =jy e in luogo di 

dtì 

-— - il precedente valore, otteniamo la equazione differenziale delle 

traiettorie 

dy 

\ COta + -/- / 

dx 

Se a = -^, cioè se le traiettorie sono ortogonali, questa equa- 

zione diventa 

dx 



■K"':^''-^) = °- 



36 



562 

2) La equazione del sistema dato di curve sia della forma 

(2) r,=:cp(;,«), 

e se ne vogliano determinare le traiettorie ortogonali. In questo 
caso, oltre al procedimento generale precedente, potremo adoperare 
il seguente. 

Cerchiamo di determinare a come tale funzione di x, che k 
equazione 

(3) y = ^{x,d) 

risulti quella delle traiettorie ortogonali. Avremo allora 

dy d^ , d'i da dr, 3? , 

— ' e, dalla (2), — 



• 1 



dx ^ 'Sa dx ^ ^ ^ di di 

affinchè la (3) rappresenti le traiettorie ortogonali dovrà essere 

, , 3t /3=f . 3? d" 

••■ ~r" 



iX'èx da dx) 



di 
ossia, ponendo ;t nz § , ^ = t) , 

(4) i^(h.)\^^^ = o. 

^ \dx/ d^ da dx 

È questa l'equazione differenziale tra x e a cui deve soddisfeR 
a ; integrandola e ponendo nella (3) per a la funzione integrale, i 
(3) diventa l'equazione delle traiettorie ortogonali delle (2). 

3) Trattiamo il problema in coordinate polari. Sia /(r,?,^)''^' 

l' equazione del dato sistema di curve. Indicando con ;i, Pangok 

che la tangente in un punto (r,?) ad una delle curve fa col ra^ 

dz ., 

vettore di quel punto, è tgi^i =: r^ , ed indicando con ji lang^-^ 

dr 

analogo per la traiettoria, di cui indichiamo con p , ^ le coordìps 

correnti , abbiamo tg m = p -j- , e poiché ji — jij zr: a, , è 

dfi 

da , 

P COt a —z 1 

da CUI 



tga_ 


dt) dx 
dp dp 


d^ dx 



dr dh 

j j pr-j-'-h/'COta 

dp dr dp 



r^ 



,' 



^■^M 



563 

Sostituendo questo valore nella equazione differenziale del sistema 
li cur\'e 



/ *"i 



^{r,,,^)=0 



ì poi ponendo r =: p , 9 = O, abbiamo la equazione differenziale delle 
laiettorie 

p cota-l\ 
'+|P,^ T. =0, 



d*i 



f? 



+ p cot a / 



:he per le traiettorie ortogonali si riduce alla 

1 Jp 



♦{-.-Ìr^) = 0. 



Esempi 

1) Traiettorie ortogonali dei circoli di raggio costante r e col 
entro sulP asse delle ascisse. 

\j3L equazione dei circoli è (§ — ay + r^* = r*, a essendo il para- 
letro variabile, e la loro equazione differenziale è quindi 



('^)-'-=''. 



Dsichè quella delle traiettorie ortogonali è 



(• 



y -T- I -f- r' = r* ossia a;r H ^-^ :^— 

: dy ) ^ y 



= 0, 



ove al radicale si sottintende preposto il segno zt ; l' integrale, e 
uindi r equazione delle traiettorie ortogonali, è 



A' = — \/ r- — y^ — r log 






C. 



Esse sono delle trattrici (Vedi pag 68, eserc. 8), le quali tutte 
ottengono da una di esse facendola scorrere in modo che i suoi 
iinti si muovano lungo rette parallele all'asse delle x. 



564 

2) Traiettorie ortogonali del sistema di rette y = ax-f i'(a). 

Questa stessa equazione è quella delle traiettorie purché a si ri- 
cavi dalla equazione che corrisponde alla (4) ne! nostro caso, cioè 
dalla 

• r .1^ M ^-^ ^ , dx ax ai' [a] 

l+.,. + ,t, + ,('^)l^=0 ossia ^ + -j-^ = -^, 

equazione lineare il cui integrale è 

yi+a" L f yi+a^ J 

Considerando a come un parametro variabile, questa equanooe 
e \z y:=:-ax + ^{a) ci danno le coordinate dei punti delle cercak 
traiettorie, e la eliminazione di a ci dà la loro equazione in coori^ 
nate jv,^. Così in particolare se cj^(tf)=0, le traiettorie ortogonali ddlc 

C 

rette yz=iax sono date da / = ^ ;r , xz=. — ^z=r , cioè sono i cef- 

\/l + ^* 
chi j*:«+/ = C*. 

3) Traiettorie sotto un angolo a = it — del sistema di ptrt 

ó 

bole S* = 2a(rj — gV3). 

Gli assi delle parabole sono rette parallele all' asse delle /, b 

retta i = — ^zz è una tangente comune a tutte le parabole neiroci- 

V 3 
gine delle coordinate, ed il luogo geometrico dei vertici delle pac- 

V 3 
bole è la retta € = — - — 73 . 

L'equazione differenziale delle parabole è ~--=i^ V^* 



^ 



cosichè r equazione differenziale delle traiettorie è, se a = ---, * 
equazione 

/^_L_i 

^ — -^ V 3 ossia -j^ = •' - 



^ X dx 2x—y\Z 

V3 ^ 



565 

equazione omogenea il cui integrale è j^* z:z C(x -- ^y/ S)j che rap- 
presenta delle parabole i cui assi sono paralleli all'asse delle x, la 

X 

retta ^ == — i^ è una tangente comune nell' origine delle coordinate, 

V3' 
ed il luogo geometrico dei vertici delle parabole è la retta 

V3" 

Se a = , la equazione dififerenziale delle traiettorie è 

«5 

-—- = ^~- — , il cui integrale V 3 (x^ -\-y'} — 2x^ = C rappre- 

^ j^ys-x 

senta delle ellissi simili col centro nell'origine delle coordinate ed 
i cui assi sono le rette j; = dox, 

4) Si vogliano trovare le traiettorie di un sistema di curve 

A»>'*1>^) = 0> ^^^^ ^^® ^^ ^S^^ punto d'incontro colle curve del 
sistema la sottonormale della traiettoria uguagli la sottotangente della 
curva del sistema. 

di dy / dr[\ 

Dovremo allora avere tj — - = v - - , cosichè se ^\ § , >3 , -,- l = 

dr^ dx \ d\) 

è la equazione differenziale delle curve date, quella delle richieste 
traiettorie è 



Così ad esempio, date le rette f\^=-al^ la cui equazione differen- 

dr 
tiale hr^- -~ l , la equazione differenziale delle nostre traiettorie è 

f = ^-A-, il cui integrale^* — ;r' = C rappresenta delle iperboli 
dy 

equilatere. 

5) Traiettorie ortogonali delle spirali d' Archimede r i= ^ + a- 
L' equazione differenziale di queste curve, che si ottengono tutte 

dalla spirale d'Archimede r = cf quando questa ruota intomo al polo, 

essendo -r- = 1, quella delle traiettorie ortogonali è r- -r- = 1, 

d^ p' ^« 

il cui integrale p = - — ^ rappresenta delle spirali iperboliche, che 



566 

si ottengono dalla spirale iperbolica pO = 1 quando questa mota in- 
torno al polo. 

6) Traiettorie sotto un angolo a delle lemniscate r*=:fl'cos2:. 

L' equazione differenziale delle lemniscate essendo 

d^ 
cos 2^-^r sen 2-^ -=- = 0, 

dr 

quella delle traiettorie si riduce alla 

dò 
p sen(2a + a) -r- + cos(2e + a) = 0, 

»p 

che, integrata, dà 

log P — 2" ^^^ ^^^ (2 e + a) = log C„ 
ossia 

p*=:Ccos(2p + a), 

Se si riferiscono queste curve al sistema polare il cui asse fi 

a 

un angolo — — coll'asse polare primitivo, cioè se si pone ? = '• 

a 

tì = 9i — -- , si vede che le equazioni di queste traiettorie divento» 

le p* = Ccos29i. I^ conseguenza; il sistema delle traiettorie, soft» 
un angolo «, del sistema delle nostre lemniscate è costituito da qocìd 
stesso sistema ruotato intorno al punto doppio comune di un aa- 

golo — --. (Beltrami, Annali di mat. 1861). 

Esercizi. 

1. Si determinino le linee per le quali, in ogni loro punto, ^ 
somma della ordinata e della sottonormale è una data costante * 

La equazione delle linee è x +y = C — a \og(y — a\ 
Se la somma della ordinata e della sottonormale deve essere a» 
costante qualunque^ allora l'equazione differenziale delle II ^ ^ 
^'_|.y2_l_y'— :0, e la equazione delle linee è A4-/=C|-Qlog( -^ 

2. Linee per le quali il raggio di curvatura è costante. 
Tutti circoli (a: — Ci)'-f-(^-C,)« = CV 



!i^ I. 



567 

3. Linee per le quali è una data costante a la somma della nor- 

male geometrica e della sottonormale. Linee y=ia ^^ , 

4. Linee per le quali il punto di mezzo della tangente geome- 
trica è sulla retta y=:x. 

Le parabole y^-=.Qi^y — x\ che passano per l'origine delle 
coordinate ove sono tutte tangenti alla retta y:=.x\ Passe di cia- 

C 
scuna parabola è la retta y = -j- . 

5. Problema precedente relativo al punto di mezzo della nor- 
male geometrica. 

2 2v— jr 

— p=arctg ' 

y — ^>' -f- 2^:* = C ^ V 7 .r V 7, 

6. Linee per le quali l'area compresa tra Tasse delle a;, la curva, 
un* ordinata fìssa qualunque e l' ordinata y corrispondente ad una 
ascissa generica x^ è uguale al cubo dell'ordinata y diviso per 
l'ascissa x, 

Equaz. linee (x^ — 2/')'* — Cjc' = 0. 

Se l' area deve essere quella compresa tra V ordinata y e la or- 
dinata fissa corrispondente ad una data ascissa x^^ si ha la sola curva 
(** — 2/)' -V^* = 0. 

7. Linea per la quale l'arco contato a partire dall'origine delle 

Sh 
coordinate è = -^ sen* «, dove h è una costante e a l' angolo che 

la tangente alla estremità dell'arco fa coir asse delle x. 
L' equaz. diff. del problema è 

(1 -hy^y= Shy" sen(arc tgy') cos(arc tgy'\ 



2 



2 



2 . 



il cui integrale generale è (;r — Cj) ^ + (^ — Cg) '^ =h ^ . Le co- 
stanti Ci , C, dovranno essere determinate in modo che la curva sod- 
disfaccia alle altre condizioni del problema, cioè passi per l' ori- 
gine delle coordinate e l'arco sia zero per a:i=0; si trova così la 

2 2 2 

curva (x — h) '^ +y '^ =zh^ . 

8. Determinare la curva per la quale 5 = — ha}^ dove h indica 
l'ascissa del punto in cui la curva tocca l'asse della x^s l'arco con- 






.f 









li 

Ti 



j^^a0ÈàlLià 



t 

L 



568 

tato a partire da questo punto fino al punto generico M, ed a Pan- 
golo della tangente in M alla curva coir asse delle x. 
La sviluppante di circolo 

X = h(cos a + a sen a), jf = h(sen a — a cos a). 

9. Linee per le quali V arco è in rapporto costante h col raggio 
di curvatura al suo estremo. 

Le curve le coordinate dei punti delle quali sono 

X — Cg = Cx e^^[h cos a + sen «] , ^ — C3 = Ci^** [// sen a — cos ij, 

che si riconoscono per spirali logaritmiche trasportando gli asi coor 
dinati parallelamente a loro stessi nel punto di coordinate (Q,Ct< 
e poi passando alle coordinate polari col polo in questo punto e 
colmasse polare passante pel punto di coordinate (Cj/i, — Qii- 
spetto al secondo sistema di assi. L' equazione delle curve è alba 

10. Linee per le quali il raggio di curvatura è uguale in ogai 
punto al raggio vettore. 

I circoli col centro nel polo e le curve 

p — Ci 



B = — - V 2p^i — ^ì* — are sen + Q. 

(Indicando n V angolo che la tangente in un punto di coordinate 

à 
(p , 0) della curva fa col raggio vettore di quel punto è tg ji = p -r * 

cos |i = --- , sen n = p -j- , dove al solito ds è l' elemento d'arco 
as ds 

di curva. Si osservi perciò, che al raggio di curvatura R può data 

la forma R = — = -^ — , dove /> = p sen |i è la distane 

d(p sen [i) dp 

della tangente dal polo). 

11. Linee per le quali la distanza della tangente dal polo è a 

rapporto costante — col raggio vettore. 



Le spirali logaritmiche p = C^ ^ 

12. Linee per le quali la parte di tangente compresa tra il b^ 
di contatto e quello nel quale la perpendicolare al raggio ▼< or« 



IFT 



569 



condotta pel polo taglia la tangente è in rapporto costante \x col 
raggio vettore. 

6 



Le spirali logaritmiche p = C^^J^*— i. 

13. Linee per le quali il raggio di curvatura è una data fun- 
zione /(a) dell' angolo « che la tangente fa coli' asse delle ascisse. 

;r + Ci = / /(a) cos arfa, ^ + Q = //(a) sen arfa. 

•^ •- 

Casi particolari: 

a ai '^±^ -£±H) 

/(a) =r — le catenarie ^^ + C* = — <^ *' +e ^ } : 

cos' a 2( ) 

a 

/(a) = — . le parabole (/ 4- C^)' := 2a(Ci — x) ; 

sen* a 

\X + Ci = ^cos a -f- a sen a) 
/(a) = aa, le sviluppanti di circolo ] 

(^ + Cj = <7(sen a — a cos a). 

14. Linee per le quali il raggio di curvatura è uguale alla di- 
stanza della tangente dal polo. 

e, 



Cj 8 + Cj = Vp* — Cj* -\- Cj are sen 



P 



15. Linee per le quali il settore compreso tra l'asse polare la 
curva ed il raggio vettore OxM è proporzionale all' area del triangolo 
formato da OM, dalla normale in M alla curva e dalla sottonormale 
polare di M^ 

Equaz/(lifif.-^-|p' = 0. 

Le linee sono p* = C[e ^ -{-e ^Jse>t>0, e 

x\- — y\ se ^ < 0. In particolare per k = — —si hanno 

le lemniscate p' = C cos2'^. 

16. Linee per le quali l' arco contato a partire dal punto, la cui 

ascissa è <?, è in rapporto costante — col segmento che la tangente 




570 

airestremità dell'arco determina sull'asse delle ^ a partire dall'orìgine; 

a 



e, se m 



= d=l,^ = ^[l + log^]-^(.«+««). 



Se l'arco deve essere contato a partire dal punto, di coordinate 
{a y b\ sulla linea, allora si hanno le due sole linee che si ottengono 

dall' equazione precedente facendovi C = r^ . 

17. Le traiettorie ortogonali dei circoli che toccano una data redi 
in un suo punto fìsso sono i circoli tangenti in quel punto alla per- 
pendicolare condotta per esso alla retta data. 

18. Le traiettorie ortogonali di un sistema di ellissi omofocaS- 
formano il sistema delle iperboli omofocali. 

19. Le traiettorie ortogonali delle spirali logarìtmiche p = ik**, 
se si prende a pel parametro variabile, sono le spirali logaritmiche 

p=:Ce »" , e se si prende m per parametro variabile sono le cune 

20. Le traiettorie ortogonali dei circoli col centro sulP asse delle 
jf e tangenti alle rette y =: mx^ y=^ — mx sono le curve 

(^ Hb \/y~--wV) (^Vl+«* =P y(/— «,V)^^-^«* = Caf. 



Se m = \/«' — 1 , dove n è intero, esse sono algebriche. 
21. Traiettorie oblique, ad angolo aIzrarctg^l, delle curve/=«*- 
La equazione dilTerenziale delle traiettorie è 

(jijc + ny) dx^=.(x — ^ny)dy. 

Se w =: 1 , le linee date sono rette, e le traiettorie spirali log^ 
ritmiche. (Ciò anche si ricava immediatamente trattando questo pro- 
blema speciale in coordinate polari). 

Se « = — 1, le curve date sono iperboli equilatere aventi gli 
assi coordinati per assintoti, e le traiettorie sono le iperboli ecnila- 
tere ja(7* — *') + 2xy ^=. C ; queste traiettorie sono costituite dr p 
mitivo sistema di iperboli equilatere ruotato intomo al centi co- 
mune di un angolo -— . iBeltrami). 



/ 571 

Se le traiettorie debbono essere ortogonali, esse sono le ellissi 
iperboli x*-\-nyz=zC. 

22. Si ^determinino, pel sistema di curve jy = ax**, le traiettorie 
ili che, in ogni punto di incontro con una curva del sistema^ le 
ingenti alla curva e alla traiettoria siano simmetricamente situate 
[spetto alle coordinate di quel punto. 

Le traiettorie richieste sono le linee xy = C. Per « = 1 le linee 
ate sono rette e le traiettorie iperboli equilatere. 

23. Le traiettorie oblique delle curve ottenute dalla curva ^=:/(jf), 
uando essa si muove in modo che i suoi punti descrivano rette 

arallele all' asse r, sono le linee y + C = 1^^—^ tjtt- ^-^ • Ad 

s.: se la curva è la parabola y*' z=: 2^;if, le traiettorie ortogonali sono 

g 
e parabole semicubiche (^ + C)* = - — x^. 

24. Le traiettorie oblique delle curve ottenute dalla e =/(?), 
luando essa ruota intorno al polo in modo che i suoi punti descri- 
rano circonferenze col centro nel polo, sono le linee 



^ ^_ rl4-P/'(p)cota d? 
J cot a — p/'(p) p 



Ad esempio : se la curva data è la spirale logaritmica p = tf"'^, 

9-hc 

le traiettorie ortogonali sono le spirali logaritmiche p = ^ *" , se 

la curva è la spirale logaritmica p = ^'^, ed a = -— , le traiettorie 

sono i circoli col centro nel polo ; se la curva è un circolo di rag- 
gio r e che passa pel polo, le traiettorie ortogonali sono le linee 



+ C = are cos V Ar" — p 



2r p 



25. La equazione differenziale delle traiettorie ortogonali delle 
tangenti alla curva f{l , r,ì = (sviluppanti della curva data) si ot- 
tiene eliminando Ij-n tra le equazioni 



572 

Soluzioni singolari delle equazioni differenziali 

di primo ordine. 

217. Senza entrare in particolari, ci proponiamo di dare un breve 
cenno, per le equazioni differenziali di primo ordine, delle solaziooi 
singolari, che abbiamo visto presentarsi nella equazione di CuKAn, 
cioè di quelle funzioni, non contenenti costante arbitraria, che sod- 
disfanno ad una data equazione e che non si possono ricavare dallV 
tegrale generale attribuendovi alla costante arbitraria un particolare 
valore. 

Sia 9(1^,^,0 = l'integrale generale della equazione diffe- 
renziale J\x , ^ , ^') = di guisa che eliminando C tra la ^ = e 

la 1 y =:0 si ottenga }i/=0, dove [i non contiene/. 0- 

9^ 9jK 

terremo lo stesso risultato anche supponendo C tale funzione di x,t 

9<P diZ 
che sia — ^ -— -:z:0, giacché allora derivando rapporto ad x la 7=6 
9C dx 

otterremo 



3? . 9? . . 99 



3C , 9C ,1 9? . 9? 



9 e ,1 9? , 9? , ^ 



9^ "èy 9CL9^ 9^ 

ed il risultato della eliminazione di C tra questa equazione e it 
cp m sarà ancora, come quando supponevasi C costante, |i/=^^ 

Ora alla - -=zO possiamo soddisfare prendendo — = OcioèC 

costante, ed allora la 9 = è ancora V integrale generale, oppoe 

9? 
prendendo — = , equazione che determina C come funzione «a 

X ^y ^ la quale funzione in casi speciali solo potrà ridursi ad oox 

3t 
costante. Ponendo per C nella 9 =0 il valore ricavato dalla 17^ =^- 

ossia eliminando C tra la 

,(*,;V,C) = eia |i^0 

si ottiene una equazione ^(x^y)^^ che dà le soluzioni singolari e& 
proposta equazione. Notiamo però che, se, per considerare il cas p3^ 
generale, si suppone la ^ scissa in fattori di determinata d* b*» 




573 

alcuni di questi e anche tutti eguagliati a zero potranno non dare una 
soluzione singolare, perchè potrebbe qualcuno essere contenuto come 
fattore in ji, e potrebbe la 4/ = non dare alcuna soluzione singo- 
lare perchè pel valore di C, funzione di x^y^ che si trae da 

— = , potrebbero annullarsi — - e — e quindi non potremo più 
considerare la equazione 1 y' = 0. Cosichè, ottenuta la + z= 0, 

dx dy 

bisognerà sempre provare i suoi fattori per riconoscere colla diretta 
sostituzione nella equazione proposta se ad essi corrispondano o no 
soluzioni singolari. Notiamo ancora che potrà avvenire che la '+ zz: 
sia un integrale particolare, e ciò quando il valore che si trae da 

~;:^ = riesca una costante. 

Geometricamente le soluzioni singolari della /=0 corrispondono 
all'inviluppo delle linee ^{x ^y ,C} = (V. pag. 105), e propria- 
mente a quella parte dell'inviluppo per la quale in ogni suo punto 
la tangente coincide con la tangente della inviluppata che passa per 
esso. 

Le soluzioni singolari possiamo anche dedurle dalla equazione 
differenziale proposta, senza conoscerne l'integrale generale. Invero, 
osserviamo che se dalla equazione differenziale proposta 

/(* ,J> ,y) = e dalla |i + 1^^' = 

eliminiamo y' otteniamo una equazione il cui primo membro con- 
tiene 9(^,^, C) come fattore di guisa che potremo considerare la 
f(x ,y ^y) = come l'integrale della /= se la y è data dalla 

— -{--—y'^zO, Derivando, in questa ipotesi, la/=:0 rispetto a 

C avremo — -^=:0, e per eliminare C tra la f=: e la - - = 
dy dC ' ^ dy 

basterà eliminare tra loro y'. 

Il risultato della eliminazione dà, colle riserve già accennate, la 
soluzione singolare della f(x ,y ^y) = 0. 

A dilucidazione della teoria, che abbiamo sommariamente esposta, 
diamo alcuni 

Esempi 
1) Si determinino le linee per le quali, in ogni punto, la lun- 



574 

ghezza della normale è media proporzionale tra una quantità data i 
e la sottonormale aumentata dell'ascissa ("Leibniz^. 
L' equazione differenziale del problema è 

dy 
ossia, posto ---=:^, 

dx 

(1) ax=:y'{\+p'^) — apy^ da cui, differenziando, 



tegrale della equazione - 



dy -\-y dp\=iO, Eliminando /tra la (1) e T 



dy -{-ydp =r , abbiamo V integrale 



ave 



generale y^ -\-{x — C)' = « C, che rappresenta dei circoli col centro 
sull' asse delle x ; eliminando/ tra la i I) e la 2py — ^ — 0, abbiaow 
analogamente a quanto succede per la equazione di Clairaut, l'ii 

graie singolare y'^ =Lalx-\ J, che rappresenta una parabola 

per asse V asse delle x. Questa soluzione singolare si ottiene aocoi 
come subito si può verificare, eliminando C tra la equazione ini 
graie generale e la sua derivata — 2(x — C) = tf rispetto C, ed ancl 
eliminando p tra la (1) e la sua derivata 2yp — ay=iQ rispetto a /] 

La parabola, che corrisponde alla soluzione singoiare, è Tii 
luppo dei circoli, che corrispondono air integrale generale. 

2) Curva per la quale la parte di normale compresa tra il 
sulla curva e la perpendicolare nel polo al raggio vettore del 
(normale polare geometrica) è una costante data 2a, 

La equazione differenziale del problema è 



(2) 



P' 



(5)"=-' 



il cui integrale generale è p = 2^sen(Cdb 6), od anche 



P = 2a\C cos e db sen e Vi — C*], 



(in coordinate cartesiane {x-^a C)* -f (^ =p a\/\ — C*)'^:^-) chenp- 

presenta dei circoli che passano pel polo e che hanno il centro ss 

circolo p = dr. La soluzione singolare si ricava subito elimiM^J» 

d? dp 

— - tra la (1) e la 2-7-= ottenuta derivando la (2) risp » i 



dr^ 

d^ 



e si ottiene così p' = 4d^ ossia p =: 2 tf. 



r^»'»' 



575 



x^ 



3) Lsi y=:l-\-x — - soddisfa alla equazione differenziale 

|F = :r -I- *y +y* ; è essa un integrale particolare o una soluzione 
singolare ? 

Per riconoscere ciò osserviamo che l'integrale generale della 
proposta equazione è dato dalle due equazioni 

3) j^=x + xp +p% ;f = 2(1 — />) + Ce-P. 



Ora se facciamo C = ed eliminiamo p tra la prima di queste 

x^ 

equazioni e la ;r = 2(l — />), otteniamo appunto ^ = 1 -h ;v — , 

4 

;he, corrispondendo a C = 0, non è una soluzione singolare ma un 
ntegrale particolare. 

Per trovare le soluzioni singolari, ove esistano, eliminiamo y' tra 
a data equazione e la sua derivata rispetto ad ^', at + 2y' = ; otte- 

x^ 

liamo così y^=.x , che però non soddisfa alla equazione dif- 
ferenziale. 

Per ottenere la soluzione singolare dall'integrale generale, do- 
rremo qui eliminare p e C tra le ( 3) e la e-P = 0, ottenuta derivando 
a seconda delle (3) rapporto a C, ossia eliminare p tra la prima 
ielle (3) e la ^-/'^rO; ma quest'ultima non può essere soddisfatta 
:he da valori infiniti e positivi di p. Quindi non otteniamo, avuto 
iguardo ai valori di / che si ricavano dalla prima delle (3), neanche 
rosi alcuna soluzione singolare. 

4) Se P integrale generale d' una equazione differenziale di primo 
>rdine è della forma ^{x ^y)^=.Q^ dove <f è fuiiT^one univalente^ la 
equazione non ammette soluzione singolare, perchè derivando rap- 
arlo a C avremo il risultato 1 = (Confrontare es. 2) pag. 109). 

Cosi pure si riconoscerà subito che una equazione differenziale 

dy 
iella forma -7— '=-f{x ,/), dove / é funzione utiivaletjte^ non ammette 
dx 

ioluzione singolare. 

5) L' integrale generale della equazione ^yy^ — 4 =1 è 

X — C)* — y = 0, dal quale otteniamo colla solita eliminazione, 
1^=1:0, che però non è soluzione singolare non soddisfacendo alla 
proposta equazione (Vedi pag. 110, es. 3). 



•Vi .' . ■ 



ì <*-• 



n^.. 



^: 









* '^ 



^-i 



1. • 



576 



6) L'integrale generale della equazione 



4(l+;;)-/(3-h5/)y* = è ;c + C= P^'^ìj^ d^=/\ìn 

ossia (x + C}*=y{ì'{-jy}. Eliminando C tra questa uhima equa- 
zione e la 2(;c + C) = 0, abbiamo y(lH-^)=r:0. 11 fattore r=fl 
non soddisfa alla proposta equazione, e l'altro 1 4-^ = ci dàli 
soluzione singolare^ che si ottiene subito anche dall' equazione di£^ 
renziale. 

Esercizi 

1. Curva per la quale la perpendicolare da un punto di cooròi- 
nate (a , b) sulle sue tangenti è di lunghezza costante r. 



L' integrale generale dà le rette jf — A = C (jc — a)d-r\ì-^C\ 
e la soluzione singolare è il circolo {x — a)^ + (^ — ^)^ = ^ì che e 
l' inviluppo delle rette. 

2. Curve per le quali è una costante -r-a^ l'area del triangolo 

formato dalla tangente e dagli assi. 

1 



Int. gen. y =:aC — C^x^ soluzione singolare xj^ = — a\ 



r'j 



da cui r int. singolare y- = m-x- ; dall' equazione differenziale ricJ- 

.... , (l-|-»i«)Ar2(/ — mV) 

vasi, col metodo indicato nel testo, -^^ — ~ rr— r ; ="' 

(1 + m^) x^ — ^" 

x=:0 non soddisfa alla equazione. (Conf. col problema 20 a p. 5^0^ 

4. Linee tali che il prodotto della lunghezza delle perpeodicoba 

da due punti fissi ( — w , 0) , (w , 0) sulle tangenti sia una cestii* 

k' (Lagrange). 

Int. gen. j; = Cx-h yC\m'±:k*)±k\ dove al radicale si sol- 
tintende preposto il segno db ; soluzione singolare la ellisse 



u« 



?n' 



7j--h y^ = lì e la iperbole 



Ar = 1 real'» s* 



m' 



se m^ > kr. 

5. 2fy^ -h 2xjyy -f x^ -f / - 1 1= ossia {2yy -v xf - 2(1 - 1 '^^ 
Si ponga 1 — y = >{, 2^ — x^ =: u, V integrale generale 




{x — C)* +y^ ^=\ — C*, 1 — C* > 0, rappresenta i circoli descritti col 
centro sull'asse delle x e con raggi uguali alle rispettive corde, perpen- 
dicolari ad esse, del circolo ;t'+^'= 1. La soluzione singolare, invi- 



x^ 



luppo dei circoli, è l'ellisse -— +^*=:rl. 

.^ 

6. (1 +y^)y = 2a ; integ. gen. le cicloidi 

*-f-C = a are cos —qp\/2ay — 7'; soluz. sing. 2^—^ = 0. 

a 

a/'^à:^ _£±£\ 

7. ^ = tf \/l +y^ ; int. gen. y = —I e ^ +e ^1, soluzione 

sing. y* = a^. 

8. yy'* — 2xy' -\-y =z ; int. gen. y^ = 20r — C* , sol. singolare 
/ — ;c' = 

9. Sy"^ — xy + 2x^y = ; int. gen. 2y ■- Cx^ + SC^ =: ] soluz. 
sing. ^ = dr — . 

10. xyy* — jfy' 4- * =: ; int. gen. 1 -f- ;c' C* = Cy^ ; sol. sing. 
/ = 4x\ 

11. y*^ + èy'^ = a(y + hx) ; derivando rapporto ad y abbiamo 
y(3y' + 2A) = ; da ^' = ricaviamo ^ + ^;if = 0, che soddisfa alla 
equazione proposta. Si provi che non è soluz. singolare, ma integrale 
particolare corrispondente* al valore C = — 00 della costante nell'in- 
tegrale generale. 



Equazioni a differenziali totali. 

218. Nelle equazioni differenziali fin qui studiate comparivano due 
sole variabili; occupiamoci ora delle equazioni differenziali conte- 
nenti più di due variabili. 

Com inderemo questo studio dando un cenno delle equa:^ioni di 
primo ordine a diffcren:{iali totali^ che sono della forma 

Ydx + Q.^ 4- Ri^ + Tiw + . . . = 

dove P, Q, R, . . . sono funzioni di *,>,{,« , 

37 



i 



577 :ViS 



;> 



578 

Sia, in primo luogo, una equazione 

(1) ?dx + Qdy + Kd;i = 

fra tre variabiliv Da una equazione ? (at , ^ , {) =: C in termini finiti 
ricaviamo 



e, se le derivate 



— , — , — hanno un fattore comune u, T ultimi 
3a: ' 3^ ' 3^ 

equazione potrà essere liberata da esso. In ogni* modo otteniamo una 
equazione della forma (1). 

Inversamente, però, una equazione (l) non conduce necessaria- 
mente ad una relazione della forma e? (.;r ,^ , ;() = C ; giacché occorre 
perciò che le P,Q.^R siano proporzionali alle derivate rapporto ad 
X ,y ,1 di una certa funzione qp. Quando dalla (1) si possa ricavare 
una equazione q;(.ir ,^ , ^) = C, questa dicesi l'integrale generale delia 
(1), e la proposta equazione a differenziali totali dicesi allora inU- 
gratile, o che è deducibile da una unica equazione primitiva. 

Ora la condizione necessaria e sufficiente affinchè la \y.) sia itU- 
gr abile è che tra P,Q.,R passi la relazione 



(2) 



\3^ 3^/ ^3* 3c/ V3/ 3*/ 



La condizione è necessaria. Invero ammessa l'esistenza della eqn- 
zione 9(«,_y,^)=:C tale che 

3? D 3? r» 3? . o 



3*9 3(iiQ.) 



abbiamo 

3(t^P) ^ ^ 

3^ 3«3.J' 3* 

ed in modo analogo 



ossia 



/3P_3Q.\_ Q *^_pi: 
A3.)' 3*/ Zx V 



3» 



/3Q. 3R\ p 3f» ^3i» /3R 3P\ p §!» n 

n3^-W^^37~^3F' ""y^-Tir^Y^-^ 

moltiplicando le tre ultime equazioni rispettivamente per R^ I 
e sommando otteniamo la (2). 



2. 



r^ 



579 



La condizione è sufficiente. Invero consideriamo nella (1) come 
costante una delle variabili, poniamo la ^^ ed integriamo la equazione 
differenziale 

Pdx -{- Qdjf =: 

che ne risulta. Sia /{x ^jf ^^)=z^ (^) il suo integrale, ove in luogo 
della costante arbitraria abbiamo posto la funzione arbitraria '^(i) 
dì { j allora è 

Dico che, ammessa la (2), si potrà determinare la c|; (^) in modo 

9/ 
che risulti — 'J>'({) = jaR, ed allora la (1) sarà integrabile ed il 

9/ 
suo integrale sarà f(x ,^ , ^) =i 4/(^) ; dovrà perciò ^'(i) = ji R 

di 
essere funzione della sola {, quando nel secondo membro si sosti- 
tuisca per^' il valore, espresso per x e {, ricavato dalla/(;«',7,{) = c[;(^), 

cioè dovremo avere — ( — u R ) = 0. È ciò che effettivamente 

dx \d{ ì 

ha luogo, giacché abbiamo 

3* \3^ / 3*3{ 'èiìy "òx \3* ay 3«/ 






il 

la quale, essendo — - = — — — : = — — - ed avuto riguardo alle formole 

3V _,|^+p|i, 3!L=,?^+a.at 



9^9'C ' 9-{ 9{ 9j>'9{ 9^ 9{ 



580 

che si ricavano dalle (3), diventa 






-^(^è-^m- 



ossia, in virtù della (2), 



(sF""^^)- Q ÌV3^~ 3:^)''~'^3:^"^'^a^ 



3"^ \3i 



R ^ 3(PiO 3(0.^) ^ 
Q. ^ 3^ 3^ r 



L' ultimo membro essendo zero in virtù delle (3), abbiamo ap- 
punto -r- {-—' — jjiR)=0. Ed avremo allora 

4>({) 1= 1 ( —<~ — fiR j ^£{^ + C , cosichè, non solo rimane dimostnto 

che la (2) è condizione sufficiente alla integrabilità della (1% su 
ne abbiamo ancora trovato l' integrale generale 

/(*,>k)=/(^--i'R)''{+c. 

Si noti ancora come dal metodo precedente risulti che si px> 
fare a meno, ove ciò torni opportuno, dì verificare se è soddisfetti 

la (2), perchè se - — iiR si può ridurre a funzione della sola { b 

proposta equazione è integrabile, altrimenti non lo è. 

Esempio. — Data la equazione 

l[l — {x +y + ;() cos (x +y + 1)] {dx + dy + d{) 
{x 4-^ + {) [sen {x -\-y + ^) — log(Ar -\-y + {)] <£{ = 0, 



si verifica subito che è soddisfatta la condizione di integrabilità ^ 
integrarla poniamo in essa ^{ = 0, cosichè si riduca a 

^\y —{x+y + ;0 cos (x +y + {)] {dx + dy) = 0, 







581 
da cui dx + dyznO^ il cui integrale è x-\-y=:i^((), Cosichè, es- 
sendo /i 1= — -— ^^^ -— , dovremo ricavare 

iW — (•* +^ + {) cos (^ -f-^ + ^)] 

^(c) d^lld equazione 

t' (O = ti R= 1 ^^ "^-^ "^ ^^ ^^^"^"^ +J^ + i) — ^Qg {x+y + {)\ 






iW'—{x -{rjf + cos (^ +^' + Oì 
^M-['+W4-Tjcos['K{) + di 



t_ . . / X 5 . . '^w « (sen f/ — log u) 
che, posto <i>U)-\-T = u diviene -^r- H h ^— ^ = , da 

«I ^(1 — «COSI/) 

cui log (sen u — log u) = log (C{) , ossia sen u — log « = C^ , 
sen [+ ({) -f- :(] — log [+ ({) + ;^] = C ^; eliminando ']> (^) tra questa equa- 
zione e la ;» +^ = 4'(^) otteniamo sen(;»:-f-^4-{)— log (a: H-^ +;{)=: C.{, 
che è r integrale completo della proposta equazione a differenziali 
totali. 

azg. Se la condizione di integrabilità non è soddisfatta, la equa- 
zione 

(1) Pdx-hQdy + Kdj^z^O 

non può, da sola, condurre ad una equazione in termini finiti ^^(j):,^,^)=C; 
ma ciò avverrà se la si considera unitamente ad un' altra equazione 
differenziale, o ad un' altra equazione in termini finiti tra le varia- 
bili ^ ', jK , -{;. Il caso in cui alla (1) si aggiunga una equazione diffe- 
renziale appartiene allo studio delle equazioni differenziali simul- 
tanee, che verrà fatto in seguito. Supponiamo perciò si aggiunga 
una equazione ^{x ,y ^ ^0= 0. Questa equazione ci permette di espri- 
mere i e dj^ mediante x ^y , e dx ^ dy ^ cosiqhè la (1) assumerà la 
forma 

Udx + ì^dy = 

il cui integrale F(x ^y jC) = unitamente alla 'i>(x .y ^ {) =z co- 
stituirà una soluzione della equazione (1). 

Esempio. — La equazione 

:^dx — x*dy -f- xd{ = 
non soddisfa alla condizione di integrabilità. Poniamo tra .a; ,^ ^ { 



T*;^ 



582 

la relazione xi:=z/(x)] allora la equazione proposta si riduce alk 
f'(x)dx — x^djf = Oj il cui integrale 






«L^-.=c 



forma colla x{^=if(x) una soluzione della proposta equazione. 

220. Le considerazioni precedenti si estendono ^cilmente al a^ 
di una equazione fra n variabili 

( 1 ) T?^Jx, + ?^dx^-i-?^dx^ + ,,, + Pndx^ = 0, 

dove le P sono funzioni delle x. 

La condizione necessaria e sufficiente alla integrabilità della equa- 

/iN :l u • -il . 1 «(«—!)(« — 2) . . . 

zione (1) e che siano verificate le — equazioni eoe 

si ottengono dalla 

ponendovi per X , 11 , v tre diversi dei numeri 1 , 2 , 3 . . . w. La con- 
dizione è necessaria, perchè, se esiste l'integrale <f(^i,jf2,...Ar«)=t 

della (1), dalle eguaglianze --— z=ikVh(h=\ , 2 . . . «) , dove k è 

un certo coefficiente di proporzionalità, risultano subito le (2). PeJ 
dimostrare che la condizione è sufficiente si considera la equazione 
Pi dxi + Pj dx^ = ottenuta dalla (1) col supporvi costanti If 
x^ ^ x^ ^ . . , Xn ; dal suo integrale 

(3) f(Xi ,X^...Xn) = +(*3 ,X^,.,Xjy 

dove in luogo della costante arbitraria abbiamo posta la funzione i. 
si ricava /^P, == —^, k?2 = -~ ', si proverà poi che, poneu* 

nelle -^ — >èP) = — a==3, 4 . ..«) per x^ il valore rie -» 

dxx ^ d^X 

dalla (3), si ha — (^-^k?À='^y cosichè queste J^risu ^^ 

3^1 \3^x / 3^x 



583 



';-^:)*^ 



funzioni solo delle ^3 , ^^4 . . . a-^ ; allora 1* integrale della 



d'i» = — — dx^ -f- — - àx^ 

d*3 v^4 



dXn 



dXn , 



che è una equazione a differenziali totali integrabile tra le « — 1 
variabili '| ^3 , ^4 . . . ;tn , determina cj;. e per integrarla si userà lo 
stesso procedimento riducendo l' integrazione a quella di una equa- 
zione tra n — 2 variabili e cosi di seguito ; la (3), postovi per ^ la 

funzione ora determinata, sarà l'integrale generale della (1). 

Notiamo in ultimo che delle equazioni (2) solo — 

sono tra loro indipendenti, cioè tutte quelle che contengono una 
qualunque determinata delle P, poniamo la Pn. Infatti da tre di 
esse 



3Px 3P}i\ . ^ /3Pji 



/3Px 



a^x 



Ì^^'^K^^ 



9Pn \ 



3Pv 



P /ììl_ììlWp (^i2.-^\ 



3Pv 



" \ Zx^ 3*!x ^ "^ V 3*n 3*v / " V 3*ii 3*» / 



3P« 

3- 

3Pn 

3- 



pJ^Pn. 

p./i_PrL 

.A 3*x 
3P. 



e)=»- 



3P 



3«»/ 



3« 
3Pn 



0, 



= 0, 



moltiplicando la prima per P^ , la seconda per — P^ , la terza per 



Yx e sommando si ottiene la 



•■( 



3£l 

3*(i 



XX } ' V 3*?. 3*/ / ^ V 3*v 



3Pn 

3 



3^ji / 



che non contiene P» . 



Esempi 









•.«>! 



> <j 



^ L 



1) //a- + Jy + ^{ 4- i« -f- 2(.Y -\-y + ^ + «ì (;tÌA: -H^^ + {^{ + w^w) - 0. 

Sono verificate le condizioni di integrabilità. Poniamo { ed ti 
costanti ed integriamo la equazione 

dx-\'dy-\-2{x+y + { + w* {xdx-\-ydy) = 0; 

perciò, posto x -i-y ■= v ^x- -\-y^ = w, essa diviene 



584 

dv -[- {V + 1+ u) dw == ^ da cui log (t> -+- -{ +«) -hw C , e 

log(^ +^ -h ^ -4- m) 4-** +^' = + (-C, «)> e quindi ^ = 



^+^4-{+a 



ij^ == — 2^^{ — 2«/^«, '1 = — -{« — tt« + C; 
e perciò 

ossia 

è 1* integrale generale della proposta equazione. 

Si può arrivare subito a questo risultato ponendo nella dsii 
equazione x +y + ^ + w = w, , x^ +^* 4- f * + «* = t^i ? cosichè essi 
diviene du^ + «i(/t;i = 0, da cui u^e^i :== C 

2) Se nella equazione integrabile 

le P sono funzioni omogenee di grado s delle x^ giovi pont 

X^ =yiXn , .^8 =jyiXn , . . . A;„_i =>'«_! ^n , COSichè Pj = X,* Qj . 

Pj = ^n*Q.2 . . . . dove le Q. sono funzioni delle ^i ,^2 . . .^«-i , e li 
equazione proposta diviene 

Se Q.i;Fi H- Q.5^8 -h . . . + Q.n-iJ'»-! -h Q.i» = , V equazione i 
riduce alla equazione integrabile 

con « — 1 variabili ; altrimenti abbiamo 1' equazione 

dx^ Q.1^^1 - f - Q.g^2 + . . . + Q.I» - 1 dy„^i _ 

Xn Q.i>'i+Q.«J>'«4-. ..-+-Q.l-1>-1+Q.n~ ' 

nella quale il secondo termine del primo membro è necessariama» 
un diti'erenziale esatto. 

Cosi ad esempio, posto x = w{, y = v^, V equazione 

(x' - f -h {') dx - i'dy -h kU -^O + -^ (/ - ^')1 dj^ =r 



585 

iviene («* — v^-\-l)du — dv = 0, della quale, conoscendosi P inte- 
rale particolare v=zu y si ha P integrale generale 

^— ii8 du + C=z , e quindi quello della proposta equazione 

-^ X 



C Zi 

\e—^^ Jw + C = dove u = 



y — x { 

Così pure, posto xz^x^Uj y =^i« , i = -{i "? la equazione 

l{y + l)^ + i(^ —x)dy +y{x — u) d{ +y{y + Odu = Q 
I iviene 

àu ^ liUi-\-^x)d x^ 4-^1 (1 —x^)dy^+y,{x^ — \)di^ _ ^ 

1 cui integrale è — ^^-^ — ^ ^ C , e quindi quello della proposta 
lx-\-uy __^ 



Esercizi 

1. {i/^r — jr*fl[>' — jr^^ = , ^ + a;^V = Or. 

2. [2jf+l +2x'^{x^ + x-\-{)\dx + 2y(x'^-^X'^()dy + di = (^, 

ay — b^ 

3. {ay — bOdx -{-{ci-- ax)dy + (bx — cy) di^Oy -^ ^=C. 

4. {y -f «) («r — l^) dx-\-(^-k- x){ix — u')dy + (« -|-^v)(«>' — ^V^ 



5. (y + u)dx + (i-{-x)dy + {u+y)dx+(x-\-i)du=0, 
'-h^i-h ^1/ + «a: := C. 

6. sen^^* + (x cosy -h sen {)dyT{y cos {+ sen u)d{+{ cos « J« = , 
i sen^ +y sen ^ + ^ sen « ir= C. 

7. (^ -h ;[+«*) ^A* -h ;rrf>» -}- A:rf{ 4- 2i/;ir^tt + 2i'^r = , 

8. L'integrale generale della equazione 



586 

/; x' 7_ 



1 5 7^ := considerata colla equazioDe 

■*+Jl=ié.-(i-fl)+y(>-Ì)=c. 



f 



9. La soluzione della equazione 2dx -\- xdy -\- ydi^=:{S cocsi- 
derata colla equazione y^^ log { + cf(^)i=0 è ^=:C,e anche 
^ log * H- Jfff'tó — y == 0. 

10. La equazione non integrabile ;rrf;»r + ^^ 4- {^{ 4- w^* =V 
diviene, se vi si aggiunge l'equazione i/z=y(^), una equazione iflt^ 
grabile nelle variabili a: ,^ , ^, il cui integrale è 

*' +/ + {* + 2y/(jy) - 2 / /(y) dj> = C. 

11. La soluzione della equazione 

(x' -H^) Jx-h{x + dy -\-y {d^ + du)=zO, 
cui si aggiungono le equazioni x -{-y -\- { = ti , y({-hx) — j. è 

— + -^ t2 log^ =: C. 



Sistemi di equazioni differenziali simultanee. 

221. Passiamo ora a studiare brevemente i sistemi di equazwa 
differenziali simultanee, nelle quali la variabile indipendente sia o 
sola e le equazioni sieno tante quante le variabili dipendenti o f» 
zioni incognite che in esse compariscono. Analogamente a quant}» 
è visto alla fine del n. 195, ad un sistema di k equazioni Fi=^ 
Fg = , . . . F;^ = , nelle quali .a: è la variabile indipendente, e cbe 
contengono delle derivate al più d' ordine n della funzione /, al p 
d'ordine m della { etc, si può sostituire un sistema di «-hm-f- 
equazioni di primo ordine, ponendo 

</{ dqi dqm-'i 



r^v 



587 



il quale sistema avrà, sotto certe condizioni, un sistema dì n + m 
^uazioni integrali contenenti altrettante costanti arbitrarie. Elimi- 
nando tra queste equazioni le « H- m + . . . — k quantità /i,/2.../«— i? 
?i ^ ^2 1- ••?«— !?•••• potremo ottenere k equazioni tra le variabili a-, 
y j t , . . . con « + w + . . . costanti arbitrarie , che costituiranno il 
itstema degli integrali generali o il sistema integrale del proposto 
sistema di equazioni. 

Però il metodo generale di integrazione pei sistemi di equazioni 
lifferenziali consiste nel ridurre, mediante opportune operazioni di 
lerìvazione e di eliminazione, le equazioni proposte a equazioni dif- 
'enziali tra due sole variabili, che si integrano coi noti metodi. Così, 
td esempio, date le equazioni 

love indichiamo con apici le derivazioni rapporto ad x^ deriveremo 
ma delle due, poniamo la prima, rapporto ad ;r, ottenendo cosi 

eliminando ^ tra questa equazione e la prima delle (1) abbiamo una 

equazione della forma '\{x ^y ,y ^y*) = 0, che non contiene più ^ né 

e derivate di {, e che avrà un integrale della forma F(^,^,Ci,C2)=:(). 

gp gp 

>a questo ricaviamo 1 y' = 0, e quindi, per la prima delle 

ffX ^y 

9F 3F 

1), -^ 1 — -j- f ^ j/ ^^^ = ^' Questa ultima equazione, insieme alla 

?(x ,^ , Cj , Q) = 0, forma il sistema degli integrali generali delle 
}roposte equazioni (1). 

Notiamo che in casi speciali gioveranno speciali artifizi. 



Esempi. 

1) Date le equazioni y= a? -f-{', ^' =J^, derivando la seconda 

apporto ad x^ abbiamo ^^ =y' = x-\- {\ ossia ^'' — ;( = x^ il cui 

x^ 
ntegrale è ;f = — x — -h Cj ^* H- Cj ; questa equazione, e la 

t = — 1 — a: + Ci ^, che si trae della {' =/, costituiscono il sistema 
ntegrale delle proposte equazioni. 



588 

Oppure la prima equazione diviene, in virtù della secondi. 
y :=ix -^-y ect. 



2) Siano le equazioni 



dy 

dx ^ 



(2) ^%^l—ny, 

du 

da esse ricaviamo ly + mi + nu' =0 e quindi 
(3) ly + mi-\- nu = K 

dove A è una costante, poi yy + {^ + ««' = e quindi 

(4) y^ + ^^^u^^B 

dove B è un' altra costante. Derivando la prima delle (2), ed is 
virtù delle altre due, abbiamo 

y" — n(lu — ny) — m{my — /;() = /A — y{p +»!* + «*> 

ossia, posto p* = /« 4- w* + «S / + p'^ := /A, equazione lineare ti 
le sole variabili x ^y^ il cui integrale è 

/A 

(5) ^ = C, cos 9x + Ct sen par H — ^ ; 



? 



in modo analogo dalla seconda e terza delle (1) si ricava 

f^, , ^1 , ^A 
^ i^ C i cos p;r + C i sen pjr H ;^ , 

P' 

(6) 



/ « = C", '^•' ''^ 



cos p^ 4- C "2 sen px -\ r- . 

Tre qualunque delle (3), (4), (5), (6) formano il sistema in^ 
graie delle ('2); gioverà assumere le (5), (6) perchè esprinniwlf 
^,{,w esplicitamente mediante x,, ma le costanti C e le 5ti* 
A , B non sono tutte arbitrarie, tra loro esistono delle relazioi i à 
si ricavano sostituendo i valori (5), (6) nelle (2) oppure f^cr^ 



dori (5), (8) nella (3) e dovendo questa 
; sia il valore di *, dovremo avere 

:", ^0, /C, + «C', + nC%=0. 

La (4), sostituiti in essa i valori (5), (6) ed avuto riguardo alle 
k, ci dà, in modo analogo, 

+C",-|-C"%rzC%+C%+C"%=B- -~, CC,+C,C',+C",C%r=0; 

virtù di queste tre equazioni e delle (7) rimangono arbitrarie tre 
le delle otto costanti A , B , C, , C, , C, , C, , C", , C",. 
3) Sia il sistema di due equazioni 



equazioni propriamente sono tre, ma una qualunque è conseguenza 
li tre due. Abbiamo 



^» ^" _ ^~^-. 

è dovremo avere 

*" dx -ì-ydy -f- ^"di = 0, 
Lo che questo procedimento tiene luogo dell'altro più esatto: 
equazioni proposte scritte nella forma 

<f* — ^(/•^-• — ^^p"), djif = ... 

icaviamo x^dx+^y-dj!-^ ^"^ di = (i. 
In modo analogo 

^i" i£« +_ji"'rfy + {" rf{ = 0, 

queste si trae subito Ìl sistema integrale 

4^ Per integrare ìl sistema 

dx dy d^ 



590 

dove 

X = ax + by + cj^-^ oLj 

Y = ax + by + c\+ ol\ 

Z=a''x-hòy-hc\ + oL'y 

giova introdurre una variabile ausiliaria, /, ponendo 

di dx dy dj( Idx + mdjf -i~ nd{ Idx -^-md^-^ndi 

~T^~Y^Y'^~Z^ IX + mY + nZ "~ X(lx-hm^n^: 

dove Y = /a + wa' + «a" e le X^l ^m ^n sono quantità da determi- 
narsi in modo che sia 



(8) 



al H- am + an = X/, 
bl + b'm H- b''n = Xw, 
ci H- cm + c'n = Xn ; 



eliminando l^m^n da queste equazioni ricaviamo 



(9) 



a a 



b'^X b' 



e e — X 



= 0. 



Corrispondentemente ad una radice X^ di questa equazione v 
bica in X le equazioni (8) sono soddisfatte da valori /} , Wi , «] à 
I ,m ^n\ cosichè dalla equazione 



dt 



ricaviamo, integrando^ 



l^dx + f^idjf H- nid{ 



In modo analogo, indicando con /« , m« , »t ? h^^zy^t * "^ 











591 


jfn ,n che 


corrispondono 


alle altre radici \ 


1 , X3 della (9), abbiamo 




Ctt — l Iv 


X -h m^y 4- «8{ + - 


1 






czt ( /3 


X -+■ ^3/ + «3{ + 


1 

x,7 • 




Da queste equazioni, posto — ^ — C,, — 


--c„ 


otteniamo 






1 




1 


l Lx. -i- M 


1. v-X- 1.T -A 


A^. r.//..-u 


m^M -4- #; 


,-,-^-^*^^ 



= Ct ( /j ^ + wf 3/ + «3^ -I- -Il ^ 



1 



be sono gli integrali generali del proposto sistema. 

Questo metodo si estende subito al caso del sistema generale 

dx dy ^{ du 

ove 

'^'=. ax + by -\- c\-^ gu + ...-!-«,... 

5) Siano ]e equazioni 

y +^(x)y — ^\x)i = ^. 

Moltiplicando la prima equazione per / e la seconda per { e 
>mmando, e poi la prima per {; e la seconda per y e sottraendo, 
(teniamo 

yy + 1< + {f + ^*) ?'W = 0, yc - 1> - (/ + 1*) +'(^) = 0, 

alle quali, dividendo per^*H-;{' e integrando, 

y __ 



V/ + <* = e, ^-^(->, ^ = tg[+w + C.J, 



592 

che sono gli integrali generali delle proposte equazioni, i quali, os- 
servando che y = sen [i(x) 4- Cj] V/* f {*» C= ^^^ ['K^) + ^1 A'/' "^{'j 
si riducono a 

^ z=: C, ^-^i^) sen[*(A:) + Cj], { = C, ^-^(-*-> cos [i^^jr) 4- Q 

6) Si vogliano trovare quelle curve gobbe per le quali la parte 
di asse delle ^ intercetta fra V origine e il punto d' intersezione ed 
piano normale in ogni loro punto sia una data funzione /(j) di t, 
e la parte di asse delle { intercetta fra P origine e il punto d'inter- 
sezione collo stesso piano normale sia una data funzione ?({) di {. 

Poiché r equazione del piano normale in un punto qualuoquc 
{x ,y , 7J) della linea cercata è 

(X-.)</. + (Y-^)iV + (Z-^y^ = Oossia^±^±^=l 

le equazioni differenziali del problema sono 

xdx -hydy -h {d^ =f^y)ày = «({V^, 
che, integrate, danno subito le equazioni delle curve richieste 

[m ày = l\{{)Jx + C„ *» +/ + -e' = 2 / /{y)cfy + Q. 
Così ad es.: se /(y) := ^({) = 1, abbiamo le curve 

intersezioni dei piani ^ z= j^ -f- Cj colle sfere x^ + {y — 1)*+ {*=Q' 
(o, ciò che è lo stesso, colle sfere x^ +y^ -^{^ — 1)'=:C5*). 

222. Meritano speciale considerazione i sistemi di equazioni li- 
neari a coefficienti costanti. 
Sieno le due equazióni 

(1) 

dovè X, , Xj indicano funzioni della variabile indipendente * e '.(!'• J 

J 
/,(D), 9,(D), iì>i(D) sono funzioni razionali intere del simbolo D : v 



. «.- • «v^ 



593 

Operando sui due membri della prima delle (I) col simbolo 
p,(D) e su quelli della seconda col simbolo cpi(D) e sottraendo l'una 
bir altra, coli' osservare che ^«(D) 9j(D)^ = 9i(Dj-ip8(D)^, otteniamo 

} 9.(D)/,(D) - ?,(D)/.(D) }^ = ?.(D)X, - 9.(D)X„ 

8 quale equazione lineare in jf, indicati con /j , 4 , /»i , m^ i gradi 
Ielle funzioni /j ,/2,9i ,?2 e con « quello dei due numeri tn^+l^y 
»j -|- /j che non è minore dell' altro, è di ordine «, se i termini di 
[rado « in D non si elidono tra loro. Se P è un integrale parti- 
:olare e «i , *2 ,... «n sono le radici dell' equa^^ione caratteristica 
•jJ))MD) - cPi(D)/,(D) = 0, abbiamo 



(2) 



^ = C, e^\'^ H- Cj e"^^^ + . . . -f- C^ C^n^ + P. 



Operando in modo analogo per eliminare y tra le (1), si ottiene 
ina equazione lineare d' ordine n in ^, il cui integrale generale è 



(3) 



^ = Bi ^*i^ + Bj e^^^+ . . . + B„ e'^nx _|_ Q^ 



love Q. ne è un integrale particolare e le B sono costanti. 

Tra le costanti C e B passano delle relazioni, in modo che di 
«e rimangono solo n arbitrarie. Invero, sostituiamo i valori (2) e 
3) in una delle (1), poniamo nella prima; ricordando una nota pro- 
prietà del simbolo D abbiamo il risultato 



* ''mI 









••V5 



<IU 



[C,/,(«,) + B, <c(a,)] <r«T' + [Q/,(a,) + B» <p,(a,) ] «a.« 4- . . . 



(4) 



+ [C»//a„) + B» ,p,(a„)] ««-- +/.(D)P + 9,(D)Q.= X, ; 



na hanno luogo le forinole 

j<Pt(D)/,(D) - <f.(D)/,(D) I P = =F,(D)X. - <F,(D)X„ 

JT,(D)/,(D) - 9,(D)/,(D) i Q=/,(D)X, -/,{D)X, , 

lalle quali, operando sulla prima col simbolo /i(D), sulla seconda 
:ol simbolo Ti(D) e sommando, 

?«(D)/,(D).cp,(D)/,(D)i}/,(D)P-h:p,(D)QiH^,(D)/,(D)-^,(D)/,(D)|X, 

5 quindi /i(D) P + «p,(D)Q=:Xi- Cosichè dalla (4), che deve essere 

38 



'41 

■.iTl 



594 

identicamente soddisfatta, ricaviamo le equazioni 

C«/i(a„)+Bnqpi(a«)=0, 

che legano tra loro le costanti C e B. 

Le (2), (3), quando tra le C , B passino queste relazioni, sono 
gli integrali generali delle (1) 

Il lettore potrà trovare da sé le facili modificazioni da introduisi 
quando la equazione caratteristica delle equazioni lineari d' ordioe n 
in jv e ^ abbia radici multiple o abbia radici complesse semplici o 
multiple. 

Il precedente metodo si estende facilmente al caso di un sìstaia 
di un numero qualunque di equazioni. Cosi se le equazioni sodo m 

/,(Db + 9,(Dk + •■t',(D)« = X, , 
/,(D)^ +?t(Dk + *.(D)«. = X» , 
/3(D)^ + ?3(D){ -»- *3(D)« = X3 , 



ricaviamo da esse la equazione lineare nella sola ^' 



/,(D) ^,(D) '+,(D) jy = 
f,(D) ^,(D) 4,,(D) 

/3(D) ?3(D) *3(D) 

e cosi di seguito. 



?,(D) *,(D) 

=F3(D) -|3(D) 



X, 



,3(D) -;,(D) X, 
<F,(D)*,(D) 



?,(D)'t,D^ 



Esempi 



Qui è/,(D)=D+l, =f,(D)=D+l,/,(D)=D+3,<F,(D)=?D-H. 
e per ciò la equazione in _>> diviene (D + iyj> = 2 + 2x — r. ile 
integrale è 



(5) 



jy = e-^ (CjAT 4- Cj) — 8 -I- 6;r — a:*. 



La equazione in { è (D + 1)' ;( =1: — 1 — - a: -J- a:', il cui ini fi 
è { = ^— -^(A^^ + Aj) 4- 7 — 5a: + x^^ dove Ky^ , A, sono costanti. ^ 
tuendo questi valori di ^ e { nella seconda delle equazioni pp XJ^ 
ricaviamo tra le costanti A^,Aj, CjjCj le relazioni A, 4-t ^'^ 



\:^}*'>> . .. 






2A, + 2C2 + Aj = 0, dalle quali A^ = — C^ , A, = 
siche la (5) e la 

e, 



e, 



595 

C,; co- 



^=r*— * 



-(~C,^ + ^-Q)+7~ 



5;^ + ^^ 



sono gli integrali completi delle equazioni proposte. 

?)y-3c' + 4^ = l, f + 3y + 4c = ^; 
qui è /,(D) = D' + 4, 9i(D) = - 3D, /,(D) = 3D, ^^,(D) = D^ + 4, 
e perciò le equazioni in ^ e j( sono 

|(D« -h 4)'' + 9D« {jF = 7, ì(D« 4- 4)« + 9D«{ ;( = 4;r, 

i cui integrali sono 

7 
(6) jy = Ci sen x + 0^ cos jv + C3 sen 4x 4- C4 cos 4^ 4- -rjr t 



» '*:' 



'*-• 



*- _ 
•fi 



^ 1= A, sen ^ + Ag cos x-\- A^ sen 4;<f + A4 cos 4x + 



4 ' 



Sostituendo questi valori in una delle proposte equazioni abbiamo 
tra le costanti A e C le relazioni C, 4- Aj = , Cg — Aj = , 
— C3 4- A4 := , C4 4- A3 = ; per cui avremo 



j^=:C^ sen jc — Cj cos x — C4 sen 4x 4- C3 cos 4x 4- 



X 



■'•'(1 



Questa formola e la (6) danno gli integrali generali delle equa- 
zioni proposte. 

Esercizi 



1. ^ xy = x-'2jy, 

( XI =xy-\rX^-\-2y — x ; 



integrali 



/ x\y — x) = C,j 



l 1 

2. t xy" 4- 2^' + ^^' — , t ^ = — - (Ci sen x + C^ cos x) , 






' + 2{ = *^,v' ; 



\ X 



(C, sen ;v 4- Cj cos x) 



4 , (C3 4- 2C| cos X — 2C2 sen .r). 



I ■•»i 



X' 



— '■■=^■'•-3 



596 



3. 



dx 



dy 



ài 



(^+^ + 0(jv-*)' = Q, 



y + l l + oc x+y f(*+>' + c)(^-{)* = Q. 



' \y=y + i\y = ^\ 



xSjl -<r\/2 



5. ^ y = tf^' + *^ 

/ ^' = ^,^ 4- ij<^ ; giova sommare le due equazioni dop 
aver moltiplicato la seconda equazione per una indeterminata à, 
si determina in modo che risulti i + x^, = X(a + X/jj); allora si 
vano gli integrali 



y + \:^ = Cs/"^""'"" + C,r'^''+^'"' , 



dove X,, Xj sono le radici della equazione a,X* + (« — i,)i — i=i 
6. (/= 1 l^+16;f , (>=2C/^'' + 2C,tf"'''^*-C, cos(* V5)-Qsa'(*V 

7. / = — ^ — 2;f, ^"=> + ?; 



^ = [(C,-C,)«V2_(Q + C.y V2]cos 



V2 



-[(C3 + C,VV2+(Q_C,)< Vsjsen 



V2 



— /■r .Va 



V2 



V2 



V2| 



;f = (C,.v. _j.Q, v^)cos-^ + (C,«v. +c,. ^')sen^. 



8. / = 2^ + 3;f + 5, ^" = _22y — 15^ + 4; 



iy ■=^ Ci cos 2* 4- Cj sen 2* -f- Q cos 3« + C^ sen 3* + — , 

( 



{ = — 2Ci cos 2x — 2C2 sen 2x — -77 C3 cos2;ir C4 senS -g| 



n 
3 




51)7 



9 -^ =ÉL:=^—È— 



;/-^' = Q,(7~0' = c,-2^. 



^ = Ci^ + C,, 



10. 

( ^^' — ^ —/ = 0; [ i = — Qat — Ci- 






11./="—^, ^'^^r— !-, u=y-i + \; 



7=log[C,(C,;r+C,)}, ^=log[C,(C,*-K:,)]-»-C, , «=(C,+l)*-»-C,. 
12. y 4- w*^ = 0, e — m*y = Q) 



mx 



m.v 



mx 



mx 






mx 



sen 



V2 ' 



mx 



mjr 



m.v 



mx 



mx 

V2 



13. ay = {b''c){u, bi^=i(c — a)uy^cu'={a — b)yi\ 

ay + h^ + cu"- = Ci , ay + b\^ + c'u' == C, , 

= ayTcf ^-^ -I- 

J V[C, - cC, - af(a - e)] [bC, - C, - ^/(* - a)] 



V>3. 



14. 



J;r 



dy 



cosy cos j{(sen ^ — sen^) cos ^ cos a (sen x — sen {) 



cos X cosy {seny — sen x) ' 



sen X + sen^ -4- sen ^ = C,, sen' x -\- stn*y -{- sen' { = Cj. 

15. ( xy' =y -4- ^, [y = Q^x sen(log x + Q), 
f xì^^y — i\ ( { = Cjjf cos (log a: H- C^. 

16. /yv + ^v = 0^ ^j^. = c, + CtX-^C,x^ + C,x^ 






598 

(Può avvenire, come in questo caso, che le funzioni più geoe- 
nerali che soddisfanno al dato sistema di equazioni contengano no im- 
mero di costanti arbitrarie minore del normale). 

17.^/'+?"-3{/+r)4-8(^'+?')-(>'+^)=0,^j=:<r'(C,+Crr+Q4r'>fQ-'. 

' y-y + <' + <=^; ' ?=«'(2C3-Q-2C,a:)-Q-'. 

dove X , X| , Xf sono funzioni della sola x ; 

dove \ì\ sono le radici della equazione XVH-X(a — é") — b=<l 



19. [ xy' + 2(y — () = x, [yz= — x-\- 



*{'+^ + 5{ = *'; f ?=— 20* 



1 



15 



* 



2Ci Ci 



15 



*« — 






20. Trovare le linee per le quali, in ogni loro punto, la tangente 
abbia coseni di direzione proporzionali alla somma delle coordioaìe 
di nome diverso da quello delibasse cui ciascun coseno si riferisce. 

e. 



Le linee piane 'Sjx 4-^ -4- ^ = 



i — ^ 



, V.r+^+{ 



i—J 



Metodo di integrazione per approssimasioni o integnuiooi 
successive. — Integrazione per serie delle equazioni di£^ 
renziali. 



223. Cominciamo dall' esporre un metodo di integrazione tlk 

equazioni differenziali, che il Picard chiama delle approssimi .« 

successive^ e che anche potrebbe chiamarsi, come propone il ^ 

Peano, delle integra^t'om successive. Di questo metodo, che è ■» : 






590 

applicazione della così detta regula falsi ^ mi pare si possa rin- 
tracciare la prima radice in un metodo di integrazione accennato nel 
n. 614 del 2^ volume del Cours d^Analyse dello Sturm. Il Prof. Peano (M 
espose pel primo nel 1887 questo metodo per la integrazione di un 
sistema di equazioni differenziali lineari di primo ordine, ed il 
Sig, Picard (*) nel 1890 lo applicò al caso di un sistema di equa- 
zioni differenziali qualunque di primo ordifie. 

Cominciamo dal caso di una sola equazione differenziale 

dove supponiamo la "iix ^y) univalente continua in un campo C de- 
terminato dai valori di x ^y pei quali è |;i: — Xf^\^a^ \y — ^^l ^^, 
e che ivi soddisfaccia alla condizione del Lipschitz 

Indicato con M il massimo di |<f(^,,>')Ì nel campo C, si prenda 
un numero positivo p soddisfacente alle condizioni 



k ' "^ — M ' 
e si considerino i valori di x dell' intorno e di :v„ determinato dalla 



1 ^ — «^0 I ^ ?• 

Sostituiamo nel secondo membro della equazione differenziale 
proposta y^^ in luogo di y^ e formiamo l' equazione differenziale 

della quale ricaviamo per quadratura ^„ e determineremo la co- 
stante di integrazione in modo che^, assuma il valore ^o P^r x=zXf^\ 
otteniamo così 



/i = / '^(^ .^o) ^x +yo' 



-t'O 

Sostituito poi questo valore yi in luogo di y nel secondo mem- 
bro della (1), formiamo 1' equazione 

y\ = rf{x ,^i), 



(*) Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XXII, 1887. e 
math. Annalen voi. XXXII. 

(*) Journal de Mathématiques, 1890. 



600 

dalla quale ricaviamo jf», determinandolo in modo che per x=i 
sia y^ ^=^y^i cioè avremo 



y^ 



db 



+^( 



^0 



Procedendo in modo analogo otteniamo 



y^ = \^{x,y^dx-\ry^ 



X{j 



e così successivamente, in generale, 



«1/ 



XSi 



Ora, al crescere indefinito di «, ^„ tende ad un limite die t 
nell'intorno e di jr^, T integrale della (1), che per x'=-x^ assume i 
valore y^. Invero, cominciamo dall' osservare che 

X 

\yx-y<\é\\w,y,)\dx^y\.\x-x^\^w,^h, 



^'0 



cosichè il valore y^ appartiene all' intorno e, di valori di / sodo 
sfacenti la \y — ^ol^*? ® perciò 



\yt —y^\ ^ 



/ \'^{x,y;)\dx 



^M\x — x^\^Mp^b, 



-*■(• 



e quindi anche y^ appartiene a ^, , e si vedrebbe così che tutti n* 
lori y^ ^y^ , . .yn , . . appartengono a c^. 

In conseguenza di quanto precede avremo 



—^— = i*(^ .^.) - <f(* .^o)l < * 1^, -^.1 é: *>1 



'■— >, = ^Mp ft^, 1^,— ^,|^iMf I l'i»,!*! <1MH« — «J ^J«f'. 
Analogamente 



I il' 

dalla quale, come precedentemente, si ricava 
lj'.-J'.l<Mi'f-, 
e così, procedendo avanti, si ba, per n intero positivo qualunque, 
[A->-i|<M-S— p". 
Dai che risulta che la serie 

^o + (A-^.H-(^t—J',) + --. + (>-^— !) + ■-■ , 
che ha ^„ per somma dei primi » termini, è convergente assoluta- 
mente ed uniformemente nell' intorno e di x^, perchè i suoi termini 
sono minori in valore assoluto dei corrispondenti della serie 

>„4-fMtI+*p + (Ìp)'-|-... + {tO''-' + -.-l 
che è convergente perchè è ip < 1. 

Provato così che >„ ha un limite determinato, che indicheremo 
con jy ^ji{x), al crescere indefinito di n, si vede subito che y sod- 
disfa alla proposta equazione, poiché, passando al limite per n := co 
□ella formola 

per la continuità di t(x ,y) nel campo C, otteniamo 

(a-)=lim j<t{x^n-i dx+j>^=jì^^{x,jy„-iìdx-i-j'„=l-4x,ji{x)]dx+jy„ 



002 
da cui 

y \x) = i[x ,x^)]. 

Da quanto precede risulta provata 1' esistenza di un integrale 

y{x) =yQ + Oi —a) + Uf —yi) + (-Ts - ^J + . . . 

della equazione y :=^(x ^y), che per x = Xq assume il valore /^ 
sviluppato in serie convergente in un certo intorno del ponto iji 
si ha cosi un'altra dimostrazione dell'esistenza dell'integrale di tili 
equazioni. 

Esempio. — Sia l'equazione lineare 

y = p^ + Q 

dove P = P{x), Q = Qix). Posto y^ = C, avremo successivamente 
y.^cfFdx + jcidx + C, 

yi^cfvdxfFdx-^fFdxhdx+CJPdx-hJQdx^C , 

^3 =-C f?dx fpdx jPdx -f f?dx jVdxjCidx'ì'Cl ?dx jPdx-r j PirJQi 



tutti gli integrali essendo limitati tra Xq ed x. Avremo quindi fe 
sviluppo, in un intorno di at^, dell' integrale y della nostra equazit» 

X XX XXX 

y = ch+ fpdx + l?dxlPdx + f?dxjPdxfpdx + ...[ 

Xi) .Vq XO .VO Xq XO 



X X 



+ [cidx ^f?dx hdx + fpdxfpdx hdxi- . . . 

XO Xq XO xo XO .l'o 

Questa si riduce facilmente alla ben nota formola di risolun* 
delle equazioni lineari di primo ordine. Basta osservare che, i^ 



603 
grando per parti, prendendo Vdx come fattore differenziale, è 

(Vdx f?dx = {fFdx\{ f?dx\ — fpdxjPdx 
da cui 



e da questa forinola, analogamente, 

j FJxj PdxjPdx = ^fPdx{ [Pd^y = ^\( jPdx\'—2JPdx (Pdx))] 



da cui 



e cosi in generale 

fpdxfpdx . . . f?dx = -^( fpdxY 
e quindi ancora 



X X 



fpdxfpdx . . . fpdx =~( /P^)"; 



^0 ^0 Xo Xq 

e perciò, intanto, la serie che moltiplica C, nell'espressione di ^, è 

X 

jPdx 

aguale a e. 

X 

■ 

Inoltre, posto /Pd!^=«, da cui Pdx = duj x=zx(u), e 

XQ 

R(«) = Q.[x{u)]x'(u% abbiamo 



XX XX u u u u 



fpdxfpdx . . .fpdx ÌQix)dx=(du{du . . .(du(Pi{u)du = ~ R(tt), 

Xij xH xo x^ì 

u 

avendo posto -fr^ = Ivdu, 



fc—^" 



604 



Notiamo ora che le formole al n. 196 valgono anche se ^ i 

simbolo di integrale definito, col limite inferiore costante, cosicbè 
avremo (dalla formola (6) al n. 196 facendovi a=: — 1) 

XXX I 



:ro xo XQ 



X X 

fPdx X -fPdx 



j — » 
XQ r 



Per cui, infihe, 



JCO 



X X 

fPdx ^ -fPdx 



y = T [fa^*'' rf*4-Cj. 



Xq 



224. Il metodo precedente si estende facilmente ad un sisteca 
di m equazioni tra la variabile ;if e le funzioni y^ ^yt , . ./w, 

{' = 9« (^ ,^ ,{,«,.• t'), 
(1) { u=^^{x,y,i,u,.,v\ 



V '0=^m{x^y,^yU^.,v), 



le qp(* )>'){>« 1 •• ^) essendo delle funzioni continue in un campo ^ 
determinato dai valori di x ^y ^^ ,, ,v pei quali è 



e che ivi soddisfanno alla condizione del Lipschitz 

+ K\^\ — ««I -*-•.. + ^«n t^i — l'ti, (r= 1 ,2,3, ...»t). 
Indicati con M^ , Mg , . . Mm i rispettivi massimi di |?i(* J'h -^* 



605 

^t(^ )>' j ^> • • ^)U • • km(^ )-^ 7 ^ » • • ^)l "cl campo C, si prenda un nu- 
nero positivo p soddisfacente alle condizioni 

1 ^ 



issendo b il più piccolo dei numeri i^, A* ,... ^m» ed M il più grande 
lei numeri M^ , Mi , . . Mw. Si considerino i valori di x delP intorno 
di *Q determinato dalla \x — Xq\ ^ p. 

Sostituiamo nel secondo membro delle equazioni differenziali 
proposte >o i {o > ^0 > • • ^0 ^^ luogo di ^ , ^ , m ,... v e formiamo le equa- 
ioni differenziali 



alle quali ricaviamo, per quadrature, y^ , {^ ,... v^, e determineremo le 
ostanti di integrazione in modo che ^x , {| , . . i^i assumano rispetti- 
amente i valori ^o ^ {o ? • • ^o P®^* ^ = -^^o j otteniamo cosi 



X 



^0 






^0 



Sostituiti poi questi valori ^i , {i , • . '^i in luogo di ^ , f , . . v nei 
icondi membri delle (1), formiamo le equazioni 



v\ = <:fm(x,y^,^^,..v^), 



006 

dalle quali ricaviamo ^« ,{;«,.• t^j, determinandole in modo che per 
xztixq sia yi '=-y^^ ^2 = ^o > • • • ^t = ^o cioè avremo 



X 



^0 



^« 



X 



XQ 






A'O 



Procedendo in modo analogo otteniamo, in generale, 



/ 






x^ 



(2) 






^0 



^n^^ Um{x^y„-l,ln~l ,.'V„ ì) dx -{- V^. 



xo 



Ora, al crescere indefinito di «, le >'n , {n f • • ^n tendono versoà 
limiti finiti che sono, nell'intorno e dì x^y gli integrali delle (1)^ 
per x=zxq assumono rispettivamente i valori ^0 j -{o > • • V ^^^ 
cominciamo dall' osservare che 



\yi—jyo\i^ 



X 



^ÌAp^b, 



X\) 



cosichè il valore ^1 appartiene all'intorno c^ di valori di>' cèt 
sfacenti la relazione \y — y^] ^b\ ed in modo analogo si ve ^ 



607 



he i valori ^x , . . f j appartengono rispettivamente agli intorni ^j,.*»^»» 
i valori di ^ ,... v soddisfacenti le relazioni \{ — {^| ^i,.. \v — Vf^ì^b, 
In conseguenza è 

X 

ljy^-jy<,\^\fK^,j'x,Ki,--v\)\dx\^M\x-x,\^Mf^b, 

J I 



-ro 



quindi anche y% appartiene a e, ; ed in modo analogo si vedrebbe 
Ile >^8 , . . t72 appartengono rispettivamente a cg , . . Cm. Proseguendo 
I questo modo si proverebbe che i valori y^ ,^4 ^..yny. appartengono 

c^ ; che ^3 , -(4 , . . {n , . . . appartengono a ^2 ; ... ; che 1^3 , ^4 , . .fn,.. 
ppartengono a c^. 

In conseguenza di quanto precede avremo 



dx 



-f ^^1 e, — rol ^ (^i 4- ^2 + . . . -f K) Mp, 



I CU] 



d{y^ ^tl^(^^_^^^, ^^^)MpB,, -i<e.^<i, 



dx 






«0 



.r 



—^ll:^(*i +*!+••+ *«)Mp 






^0 



-^M(^^ + ^2-f ... + ^„.)p*. 



Analogamente si proverebbe che 
Abbiamo poi, in conseguenza, 



dx 



<h^y^-y^^h\l^-l,\'^^^^K\v^-v,\<y[{k,^k,+...-^kn)V, 



illa quale, in modo analogo al precedente, si ricava 



^-f'^- 



•v^<;^. 



tw 












I «^ 



608 

e così pure 

ka — <A < M (k, +*« + .. + >6m)* p^ .. 1^3 ~ Vii < M(*, + i, + .. + W? 
E così procedendo si ha, per n intero positivo qualunque, 

1^, ~>-i| < M (i, 4- >^« 4- . . . + ^m)«-» P% 

I^H — ^,-1 1 < M (^j + ^ 4- . . . 4- *m)"~* P"> 



|Un — v„^i\ < M (^j 4- ^ + . . . 4- ^«)«-i p*. 
Dal che risulta che le serie 

^0 ■+• ({i — Co) 4- (^2 — Ci) + ... 4- fe — C«-i) + • • • 



• > 



^0 4- {v^ — i^o) 4- (z^« — V,) 4- . . . -h (t^n — t^n-i) 4- . - . , 

che hanno rispettivamente ^n ?{»}... t^n per somma dei primi n te? 
mini^ sono convergenti assolutamente e uniformemente neirintor 
e dì Xqj perchè i loro termini sono, a partire dal secondo loro 
mine^ minori in valore assoluto dei corrispondenti termini della 

Mp[ì -^ {k^+ ki-\- . . , km) p -\-(k^ -\- kt-h . . . -h >6m)' P* 4- . . . ] , 

che è convergente perchè (y^^ 4 itj 4- . . . 4- km) P <rl. 

Provato così che ^n ,^n ,- --K hanno limiti determinati, 
indicheremo con jf(x) , :i(x) y . , .v(x) , al crescere indefinito di «, 
vede subito che questi limiti, soddisfanno alle proposte equazic 
poiché, passando al limite per « = 00 nelle formole (2), per la 
tinnita delle ?i , ?2 fw nel campo C, otteniamo 

jy{x) = lim / (f , (x ,>_i , jfn-i y...VH.i)dx 4-/0 



: / lim <f, (x ,^«-1 . ^n-i , . . . Vn-i) dx 4-/0 

J n=« 



-*"o 






609 



da cui 

ed, in modo analogo, 



v' {x) = r.„, [x ,y(x),{(x),...v (x) ] . 
Da quanto precede risulta provata l' esistenza degli integrali 

y W =yo + iyi —a) w- (/« — 7i) + (^'s — /«) + , • • . 
-cC-^) = {o + (^i — ^o) + ({i — <i) + ({3 — {«) -+■ • • • • , 

^(^) = ^0 + (^i — ^0) + (^'« — ^i) -r {^3 — Vi),,.+ 

ielle equazioni (1), che per x=zx^, assumono i valori ^0 ? -Co ? • • • ^'0 > 
sviluppati in serie convergente in un certo intorno del punto Xq. 
>i ha anche cosi la dimostrazione dell' esistenza degli integrali delle 
equazioni (1). 

La dimostrazione della unicità di questi integrali , che per 
t = Xq assumono i valori j^q , ^0 ,... v^ , è analoga a quella pel caso di 
ma sola equazione differenziale (vedi n. 179). 

Se, infatti, vi fossero altre funzioni ^'^ (.»■), -(^ (a) ,... t'^(jv) che 
oddisfacessero le (1) e prendessero per x^i^Xq ì valori ^0 > ^0 ? ••• ^'o> 
>osto Y =j^{x) —j^^(x) ^ Z=z:^(x) — {((a*)... W=:v(x) — v^(x) si 
vrebbe 



dx — 



d\Z\ 
"dx - 



_^V j 
dx 

dZ 
1^ 



^A,|Y| +^,|Z|-f-... + ^„|V,, 



^k,\Y\ +h\l\ +... + ^„,|VJ, 



d\\'\ dV ' 



dx 



dx 



Indicando con k' la più grande delle quantità k^ ,ki . . .k,„ e posto 
»ik\, X= jYI 4- |Z| -f- . . . + |V| , dalle precedenti disuguaglianze 



:«( 



1 



610 
ricaviamo 






dx 



da cui, ragionando come al n. 179, si deduce subito che dev' esere 

Y=0, Z = 0,.... VnzrO. 

Esempi 
1) Siano le due equazioni lineari 

dove P , Q, sono funzioni della sola x , che supponiamo in un certo 
intorno del punto at^ siano continue. Siano Y , Z gli integrali che 
per x^=Xq prendono i valori C, zero. Avremo successivamente 

' y, = C , iy, = C, iy^ = C^?dx\Q.dx^i:^ 

= , ^ {, = c fcidx , I i,^cj(Xdx, 

i y^ = C [pdxJQ^dx 4- C, 
l^3 = C JQ^dxfpdxfcidx + C lQ.dx, 
/, = C fpdxfQ.dxfpdxfQ,dx + C fpdxfcidx + C, 
iu = C j(ldxf?dxfQ,dx -f- C [Cidx, 



^0 



Y = C 



gli integrali intendendosi limitati tra x^ ed x. 
Avremo quindi 

1 -f- f?dx (cidx 4- / ?dx JQ_dx fPdx j (Idx 
+ / Pdx ÌQ^dx f?dx fo^dx j?dx i ddx + . / 
Z=:C j(ldx+fQ,dxj?dxhdx+f(ldxl?dxfQ,dxfFdxl - 



Ir 



rr^ 



611 



Indicando con Y^ , Z, gli integrali che per x^^x^, assumono i 
valori zero, C,, si ottiene in modo analogo: 

Y, = cSjPdx^ iVdxf(ldxfpdx+ \Pdx^Q.dx(?dxìCidx\ ?dx+ ...?[, 

Z, = C, [ 1 + fo^dx f?dx + j (Idx fpdx f Q.dx i Pdx 

+ j Q_dx f?dx fddx ÌVdx j Q.dx fpdx + . . .1 . 

Avremo in conseguenza gli integrali generali 

v = Y + Y,,;C = Z + Z,, 

che per x = x^ assumono rispettivamente i valori C , Cj . 

2) Applichiamo questo metodo alla integrazione per serie della 
equazione lineare di 2^ ordine 

dove P , Q. sono funzioni della sola x. 

Prima di tutto osserviamo che questa equazione può ridursi a 
una equazione a due soli termini, ponendo yr=iu^^ poiché essa si 
riduce allora alla 

la quale, ove si prenda per u V integrale u z=e ^ della equa- 

zione 2 tt' -I- P« = 0, si ridtice alla equazione 

dove R = (u+?u^Q_u). 

u 

Possiamo quindi limitarci a considerare le equazioni della forma 

Posto i =^ , abbiamo da integrare il sistema lineare di primo 
ordine 

ed abbiamo, dalle formole precedentemente stabilite, l' integrale gè- 



612 

nerale della equazione {" = R ;^ , 

Zi=C x-^x^-^ IdxJKdxjdx-ì^ ldxlKdxldxlRdxldx-\^.., 

+ e, U+fdxfRdxi- jdxJRdxldxfRdx^ IdxJRdxjdxJRdxfdxfRdx ^ ...^ 
le integrazioni intendendosi limitate tra x^ e x-^ cosichè per xznx^ 

225. Esponiamo ora altri metodi di integrazione per serie di 
una equazione ditferenziale. Se questa è di ordine // si esprimerà 1 ' 
mediante x ^jy ^y . . .y"—^)^ e da essa e servendoci di essa, con suc- 
cessive derivazioni potremo esprimere allo stesso modo y~^^-, j '*--.:: 
cosichè presi arbitrariamente i valori c^^c^ ^c^ . . . Cn-i come quell. 
che debbano assumere >' ,y, . . .y^"*^' per x = ay avremo i valori 
di y"\ ^(«fi^ , . . , per xz=a^ che indicheremo con y''(^), /"^^'u.. 
Allora 

. . (X — aY (x — ay-^ 

jy=-c,-^ c,(x — a)-^c^ — \^,,,, + c„-i -7^^ 

, (x — ay , , (x — a)»-^^ 



fi\ ' ' (« 4- 1) 1 

quando e tinche risulti convergente la serie del secondo memb::. 
sarà l'integrale generale della proposta equazione. 

Oppure si userà il metodo così detto dei coefficienti indetermi- 
nati, cioè si stabilisce uno sviluppo in serie 

( 1 ) y=L AiAT"'! + A2A''«? -4- AgAT'^S -h . . . 

e si determinano i coefficienti A e gli esponenti m in guisa che J 
precedente espressione soddisfaccia alla data equazione differenziale. 
Allora, se la serie (1) è convergente e successivamente derivabi'.r 
termine a termine, la formola (1) ci darà un integrale della ei i- 
zione proposta. Tanto 1' uno che l' altro metodo sono lunghi, ai bc ] 
se applicati ad equazioni ditìerenziali lineari. 

Vi è una forma speciale di equazioni differenziali, che compre 



613 

molte equazioni importanti, per la quale si ottiene facilmente lo svi- 
luppo dell'integrale in serie. 
La equazione sia della forma 

dove 9 e '^ sono simboli di funzione razionale intera, e /> è un numero 
positivo. Determiniamo i coefficienti A e gli esponenti m in modo che 
la (I) soddisfaccia alla nostra equazione. 

1) Supponiamo m^ < Wj < W3 < w;^ < . . « . ; sostituendo in luogo 
di y il valore (1) nella equazione (2) e ricordando una proprietà del 
simbolo ^ (N. 198), il suo primo membro diventa 



e poiché Wj è il minore esponente di x^ affinchè la espressione 
precedente possa essere zero identicamente, dovrà essere ^(m{)=z{) ^ 
cioè Wj dovrà essere una radice a della equazione 4'(0')zzzO. È quindi 
escluso il caso in cui '^{^) sia una costante. Poi m^ ed nti-^-p ossia 
a-{-P sono i successivi esponenti più piccoli di x ; prenderemo 
Wj = a +/, e quindi eguaglieremo a zero il coefficiente di x^-^P 
cioè Al ?(j) + Aj'^(a4-^) e cosi procederemo successivamente. 
In tal guisa otteniamo le equazioni 

dalle quali si ricava 

mi = a+p, m^=:a-i-2p, m^:= a-\-3p^ . . , 
e le equazioni 

f Ai^i{a) + A^'Ha+p) = 0, 

Ay cp (a +p) + A3 'I [a + 2p) = 0, 

(3) 

A3'^(tf + 2/) + A4c^(^ + 3/>) = 0, 



1 



614 

dalle quali si ricava 



^^« — — T7T~T~r>r ? ^3 — 



^ ___ ? (g) qp (^ --!-/>) y(g + 2/) 

e si ha così 

(4) y = Al a:'M 1 /^ , Ar** 4- / ; . ^ ^ " 

:^(a)'^(a-hp):?ia + 2p) ^^ . ) 



']>{a+p)'^{a + 2p}'^(a + 3p) "'S' 

che, ove la serie del secondo membro sia convergente e derivabile 
termine a termine tante volte quante sono le unità dell'ordine della 
equazione (2), ne è un integrale particolare. 

In questo modo, corrispondentemente a ciascuna radice a della equa^ 
zione 4^ (^) = 0, si ha un integrale particolare della proposta equazione. 

Se una delle quantità <?(^), ^{a-\-p),.. si annulla, poniamola 
?(^ + >^/), senza che si annulli alcuna delle 4>(^H-/', ^(^ + 2^)— 
allora le equazioni (3) ci mostrano che dovrà essere A4-^2 = 0. 
A*+3 = , . . . e la serie (4) si riduce ad un polinomio. 

Se la prima delle quantità 4^(^ + />), '^{a-\-2p). . .y che si an- 
nulla, è la '];(a-\-kp), cioè se a + kp è radice della 'J^(0') = 0, sena 
che si annulli nessuna delle ^(a)^ 9(^4-^),... 9(^ + (>6 — 1)/'. 
allora le equazioni (3) ci mostrano che dovrà essere A, =0, A, =0,.. 
A*_i = e le equazioni (3) si riducono a quelle che nascerebbero 
dalla radice a + kp della (];({)•) mrO e lo sviluppo (4) diventa quello 
corrispondente a tale radice. 

In questo caso si perde uno degli integrali particolari. Per ni- 
cquistarlo, indicato con ^i quello che rimane, si pone ^=^j w-f - 
e si cerca di determinare le funzioni « , t? in modo che /!« + " 
sia integrale della proposta equazione, notando che una delle dae 
funzioni u , v può assumersi come meglio giova. 

Se poi, essendo '\> {a -\- kp) = , è ancora ^{a + (k — s)p) '^' 
allora le (3) ci mostrano che Ax— 5-1-2 = , A^_,4-3 = , . . . A* ^' 
e le (3) si scindono nei due seguenti sistemi di equazioni con i co- 
gnite A non comuni 



ir^ 



615 

/ A, v(^) + A« •4;(^ + />)=: 0, 

Ak-s^[a + (k — s — l)p\ + A^-,-^1 '^[a + {k — s)p\ = , 

A^-f 1 :F(a + kp) + A>t.+.2 '^[<7 + (^ 4- l)/>] = , 
\ Ax-f2 9[^ + (^ H- 1)/»] + A.t+3 '+[^i + (^ 4- 2)/>] = , 



e la (4) diviene 

/ +(«+/>) |(tf4-/>)|(<»4-2/>)...-;[a + (^-5)/>J \ 

'^' *^' I i[arikTl)p] ^ ■^[a-i-{k^l)p\V[a + (k + 2)p\ ''S 

con due costanti arbitrarie Aj , A/:+i ; la serie che moltiplica A/t-i-i 
è V integrale particolare che nascerebbe dalla radice a -\- kp di 
i(.<>)=:0. 

2) Qualora lo sviluppo di jr' per potenze ascendenti di x non 
riesca convergente, od anche indipendentemente da questo fatto, si 
potrà cercare uno sviluppo per potenze discendenti. 

Si supponga allora nella (1) 

Wl > Wj > Wg > W4 > 

Procedendo in modo completamente analogo al precedente si 
giunge allo sviluppo 

^ ^ ' ri't—p) r{a-p):f(a-2p) 



.<,(a).^(a-p).^(a-2p) _ ì 

^(a-p)^{a-2p)-f{a-'àp) •••■<,' 

dove a è radice della equazione ?(o-) = 0. È escluso il caso in cui 



616 

q:({>) sia una costante. Valgono poi considerazioni completamente ' 
analoghe alle precedenti. 

Notiamo che se nella (2) p è negativo, la (4) è Io sviluppo di j 
y per potenze decrescenti di x^ e la (5) lo sviluppo per potenze 
crescenti. 

Il valore assoluto del rapporto d' un termine al precedente 
nella serie (4) è della forma x^ v;>{a-\-np) ^ ^^^^ ^^^^ 

r^ia-^ tip) 
torma x-f — ; ; — — cosichè, in particolare, la prima serie 

, . ,. %{a-\-nP) ^ , 

sarà convergente qualunque sia x se lim ^-^— — =0, b 

^ «=00 1^ia + («+ l /) 

seconda se lim — -—^ ~ 



= 0. 



3) Se la radice a della equazione '4; (0-) =::= è complessa. 
^^=a + /?, il procedimento precedente vale ancora, ma il corri- 
spondente integrale particolare contiene nei suoi termini V immagi- 
nario /' ; volendo avere direttamente V integrale scevro dagli imma- 
ginari si può procedere nel modo seguente. Notiamo che l'integrale 
jy sì riduce allora alla forma jy = x^x^'^{u^ — /ri), od aDck 
x'^{u — tv) dove « , t; sono serie reali ordinate secondo le stesse 
potenze ascendenti di x. Determiniamo u , v. Abbiamo (Vedi N. 19?^! 

[x^ <?(^) + 'I(O-)] [x^^ {u - tv)] = xi"^ [x^' ^(0- + h) + 'K^ -+- />)] («-«')=". 
ossia, posto 

V-.(*) = r (») - ^ ?" {^) + ^ ?<'^) (»)-..., 

m 

^^,(i^) = .;(ì^) - 1'-- 'V'(a) + . . . , --..(fv) = -y(^) _ ^ y"(if} + .... 



cosichè, sviluppando la quantità tra parentesi ed uguagliando a re 
la parte reale ed il coefficiente di i dello sviluppo ottenuto, si ha* *o 



p^ 



617 
per determinare w , v le due equazioni 

Posto 

si sostituiscano questi valori nelle equazioni precedenti, e si pro- 
ceda come abbiamo fatto prima. Si osservi che le due equazioni 
;^,(J^) =r , '}^i{^) = ammettono la radice comune a , giacché è 
;^(a -\- t?) = 4>2(a) + i\>^(f^) = , ed allora si troverà che Wj := ol^ 
«Wj = a +/ , Wg = a -h 2/ , . . . . e per determinare i coefficienti 
Ar-i-i e Br-f 1 le equazioni simultanee 

4»,(a+r>)Br+i-'ii(a + r/)A.+i=-B,v»[«T-(''-l)^J + A.?,[^+(r-l)/], 

cosichè rimangono arbitrarii A^ , Bj ; ed abbiamo 

u = x^ [Al + AiX^ H- Ag^r*»^ -f- . . .], v := a*» [Bj + BjA-p + 63^:^^+...] . 

Avendosi l'integrale particolare ^i = a*' «^(w — tv) si ha anche 
l'integrale particolare ^2=^ x-'-^u + tv) proveniente dalla radice 
a— i^ coniugata alla a-f-/>, e quindi ancora l'integrale particolare 
(x'^-{-x-*^)u —i^x'i^ — x-''^)v^ ossia, poiché jt'? = é?'^ loR -i-, Tinte- 
graie 2«cos(p log^)-h2t; sen(^ logiT), ovvero, includendo il fattore 
2 nelle costanti Aj , B,, semplicemente u cos (^ log x)-{-v sen(,i log a:), 
che è reale e contiene due costanti arbitrarie. 

226. Applichiamo ora il metodo precedente ad alcune equazioni 
importanti. 

Equazione di Riccati (propriamente detta). È la equazione di 
primo ordine 






Poniamo = u — — : essa diventa 
(1) :('^7x^i = Q. 



] 



618 

Se si conosce l'integrale generale ^=Ci^i — C^^j di quesa 
ultima, l'integrale generale di quella di Riccati è 

Trasformiamo ancora la (1) ponendo ^=j^e-^P^^\f da cui 
;[' = (/+/>') ^fr^'% {" = (/' -h2fiy -^py+py) efF^^^; essa dincne 

Prendiamo/ in modo che p^ — aA:»=0, cioè, posto \''a = .. 



^^IW-^I 



w = — , sia / = ex"** e quindi ^ == ^ '"-^-^ ^, ed avremo per deteraù- 
nare ^ la equazione 

(2) y -\- 2cxy' -h mcx^-^y = 0, 

ossia la 

xy -+- 2^a:'«+->' + wcAr'«+i^ = ; 5-{ 3- — 1 ) + x^-^h-(2d^ + ///) {^ = 0. 

Sia w + 1 > cioè w > — 1 ; allora 

/) = w + 1 > 0, ^^) = H'^ — 1), cf({v) = i:(2d- + w). 

Quindi, corrispondentemente alle radici 9-=rO, t't^rl di ^(^0=^' 
ed in virtù della (4) n. 225, abbiamo gli integrali particolari, s^^la> 
pati per potenze ascendenti di Jf, 

^, ( cm , , c^miZm -r 2) , , , 

-^^-^^r m(m-\-\) ' 2(;/i-Mfi2/«-r-I) 

^^w(3/w -^ 2) (5w H- 4) ,, , ,, > 

^ ^^ 3!(w-hl)^w(2w-f- l)(3w4-2j ^"■\ 

_P L *, rw(3w+2)(5w + 4)(7;;i4-6)..[(2r-l)w-f2(r-l )]^^.^.^ 
'^ "^r^r ^ rl(w-fl)X2w4-l)(3w+2)(4w+3)..(rw+r-ll''' *' 



d ;« -h 2) , , 'c\m + 2) (3w -^ 4) 



7, ==Cj^ 1 — — -f— — — - ^'''+1 ^ 



{m -h 1) (w + 2) 2(/w+l)^w-r2)(2/«-h3) 



X 



A--' 



uy ,3(^ + 2)(3>« + 4)(5m + 6) „ 

*^ 3!(w + If (OT+2)(2;« + 3)(3/« + 4) 

[ = C ^1 + vf ,x. ^-(>«+2)(3>«+4)(5m + 6)..[(2r-l)w+2r] . 

> '*'^ r^i^~ -^ r!(m+l)'(w + 2)(2/«+3)..(r/« + r + l) ' 



619 

Se m-t-l<0 cioè se m < — 1, queste slesse formole ci danno 
uè integrali particolari in serie ordinata per potenze decrescenti di x. 

Tutti questi sviluppi sono convergenti qualunque sia*, come su- 
ito si riconosce. 

Q.t]ando si ha in mira la integrazione della (11, e quindi quella 

ella equazione di Riccati, basta considerare uno solo degli inte- 

rali J•^ ^ji^ della ("-*). Invero indichiamo con ^ quello che conside- 

, esso è della forma, come risulta dalle (3), (41, a;^::P — cQ., 

?,Q. contengono solo potenze pari di e, e ^ ^ .,■ '"+' (P — cQ_) 
frale delia (1); ma, poiché cambiando i: in — e non muta », 

f = tr "-T-i (P-HcQ.) è integrale della (1) ed il suo integrale 
le è quindi 

V/g-.-"-^' \/».V'+' \/^..--i-ì _y5-'!Lt' 

:P(C,i: "■+' +C, r "■+' )~cQ.{C,e '«-M — e* --r' I 
e *>"; se è a^ — a,, a,>0, esso prende la forma 



Si perde uno dei due integrali particolari y, o >■» quando i 
ino dei numeri seguenti : 



ero positivo. 

Sono poi notevoli i casi seguenti. Se wj = — 1, è ^ — 0. Non 
Itlgono pili gli sviluppi (3). (4), ma la (2) ò la )^»- l)+2a-ì'ij)—0, 

i integrale generale è / — C,:tni -|- CsAr*, dove a , ò sono le ra- 



Iki della 9(& — 1) + 2£» — 1 = 0. 



Se OT = — , — -^ , — •-,... ;jf^ — j- , /i si riduce alla 

la _>>,:= C|^(ii + C,/,, dove jr^i è un polinomio; si ha quÌDdi 



V; 



/>• ■ » 






* 






i»«; 



620 

r integrale particolare finito ^oi e perciò la equazione di Ricc^u 
integrarsi in termini finiti. 

A lì Q 

Se m= — — , — -— , ,..^2 si riduce alla forma/, = Cl»iH-Q*ì 

dove 7o2 è un polinomio. Se w r= — 2, la (2) ammette l' integi 

particolare jy = x. 

Ah 



In conseguenza, se « = — 



, dove h è un intero poàÙT^ 



2/idbl 

qualunque, la equazione di Riccati può integrarsi in termini fimi 
(se « = 0, corrispondentemente ad A = 0, nella equazione di Rioc\: 
si separano subito le variabili). 

Per esempio: siano le equazioni 



(5) 



^" — c*Ar-*^ = 0, i^ + c'x-^i — O:, 



qui è w = — 2, nel quale caso la (2) ammette l'integrale particobr 
/r=z;r, cosichè P-=.r, Q.r=zO, e gli integrali delle (5) sono rùpcil 
tivamente 



=-^(q 



■V -hCj^^ 



Y l = x(c. 



cos h C- sen — ì , 

X X ì 



Per le equazioni 



ì' -C'X « {:=0, {"H-c'aT 3 ^^0, 



__ 4 



e m 



-- , /«i = 1 — 36A- S P = 1, 0.= 3a: ^ , 



e gli integrali sono rispettivamente 






r.' 



3c^ 



» 



— 3CA- 



. :j 



%cx 



A 



^=Ci^ -f- Cj^ — 3^;c ^ (Ci ^ — Ci t' 



— 3<ri 



)• 



r 



1 _L _L JL - 

^=z:CiCos(3^a: y )+ C2sen(3^;c.y j-3cji: ^ [C2COs(3<:Ar ^ )-CiSeni.'V;i ' 

227. Equazione di Gauss. È la equazione 



— ^ — 



/z=:0, ossia la 



a:(1-^) ^ x{\^x) 

x'y + V^/' — ^x/ + (a H- ^ H- 1) jr/ H- a>/] 




621 

Qui è p = l, 'A^)= — (^+oL)(^'hA *(8-) = tS-(a.4-Y— 1). 
integrale particolare corrispondente alla radice ^==0 della c|;(a-)=0 
quindi 

_, _a? a(a4-l^p(3 + l) , «(a+l)(a+2).3(3+l)(34-2) 

"-'"^l.r''"^ 1.2.Y(r + l) "" 1.2.3y(t+1)(y + 2) ■*"••• 

La importante serie del secondo membro chiamasi serie ipergeo- 
drica\ la si indica sempre colla notazione F(a,^,Y,;t). 

Poiché lim — -T- = — limy -7-7 — = 1, laserie iper- 

lometrica è convergente se |;<:! < 1, divergente se \x\ > 1. Si di- 
ostra poi ^) che per 1^^1=1 essa è convergente se a + ji — r<0, 
vergente se a-f-^ — T^O. 

L' integrale particolare corrispondente alla radice d- = l — y , si 
ova essere 

^,=:jt^-TF(a4-l-Y, P + 1— r, 2 — Y,^). 



k'.* ' 



' V 






\^ 



228. Si abbia la equazione 
[) xy' -\-y ^-7 z= ossia x^y" -\- xy -\-xy i=(9-* -]- x^y =z ; 
wichè />==!, ?(^) = 1, 'K.'v) z= d-\ 

Abbiamo un solo integrale particolare proveniente dalla radice 
= della KJV) = 0, e questo è 



^'i^l 



X X 



12 Oi 



2« 2- 3* "^ 1 + S ( — 1)' 



M=l 



\ff\ ' 



ni ìli 



M In virtù del seguente teorema sulle serie: 

La serie cht. ha per termine fienerdle u^ è convergente oppure divergente secon- 
chi la prima delle espressioni 

l,m ( 1 ) , lim n — (n 4- 1) — ^- , 

M=»\ Un / M=x L "n J 



lim n log n log(a -f 1) , 



n-f 1 



u«-f 1 / 



lim ; n logli log (log n) log i n + 1 ; log[log(n + 1)] 



J no» ^ uguale a J^ero, è positiva oppure negativa. 



022 

La serie è convergente qualunque sia x. 

Per avere un altro integrale particolare, poniamo / =j, » i : 
nella nostra equazione, la quale, avuto riguardo che /| ne è integrsk 
particolare, diviene allora 

Giova qui prendere u in modo che sia xu" + u =0^ doz 
xu = Ci , « =: Cx log X + Cj, o semplicemente u z=z log jr, ed alion 
per determinare v abbiamo la equazione 



xv" + v' + v^ — 2xy\u = — 2/ 1 =: 2 + 2 ì: (— l)«-rJ 



x— i 



1 • 



ossia (»•* + a:) i' = 2^»- 4- 2 ì: (— l)"-ri 



{« — 1)1 n\ 
x"^ 



per cui, posto 

i; = Aq -h A, ^ + A^ ^8 -4- As ;if^ + . . . + A^^* -H . . . , 
dovremo determinare i coefficienti A in modo che sia identicamers 



«=i «=2 tt(n — lj!(«— 1)! 

dovremo dunque avere A^ + Ai = 2, e noi prenderemo A^=U. 



Al —2, e poi A„-i + n-An =:(— l)''-ri 



9 



n{n —])!(// — Ili ' 
cioè avremo le relazioni 

«^\n =(- 1)«+1 -^^ — - A„_l, 

(« - If A._i = {- 1)» ?— — - A,-,, 

• ^ (w — !)(« — 2j!(«— 2)! 



3 A3-(-l/^^-A„ 
A, ==2; 



623 

loltiplicando l'ultima di queste equazioni per — 1, la penultima 
er 2', la terz' ultima per — 2* . 3', la precedente a questa per 2*. 3*. 4' 
fóia per 414! etc. la seconda per ( — 1)" (« — 2)! (« — 2)! e la prima 
er (— l)"-i (fi — 1)! (n — 1)!, e poi sommando, otteniamo 



An = 



(— l)''-f-i 2 



;/l «I 



(>-è 



3 



d in conseguenza 



_o^K-l'""^'^" ^- 1 



r = 2S 



«If/! 



( 



l + Tr-+--:r + 



4)ì- 



La serie è convergente qualunque sia x perctiè il rapporto di 
i un termine al precedente è 

1 



(« -+- ly 



(« + l)(l + -2 + 3- + --+«) 



he ha per limite zero al crescere di «, perchè « + 1 e 1 + — -f...H 

rescono indefinitamente con «. 

Cosi abbiamo trovato un secondo integrale particolare 
s =j^i log x-\-v, e r integrale generale della nostra equazione è 
berciò 



^ ( — \)n-l ^H / 1 

= C,t>+jv,(C,+C. log*)=2C,S^-!— ^^-^^^ (l + i. 

+ (C, + C. log ^) (l + S (- 1)- -fi-) 

\ H^i nini/ 



v) 






11;k^ 



50;c^ 



<>3 03 »)3 o3 j3 



.,.) 



(X X Jv ^^ \ 



La equazione più generale xy' -^-y -i-ay=:0 si ricava da quella 
>ra studiata sostituendovi ax in luogo di x. 

Sia ancora la equazione 

2) x\a + *^)>'" 4- ^(^ — *^)^' ■+• (^ -I- 2bx)y = 0, ossia 
a(^t + 1) + jr*(0-» — 2»- + 2)]>' = 0. 



V*. ' 






^i'-^ 



>is\ 






■•CJ 



?-^ 






G24 

Qui è (f(*)r=*(x^2 — 2^ + 2), '4,(^)=rj{»' + l), /^ = 1. 
La equazione '1(1"^) = ha le due radici =b /, cosichè a = 0, ?=;. 
ed essendo 'J^'(O-) zn 2^9-, ']^\^) = 2a, ^'(^) = 2b{^- 1), ^'(.^) = 2^,c 
^p) = 2b(^ — 1), v^,(tv) = b{^^ — 23- -I- 1 ), '|,(^) = 2i7i>, ^eO^) = ^»'. 
Le equazioni che determinano A^ , Bj sono 

2^B« 4- ^A, =: 2*Bi — ^1, ^B, — 2^A2 = — ^B, — 2^A„ 
dalle quali si ha Bj = — ^^ — =- -^ , A, = -- — ^— : e, por 



O^ OJ 



che <f i(l) = 0, ^2(1) = 0, si trova Bg = 0, A3 =0 e quindi ancora sxo 
zero i coefficienti seguenti, e si ha così in termini finiti rintegrii 
generale della proposta equazione 

V =1 A,+ -^^ — ^;r cos(logA;)4- B, + -^ — ^- ^-^x sen lo.r 

ba j |_ oa _ 

Esercizi. 

1. y — oLx*"^ = 0; è la equazione considerata nell' esempio al d.2? 
se « è intero positivo avremo, applicando le formole del n. 2.i. 
l'integrale generale, per qualunque valore di x^ 

)l-4_V 



/=c,i+ì: 



l ,=i(«tl)(«+2)(2w+3X2« + 4X3« + 5X3«+(3)..(r«+2r-IXr«-:'* 



+qW£-— ^, 



a'-A?'-{«-+-2;-i 



/ r=i(w-f 2.)(w-r3X2« +-4)(2//-f 5 (3«-h6K8«-h7)..(r«-i-2rXr«-::r- ' 
ovvero 

^, ( r. a** AT'"' "-J- -' 



r-i ri («-f2)'-(;/ + 1) (2w +3)(3w x 5) . . . (r« 4- 2r — 1 ^ 
4- CoA'< 



v^i -4- y 

^ \.^] r!(;/ + 2)''(;/4-3)(2«+5)(3w-f7),..(r« -^2r-r 1)^ 

2. jr>'" 4- 2^/ 4- /;/J7 zzz ; 

^^~ V "2"(2;/+Tl 2.4(2«-f r)(2// + 3)~2.4.6(2// + l)(2«-f3)(2//*T"' 

» 

4-C9A'^ --"(1 - . - - r + . _ 



?.4 ^,3_y6 



^ 2( 3-2a/) "^ 2 . 4(3-2«} (5-2«) 2.4. 6(3-2//) (5-2«) (7-Jv 



w^ 



^ ■ ""'I 



625 



Per 2« = =tl, ±3, ±5, zt:7,... si perde un integrale partico- 
lare che si può riacquistare come abbiamo visto. Cosi per 2n = 1 
abbiamo 

Per n = l è / = ~ [Cj sen (a:\/w) + Cj cos (;ir\/ /w)J. 

3. Integrando per serie, e poi mediante una semplice trasforma- 
zione, la equazione 

(1 — x^)y — xy -f- a^y =z , 

si dimostrino le notevoli formole, dovute ad Eulero , 

a^ aHa^ - 2*) a^ (a" - 2«) (a^ — 4') 

cos(^arcseniv)ii=l — ^Ar*H — ^ — ; — -x^ ^ —~ -x^ - 

2 ! 4 ! 6 1 



• • • 7 



i "'-1' -^ . (a' - 1') («' - 3') , 
sen (a are sen x) = a<x 1^ ■+- ~ — ** 

^ t 3! 51 

valevoli per \x\ < 1. 

Usando il teorema sulle serie nella nota a pag. 621 si potrà 
anche provare che valgono per | ;r | = 1 . 

4. {x—x')/ + {l — 3^:')/ — A-^ .=: (Vedi voi. I, p. 219). Per \x\ < 1 
abbiamo un integrale particolare 



"-M^'-<Mr"Hm'"^-<'i^f:^) 



x*"^ 



Si provi che è 



2 







V- 



4(1 



626 



— — ■ ^ =: K' è altro integrale partico- 



lare, cosichè l' integrale generale è ^ = C, K -4- Q K'. (K , K' si 
chiamano gli integrali ellittici completi di prima specie, od aucbe 
i moduli di periodicità delle funzioni ellittiche di Abel e Jaoobi). 

5. xy — {x" + Ax)y + Ay = 0\ y=C^xW + C^x* ^ |-t— 

8 _8_ 

6. x'^/ — cV = , x~y" + c^y = 0\ 
integrali, rispettivamente, 

]_ _2_ L _L 

^ = Ci e-^^-^ •-' {x + 3^.v «^ ) + C« ^3^-*- "3" (ScA-"^ _- x) , 

_2_ 1_ __l_ 

y =: 3tA: a [Cj cos (3cAr ^ ) — Cj sen (3^;r 3 )] 

+ X [C, COS {^cx '•^ ) — e, sen (3cjc ^ ) ] . 

7. xy' +y -\'ax^^^y^=. 0; qualunque siano ;i: ed « è 

y = (C. log . + Q) jl +1 (- ly 2^^S^| 

8. Della equazione x\a -f- ^a-*»)^" -f- .x(c -+- ex'*)y' + (/H-^'»");»^'^ 
si può calcolare un integrale in termini finiti se ?— ra=:r«, do« 
r è un numero intero positivo (negativo) se «>0(«<0), e a.- 
sono radici rispettivamente delle equazioni a{'~{-(c — a){-\-f=^^^- 

Così ad es. : V equazione x^{a + bx^)y'' + axy' — \(iay = am- 

.. n . 1 1 5*1 5 *« 

mette 1 mtegrale y = — r- H r- H , e la equazione 

X* S a x^ Sa' 

x^y" + (x -\- x'^)y* -h (x — 9)^ = l' integrale 

12 1 11 



^ ~~~~ O V 



x^ b x'^ 20 a: 



627 

9. (l — **)y' — 2xy + «(«-f- 1)^ = (Equazione di Legendre). 
Per |Ar|>l è 

«(« — 1) , «(« — 1)(« — 2)(« — 3) 
•^» 2(2« — 1) 2.4(2« — 1)(2« — 3) 

«(„_l)(;;_2)(«-3)(«~4)(a--5) 

<* ~i~ • • • j 



2 . 4 .6(2;/ — 1) (2« — 3) (2« — 5) 

, .n . («+lX«+2) ,,, («-fl)(«+2)(«+3)(«+4) , _,,^ 
* ^ 'J(2«+3) ^ l\4(2«-f3)(2«+5) ^ 

Se « è intero positivo ^^ si riduce ad un polinomio, se « intero 
Degativo vi si riduce y^ , se 2« è un numero dispari positivo o nega- 
tivo si perde un integrale particolare. 

10. x'^y -\-xy + (x^ — n^)y=zO (Equazione di Bessel). 

^ i X* X* x^ ^ 

^^^"^ i ' 2^(n + 1) "^ 2 ! 2\n + 1)(« 4-2) " 3! 2>-hl) («+2)(«+3) ^ "* 

e ^2 si ottiene da y^ cambiandovi « in — //. Se « è intero si perde 
un integrale particolare. 

11. x^ (1 + ^') y + x(\ — 3^:')/ + {\+ f>x'')y = , 
y = (Ci + CjAT*) cos (log x) + (Cj — Ci^:') sen (log x). 



Integrazione di equazioni differenziali 
mediante integrali definiti 

22g. Alcune volte giova tentare di soddisfare ad una data equa- 
:ione differenziale mediante integrali definiti, che contengano come 
)arametro variabile la variabile indipendente della proposta equa- 
ione. Ci limiteremo solo ad un cenno di questo importante metodo 
li integrazione. 

Si abbia una equazione della forma 

+ *o*)y "> -1- (^1 + *i ^)7^''"^ ' +' •+ (^«-1 H- *«-i x)y + {an+bnx)y=0, 



1 



628 

ossia , posto -r- = D , 

dx 

(1) x:f(D}y + '^{D)jy = 0, 

dove 9 , '^ sono simboli di funzioni razionali intere di grado ». 

Cerchiamo se si possano determinare i limiti ^ y?, indipeodeuti 
da Xj e la funzione T di / in guisa che 

(2) y=l e^-i Idi 

a 

risulti integrale della proposta equazione. Osservando che 

? 3 

1% • 

f = I e^^tTdt, y'zzzj e'^t^ Idi,... 

oc a 

il risultato della sostituzione del valore (2) di y nel primo membro 
della (1) è, tenendo conto di note proprietà del simbolo D, 



(xe^i 'i[t) Tdt + I e^t -^ (/) Idt , 



a a 

ossia, integrando per parti il primo integrale, 

d 



[.-^:p(/)t] -j>[— }^(/)Tj-4.(/)T]rf/, 



a a 



che sarà zero, e quindi il valore (2) di y sarà integrale della (I 
se determineremo la funzione T mediante la equazione 

(3) ^|^(/)Tj-+(OT = 

da verificarsi per i valori di t dell'intervallo (»,?), e i limiti ». 
in guisa che sia 

(4) [^-^?(/)T]i=0. 



629 



Scritta la (3) nella forma 



'^)^(0Tj-^9(OT = 0, 



dt '^^ ' ' cp(/) 
ricaviamo da essa 



(/)T = C^V^U) \l = —^eJ' 



- dt 



9(/) 



dove C indica una costante arbitraria. 

Determinata così la funzione T di /, cercheremo valori di a , ? 

in guisa che sia soddisfatta la (4j , cioè [O ^('' J=:0. Se si 

a 

trovano questi valori a , ;j di /, allora la (2), dove T , a , ^ hanno i 
valori ora trovatij è integrale della (1). Altrimenti giova procedere 
nel modo seguente. Preso un certo valore costante )^x , sia ?i un valore 

li ty indipendente da x^ tale che per /=: ?j risulti e ^<') z= ji,, e 
siano analogamente ^s , P3 ^ . . . valori di / tali che sia 

Allora si riconosce subito che 

H il 

5) y = ^\\ ^-^' T J/ + C2 i c'-^ T^/ + . . . 

HI Hi 

i integrale della (1); se tra le costanti Cj , C^ , . . . si stabilisce la 
dazione 

C,(m2 — jxi) + Ci(|i3 — •!,) + ... = ; 

losichè se i termini nel secondo membro della (5) saranno « -f- 1 , 
a (5) ci darà l'integrale generale della proposta equazione. 

Esempi 
1) Sia la equazione xy" -f- c^y — ìrxy = 0. 

Qui è ?(/) = /'-*^ ■;(/) = </, /^i/=-y log (/'-*'), 



630 



U2 



1 

quindi T = — ~ (/« — ò'')~ = (/« — b')~ "^ . Per determinare i 

fi 
limiti deirintegrale osserviamo che la equazione £?*'(/* — ^*)- =0è 

soddisfatta da t = ò^ /= — ^, ed inoltre, se a:>0, da /=r — x,e, 
se .r<0, da /=x; cosichè abbiamo l'integrale generale della equa- 
zione proposta 

-—-—1 ;' Jìl_i 

^ = Ci I (/' — ^-) -^ 6'^^^/ + Cj I (/- — b^) -i ^'' ^/ per jc > , 



— X 



«l« _1 "^ — -1 



j>; zz: Ci I (/' — *-^) '^ e^^di^C^ I (/« — *«) ^ ^''^/ per :r <0 



— fc 



2) Sia /«) — ;9; = 0. Qui è :f(t) = — 1 , •!(/) = ^", q^i^^ 



a:/- * 



T= e «-H^ ; la equazione e «+i nzO è soddisfatta da ^ = x e J 

X/— r 

^ «-l-iizrl da / = 0; cosichè il risultato della sostituzione i 

I e "+i dt in luogo di y nel primo membro della equazione prò- 
I 

posta è uguale ad uno. Osserviamo che la funzione T non camb'i 
ponendo w/ in luogo di /, dove oj indica una radice (n-^xyàiàr 



* in4-\ 



l'unità e il risultato della sostituzione di i ^ «-r^ J{to/) perj» 



primo membro della proposta è uguale ad uno. 

Da quanto precede si scorge facilmente che, se w indica tJ 
radice primitiva {n + \Y dell' unità. 



» i«_l_1 00 



/«-fi * i«+l =^ /t-^ 





H- (0« Cn / ^ «+^ A 



631 

è l'integrale generale della proposta equazione se tra le costanti C 
poniamo la relazione 

Si potranno poi fare sparire gli immaginari dal secondo membro 
del precedente valore di y. 



Esercizi 
1. x/' — (a — ;$) (l-h X)/ — CL-ixjf = , p > a > ; 

H-CjI t?^^(/- a)"a-f-;j {t+p)'-^T? dt 



— * 



se ;if>.0; se ;c<0 si cambiano i limiti del secondo integrale in 
< ■ 
2. xy" 4- ^^' + ^«^cy = , ^ < ; 



a , oc . 



^1 t/ 



;•=€,/ ^r-^n^'+^'r- 'dfrC,le"(f'~b°)- 'Ì/+C3 /«''(/«+*') ^ * 



—X 



Cj+Q-hCszrrO, 



ovvero 



h 

y= (b^ — ««) 2 [C cos(//;r) H- C3 sen(tt;r)l du + CJc'Ht^ -f- b') '^ di , 







X 



se ;c > ; per x<0 , si cambiano i limiti dell' ultimo integrale 
in , 00 . 

3. xy" — axy 4- {« -f- m 4- 2)/ ~ (,/ 4- 1) ^^ — , ;/i -h 1 > , 
« -H 1 > 0. 



^ 



632 



— 00 se Ar>0, H-oose .*<0; 
in particolare, P integrale della xjy" + (2 — ax)y — <2y =r è 

X 

4. Le equazioni della forma 

x^y + (^, -4- b^ x"*") xy + (^ + hx"^ + ^*'~)>^ = 0, 

posto a:»» == / , ^ = /* ^ , dove k è determinato dalla equazione 
w*^' -h (^i — 1) ^w + <? =1 0, si riducono alla forma, considerati 
nel testo, 

mH -j\ + [2w'>& + m{fn - 1) -f- w^^ 4- mh^t\ -^ + (wA*^ -f ^ -r-^/ì ^ =^ 0- 

5. y -f- arx'^'^—'^y i= ; qualunque sia ;w, purché non appartenente 
all'intervallo (0,1), è 

y = 1 (a* - n •■="■ i^C, cos (-^ j + Q sen (-^ jj A 









txfn \J^m 



+ C^le^ {t^ + a^} ^'" ^/, se— >0, 

— oc 

e se — <0 si cambiano i limiti del secondo integrale in , x . 
m 

od anche 

/ _±r^ /v"' — — 

^= (^« — /«) ^'« cos — [Cj 4- CgArm (a« — /«)"««] J/. 



>arziali che contengono le derivate rap- 
porto ad una sola delle variabili indipendenti, ed equazioni 
a derivate parziali lineari con tre o più variabili. 

330. Le equazioni a derivate parziali nelle quali non compari- 
cono che le derivate della funzione incognita rapporto ad una sola 
fille variabili indipendenti si integrano, come è chiaro, coi metodi 
li integrazione delle equazioni differenziali ordinarie, considerandovi 
ome costanti qnelle variabili indipendenti, le derivate rispetto alle 
uali non sono contenute nell' equazione proposta, e ponendo, nel- 
' integrale che si ottiene, una loro funzione arbitraria in luogo della 
ostante arbitraria. 

ESEMPJ. 

Integrando, considerando ^' , <,... come costanti, abbiamo 

• = <-i"-"- *j/ !(«,>,{.... ).'■" ■ • • ■ ■■ ■"' A + -ilj . t.-)i 

love 3{y,^,...) indica una funzione arbitraria di >',{,.■- 

'^) [^ y ^* —y^x (è una equaz. di Bfrnoulli rispetto a ^ e *). 

L'integrale è 

love -{jr) indica una funzione arbitraria. 

a) /,0',oU+/.(7-ìi-^+/3{^-{)"-o; 

Pintegrale è 

JDve a, , a, sono le radici della equazione 
e f I , Tj indicano due funzioni arbitrarie. 



-7^ 



634 

231. Consideriamo ora le equazioni a derivate parziali di primo 
ordine fra tre variabili, che contengono linearmente le deri\-atc par- 
ziali, e che si chiamano perciò equazioni lineari^ cioè le equaziofli 
della forma 

(1) P/ + Q.^ = R, 

dove P , Q, , R indicano funzioni di a: ,^ , ;[ e /> = — ^ , ^ = -^ 

Le equazioni (1) possono immaginarsi generate nel modo sr 
guente : 

Siano a zz: a(;c ^y , {), ^ = 3(jr ^y , {) due funzioni determinate dì 
x,y^:{\ stabiliamo tra esse una relazione arbitraria {-(a,p) = 0, £»■ 
siche una delle variabili, la {, si possa considerare come fimzi« 
delle altre due variabili x ^y. Abbiamo allora^ derivando rappos* 
ad jr e ad y^ 



(2) 






dalle quali equazioni rimane eliminata la funzione arbitraria ? e solo 

in esse compariscono le derivate — , — . Eliminando ancora qc^ 

3a 3; 

ste derivate si ottiene 

3x 3^ . 9a 9a ; ì 3a 3a I ! 3a 3x ; ì-^ h ^^ 



3? , 3.i . 3.3 , 33 

^x a{ ^ ^y -èi ^ 



3{ 3/ i 3^ 3{ , , 3a- 3; 

I 
33 3.3 1 33 33 



3l 3^1 \'èx 3{ 



ìx ì) 



che è una equazione della forma (1). 

Ciò premesso, è naturale, per integrare la equazione (1),^*^^ 
se sia possibile trovare due funzioni a (^ .^ , ^) , f> (^ ,^ » {) ^* ^ 
la .{ determinata da una relazione arbitraria tra esse ?(3t,p)— ' ^ 
disfaccia alla (1), cioè sia tale che i valori ò\ p ^q che da qa 5^* 
ricavano, ossia quelli dati dalle (2), soddisfacciano alla (l)qua'iB?^ 
sia cp. Ora sostituendo i valori di / , ^ ricavati dalle (2) ne' 1 1''» 



635 
quest'ultima diventa 

|^(pf + CL|- + R^)H-|;(p|- + Qf + R|-) = o 

a» \ 3^ dy d{/ dfi \ d^ dy d{/ 

e questa sarà soddisfatta qualunque sia la funzione ^, se le funzioni 

a , ji saranno tali da rendere nulli i coefficienti di — ^ , — , cioè se 

3» ' 3.^' 

esse soddisfaranno alla equazione 

e la integrazione della (1) è così ridotta a trovare due funzioni a , ^ 

di ^,jVj{ che sostituite in luogo di h nella (3) la soddisfacciano. A 

tale scopo osserviamo che se B = e (;i: ,^ , ^) è tale funzione di ^ ,^ , -{ 

che si riduca ad una costante ove per jv , ^ si pongano integrali delle 

dy a dz R 
equazioni simultanee -—==-—■ , _3_::^ (si suppone P diverso da 

zero, una almeno delle P,Q,,R dovendo essere tale), cioè se 
♦*= costante è integrale di queste equazioni, allora se in 

je = — dx-\ dy-\ dz = dx f- -\ 7^ 

3^ dy d{ ^ Idx dy ^^ 3{ dx_ 

' dy dz 

sostituiamo a -v- ^ — r- i precedenti valori avremo J e = . ed ot- 

dx dx 

39 30 3^ 

teniamo cosi appunto — P H Q.H R = , cioè la funzione 

9 A" ^y ^^ 

e(jr,7,;{) soddisfa alla (3). 

Da quanto precede si ricava ; 

Per trovare un integrale della egua{tone lineare 

Pp + Q.q = R, 

si trovino due integrali^ risoluti rispetto alle costanti^ a(x,y,z)-Ci, 
? (x , y ^ z) = Cg , del sistema di equaiioni differen:{iali ordinarie 
dv ' Q. dz R ,^ ^. , . , . . ... 



dx P ' dx 


P 


^1 utvcr^v uà 


^e,v) 


liei sistema 












dx dy 


ài. 






P Q 


R ' 



636 

ed allora cf(a , 3) = 0, dove :p è una funzione arbitraria^ e un inU" 
graie della proposta equazione, 

È anzi l' integrale generale^ perchè qualunque altro integrale 
^(;r,^ ,-[)=i:0 della (1) ne è caso particolare, corrispondente ad una 
certa forma particolare della funzione arbitraria ?. Invero, avremo 

e sostituendo i valori di /> e ^, che da esse si traggono, nella (li. 
dovremo avere, poiché '+ = ne è integrale, 

pii + Qf + Rf^^O; 



3^ 



ma abbiamo altresì 



a* 3^ 3^ 



il 

3Af 



37 3^ 



ed in conseguenza 



3> 


3+ 


3+ 


3^ 


3/ 


3{ 


3' 


a» 


3a 


3* 


3/ 


3{ 


3^ 


3? 


3? 



1=0; 



3^- 



3/ 



3{ 



cosichè, essendo nullo l'Jacobiano delle + , « , Ji rapporto alle ^"a^i- 
bili .jv ,^' , ^ , dovrà tra le funzioni ^ , a , ? passare una ceita relazione 
'4^ z=: /(a , |3) , e r integrale c^ =r si ricava perciò dall' intec^t 
'^ a j g) =z: prendendo la funzione arbitraria ^ uguale alla / 

232. In modo completamente analogo si procede riguardo a>c 
equazioni a derivate parziali di primo ordine lineari fra quan ^^ 
vogliano variabili. Indicando con />i 7 A > • * • A ^^ derivate di ' ?" 



|)orto, rispettiva menle, ad xi,Xj,...x«, e con Pj , P, , . . . P„ , R à 
funzioni di Xi ,Xf,. . .x^ ,^, abbiamo la regota seguente: 

Per integrare la equazione a derivate parziali lineare di pi 
tràine 

PiPi + PtP. + -- + P-P» = R 
h' formi il sistema di equazioni differenziali ordinarie 
dx, dx, dx„ dz 



iix, , X, ... X, , k) = e, , a,(x, , X, , . . . x„ , z)= Ci , ■ . , «„(xi , X, , . . x„ , z) 

ii sistema di equazioni integrali risolute rapporto alle costa. 
allora 

if(i,,at,...^) = 0, 

dove if indica una funzione arbitraria, è V integrale generale i 
proposta equazione a derivate parziali. 

La funzione arbitraria 9 potrà essere determinata da speciali 
dizioni. Così, ad esempio, si potrà porre la condizione che 
X, = x°, la { divenga una data funzione 

?=/('.,'..--■'.) 

delle altre variabili x^jX^,. . .x„. Dovremo allora determinar 
forma della cp in guisa che per *, ^::v,° la equazione ^ = sia 
disfatta da {:= f{x^ , x^ , . . . x»). A tale scopo poniamo 

a*. ;^ a, litr", .a', , ;r. ,,,,*„,/(*[ ,*a ... . Xn)^, 

a°i ^= a, [*",,«,, ar, , ... *, ,/{^i , ^^3 , . . . Jr„) ] , 



eliminando a:, ,«-3 , . . .*» tra queste equazioni otteniamo. un risu 
della forma ■.{j(a''i ,a*, ,, , . a",):^©, cosichè, essendo identìcamei 

* i ". [»•, , '„■■■ '• , /(«. . '. .■•• '.)1,- '- [«•,,»,,...»„/(»,,... «.)] 1 : 



1 



4i 



638 

ove si prenda per 9 la funzione '^ ora determinata, sarà 

r integrale richiesto soddisfacente alla voluta condizione. 

Esempi 

1) Per integrare 1' equazione a derivate parziali lineare 

{x^ — / — -{*) /^ + ^^'^ = -^^ 
si formi il sistema ausiliario di equazioni differenziali ordinarie 

dx dy d:^ 

x^ — y^ — :i^ 2xy 2xi 

per integrare il quale osserviamo intanto che la equazione 

dy ^^ » y 

— — = \ ci dà — = Cj ; ponendo poi ^' := Cj^ nella 
/ixy t^rX^ z 

dx dz ,. . dx d{ 

—i -> T =1^ — > ^ss^ diviene — ,. , ^. . . = -^-. q» 

zione omogenea, il cui integrale è ^ = Q So^ 

tuendo per C^j il suo valore -^j abbiamo =C,r «^ 

unitamente a — = C, forma il sistema degli integrali risa.:: 

rapporto alle costanti del sistema ausiliario di equazioni ditfererjiii 
L'integrale generale della proposta equazione a derivate panisi- 
perciò 



.(^^±^,f)=o. 



dove «r è funzione arbitraria. 

Si osservi anche che questo integrale può porsi sotto la fcO 



*(^^^t^,f)=o, 



r 



639 
jve '4^ indica funzione arbitraria ; basta notare che 




Se si volesse che per x z=z fosse ^ = >'* , posto 
=: , jJ = — , avremo che , per x = ^ i=-y ® 

= 1 -\- y^ ^ }=■ — , dalle quali, eliminando ^, si ottiene 

y 

= 1 H ^ . Prendendo quindi cp(a,^)=:a — 1 —^ si ottiene 

r p 

=^^ ^^ = 1-1- -V 1 che ci dà l' integrale particolare richiesto 

?ente la proprietà che il valore di :{ , che se ne ricava, sia { =^* 
er a: = 0. 

2) Equa7[ione a derivate parziali delle superficie cilindriche, — 
i vogliano determinare quelle superficie il cui piano tangente in 
gni loro punto è parallelo ad una retta x=ia^^ yz=.h{ (superficie 
ilindriche). L'equazione del piano tangente in un punto (^ ,>* , ^) 
sseodo 

Z-^=/(X-*H-^(Y-^.), . 
1 condizione che esso sia parallelo alla data retta è che sia 

ap-\-hq = \^ 

questa è T equazione a derivate parziali di qualunque superficie 
ilindrica. 

Per integrarla osserviamo che dal sistema ausiliario corrispondente 

dx dy d\ 

\ ricava x — ^-^ = Cj , ^ — ^{ = ^8 e quindi V integrale generale , 
ssia l'equazione di qualunque superficie cilindrica, è della forma 

cf(^ — ^{, jv — ^0 = 0. 



640 

Si voglia determinare la funzione 9 in modo che il ciliadro pa» 
per la curva 

Posto X — a;f=ra, y — b{ =: 9 ^ queste equazioni diventano 

dalle quali eliminando { otteniamo una equazione della forma 
F(a,p) = ossia F(x — aj^^ y ^ b(^ = . 

Dovremo quindi prendere per ^ la funzione F. Cosi se si vuole dt 
il cilindro passi pel circolo *•* +y^ -\-^ — r* = 0, ^^=0, elim 
remo { tra le equazioni (j{ + a)' + {bi+ ff + ^^ = r^ e ^ =0 
nendo cosi a' + ^' = r^. Il richiesto cilindro è quindi 

3) Equazione a derivate paratali delle superficie coniche, cioè 
quelle superficie il cui piano tangente, in ogni loro punto, passa 
un punto fìsso di coordinate (^ , ^ , e), V equazione del piano 
gente essendo 

l'equazione a derivate parziali di tali superficie è 

p{a — x) + q{b—y) = c — i, 

il cui sistema ausiliario è 

dx dy ^^ , 

a — x b — y e — { ' 

r integrale generale è quindi 



\b—y c — i{J 



equazione di qualunque superficie conica. 

4) EqUa{iofte a derivate parziali delle superficie di rei 
Definiamo queste superficie dalla proprietà che la normale a 
loro punto (^ ,^ , {) 




641 

incontri una data retta, l'asse della superticie, che supporremo pas- 
sante per l'origine delle coordinate 

aX-]-bY + cZ = 0, aX + b'Y + c'Z = Oi 

eliminando X ^ Y , Z tra le quattro equazioni precedenti abbiamo 
l'equazione a derivate parziali delle superficie di rotazione: 



b e 

*' e' 

p x + p^ 

1 9 y + <ii 



= 0, 



ossia 







pim^ — ny) + q{nx — /{) '=ily — tnx , 



avendo posto l=icb' — cb , m = ac — ac , n = ba! — b'a. 
Delle equazioni ausiliarie 



dx 



dy J{ 



Idx + mdy -\- nd^ xdx '\-ydy + \d:{^ 



M{ — ny 



nx 



l\ ly — mx 











[riguardo a quest' ultima notazione si vegga quanto è detto a pag. 589) 
abbiamo gli integrali 

lx + my + n{ — Ci, x^ +/ + ^« = Cj , 

5 quindi l' equazione generale di qualunque superficie di rotazione, 
il cui asse passi per V origine^ è 

<f{Ix-\-My-\-fi{, x^+y^ + (^) = 0. 

5) Si voglia determinare quella superficie per la quale, in ogni 
njo punto, il punto di mezzo della parte di normale compresa tra 
a superficie ed il piano Z = è situato sulla superficie cilindrica 
>arabolica Z* = X + Y. 

Le equazioni della normale nel punto (x^y^i) della cercata 
;uperficie essendo 



X-;r-h/(Z-O = 0, Y-^ + ^(Z-;C) = 0, 

Pi 



e coordinate del detto punto di mezzo sono x 



yy 



"2 ' 2' 
41 



642 

e dovremo avere perciò 

-J- = ^-hY-+^ + |^ ossia 2iP + 2iq = ^ — 4ix + fy 

che è I' equazione a derivate parziali della nostra superficie. 
Le equazioni ausiliarie essendo 

dx dy d^ 



2t 2i ^^-A{x+y)' 

dx dv 
avremo subito x — y = C, dalla equazione -; — = —-; e l'altra equa- 

dx di . dx dz 

zione —- = -— si riduce allora alla -— = 



dz z 
cioè alla — >- = (2Ci — 4Ar){-i, equazione di Bernoulu, il cai 

integrale, risoluto rapporto alla costante, è ^-^[^* — 4(a:+/) — 8]=:C.; 
cosichè le superficie richieste hanno una equazione della forma 

^{x — >', e-^(j^ — 4Ar — 4/ — 8)] = 0, 

dove 9 è funzione arbitraria. 
6) Data l'equazione 

X^X^X^lp^ -\- X^X^X^lp^ + ^4^r^8{/>3 + X^X^X^lp^ = X^X^X^^, 

formiamo il sistema ausiliario 

(ilvi dx^ dx^ dx^ d^ 

^i^S^il **^3^4"^l^ ^'i^l^i^ '^l"*2'*'3f •*'l^l'^8'*^4 

il sistema integrale essendo, come subito si vede, 
l' integrale generale della proposta equazione è 

Esercizi 

1. Equazione a derivate parziali lineare xp — yq=iOi integ le 
generale ^{xy , ;^) = 0, dove ^ indica la funzione arbitraria. 




043 

5. [/«(;r +>>) — n{x + {)] / + [n{y + ^) — /(^ + ^)] q 
= /(^-h^)--w(;[+^), ^(Ix+my+ni^ xy-\-yi + ix)=iQ. 
^- (^— {) V-V+k— ^)VY^=(^— /)VZ, dove X=:^-f-2*Ar + c;t^ 

4VX+ VY+ VZ, (*+^*+ V^X) (*-h9'+V^Y)(^-hq+V^^)] = 0. 

7. Determinare la superficie per la quale la distanza dall'origine 
delle coordinate a un suo punto qualunque M sia uguale alla distanza 
dalP origine al punto d' incontro coli' asse delle ^ del piano tangente 
in M alla superficie stessa. 

La equazione a derivate parziali di tutte le superficie soddisfacenti 

alla data condizione è xp +yq = { — \/x^-\-y^+i^-i e le loro equazioni 
in termini finiti sono contenute nella (?( — , ^ 4- V^' +^* + 'C' ) ^^ ^•• 

Tra queste superficie quella che passa pel circolo x=ib^ y*-\-:^=za- 
ha per equazione 

x'+y 



p-V' 



2v^*+**k+v^'+/ 4- {')-({ + v^*+y+{7=^* 



8. Determinare la superficie per la quale la distanza da un suo 
punto qualunque M al punto N di incontro del piano tangente in M 
coli' asse delle x sia uguale alla distanza dall'origine delle coordi- 
dinate al punto N. 

Eq. a der. parziali '2iixp ^ yq) = {* — x^ — ^'; equaz. delle super- 



ficie 



u ,(i , 



y x^ +/ + i' 



j =0; quella tra queste superficie che passa 



per la parabola ;{:=0,^*=:;t: ha per equazione (;t*-|-^'+{*)y=.Y(^'-|-^'*i. 

9. Si dimostri che tutte e sole le superficie date dalla equazione 

X* -|_^ =: c^^^ dove e indica un parametro variabile, appartengono 



644 

alle superficie di rotazione definite dalla equazione yp — :r^=Oe 
alle superficie coniche definite dalla equazione xp +yg = {- 

10. Le equazioni delle superficie che segano ortogonalmente Tellis- 



X* y ^ {* 



soide — r- + 4i- + -V = 1 sono contenute nella equazione 
a^ b^ C" 

<p| — 7 , "^—A =0, dove 9 indica una funzione qualunque. 

11. L'equazione a derivate parziali delle superficie^ che segano 
ortogonalmente (superficie traiettorie ortogonali) le superficie del si- 

stema f(x .^ , ^, ^z) = {a parametro variabile), è la -^p-\-— ? = -7 

dove si sostituisca per a il valore ricavato da f{x ,^ , ^ , a ) = 0. 

1) Siano le sfere (x — af -\-y^ + ;^* = tf* -+- >t*, aventi i centri sul- 
l'asse delle X e passanti pei punti di coordinate (0 , , >è), (0,0, — i); 
r equazione a derivate parziali delle loro traiettorie ortogonali è 
(ar* — y^ — ^* -h ^*) / -h ^xyq = 2;f-{, e le loro equazioni sono date 

(y x^ + >' + t' + '^^ \ 
— , I =: 0. A queste traiettorie apparten- 
gono le sfere del sistema x*- -\-(y — nif -\-(^ — «)* = w* + «* — i% 
dove tn^n indicano parametri variabili. 

2) La equazione a derivate parziali delle traiettorie ortogonali dei 
paraboloidi di rotazione x"^ -\-y^:=2ai è 2Af{^-h2>'{^-h;t*+^*=0, 
e le loro equazioni sono contenute nella 



<f-" 



+/+ 



2{)=0. 



A queste traiettorie appartengono gli ellissoidi di rotazione 
12. Equazione a derivate parziali lineare 

^\Pi +{i + Xz)Pt + ({ -f" *i) A = *i -h *3 ; 

integrale generale cp(ai , «g , «g) = dove aj =z 1 ^ ; 

«2 = x^{i — ^g), ag zi= x^{i — ATg). Se per ^ = si vuole che i 
^1 + A-j + jTg = 0, dovrà essere ^i\'^t + ^^=^^ cioè 



(■^2 + A-3 4- (f (2^ — ^j — ATj) = Jr^^ 



645 

+ . . . -|-(^ + *1 -i- ^2 + . . 4- Xn-l)p„ = X^-^Xt-h..-{-Xn] 

c(a, ,a, ...an) = 0, dove a^ z= u(xi — {)"" ^ a^ = tt(;Vj — - ;^)« , . . . 

fXu=^u(Xn~^Y avendo posto u = x^-\-X2 + ... + Xn + {. Se per >^=0 

deve essere x^"" + x^"* -^ . . . + Xn"" = l y dovremo avere 

— JL _L 

(«l + CX« + . . . O^n)'"^^ = («!"+«•«+... + «««)'*, cioè 

(*i -h ^8 + ... -+- *n -f- ^)*' [(*i — ^)'* + (;»r, — O** • • • M^n — 0"]'*+^ 

= (jTi 4- ^j 4- . . . + ;ir„ — «;^)«. 



Equazioni a derivate parziali di primo ordine non lineari fra 
tre o più variabili. Integrale completo, singolare, generale. 

233. Consideriamo ora una equazione qualunque di primo or- 
dine a derivate parziali fra tre variabili 

(1) /(^,^,c,/«^) = o. 

Sia 
(2) F(x,y,i,a,ò) = 

una relazione in termini finiti fra le tre variabili ^ ,^ , { e due co- 
stanti a^b, che definisca i come funzione di x^y e delle costanti. 
Derivando rapporto ad ^ e ad ^ otteniamo 

3F 9F .^ 3F 3F .^ 

^ dx^ di^ a^ 3^ 

r eliminazione dì a ^b fra le equazioni (2), (3) dà per risultato una 
equazione della forma (1). Supponiamo che essa sia appunto la (1). 
La (2) dicesi allora Vintegrale completo della (1). 

Alla stessa equazione (1) possiamo arrivare supponendo a^b non 
più costanti, ma certe funzioni di x^y^^. Derivando infatti la (2) 



046 

in questa ipotesi, otteniamo 



1 



(4) 



' 3^ -f. 9!^ y, + 91 9i + 3^ 9^ ^0 

dx 9{ 3^ 3^: 3^ 3^ ' 

3F 3F iF_3^ 3F^^ 
dy d{ ^ da dy "^ 3* 9^ 



3^ 3^ 
dove — , — . . . indicano le derivate totali di ^ , ^ rapporto ad i 

3.» 3^ 
e ad y, V eliminazione di ^ , è fra le equazioni (2), (4) condurrà an- 
cora alla equazione (1) se si suppongono a^b tali funzioni che 
risulti 

^ ^ 3^ 3^ 3* 3.*^ 3^ 3^ 3^ 3^ 

alle quali equazioni possiamo soddisfare o supponendo a^b tali cbe 

3F 3F 

— = 0, —j- = 0, ed allora, sostituiti nella (2) i valori di tf , ^ che 

da 3^ 

si ricavano da queste ultime equazioni, la (2) si chiama 1' inicgrsk 

da_ 3^ 
dx dx 

da 3^ 



singolare della (1); oppure supponendo si abbia 



dy dy i 
affinchè ciò sia è necessario e sufficiente che tra le funzioni a ,h^ 
una relazione qualunque, cioè che b sia una funzione arbitraria d: 
a ,b^=:'i(a). Allora le due equazioni (5) si riducono alla sola 

3F 3F db ^^ . 1, 3F aF , , ^ 
-— -h -^ -^- = ossia alla -^ H- ^ qp (tf) = 0, 
da db da 3^ 3? 

che, quando sia data la forma della 9, serve a determinare la fini- 
zione a di a: ,jv , {. La (2) quando le ^ , i siano determinate in questa 
modo si chiama 1' integrale generale della (1). 

Riassumendo abbiamo: 

La F(;t ,^ , ^ , ^ , ^) = 0, dove « , b sono costanti arbitrarie è Tin* 
tegrale completo della f{x ^y ^^p ^q) = Q^ se, eliminando a ^b ^i^ 
F z=: e le equazioni che da essa si ottengono colla derivazioc ri- 
spetto ad ;ir e ad ^, si giunge alla equazione /=0. o alla h =^' 
dove IX non contiene / , q. 



647 

La ¥(x jjv , { , ^ 5 é) = 0, dove a , b siano quelle funzioni di .*• ,^ , ^ 

9F 3F 

che vengono determinate dalle equazioni — = 0, — r = 0, è l' inte- 

9^ 3^ 

graie singolare o soluzione singolare della /=:: 0. 

La F[x ,^ , { , a , cf(^)] =r 0, dove ^{a) è funzione arbitraria di a 

e la funzione a dì x ^^ ,i è determinata dalla equazione 

è P integrale generale della f=0. 

Si vede come gli integrali singolare e generale vengano subito 
determinati se si conosce l' integrale completo. 

Dimostriamo ora che qualunque funzione :( dì x ^y che soddisfa 
alla (1) appartiene o all'integrale completo o al singolare o al 
generale. 

Per provare ciò supponiamo, per maggior semplicità ed esattezza, 
che la equazione proposta sia della forma 

m 

il suo integrale completo della forma 

e la funzione { di ^ ,^ che soddisfa alla equazione proposta (6) sia 
della forma 

« 

Ciò non lede alla generalità, perchè la funzione f{x ,^ , { ,/ , ^) si 
può supporre ridotta al prodotto di più fattori della forma {=9(^,^,/>,^) 
ed analogamente per la F(^ >^ y^ ^^ 7^) etc. 

Ora abbiamo, per ipotesi, 



*<''>-'*>=<"''t'l) 



P ultima delle quali è soddisfatta qualunque siano le quantità a , é, 
anche funzioni di x ,j^. 



648 

Prendiamo ora le a ^b in guisa che risulti 

allora dalle (7) avremo 

(9) x(a' ,/) = '|(a: ,^ , a , *). 

Ora se i valori a yb pei quali sono soddisfatte le (8) fosseo 
certe costanti, la funzione 

sarebbe un caso particolare dell'integrale completo. Se invece quei 
valori di ^ , ^ fossero delle funzioni di x ^y, osserviamo che afloia 
dalla (9) si ottiene 

3x 3'+ . 3-; da d'^ 3* 



dx dx da dx d^ dx ^ 

dy dy da dy d^ dy 

e quindi, per la (8), 

34;^3f_3*3^__Q 919^.919^-0 
3j 3a: 3^ &v "~ ' 3^ dy db dy ' 

equazioni che corrispondono, nel nostro caso, alle (5), e perciò j.^ 
sono tali funzioni per le quali la { = x{x ^y) = '^{x ^y ^a^b) è l'int^ 
graie singolare o è compreso nell'integrale generale della (6). 

Esempi 

1) Dalla equazione iiziiax-^-by-^- ab^ ricaviamo p=ia^ qz=zb\ elimi- 
nando tra esse a , b abbiamo l' equazione a derivate parziali 

l~px + qy+pq^ 

della quale, perciò, i=. ax -{- by + ab è l' integrale completo. 
Ricaviamo i valori di ^ , ^ dalle 

ed allora -( = — xy è l' integrale singolare. 



649 
L' integrale generale è 

iove a è quella funzione ài x.y che soddisfa alla equazione 

X + ^(a) + (^ + a; ^\a) = 0. 

(x + 1»)* 

La funzione {; = ^^ — — ^^^ — soddisfa alla proposta equazione ; 

essa è contenuta perciò in uno dei tre integrali. Non è, come si vede, 
l'integrale singolare; per vedere a quale degli altri due appartiene, 

poniamo, seguendo il procedimento esposto, a^ — yb = — , 

la cui b=:a'y essa si ricava perciò dall'integrale generale facendovi 
p(a) = a. 

2) Dalla equazione 



10) ^ = ax + by + h\/l+a^ + b\ 

5 dalle sue derivate p=:a ^ q=,b ^ ricaviamo 



;ll) l=px + qy + h\/\+p' + q^. 

La. (11) è l'integrale completo della (10). 

L' integrale singolare è la (10) dove a , b sono date dalle 

ah ^ bh ^ 

- = 0,^H =0, 



yi+à' + b^ y\+a^ + b' 

:ioè è :r* +f H- {' = h\ 
V integrale generale è 

se tf si ricavi dalla 

x-\' +[y + —, — ^' '— ^ =) cf'(^) = o. 

234. In modo completamente analogo si procede per le equa- 
tioni a derivate parziali di primo ordine fra quante si vogliano 
variabili a? j , ^Tj , . . . ;cn , ^. E così : 



1 



650 
La 

F (^1 , «"j . . . ^„ , { , tf i , ^, , . . . <2„) = 

dicesi integrale completo della 

se eliminando le costanti jj , a^ . . . , a„ tra la F = e le 

+ -z-Pi =0? 1^ — + -r-A=-0)--- :; *-:r— A=^' 



si ottiene la /= , fatta astrazione da un eventuale fattore che oor 
contenga le p. 

La F rrz 0, ove le ^i , ^2 j ••• ^n siano quelle funzioni di x^ , jt, .«i,. 
{ che si ricavano dalle 



è l' integrale singolare soluzione singolare della /=zO . 
La 

dove qp indica una funzione arbitraria e le ^^ , ^^ 9 • • • ^«— i sono quella 
funzioni delle Xi ^ x^ ^ . , . Xn y i che soddisfanno alle equazioni 

3F^3Fa^^^ 3F_^3Fa^^^ _3^+3^_Ìl_=o 
3^1 3'^ 3^1 '3^2 3^ 3^2 ' 3^n-i 3? 3^«-i 

è r integrale generale della fz=0. 

Qualunque funzione ;^ di x^^x^^. . .Xnj che soddisfa alia /=0 
appartiene o all' integrale completo o al singolare o al generale 

Esempi 



1) Dalla 




(1) 


. ^ aU + a,^ 


^ ■"' 


ricaviamo 






a\ + a\ _ 

Pi— ^t > A - 
* 1 



+ ^2^-2 + ^3^. 



) A = ^« 9 A = ^ j 






651 

ialle quali, essendo già eliminata a^ , eliminando solo a^ , a^ ot- 
eniamo 

P\ -h fi\ 

^ i 

La (1) è l'integrale completo di questa equazione. 
Non esiste in questo caso V integrale singolare, perchè tra le 
quazioni che dovrebbero determinare a^,a^^a^ figurerebbe la equa- 

ione assurda — — = 1=0. 

L'integrale generale è 

love 9 è funzione arbitraria e a^ ,a^ funzioni di x^,Xfy x^ che si 
icavano dalle 

3? . ^2 .^ 3? . '^^3 



3^3 ^i d^3 ^l 

2) Sia la equazione 

2) log { -+- anJ^i = a^x^ -}- a^x^ 4- . . . -t- a^Xn , 
love tra le ;? + 1 costanti a passa la relazione 

3) (^i — 1) (^e — 1) ... («n — 1) = ^1^2 . . . ^n , 

:he riduce il loro numero ad n arbitrarie. 
Derivando otteniamo 

Pi = l^lìPt = t^2 , • • 'Pn = {^n 

)ssia 

ialle quali /lA • • «A = T ^1^2 • • • ^n , 

^ — {) (A — {)•..( A — ^) = ^* (^i — 1) (^2 — l)'"(an — 1) = {*• a^ a^...an, 

ì giungiamo cosi alla equazione a derivate parziali 

iPl — <){p2 — ^) • • . (A — ^) =PlPt '^'Pny 

Iella quale la (2)^ colla condizione (3), è l'integrale completo. 



652 

Non esiste integrale singolare perchè si dovrebbe avere la qa- 
zione assurda 1=0. 

L' integrale generale è 

log ;[ + qp(^l , ^« , • • • ^'«) = ^i^l +■ ^«*8 • • • -^ ^n^fij 

dove a^ è espressa colle a^^a^^ . , , an—\ mediante la (3) , la - è fun- 
zione arbitraria e le funzioni ^^ , ^7, . . . an—\ sono determinate dalie 
equazioni 

■" ~^ — ~z — — ^x'T- Xn -' j "T h ~ — — x<i -r '« -:;~" j • • 



1 



3^x 9^» 9^1 9^1 9^t 9^n 302 a^i 

3? ' ^ 3^ 3on . 3^. 



3^/1-1 3^n 3^«-I 3^1—1 



Integrazione delle equazioni a derivate parziali di primo or- 
dine fra tre variabili. Metodo di Lagrange - Charpit Iflt^ 
grazione di alcune equazioni a derivate parziali di primo 
ordine fra quante si vogliono variabili. 

235. Ci proponiamo di trovare l' integrale completo della esa- 
zione 

Se fossero noti i valori di /> e ^, la integrazione di d{=pdx-^^ 
ci darebbe la funzione incognita {. Ora questi valori sarebbero ctav 
scinti se arrivassimo a trovare frale nostre quantità x ^y ^^^p^q ìSì \ 
altra relazione | 

che fosse da esse soddisfiitta ; perchè allora le equazioni f^=-% ?^" ' 
ci darebbero i valori ài p^q espressi per at,^,^, e questi sarebbe?? 1 
tali che la equazione a differenziali totali i 

di — pdx — qdy = 

risulterebbe integrabile e la sua integrazione darebbe P integrale ri- 
chiesto. Tutto adunque si riduce a trovare la funzione ?. ' 



653 

A tale scopo osserviamo che dalle equazioni /=:=0, cp == si 
itterrebbe 

a* a{ 3/ 3* a? 3* ' 

3'*' , 3? . , 3? 3/ , 3?. dg ^ 
3* d{ dp dx di dx ' 

dy di^ dp dy dq dy 

3? , 3? , 3? dp , 3? 3? r. 
3> 3{ * 3/ 3^ dq dy 

lalle quali, eliminando - tra le due prime e poi — - tra le due 

ox Qy 

iltime, ricaviamo 

V;3l_'3/3?\ /3/3l ÌLÌL\ ■ ÌLlìLìl. 9/iiWo 

»» dp dp dxr^Kdi dp~ dp di)'^ dx \dq dp'dp dq/ ' 

iy dq ~ dg dy) ^\3? dq ~ dq d'i) dy \dp dp ~ dq dp) 

ommando queste equazioni, coli' osservare che —=: — —z=-—, ed 

dx d^y dy 

>rdìnando rispetto alle derivate parziali di <f, abbiamo 

^ \dx ^ d{/ dp \dy ^ d{/ dg Vdp^dq/ 



dq/ 3^ 



dp dx dq dy ' 



dquazione a derivate parziali lineare di primo ordine cui deve sod- 
lisfare la funzione. 9 delle quantità x ,jy , ^ ^p ^ q. Per trovare <? 
dobbiamo quindi determinare un integrale di questa equazione li- 
neare. 

Il sistema ausiliario corrispondente di equazioni differenziali è 

(5) 



dx 


dx d^ dp dq d^ 


3/~ 

dp 


jr (pdf ^ df\- df df - df df - ' 

3? V dp ^dq) 3* 3{^ 3^ 3{ * 



\ 



654 



perciò intanto un integrale di questo sistema è ? = C, e se -,=Ci, 
a, = Cj , «3 = Cj , a^ — C4 indicano gli altri integrali, l' integrile 
generale della (1) sarà «P [«p 1 <*i , *« , <*3 , «4] = 0. 

Ma a noi basta conoscere un integrale particolare, e quanto piò 
semplice sarà praticamente migliore, della (1), cosichè basterà coùo- 
scere, oltre 9 = C, un altro integrale del sistema ; basterà quindi 
integrare la più semplice delle equazioni contenute in (2) ; se 
ol(x ,jp ,i,p ,q) = C' è questo integrale, basterà prendere r (r t »> = ^' 
o più semplicemente qp = a — a dove a è una costante , coàcbe 
ol(x ^y ,i[jp ^q) = a è la relazione richiesta, che unitamente alla equa- 
zione data /= serve a determinare i valori di /> , ^- Riassumenco 
abbiamo la regola seguente : 

Per trovare l' integrale completo della equazione 

si formi il sistema di equazioni differenziali (2), e se ne tro^i an 
integrale 

dove tf è una costante arbitraria, tenendo presente di scegliere questo 
integrale in guisa che la funzione cp contenga almeno una delle quin 
tità /> , ^ ; allora ricavati i valori di ^ , ^ dalle /= , ^ =iO e sosti- 
tuiti nella d{ — pdx — qdy =r , si calcoli V integrale di questa equa 
zione a differenziali totali necessariamente integrabile ; quest' ultrmv 
integrale, che contiene due costanti arbitrarie, « e la costante d" intr 
grazione, è V integrale completo della equazione a derivate parzii'- 
proposta. 

Notiamo che potrà qualche volta essere più comodo determinare 
due integrali delle (2) , dai quali ricavare i valori di ^ , ^ che a 
sostituiranno nella equazione proposta, ottenendo così Tintegrale coir- 
pleto, qualora il risultato di tale sostituzione non sia che una reb- 
zione tra le due costanti contenute nelle espressioni di / , ^; nel qui^ 
caso tale relazione determina una delle costanti, e dopo 1* integrazicc;r 
di d^ — pdx-^qdy^nO l'integrale completo della data equazione. 

Esempi 

1) Sia l'equazione pq — hxy[^=iO, Le equazioni ausiliarie 5^ 

dx dy di dp dq 

q ^ p ~ 2pq ~~\yi + xyp) '" h{xi + xyq) ' 



F" 



655 
alle quali 

ydx — xdy gdp — pdq _ _ gdp — pdq 

-^— = ^-4 ^^ ossia ydx — xdy = ^ ' , 

qy -px Hi.^y-px) h^ 

nrero , osservando che in virtù dell' equazione proposta è 

ydx — xdy qdp — pdq 

xy ~ pq ' 

X P 

le, integrata, dà C — = -^ , la quale, unitamente alla proposta 

y q ' 

piazione, dà per ^ e ^ i valori q = ayy ^^ p = — x \/{, avendo 
«o . = ^ i. in cn.g„e„za .• „..zi™ 

d^ :=ipdx + qdy = — x\f \dx + ay \l idy , 

a 

saia -:r-r-'=^ —xdx + aydy 

Via 

t dà r integrale con)pleto della proposta equazione, 

l) '^V{ = — x^ + ay^-hb. 

a 

Q.UÌ parrebbe che non esistesse P integrale singolare perchè 

h 

osto /(x ^y j :^ ^ a ^ b) = 4 V{ x^ — ay^ — ^, si avrebbe la equa- 

a 

df 
ione assurda —=- = 1 = 0. Ma si osservi che la /(x ^y y^^a^b) non 

funzione univalente dei suoi argomenti contenendo il radicale V{> 
lentre che nella teoria esposta si è sottintesa la condizione della 
nivalenza per le funzioni ivi considerate. Per scoprire dunque se 
eramente vi sia P integrale singolare oppure no, eleviamo al qua- 
rato la (1) ottenendo così 

lO:^={—x^-{-ay'-^by- 



656 



derivando allora rapporto a b otteniamo 2 ( — x^ -^ ay'^ -\- b\ =0, 

cosichè, senza che qui occorra calcolare inoltre la derivata rapporto 
ad a, riconosciamo che vi è l' integrale singolare ;^ = 0. 
V integrale generale è dato dalle equazioni 



a ' a^ 



dove T è funzione arbitraria. 

2) Il sistema ausiliario per la equazione 

pq + p-\-q-^x+y-^yz=z(^ 
dx dy di — dp — dq 

q+\ ~ P-^i *~ "^pq+p + q "~ l-F/> "" 1-*-^ ' 



da cui dx:=z — dq ^ dy^rz-^dp e quindi q = a — x^ pzzzh—y, 
sostituendo questi valori nella proposta equazione abbiamo Tinte- 
graie completo 

1^=2 ay + bx — xy — a — b — ab \ 

si determina subito l'integrale singolare ^=1 — x — y, 

3) Tra le equazioni del sistema ausiliario relativo alla equazioie 

yp —xq — hpq == 
vi sono le due equazioni 



dx dp 


dy dq 


y hq q ' 


— xhp p ' 



che, in virtù della proposta equazione, diventano 

dx dp dy dq 
xq'~'~pq ' yp'^ pq' 

dalle quali si ricava p^^ax , ^ = V y^ essendo a , V costanti. S d- 
tuendo questi valori nella equazione data troviamo che tra le cos et: 
a , b* deve passare la relazione a — V — hab' := da cui ricaTr to 



- ; in conseguenza è 



la cui V integrale completo della nostra equazione 

« = -^ + 2(nrrf) •'"+*■ 

Manca l' integrale singolare ; e si trova senz' altro I' integrale 
generale. 

4) Si vogliano determinare le superfìcie per le quali il piano 
tingente in ogni loro punto («,^,{) tagli, sopra gli assi delle 
*,^,{, delle lunghezze OA,OB,OC tali che sia 

* . OA +>■ . OB 4- ^ . OC = h. 

V equazione del piano tangente in un punto (x ,/ , {} essendo 



V equazione a derivate parziali delle richieste superficie è 

-^ + -^-? ~ -0, 

il cui sistema ausiliario, posto per brevità it^px-^qy — ^ , è 

( 

^ dx dy di '^P _ ^ 



] 



658 

dalle quali si ricava 

dx d{ dy J{ dp dq 



i^-ij i-_L i_i: i_i. 

/)' ^- /)' <^- 

che danno gli integrali p =: a — ^ qzi^b — . Sostituendo questi va 

lori nella equazione a derivate parziali delle nostre supenicie. ab- 
biamo 

^f^+l-lV-rA^— - = ossia (.,^^ + ^/-^')(l^l.l)^J 

che è l'integrale completo e che rappresenti una famiglia di super 
ficie di secondo ordine col centro nelP origine delle coordirjJc, 
In particolare per jz=^=: — 1, e/r positivo, abbiamo !a sten 

Le equazioni che servono per trovare l'integrale particolare so.":'. 



*■" 



(3) ^ 

dalle quali aV = by^, ax^zdaby] chiamando ^ il valore coraji: 
dei due membri dell'ultima eguaglianza, abbiamo i valori j— - 

b = dtz~ che sostituiti in una delle (3) danno — 1 + -^ = a li- 
y }r 

z ^ 

cui X = =fc { , cosichè j nz r+r --, ^ = db ~ , i segni essendo tn 

X y 

loro indipendenti. Sostituendo questi valori àXa^b nell* integrale eoe- 
pleto, otteniamo l' integrale singolare 

(db X i^zy — 7^^ =r //, 
che rappresenta otto piani (reali o immaginari second oche //> ♦>►• 



659 

pure // < 0) formanti un ottaedro regolare col centro nell' origine 
delle coordinate. 

336. Consideriamo ora alcuni tipi di equazioni a derivate par- 
ziali di primo ordine, la cui integrazione, oltre che col metodo del 
num. precedente, può ottenersi con procedimenti speciali e semplici, 
estendibili alle equazioni di forma analoga tra quante si vogliano 
variabili. 

1) Equazioni della forma ^{p , ^) = 0. Si riconosce subito che 
^^=z ax + by -\- e dove a, b ^c sono costanti è l' integrale completo, 
purché tra le a,b passi la relazione qp(j,^) = 0. 

Osserviamo che anche le equazioni, fra « -f- 1 variabili, 
<f(/>j . p2y ' 'Pn) = ammettono l' integrale completo 

l = a^x^ + a^x^ 4- . . . -h a^^x^ + e , 

se tra le a poniamo la relazione cf (^j , ^j , . . . jn) = 0. 

Esempio. — La equazione ^p^ p^ p^ = x^ x^ x^^ , ovvero la 
1 1 1 

z "* cl7 z'^dz "[ '^ d{ 

"V ~ 3 — 3- = 1 , si riduce alla forma ora considerata 

x^ dxi x^ ax^ x^ tìWTg 

1 
ponendo x^dx^ == dl^ , x^dx^ = dl^ . x^dx^ =idl^^i "* ^C = ^^ ì giacché 

^- * it dZ dZ dZ ^ .^ , , 

diventa allora - z- -jz- -jj- = 1 , il cui integrale e 

dove a^a^a^ = 1 . Dalle posizioni fatte ricaviamo 



*\ * %?' x^ r« 

7— _--!" e— _» E— « s— -^3 

^ MO «W M«/ 



cosichè 



3 -i- 



dove ^,tfj<73=z:l, è l'integrale completo della equazione proposta. 
2) Equazioni della forma '^({ ,/> ,^7) =zr 0. Per integrarle si ponga 

^=/(5,, l=.x + ay, cosichè / = A, ^=.^, e si determini 



1 



660 



;{ dalla equazione 9 ( { , -, - , a -—^ J = , che è una equazione dife- 

renziale ordinaria. 

dz C ò"^ 

Se si ricava -,=- 1= cK^r , ^J) , avremo \ = l ^=— r- -+- ^, e quindi 

d^ ^T.' ^' j '4^U,tf) 

i' integrale completo x + ay =: i — ~ — r- + ^ della proposta eqaa- 

zione. 

Questo metodo si applica ancora, come si riconoscerà facilmente, 
alle equazioni con « + 1 variabili della forma analoga 
^({ yPi 9P2 ' * 'Pn) = 0, ottenendone l' integrale generale 

^1^1 + ^2^8 + . . . + a„-i x„-i -[-x^=l -— — +/•. 

J 4>K,^, ,«2 ...^ji-i) 

d7 
avendo ricavato -~r == cp ({; , ^j , jj . . . an—i) dalla equazione 

(d:( di di d{\ 

Esempi. — l!^ =pip2+pxpz+p%pz] posto l^a^x^+a^^-Vh 

/ dzY 
abbiamo ^^ = ( ,, ) («1^2 + ^i + ^t), da 



CUI -^ = -zr^z 

che integrata dà { = — ' \ ■ e quindi V integrale eoo- 

pleto della proposta equazione è 



_ A/^i^« +a^+a^ 



Sia ancora l'equazione i=pq-j applicando il metodo attuale si 
trova subito l'integrale completo 1 = — laX'h — + òj . 

Col metodo generale, osservando che le equazioni ausiliarie sono 

dx dy di dp dq 



9. 



q p '^l 



e quindi qz=zx-\- a ^ p =zy 4- ^ ^ si trova V integrale completo ii^ 
. forma i^={x-\- a)(y -\- b). 



661 

Si osservi che l'integrale generale è allora {^=(x-\-a)\y-\-:f(a)] , 
essendo j^ + ^{a)-^(x + a) qp' (^) = . Prendendo 9 (a) = a^a + b^ si 

>ttiene ;r = (^ + *i — ^i^)'» che è della forma del primo in- 

egraie completo trovato. 

3) £qua{tom della forma ^ (x ^ p) z=: ']> (^y ^ q). Poniamo ?(*,/>) == «, 

)(y ^q)z=.a e ricaviamo da queste pz=z f[x ^a)^ ^ z= F (^ , j) ; avremo 

/• 

iliora dalla prima di esse -{ = / /(^ ià)dx + una funzione arbitraria 

lì y^ e dalla seconda ^ = l¥{y^a)dy + una funzione arbitraria di 
r, cosichè la funzione 

^=z jf(x,a)dx+ F{y,a)dy+b 

soddisfarà a tutte e due quelle equazioni e quindi alla proposta 
equazione a derivate parziali e ne sarà l' integrale completo colle 
due costanti a , b. 

Lo stesso metodo è applicabile alle equazioni con n + ì variabili 
della forma 

Infatti poniamo 

/i(^i iP\) = ai , /i{Xf j/j) = ai,...fn (x^ , pj = a„ , 

colla condizione ^j -f- a^ -f- . . . + ^« = e da queste equazioni sup- 
pongasi ricavare 

Otteniamo allora T integrale completo della equazione proposta 

{ = hi (*1 , ^l)^l + pt (^2 , ^i) ^^2 + . . . + I 9»! (^» J anjdXn + *• 

Esempio. — /,"'i;cj«i + A'"'-*»"- -HA^'^'^a"^ ^^ 0» ' 
Abbiamo subito l' integrale completo 

1 1 1 

Wl «1 Wj «g W3 Wg 



1 



662 

essendo ^ , + ^j -|- ^3 1= 0. Se Wj = «i in luogo del primo tenninc 

1 

del secondo membro vi sarebbe il termine a^^i logjrj etc. 

4) Equazione di Clairaut. — È la equazione della forma 

il cui integrale completo è, come subito si verifica, 

^ =1 a^Xi -h tfg.Vj -I- . . . + anx„ + ? (^i ) ^2 j • • • *'- * i 

l' integrale singolare si ottiene eliminando le a tra questa equazione 
e le 

A-i4-— - — 0, ;^:^^-.- =0,...j;„-|--— =0. 

Esempio. — Determinare la superficie per la quale la somma 
delle intercette sugli assi dal piano tangente in ogni loro punto e 
una costante //. 

L' equazione a derivate parziali della superficie cercata è 

(/^ + ^;/~0(y + — ■-n = ^^ossia^ = />^4-^^ — y— -JJ-- 

r integrale completo è il sistema di piani 

hab 
^^,, + ^^_. ______ 

Per trovare la soluzione singolare elimineremo a , ò tra quess» 
equazione e le 

Ilo' h a' _ 



» 1 



dalle quali ricaviamo by = a^x ^ e quindi ^ = 



y.x 



ed in conseguenza 1' integrale singolare è 

{ = {yx + \j — \-h)^ od anche ■\''^+ y// = V*'-+-\ ,v 



663 
ovvero, rendendo P equazione razionale, 

che rappresenta la superficie inviluppo dei piani che costituiscono 
l'integrale completo. 

5) Equazioni della forma 

• A( A^.{ -pK — qy) +yUp,q,^ - px — qy) -\-fz{p,q,i - px — qy) - 0. 

La integrazione di queste equazioni dipende da quella di una 
equazione lineare mediante una trasformazione detta trasformazione 
di Legendre. Poniamo 

(4) u = i — px — qy 

da cui (iw = — xdp — ydq e prendiamo p , q come nuove variabili 
indipendenti, cosichè allora 

(o) -,-== — X. — = — y 

^ dp ' ^q ^ 

e la equazione proposta si trasforma nella equazione lineare in u 

il cui integrale generale, della forma 

sarà l'integrale generale dalla equazione proposta, considerandolo unita- 
mente alle equazioni (4), (5). Quando venga assegnata la funzione cp, 
e si eliminino u,p,q tra quelle equazioni avremo un integrale par- 
ticolare ed anche, se nella forma assegnata di ^ vi saranno contenute 
costanti arbitrarie, un integrale completo della proposta equazione. 

Notiamo che una equazione qualunque a derivate parziali di 
primo ordine 

si trasforma, mediante la trasformazione di Legendre, nella 
/ 3« 3^ . 3« 3« >. \ A 



664 

che potrà riescire qualche volta più facilmente integrabile delli 
proposta. 

La trasformazione di Legendre si estende alle equazioni fra 
« -f- 1 variabili, e torna specialmente utile per quelle della forca 

*i/i( A > A » • • • A ? { —Pi^i —ptXt — • . • —pnXn)-{-x^t\{ . . )+ 

. . . + Xnfn ( • • • ) +y«4-l (...)= 0. 

Si pone 

da cui duzzz — x^dpi — x^dp^ — ... — x^dp^ , 

e si prendono le p per variabili indipendenti, così che 

dpì dpi dpn 

la equazione trasformata è allora lineare etc. 
Esempio. — Sia la equazione 

(y + ^) ({-px-qy) + l=0 

ovvero {qx +py) {^— px — qy) + pq :=^Q\ 

V equazione trasformata è 



/ 3w 3w\ 



il cui integrale generale è 

u'-^f^^ip^^q'). 

Per avere l'integrale completo della equazione proposta p3rii:t> 
lari zzeremo la funzione 9 prendendo una funzione, che sceglieremo 
apposta semplice, con due costanti arbitrarie ; prenderemo 
<f (/>* — ^*) ^=a{P' — q^) + b. Avremo allora 



u' — p' = a{p' — f)-^b da cui u=:y{ì+ a)p'^ — aq^-h 
3w __ _^(a-\-ì)p 3^__ _ —aq 



605 
e quindi 

--xu yu ^ x^ u^ u^y^ , , h 



a + V a' a + ì a ' y a{a-^\)-ax''-^{a^\)f 



avendo scritto, in questa ultima formola, h in luogo di ^V^(^+ 1) ; 
cosichè, posto A = \Ja{a 4-1) — ax'^ + (a-\- X)y'*^ , è 

— xh yb x^b y-b 

^— 1 9=-^^<—p^ — 9^ = i + 



^ (a + l)A' ^~^A'^ ^ ^^— -^ • (^_I_1)A ^A' 

b / x^ y^ \ 

e P eguaglianza « = { — px— qy diviene ^ = -— ( l -h -— \ 

che è il richiesto integrale completo, che si riduce a 



l = b\/a(a + 1) - ax^ + {a + 1)/ 

scrivendo b in luogo di — -. Ponendo ab^ = — «i, {a + 1) ^' = b^ 

e poi scrivendo a , è in luogo di ^i , ^i , lo stesso integrale assume 
r aspetto 



,=|/'..'+*/_-^. 



Con procedimento analogo si trova che l'integrale completo 
della equazione 

VA A Pn/ 



dove 

A — . 

tfj^8 ... <7n -+- a^a^a^ ... ^n -f- ^jdf2^4 ... Un -\- ... + d^ci^a^ ... ^M_l 

Esercizi 

1. :^Pq — xy = ^ integrale completo a^ -f- a-x^ -\-y'^ =z b^ non 
vi è integrale singolare, V integrale generale è dato dalle due equa- 



1 



zioni a{^ 4- a'x'^ +^* — q: (^) =: , {' + 2ax' — ?' f^) = ; si trovi 

a qual forma di 9 corrisponde l'integrale, particolare del generale, 

i 1 1 



2y ax + 2\/y 
2. xp^+y^^ = ^ì int. completo log;^= — -1-^. 



3. /^ = 1 , i = ax + — +b, 

a 

4. xy ^=pq , ^ = ^^* -h -T-y'^ + ^» 

5. q = r{p,y), i = ax-\-U{a,y)dy + b. 

y -\~ b 
\x'-\-a 

8. ^ i=z t' ^' , ^ =z j;c -f- (? ^' jj? + ^. 

9. ^^^- = { ({ — /-v) j log {=^a log :v H- ^ log J' + e ovvero 
^zizcx'^jf'^ essendo a-\-b^=^l, 

10. ^ = JCi Vf + A-oV>2'-h ... 4- xn'pn' , 2 V { = ^i log x^^a^ log ^.+.. 
4- ^n log Xn -\- b dove ^i' + ^2' + ... + On' =^ 1. 

11. ^^(f-g^)=:/-x\ 

X f 

y^^-\-b=2 xYa — x^ -{-y\/a — ^ -h a are sen — h ^ are sen y— • 

12. La integrazione delle equazioni della forma 

^fiy ^Pi^—P^) = q'r(y ^P » { —px)+'^(y ,p , { —px) 

dipende da quella di una equazione lineare ponendo «= { — *^ 
prendendo^,/? come nuove variabili indipendenti. 
Un procedimento analogo vale per la equazione 

A'1/1 = A/2 -+- A/3 + . . . +pnfn +/ 



667 

dove fi ìfty 'fnyf indicano funzioni di ^« , . . • .^n ,^i , { — A^i • 
Parimenti l' integrazione della equazione 

Xifi+^%ft =pzfz + . • • +Pnfn H-/, 

dove le f\ ift t » - - fn ^ff indicano funzioni di A^g . . . ATn , p, , />« , 
^ — p^x^ — p^x^ , dipende da quella di una equazione lineare ponendo 
tt = ^ — p^x^ — p^x^ e prendendo />i ,/« , ■**3 , ^4 . - . ^n come nuove 
variabili indipendenti. 

Analogamente per la equazione 

Xlfx + X^ft + ^3/3 =Pif4 4- ... 4- pnfn +/, 

dove le /, ,/, . . ./n ,/ indicano funzioni di *4 ,-^5,...^n ,/>i ,/'2 >A > 
l — /jA-j — p^x^ — p^x^ ; e così di seguito. 

13. q=p'^f{x) , ax + a'^yzzz^f^iY^^ dx + b. 

14. q =p***XYZy dove X , Y , Z indicano funzioni rispettivamente 
della sola x, delia sola jv, della sola ^ ; 

—-- + a»*ÌYdyz=:\ yZ ^{ + *. 

15. ^ = (;C + >>^)' , T = -^~ 



X y + b' 

/* ^^ 1 

^'» "^ / ìlT^- — = 1;^ ^— " =^^ — {^i^i^-a^Xi + ... + an-\ Xn-\-\-Xn). 

dove a|'"l^»'«2 . . . ^n"*»» = -7 --, , . 

19. Determinare la superficie per la quale l'area di una sua 
porzione stia all' area della proiezione della medesima sul piano delle 
X ^y come fn sta alla unità. 



668 

Equaz. a derivate parziali della superficie ^' + ^* -h 1 zir ct- , 

int. completo i piani 7=zax-\ ^zz h ^ , non vi è inte- 

ym^ — a^—i 

graie singolare. 

20. Superficie per le quali la parte di normale compresa tra il 
punto sulla superficie e il punto d'incontro col piano x ^y sia tra 
data costante h. 

Equaz. a der. parz. ^\\+^ -\-f)^=^V\ integrale completo 
(;if H- ^^ + ^)' = (1 + ^*) (^* — ^') , che rappresenta dei cilindri ci 
rotazione i cui assi hanno per equazioni ^ = 0, ;f + ^^ + *=0. 
L' integrale singolare è dato dai due piani ^ = =b A. Se nell' in- 
tegrale generale si pone A = :? (a) = ^7,tf -f- èj si ottengono le sfere 

21. Superficie le cui normali siano tangenti alla sfera di raggio 
r col centro nell' origine delle coordinate. 

Equaz. a der. parz. {pX'-\'qyy' -\-(r^ — oc — ^') (/'h-^*) =0; 
int. compi. 



V^' -+-/ — r- _^ ^ x^ 



l-^ò=za }\/x^- +y — r- — rare ig db rare tg 



y^' 



669 



Y. Elementi del Calcolo delle Yariazioni. 



V ar iaz ioni . 
Variazione prima di un integrale semplice. 

237. Sia y =zf{x) funzione di x ; supponiamo che la y divenga 
y^ in seguito ad un cambiamento nella forma del legame che lega y 
alla variabile indipendente x^ e questo cambiamento supponiamo riduca 
la forma della funzione 2. f{x) + ^r^^ dove fi=z\(x) indica una fun- 
zione qualunque di x^ ed s una quantità inlinitesima indipendente da 
x\ cosichè sia y^z=zf{x)-\-tr^. La differenza y^ — y=^r^ si chiama 
la variazione della funzione/, e la si indica col simbolo lyi^^r^] 
E rappresenta la piccolezza, yj l'arbitrarietà della variazione ^y. 

Supponiamo ora e nel seguito che la f{x) e la funzione arbi- 
traria "^{x) ammettano le derivate di quegli ordini che occorrerà 
considerare. 

Dalla data definizione risulta subito che d^^y = Idy. Invero abbiamo 



da cui 



y^--y = tn = ly, 



dx dx dx ^ dx ' 



dri d&Ti diy d^y dy 

-j- = —- — =:-y^, quindi — ,- = 5-f- da cui d^^y = tdy . 

dx dx dx dx dx 



ma e —7- = — 



dy ^dy 
giacché 5 -^- = —z — . In conseguenza abbiamo altresì 

id^y = iddy = ^idy = dHy , id^y = d^^^y,.. 
Sia ora 



670 

una funzione della variabile indipendente x^ e delle funzioni di esa 
7 , { , . . . e delle loro derivate rapporto ad x. Ammettiamo resistenza 
delle derivate di ^ rapporto ai suoi argomenti sino a quegli ordini 
che occorrerà considerare. 

Attribuiamo a ^ , { . . . le variazioni 8>' , H » • • • ^^^ cambiane 
^ , {, . . . in ^ + er,, ^ _|_ gj ^ . , . dove tì , ^ . . . sono funzioni arbiinrie 
di x^ colla condizione che ammettano le derivate che dovranno con- 
siderarsi. Allora y ){',.. . si cambieranno in y + sr/ ^ ^ 
e la cp in 



m • • • ' 



che sviluppata colla formola del Taylor diventa 



«p + e? 1 + R od anche 9 + stp, + - j- ?, + R, , 



dove 



/3t 



+ r-r ■»)' + ••• + 



3/ dy 



9' ,(«. • ^ 



3/» 



3r ■ 3?* 



+ 



..,) 






3;^' 



3^ 



ay«) 



• • • < 



3i 



3{ 



. . /3*iP j , 3''tp ,, , 



V3y 



3> 



,'« 



9^ '«j_l!i-i 



2 r^ v;+. 

2y^y 



3* 






p«/+-^vy'4- 



2 -^^ 8y 5v' 

3^3y ^ ^ 



nelle quali formole con sy , 5^'* . . . intendiamo (5^)*, (jy )*••-• 
Le quantità ev'i , s'^j , . .. si chiamano le variazioni primi, > 

t(7Wt7 etc. della '^ e si indicano coi simboli 5qp , d*qp,... 

In particolare se cf ^=^ o y = ^, o qp =y, . . . otteniamo. 3*^'' 

memente alla definizione posta in principio 5^=:sy, , 2{=: ,• • 

5y = 3r/, d^' = £r,... ed inoltre 5'^ = 0, 5y = 0,... 5* ='< 



2,,' 



l =0,... 



F 



671 
238. La variazione (prima) 5l di un integrale 

^1 



= j ?(^ ,;»'./, • • '/"^ y{,Ù"' ^^'"^ ,'-.)dx. 



1 = 
cioè il termine che contiene la prima potenza di s nello sviluppo di 



/ «f (^ ,>' + syj ,y -+- SYj', . . . -C 4- s; , ^' + s^' . . .) dx 

^0 Xyy Xl XO 






I ^^dx= i à'^ dx , 



XQ X^) 



Qui si è supposto che i limiti x^^,Xl dell' integrale siano rimasti 
inalterati. Supponiamo invece che, mentre ^' , { . . . subiscono le varia- 
zioni 8^ , ^^ , . . . , -^0 ? ^1 si aumentino di quantità che indicheremo, 
per uniformità di notazione, con 5;cq = s?o, tx^:=z&li. Allora el 

sarà il coefficiente di e nello sviluppo di / * (;r , s) dx^ avendo posto 

* (^ , s) =r qp(^ ,^ -f- SYj ,y 4- sr/, . . .). 

Poniamo a?=/+sx = /+5/, dove t è una funzione qualunque 
di /, ma tale che per t = XQ diventi uguale a «^ ^ per t=^x^ diventi 
5^, come ad esempio 

# 



5o + — f-°t + (^-*o)('-*i)^i, 



Xq Xi Xi X(^ 



essendo xj funzione qualunque di /. Allora quando x assume il valore 
*o + s5o,^ assume il valore Aq, e per .v r=z ;Cj -f- s s, si ha t = x^ , ed 




672 

il precedente integrale diventa 

.1- 1 . .11 



ù(/-Hs-,s)(i/-J-s,ft)=|U(/,s) + st^'i2 + Rl(i/+ei 



^0 -^'U 

Xi -fi 



= U(t^e)dt+[(^(t,B)^dz + szl^^hjLjt\ 4- termini 



.fi) X\) 



che contengono potenze di e superiori * alla prima. L' ultimo inte- 
grale è 



x\ 



j 4x4>(/ , s)] = z[i^^(x,,B)-^l,^yx, , 0] 



-*'0 



e perciò il suo termine in s è 

indicando -^^ , ro ciò che diventa ? per x=:x^ e per xzzzx^, 

x\ xi 

Il termine in s nello sviluppo di / *(7, s) J/= / *(»r,s)^ 



è 1 t'^dx^ quindi in uhimo 



-Vii 



I = cp^ e^r, — :f^ tXQ + j t^dx . 



Posto 











^0 








Yr 




,Z_ 




z.- 


> • « • 

3x ^' ' 



t-f = Yij> + Y,?y + Y,?/" + . . . + Y, e/«i + Zìi + Z,ì{' + 
e quindi 



• • • 



ri .ri 



I = '>P^^>A^- Vo^^^o+ ÌY5>'^.v:4- /y,5yir-h...4-| Yn5>«> dx+jZ^à ■"' 



xs) .ro .ro .rrt 



I 



673 



Osservando che Jv<A) = 5 - -- = —r^ , ??(^') - 5 -^ = -^ .... 

'^ dx^" dx^ ' ^ i.v'* dx^ ' 

jd applicando la formola di integrazione per parti al n. 205 voi. I, 

>tteDÌamo 

/ Y^8v(A; dx = Yj^tyià -i) _ _liA 8«{A-2) + _Jl jt^i/i-s) _ . . . 
./ dx dx^ 



cosichè, posto 



dfjr dx^ ' " dx** ' 



K -Y -''Y?-^»- + -lV.-i^"I^ 



K — Y — ^-»-Hi_ -4_r— lì»-2^ i= 



dY„ 

n-2 — l «-1 — 



dx ' 

__ _ dZ, d'I. ^^m^"*^- 

dx d:^ tf.*"* 



iZ, _, i"'-'Z„ 

-- + .... + ( ir ^^„_, , 



Ho = Z,--^-' + .... + (-l)'«-' ^^ 

4".» 



«74 

H,=Z.-^ + 



abbiamo 

5l := 1\ — Po 4- [(Ke7 + H5^4- . . 0^ , 

avendo indicato con r^ , Pq ciò che diventa F quando si faccia 
X ^ .\ e jv =: ;Co , ed in conseguenza y =y^ ^ y^i^y^^ y =;,'. 
y z=iy\^, , ly=i ly^ , ly z= dy^ etc. dove ^i ,^\ . • • indicano i Talcr. 
di j^' , ^' , . . . per ^ = ATj , etc. 



Problemi di massimo e di minimo relativi al calcolo delle 

variazioni. 

239. Il problema che si propone di risolvere il calcolo ucl: 
variazioni è il seguente ; 

Determinare la forma delle funzioni ^^ , ^ . . . , tutte arbitrarie • 
sottoposte a certe leggi, che compariscono in una certa funzione i 
forma fissa l, che quasi sempre è un integrale definito I con liini3 
fissi o variabili, in modo che il valore corrisponde ^i^, di > sia nu-- 
simo o minimo; tale cioè che, indicate con ^j , {1 . . *yx ? {i >••* '* 
forme così determinate di ^ , ^ , . . . ove si cambi, compatibilrccrti 
colle condizioni del problema, jVi , ^x , . • • ii^ ^i + sr, , ^, -f-e;,.... 
esista un numero positivo a tale che, per | s | < a e qualurq::* 
siano le funzioni finite e che ammettono derivate 1^,^,,.., rta.^ 
sempre '^^ — 4^ ^ , oppure '^^ — 4^ ^ , senza che si abbia sem: 
il caso dell' uguaglianza. 

Osservando che la 4^ j che comparisce nelle precedenti ò\<ùt^ 

glianze, è '4^^ + s {^^ -h - -- S^'^'i + ...., dovrà T espressione 



ì'^r* 



675 

54*1 "^" "c^'^^'^x ■*"... mantenersi sempre dello stesso segno. Ora poiché 

si può prendere e così piccolo, che il segno di quella espressione 
dipenda da i?);i e, poiché cambiando s in — s , S'ij si cambia in 
— 5 '^^ , si riconosce che la variazione i '{^^ dovrà annullarsi qualunque 
sìa il sistema di variazioni sr^,6^,... che si attribuisce, compati- 
bilmente colle condizioni del problema, a ^ , ^ , . . . e pei valori di 
I £ I minori di un certo numero positivo. 

L'annullarsi della variazione prima ò'^^ è condizione necessaria 
al massimo o al minimo, ma non condizione sufficiente. Per ricono- 
scere se effettivamente a quelle forme delle funzioni ^ , ^ , . . • corri- 
sponda per '+ un massimo o un minimo, o né massimo né minimo, 
occorrerebbe esaminare le variazioni successive di 'h^ il che noi non 
faremo, avendo qui lo scopo di sviluppare i soli elementi del cal- 
colo delle variazioni, e perchè nei problemi, che ordinariamente 
vengono trattati, la natura stessa del problema indica spesso se si 
abbia propriamente un massimo o un minimo. 

240, Venendo al caso più interessante in cui la '^ non sia altro 
che l' integrale definito 

-M 
1= ' 



/ 't(^ ,y ,y , • • ./"* ,{,{',-•• ^'"' ,'')àx , 



■*■(► 



le funzioni ^,^,... che lo rendono massimo o minimo dovranno 
essere tali che risulti 



51 ZZI r^ — To -4- JcKS)' + H5^ -H ...) dx = 



-«*<) 



qualunque siano le variazioni ^^Xq , e^f , , 5/ , 5{ , . . . che si attribuiscono 
* '0 5 -^i >/ j {? compatibili colle speciali condizioni del pro- 
blema. 

Supponendo che queste variazioni possano essere completamente 
arbitrarie, potremo assumere 

5a*o = e^-, =: , tv r= £0=-'K , ^ — sO^H , . . . 

dove 6 è una funzione qualunque di a-, sottoposta alla condizione di 



676 

annullarsi unitamente alle sue derivate successive che occorre conside- 
rare per x:=:Xq e per x=:xi. Allora si annullano per x = x^, e per 
x=:iXi le variazioni 

cosichè, pel sistema di variazioni ora scelto, è ri = 0, Po^Oe'-I 
si riduce a 



5lzi=e/e«(K« + H* + ...)^^, 



^0 

che deve risultare zero, e perciò occorre che sia K = 0, H = 0,... 
In conseguenza la equazione 5l^0 si scinde nella equazione 

i\-ro=o, 

che chiamasi equazione ai limiti, e nelle equazioni 

K = 0, H = 0,... 

le quali sono equazioni differenziali simultanee in y , ;^,.,. che serrcDo 
a determinare queste funzioni. 

241. Sviluppiamo il caso in cui la 9 contenga una sola funzione 
^ e le sue derivate, cosichè sia 

l=zl^(x,jy,yy,....jyi»))dx. 

Allora abbiamo una sola equazione differenziale 

//Y //*Y ^"Y** 

di ordine 2w, che serve a determinare ^ ; e la quantità P si riduce 1 

r = ^^Zx -f- Ko5>' -I- K^ey -H . . . + K„_i 5y«-i., 
Sia 



677 
o, più semplicemente, 

l'integrale della equazione K = 0, dove le e indicano le costanti 
arbitrarie. 

Potranno presentarsi i casi seguenti : 

1. Sono fissi i limiti x^ e x^ dell'integrale e sono fissi ed asse- 
gnati i valori jVo , ^o'j • • -A^""^^ ; ^i ^yi\ • • -JVi^" '^^ di jv ,/ , . • .>«-^) 
per A? = jt^ e per x =.Xi, Allora, essendo ^x^ = 0, ^x^ = 0, 5^o ^-' ^j 
e^'j ;= , . . . è, senz' altro, Tj — P^, = 0. Ma dovremo avere 

(1) v^ ^o" = *''(-*'o 1 ^I , ^« • • ^8»,), y\ = *"(^1 ? ^1 , '^t • • ^2«) , 



dove gli apici indicano derivazione rispetto alla x ; queste 2« equa- 
zioni permetteranno di determinare le 2n costanti, cosichè la funzione 
y che risolve il proplema è unica e determinata. 

Se per x = Xf^^x = Xi fossero assegnati ancora i valori y">,^vw+i)...j 
il problema non sarebbe, generalmente, risolubile, come subito si 
riconosce. 

'J, Non sono assegnati i limiti x^^x^ dell'integrale e nessuna 
delle quantità ^ ,7'. . . ai limiti stessi, cosichè il problema è: deter- 
minare i limiti dell' integrale e i valori di >' e delle derivate ai limiti 
stessi e la funzione y in modo che il valore dell' integrale risulti 
massimo oppure minimo. Allóra, non dovendo passare alcuna rela- 
zione tra Sa-q , 5^0 , 5;Vo' ?••••? ^^i f ^^ìi • - -f ^^ equazione ai limiti 
Ti — Pq = si scinde nelle 2n-\-2 equazioni 

^0^0, K%=0, K,« =0,.. Ko„_i = 0; cf,=zO, V = 0, Ki»=0,.. K^_, =0, 

avendo indicato con K®r,KV ciò che diventa K^ ptv x^=Xqj e 
per X = Xi. Sostituendo nelle precedenti equazioni in luogo di 
^0 j^o' > • • -^1 yj^i , . . . i loro valori espressi per a-o , .^i , c'i , Cj , . . . c^^ 
che si ricavano da jv = '+(*, ^1 , ^« ,.. . c^n) abbiamo 2« -f 2 equa- 



678 

zioni tra le 2// + 2 quantità ^j , ^e , . . • ^j» , ^o i ^"i 9 ^^^ servono a de- 
terminarle. 

3. Siano assegnati alcuni dei 2n-\-2 valori ai limiti di jr, v,y, ../«-• . 
Se è assegnato il valore j^q di y, mentre che non sia fisso il valore 
Xq y indicando con A^'o l'aumento che subisce ^q, dovrà essere 
A^o = ^^ ^ ora questo aumento proviene dalla variazione che subisce 
là forma di*^ cioè da ^^o, e dal fatto che x^ viene aumentato 
di ^Xq^ cosichè tenendo conto delle sole prime potenze di s, e 
A/c = ^A -H^o^-^o) ® quindi dovremo avere ^Vq = — .>'o^^f>- ^ ^<>®e 
assegnato x^ , allora sarebbe A^o ^^ ^^o = ^' ^^ fosse assegnato il 
valore ^'(j' di y essendo A^o' == ^>'o' +^o '^-^o sarebbe ^fQ= — /c'-i ^ 
e così via dicendo se y'') è assegnato in un limite dovremo avere 
eyr) 3::^ — ^(r-f-1) 5 a; in quel limite. 

Sostituendo questi valori di sy) nella equazione Tj — ^\,="' 
si vedrà facilmente che, se / delle quantità .r ,y . ..y**-^» ai liir.ii: 
sono assegnate, la equazione V^ — Tq = si riduce ad una relazioue 
tra le 2« 4- 2 — / variazioni ai limiti delle 2// + 2 — i quantità noa 
assegnate, ed essa si scinde quindi in 2n-\-2 — / equazioni, che 
unitamente alle 2w equazioni (1) danno 4ff-\-2 — /equazioni pe: 
determinare le 2« + 2 — / quantità ai limiti non assegnate e le 2n 

costanti e, , ^2 •> • • • ^2n • 

4. Tra i valori di a?,^' ,>»',.. .y*"'^ ai limiti debbano passare r 
relazioni Mj = , M^ = , . . . M^ = 0. 

Allora dovremo avere 

aM, 3M. aM. ,, 3M, . , ,, aM, sm, 

(/r=l,2...r), dove Aa''^--5^o^^^-4-7o^^+^^5a-„ A^,<^-' = 5v/>'-|-.Vi(*- - ?ir 

Queste r relazioni tra Sa-q , 5^^ , ^y^ . . . . 5^*^ , S^j , ne determinano 

r mediante le rimanenti 2« -f- 2 — r, che rimangono completamente 
arbitrarie e la equazione V^ — f^ =1 si scinde allora in 2« -{- 2 - '' 
equazioni, che unitamente alle r equazioni M. = ed alle (1) seni- 
ranno a determinare le 4«+2 quantità ^j , c^ ,.• ^2n > ■*"o ? ^u^o j/oV-.' ^" • 

Relativamente alla equazione differenziale K = faremo le t r- 
vazioni seguenti : 

I.'^ Se r^ è della forma K^ »/»/•• -/"O +^'4^1 U^) (se ^^a) *► 

la 9 non contiene ^), allora è Y=i4^^(a"), e si ha un inte^" 1^ 



I • 



079 
primo 

della K = 0, e poi, non comparendo / esplicitamente in esso, il suo 
ordine potrà ancora abbassarsi di una unità ; cosichè V integrazione 
della K =. si riduce a quella d' una equazione difl'erenziale d' or- 
dine 2« — 2. 

2.^ Supponiamo che la -^ non contenga x , cioè si abbia 
r (^ ^y i^'" • • «y^O- Allora abbiamo 



d^ = Ydy + Y^dy + Y^df + . . . -h Y.i/«)^ 
^ ^ ,, dY, d'Y^ , ,, d-Y,, 

e da queste, come si può facilmente vedere, 

"- = ''O'^-.» + </v, -y i'A) + . (y-Y. _y l^ +y ^^) 

da cui si ricava un integrale primo 

• 'l'i •/ X • » ^* ^ 2 , 

che è una equazione differenziale di ordine 2« — 1 non contenente 
esplicitamente x, e della quale perciò si abbassa l'ordine ancora di 
una unità. 

3.^ Se nella cp non compariscono x^ né /, la integrazione della 
K = si riduce a quella d' una equazione di ordine 2// — 3, giacché 
allora è 

d'i = Y,dy + Y^dy + . . . + \Jf^) , 
e la K :=: ci dà 



680 

moltiplicando quest' ultima equazione per dy e sottraendo dalla penul- 
tima, otteniamo 

d; T c,dy'-.d{f\,) + d [y"-X,-f ^) + rf( jvv Y,-y ^^ +/' ^j + . ., 

che, integrata, dà una equazione differenziale d'ordine 2«— 2. 
il cui ordine si abbassa di una unità perchè non contiene esplicita- 
mente X. 



242. Considerazioni analoghe alle precedenti potrebbero fzisi 
quando la ^ contenesse più funzioni ^ , ^ , . . Senza svilupparle in 
generale, saranno trattate in alcuni degli esempi che seguono e cht 
si riferiscono a tutta la teoria ora svolta. 

Esempi 

1) Si voglia determinare la funzione ^ di jc, che per ;c=i^ 
prende il valore ^q, per x^=lx^ il valore^, e che rende un masàrno 
o un minimo l' integrale 

XX Xx 



I z=i Udx = I {[^xy +y* +yy)dx. 

Qui è Y = l2x-\-y, Y^ = 2y+y, l'equazione K=Oj 
12Af — 2y' = 0, il cui integrale è y:=x^ -\-CxX-\-C2. Per detenninin 
le costanti c^ , c^ abbiamo le equazioni 

che danno 

/o — ^i + ^i^ — V 

(1) 



Xq x^ 






Xq x^ 



cosichè la funzione cercata è la 



y — X ~~\~ X \ 



Xq Xj^ ATj 



681 

Qui si riconosce facilmente se si abbia un massimo oppure un 
minimo. Poniamo ^ -h 8jv , y -f sy in luogo à\ y ^y nel nostro inte- 
grale ; esso diviene allora 



x\ 



x\ 



I {I2xy -hy'^ +yy) ^ ■+■ / ( 1 2x^jy + 2yy -{-y^^y +y^y) dx 



'tO 



3*0 



/[('e 



[(8^')« 4_ tyÒy'] dx . 



^0 



Il secondo integrale è zero, come anche si riconosce effettuando il 
calcolo tenendo presente che le variazioni ai limiti sono nulle; il 
terzo integrale, che è la variazione seconda, è 

Xj Xi Xj 

l(^yydx-\' "^ zzzhty'Ydx che è sempre positivo se Xq<^x^, 

«0 aro AO 

La nostra funzione rende quindi minimo T integrale I. 

Il problema proposto sia ora ; Determinare la funzione y e i 
limiti Xq , Xj dell' integrale in modo che l'integrale I assuma un valore 
massimo o minimo. Si trova la stessa funzione y , ma per determinare 
^i ) ^« 5 *o ) ^i 9 osservando che ora è Kq = 2y' -\-y, si hanno le quattro 
equazioni che si ottengono dalle 

? = I2xy +7'* -{-yy =0, K^ = 2/ +7 = per x=:Xq e per x= at^, 

ossia dalle equivalenti 



(2) 



2y+y=:.0 , i24x -{-/)/ = 0. 



Dalla prima delle (2) ricaviamo 



(3) tiro' + 2^i + V + ^i^o-+-^«=0 , ekx,^-{'2c^ + x,^-{-c^x^-hc^ — 0, 
dalle quali 



(4} 



( c^z=z2(x^'h x^y + 12 (^0 -*- -^i) -1- ^0^1(^0 + -^i) + ^^'n^\ ' 
Dalla seconda delle (2) ricaviamo 24^?^ 4-^o' = ^ì 24;Ci -{-/i ^= 









^3 



ti 



m 



(]82 
ossia 

( 5) 24^0 -I- 3^0* + ^t = , 2Ax^ -\- 3x^* + ^^ =: 

dalle quali (.v,) — x^) [24 -j- 3 (xq + x^)] = 0. Non tenendo conto delij 
soluzione x^ — ;cj=0, perchè i limiti dell'integrale riuscirebbero 
uguali, rimane a-,) + aTj z= — 8 , cosi che e, = — 16 — Sxq — jr^- , che 
sostituito nella prima delle (ì) la riduce a Xf,* + Sx^ — 8 = 0, di 
cui atq = — 4 r^z 2 V ^? 6 quindi ^r^ = — 4 zp 2 \/ 0. 1 valori di *.. , t, 
diventano allora c^=: — 24 , ^j n= 64. 

Dalla seconda delle (2) ricaviamo ancora ^'^ z= , j\ ^r t) . 
cioè Sato* -f- 1:^ = , 3a:,* + ^i=^0 e quindi (at^ — aTi) (.r^^ -f- aTj) = n, 
A\, -f- ^j = , t ^ = — Xq' , e r equazione 3xq^ 4-rj=:0 dà a<>=:0, e 
quindi ancora aTjZzzO e i limiti dell'integrale sono uguali. 

Dalla seconda delle (2) ricaviamo ancora y^ = 0, 24.Vj -\-r\ = m 
(oppure/^ rrrO, 24A-o-f-/o' = 0)) cioè SVH-^i^O, 2ix^-^3x^^-hc^—iK 
ossia 

(6) 2^-0^ - x^'^ - XqX^ - {}Xq - Ga:, = , 2a:j* - a-q* - x^x^ - Ì)Xq -f 18Ar, = " , 
che, sommate, danno 

(^i — ^o) (•*'! — x^^-{-ÌZ) = e quindi a-^ = a-,, - 12 ; 

sostituendo questo valore di x^ nella prima delle (0), otteni^irì 
24;iro — ^> • 12 "- 0, da cui x^-^S, e quindi x^ = — 9. 

La combinazione ^'^ tz: , 24a'o +yo = darebbe a-^ =: — y . 
ATj z= 3. I valori di r, , a diventano allora c\= — '^ ^Cf =54. 

Riassumendo, i valori di at^jA-j, e la funzione y che possor!"» 
risolvere il problema sono 

A'o = — 4 -L- 2\/'6 , ;cj = — 4 =F 2\/6 . >• = a-3 — 24a: 4- 64 ; 

A,) = 3, AT^ = - 9 oppure aTj, = — 9 , Aj =: 3 e ^ r= a:^ — 27a -h r>4. 

Per completare la ricerca occorrerebbe esaminare la variazicr.é 
seconda dell' integrale I. 

Il problema proposto sia ancora : Determinare la funzione r che 
rende massimo o minimo l'integrale I, essendo fissi i limiti x, .r, 
dell'integrale. ' 

Si avrebbe ancora la funzione / = Ar^ + ^^Ar + r, , ma, pò br 
òA-^ = 0, 5.Vj, = 0, la equazione P^ — r,^ r= darebbe le due equa2 n: 
2)'^, -1-/^, = , 27\4-7i=0, cioè le (3) dalle quali si ricavai i 



083 

valori (4) di c^ , €2'^ e la funzione y precedente dove c^ , c^, hanno 
i valori (4) sarebbe la funzione cercata. 

In modo analogo si procede negli altri problemi che si presen- 
tano in questo esempio. «Così se sono dati ;Vo ,^j ma non i limiti 
dell' integrale, le costanti c^ , c^ vengono date dalle (1) ; la equazione 
r^ — ro--0 diviene allora — (y,— y„Ko^) 8;ro4-(<Pt — y,KoO«^i ==0 
che si scinde nelle due "^0 ""^0^0° = ^? ^i — yi^o^^^^y cioè nelle 
1 "^Xq^q — (3;ro* + c^f = 0, 12jCj^^ — (3^:^* + r,)' nn: 0, e queste equa- 
zioni, sostituito per c^ il valore dato dalle (1), determinano Xq , x^ 

Se fossero dati Xq ,^o ma non x^ ,^^ , la equazione P^ — r^ == 
darebbe qp^ = 0, . K^^ii^O, che, unitamente alle j^q^=:Xq^ -{-c^x^ + c^^ 
y^ nr x^ -+- c^x^ + c^ , determinerebbero ^1 ,^^ 9 ^1 , ^s • Analogamente 
se fossero dati x^ ,^i , oppure a'i ,^q. 

2) Ziw^tf ///^ ^r^Vé? tra due punti di coordinate {x^ ,^0 , \^ , 
(-*"i j^'i ) ^T^' ^' tratta di determinare le funzioni / , ^ di ;v che rendono 

minimo l' integrale \-=z\\l\ -f-y* -h {'^ ^^. 

Abbiamo Y = 0, Z = 0, Y, = - ^'- , Zj = 



cosichè le equazioni differenziali K = 0, H = danno 

— r = Ci , — ■=• Cj, dalle quali y — ^„ ^' = c^ 



e quindi y = c^x + ^3 , { = C2X + c^-^ la linea più breve è perciò la 
retta che unisce i due punti. 
Nel nostro caso è 

vn-y*+{'' 

I( 1 4- e,' 4- ^,0 ^* + c,ly + c^ti I . 



Se i punti (ato j^'y , {0) > (^^i yJi ? ^1) sono fissi, la equazione 
Pi — Pq = è soddisfatta da sé, e le costanti c^ , c^ , t^ , c^ vengono 
determinate esprimendo che la retta passa per quei due punti. 

Sia dato il punto [Xq ^y^ , ^^j) e il punto (^i ^y^ , ^^) debba trovarsi 
sulla superficie f(x ,y , {) = 0. Allora per determinare le quantità 



684 

^19^2 ì^sy^é > ^1 }>'i 9 il abbiamo le equazioni 

la /(aTj ,^j,{j) 1=0 e le due equazioni che provengono da P, — r^ =0. 
ossia, poiché ìAr^ = , S^^ = , fi^^ z=: , da 

(1 -f- ^l' H- ^,') e^i + c,?^'! + ^,Hi = 
tenendo conto dalla relazione /(x^ ,^i , ;^j) == , dalla quale si ha 



(8) 






Senza calcolare efletti vam ente queste quantità, limitianiocì ad 
osservare che, eliminando una delle variazioni ^x^ , 5y, , ?>^ tra la (T, 
e la (8), ed uguagliando a zero i coefficienti delle due variazioci 
rimanenti, otteniamo 

c.=A — - , Cg ZZI A -^ , dove A = — — , 

3*1 'dA 3?. 



e quindi 



A = 



3-<^, Va^,/ \3C./ 



1^ _3/ 

da cui A = — . . cosichè e, = -^ , c^ = -~ , e le equazioni della 

retta, che unisce il punto {x^ ^y^ , ^^ al punto (pe^ .^i , ^J sulla super- 
ficie, y — y^ = c^{x — x^\ ^ — Ì\^^ ^2(* "~ ^i) diventano 



3/ 3/ 3/ 



3-^i. 3>'i 3{i 

cioè quelle della normale alla superficie stessa nel punto (x, , Vj [i 



685 

La linea più breve è quindi la retta che passa per (j^:^ ,/o , ^q) ed è 
normale alla superficie. 

Se il punto (x^ ,^, , ^,) deve essere sulla superficie /{x ,^ , ;^) == 
e il punto (.^., j^oj^o) sulla superficie F(.v ,jv , ^) = 0, per determinare 
le quantità ^i , ^« , ^2 , ^4 , •*'o )>'o j {0 » ^1 ?^i ? {i si avrebbero le quattro 
equazioni (7), le due /{x^ ^y^ , ^i) = 0, Y(x^ ,y^ , ^0) = e le quattro 
che si ricavano da P^ — P© ^= ^j tenendo conto delle due ultime equa- 
zioni. Si otterrebbe allora, in modo completamente analogo a quello del 

3/ 3F i/ 3^ 

caso precedente, ^j ^ --^ = **, c^ = — = — ^ , dalle quali si deduce 

che la linea più breve tra le due superficie è normale alle due super- 
fìcie stesse. 

Se il punto (Xq ,^o , {^) è dato e il punto {x^ ^y^ , i^ deve tro- 
varsi sulla curva f(x ,^ , ^) = 0, ¥{x ^y , ^) zrr 0, abbiamo per determi- 
nare le quantità t:^ , erg , t^a , ^4 , ^^ ,7, , ^j le equazioni /(:v^ ^y^ , {|) = 0, 
^f^T j^'i j {i) ^^ ^' ^^ (^) ® quella che si ricava da 



(1 + 6-^ + t:%)5A:, + cfyi + ^«5^, — 



osservando che 



•_ + e, ----- + e, -5^^ «- -I- -^i 8 



va*, 'djyi diJ ' 

/3F^. 3F 3F\ 

\3-<r, '3/, *3t,/ ' 



cioè la quazione 



3/i 3-fi 



3F 



3F 



'^ 3i;r'''+F, '•'•■*■ 1^'^'='' 



1 -H <:,* + e,' 



C^ c^ 



3/ . 3/ , , 3/ 3/ 3/ 

3^, ''3^, *3<, 3^, 3-[, 

3F 3F aF 3F 3F 

3.*, '3^-, 3?, 3^, 3{, 



1 <r, e, 

.9/ 9/ .9/ 

5^1 9^1 3{i 

3F 3F 3F 



0. 



3-^1 3/i 3{i 
Questa equazione mostra che coesistono le tre equazioni 



dx^ + c^dy^ + c^dij^ = 0, 



fri!.;'* 







'.V-^ • 



l**' 

pV 



^r 



».v 



i/5 ■ 



w^-^ 






' .' 
^ 



em 



ìL 

3^1 



^^i + |^^^i + |^^Ci=0, 



3F 



3{i 
3F 



''^i + ^^^i + ^^{i==0. 



3^1 



3^t 



cioè che i valori di dx^ , dy^ , d:^^ , che soddisfanno alle due ultime 
delle tre precedenti equazioni, soddisfanno anche alla prima, la quale 
esprime che la retta 



X — Xy 



^y—yx _ ^—i\ 



'2 



è sul piano normale 

[x — x^) dx, + (y ^y^ dy, + ({ — ^^^{i = 

alla nostra curva nel punto (x^ ^y\ , {^), In conseguenza la linea pio 
breve tra il punto (xq ^y^ , ;^o) e la curva data è la normale alla cum 
passante pel punto. 

In modo analogo si proverebbe che la linea più breve tra due 
linee ed una superfìcie è la loro normale comune. 

3 Lifiee geodetiche, — Si vogliano trovare le funzioni ^,{ che 
rendono massimo o minimo l' integrale 

I = f^(^ jy yy , • •>"> > ^ > {% • • ^^'"0 ^? 



-Vi 



quando tra ^ , ^ debba passare una relazione della forma i^ jr,jF,^)=r«». 
Allora tra le variazioni ^y , 5^, che compariscono sotto il segno inrc- 
grale nella variazione 



*T 



ei = V,- Po + Ak5/ + W.i)dx, 



^0 



deve passare la relazione 



^^ 



dy 



iy + - - il 



ài 



= 0, da cui ii = — iy; 



687 
cosichè, essendo allora 



5i = i\-ro+ I \K-^tì\tj>dx, 

per determinare j> , :^ abbiamo la equazione differenziale 

K — -?-^H = 0, e la + = 0. 

3C 

Se fosse — = 0, cioè se la relazione cL = non contenesse 
d{ 

9'f; 

{ ,'|(Af ,^) = 0, allora, dovendosi avere — ^;v = 0, sarebbe 5r = 0, e 
5I si ridurrebbe a P^ — 1^0+ /H5{^, e si avrebbero per determinare 

Aro 

y ',1 \^ equazione differenziale H = e la equazione finita '\(x^y)=iO. 

Applichiamo queste considerazioni per determinare la linea geo- 
detica sopra una superficie +(jir ,^ , ^) = 0, cioè la linea più breve 
tracciata sulla superficie stessa tra due suoi punti {x^ ,/(, , {q) > (-^i j/i j lì)- 

V integrale che dobbiamo rendere minimo è 



iz=[vi+y«-|:7v;., 



colla condizione c|;(jv,^, {) = 0. 
Qui abbiamo 

^ = — ^- — T \<iy<-(y)-fi H = — ^ ■ ^ b' (if-ya-a 

cosichè la equazione differenziale delle geodetiche sulla superficie 



■,>i » 



r^- 






688 

* 1= è la 



(9) 



^* k'(y< - ù") -y\ -H 1^ b'(>Y - O'") + Ci - 



3^ 



a^ 



colla condizione .(>(jc ,j^ , ;() = 0. 



Indicando con 5 Tarco di geodetica, è K = 



h 



dx di 



H = 7— — -—, e 1 equazione K H zzr 0, da cui si e n- 

dx ds ^ 3-^ 9^ ' 

cavata la (9), diviene 



(10) 



(f) <f) 



d\^4 






11 
a{ 



Osserviamo inoltre ctie 



(11) 



94^ dx 

9.V ^5 



34' dy ^ ^h di 



dy às 9{ ds 



0, 



che l' equazione (- J) V (f ) V (|y =. I dà 



dx / dx 



\ds)^ ds \ds) 



ds 



0, 



(dy \ 9'i 

-^ l, la (12) per — - e sottraendo 



l'una dall'altra, col tenere conto della (10), abbiamo 



quindi per le linee geodetiche vale la relazione 



..in .(j) 



ìì. 

dx 






(ì) <ì) <^ 



db 



3'> 



3'^ 



dx dy 3i 

la quale esprime che la normale principale in ogni punto della g« a- 



689 

detica coincide colla normale alla superficie, ossia che il piano oscu- 
latore in ogni punto di una geodetica di una superficie è normale 
alla superfìcie stessa. 

Se la superficie data è una superficie cilindrica '|(af ,^) = o più 
semplicemente yz='ii(x\ la equazione differenziale delle geodetiche 
si riduce ad H = 0, cioè a /(y i" — {'/') + ^" = 0, ossia, sostituendo 
a y ,jk" le espressioni ^'(x) = +' , 'i)"(x) =r -^"^ alla 

^(\+'i,') = ^i>],^ ossia ->=,— — r;r, 

1 A -f" r 



che, integrata, dà ^' = C^Vl -+■ ^'* e quindi ^ z= C J V* + V^dx+C^ , 
dove ^ , Cj , Cj indicano costanti. Esprimendo che la geodetica deve pas- 



sare pel punto (a*o,>'o?{o) sulla superficie, abbiamo '{o = CJ\/H-4^'*^-^-|-C 



a 

X 



e quindi \ — ;^ = Cj / Vl+y^A*; e poiché la curva passa ancora 






pel punto (^^ ,^j , ;^j) è ;{| — j^q := Cj / \/l -}- '+'* J;f, per cui le equa- 



zioni della richiesta geodetica sono le 






y = '^W , (t - to) / Vi + -V'Jx = (e, - f„) / vn- rdx. 

Indicando con y l'angolo che la tangente in un punto («^ ,>','{) 
della geodetica fa coir asse delle ^, è 



cosy= 



(/vrfV'*^*)* 

-{i Co 



1 r, 



44 






*'» .. 






fX. 



r. »•■• • • 

.; ■•> ■ 



690 

cioè cos Y è una costante. La geodetica taglia sotto un angolo costante 
le generatrici del cilindro. Essa è quindi un' elica, e quando il ci- 
lindro si sviluppa sopra un piano^ la geodetica si dispone lungo mia 
linea che taglia sotto angolo costante un.>«istema di rette parallele, 
cioè lungo una retta. 

4) Il problema di determinare una funzione y che renda massio^ 
o minima una funzione ^{x ^y ,y .^'...) è generalmente insolubile, 
perchè la funzione y dovrebbe soddisfare contemporaneamente alle 



equazioni 



— = 0, — ; = 0, — ~ = .... che 81 

3^ ay ay 



ottengono dal doversi 



annullare, qualunque siano le ^y , ty* , e^" . , la variazione 



a^ -T 

5cp -Tz: ty + ly 



3? , . , 
9? '' + 



Però, in casi speciali, o per l'ag- 



giunta di speciali condizioni, il problema potrà essere solubile. 

Cosi ad es.: si voglia la funzione jv che rende massima o mi- 
nima la funzione 

<? = \y + {m — x)y'\ \j + {n — x)y\ 

Il problema non è solubile perchè y dovrebbe soddisfare alle 
due equazioni difl'erenziali 

cy dy 

Ma se m =z «, le due equazioni precedenti hanno il fattore co- 
mune y -^ (m — x)y\ e si ha perciò, per determinare _>•, V unica equa- 
zione differenziale y -f- {m — x)y = 0, il cui integrale y =zC,{m ~j 
può rendere massima o minima la funzione [y -h (w — ^)yY- Essa 
assume effettivamente il valore minimo {ero. 

5) Si voglia risolvere ancora il problema : Determinare la curva 
y =zy(x) che, in ogni suo punto, ha la sottonormale massima o mì- 
nima rispetto alle curve che si ottengono da essa facendo variare j(x 
in guisa, che il prodotto della ordinata per la intercetta dalla nor- 
male sull'asse delle x a partire dall'origine non subisca alcuna \-a- 
riazione. 

La intercetta dalla normale, in un punto {x ^y) d* una curva, su' 
l'asse delle x è x-\-yy\ cosichè dobbiamo determinare la funzione 
y dì X che rende massima o minima la funzione yy colla condizioD^ 
che la espressione y{x -{-yy) rimanga invariata quando y ^y' subiscoft 



691 
le variazioni ^y^^y] perciò le equazioni del problema sono 

(13) jy'ày +yiy = , (^ 4-//) «jv +y{y^y +y^y) = o, 

ed avremo quindi, per determinare y, la equazione x -hy/ = 0, da 
cui x^ +>* = c% essendo e una costante. La curva richiesta è un cir- 
colo col centro nell' origine delle coordinate. 

Per distinguere se si ha un massimo o un minimo di yy'y osser- 
viamo che 

{y + ^y) (y + ^y') =^yy + ^y ^y' 

X -4- Slvy* X 

e che la seconda delle (13) ci dà ^y' = ^^-^ty^zz-^òy^ co- 

sichè, essendo tyòy=zxl — j, avremo un minimo se a:>0, un 

massimo se jf<0. 

Notiamo che, per la natura del problema, la variazione ^y non 
è arbitraria completamente; essa è determinata da una delle (13). 



La prima di esse, posto òy -■= syj, ci dà V^*"^^''H ==:'»3=0, 

e, 
da cui T] = — z — = 1 essendo Ci una costante. Quindi tra tutte le 

^/c^ — x^ 



iCr . . . .— C 



« 



c\ìr\ t y=.y c^ " x'^ -\ — ^ — T ossia tra le curve^=V^''^-^* -f- 

o tra le curve y\c^ — x"^) =: (e* — *' + c^Y^ il circolo x^ -\-y^ = c* è 
quella che ha la sottonormale massima o minima nei punti corri- 
spondenti alle medesime ascisse. 

6) Si vogliano le funzioni ^ , ^ di x che rendono massima o mi- 
nima la funzione 

Deve essere 

à^^ - 2{y — ^) 5^ + 2({ — x)ò:( = 0, 

da cui y — ;r^=:0, { — Ar=:0, eie funzioni richieste sono y = x\ 
{:=Xy che rendono minima la <f, perchè 

x' + (y + ^^y)'-h{{-hH)^ — 2(:^+H)x-^2x^{y-hty) = 

x^ +/ + {* — 2ix — 2*> + (iy)' + (5{)«. 



692 



Problemi di massimi e minimi 
relativi, nel calcolo delle variazioni. 

243. Sotto questa denominazione si sogliono designare i problemi 
della natura seguente : 

Tra le funzioni ^ , { , . . . per le quali l' integrale 

mantiene un valore costante A, determinare quelle che rendoao 
massimo o minimo V integrale 

-«-'0 

Per risolverlo, osserviamo che le funzioni ^ , { , . . . cercate do- 
vranno essere tali che risulti 

e inoltre, poiché Ij = A, anche tali che sia 



dove 6 , Ki , Hj . . . sono espressioni formate colla qp, come le 
r , K , H . . . lo sono colla cp. 

Qui non possiamo ragionare più come al n 240, perchè Is 
variazioni ^^ , 5^ . . . non sono completamente arbitrarie, ma legate 
da una certa relazione, per trovare la quale poniamo 

X 

(1 ) / (K,?;- + H,«f + ...)dx = '^ (x) 

%■ 

a-0 



693 

dove '\>(x) è una qualunque funzione continua di x, sottoposta alla 
sola condizione di annullarsi per x = Xq e di diventare uguale a 
60 — ®i per X =: j^i, conformemente a quanto è richiesto dalla equa- 
zione 51^ = 0. La ^{x) è perciò una funzione completamente arbi- 
traria nell'intervallo (^o>^i)) esclusigli estremi, dove deve prendere 
i valori precedenti. 

Dalla (1) ricaviamo, colla derivazione rispetto ad x^ 

e questa è la relazione che deve passare tra le variazioni ^^ , 5{ , • . . 
In virtù di questa relazione la equazione 8l = diviene 

(2) T^-r^+J^~V(x) + (H-~H,^ii + ...'\dx = 0. 
Ma 



Xl X, 



/|*'^'^'^=[|:*H-/*^*^i(|:)''* 



^U ^\ì ito 

'1 



=(-c)(».-«.'-/'WÌ(k)^' 



X', .Vi) 

per cui la (2) diventa 



r,-ro-(-;j-)(e.-e„,+/[-J^(.^-),(.) + (H-|-H.)e,+...]i.=o 



^1 *o 



la quale, poiché ora '^(Ar),e{... sono completamente arbitrarie tra 
Xq e x^^ si scinde nelle 

K 
la seconda delle quali dà — - ^ — e ^ e essendo una costante, e le 

altre diventano quindi 



694 

le quali, unitamente alla K -f- ^K, = 0, sono, come subito si riconosce, 
le equazioni pel massimo o minimo dell' integrale 



aro 



^ 



Il problema di massimo o minimo relativo, che volevamo risol- 
vere, è ridotto perciò al problema di massimo o minimo assoluto 
del precedente integrale. Nella soluzione che si otterrà comparirà 
una costante di più, e ; ma questa si determinerà in modo che Y in- 
tegrale I] acquisti il valore dato A. 



Esempi 

1) Problema degli isoperimetri. Tra tutte le curve dello stcs>«^ 
perimetro /, aventi un estremo nell' origine delle coordinate e l'altro 
estremo sull'asse delle jr, determinare quella che coli' asse delle* 
racchiude un'area massima. 

Il problema di massimi e minimi relativi che dobbiamo rkol- 
vere è il seguente ; Determinare la quantità ^ > , e quella funzione 
y di Xy che per a: = è zero ed è pure zero per a- = j , in modo 

a 

che l'integrale ìydx riesca massimo, dovendo allo stesso tempo 

u 

a 

essere ìy\ -\-y^ dxzzzL Ed il problema corrispondente dì massimo 







assoluto è : Determinare « e / , dovendo essere ^ = per jr = e 
per x^iz a^ in modo che l' integrale 



a 



\{y-cy\+y)dx 




riesca massimo. 



— cy 
Qui abbiamo Y:=: 1, Y^ = — — -- — ^ quindi l'equazione K-'* 



695 



ci cy* — cy' 

è 1 + — = 0, da cui X — c^ = — dalla quale 

— (x ^ Cj) % 

y = — , che, integrata, dà 

Ve' --{X- c,y 



che rappresenta un circolo di raggio e, col centro nel punto (^j , c^). 
Per determinare le costanti osserviamo che per ;f := e per 
x=^a dobbiamo avere jy =^0^ cosichè 



(3) - e, = V e' - e* ,-c, = \/c* -{a-c,)\ 

a 
dalle quali si trae c^-=z---. La equazione 1^ — rQ=:0. poiché per 

A: = Oè 8;v = 0, 8^ = 0, e per x t=z a h pure 5^ nz , si riduce 
a ciò che diventa per x=ia V equazione 



y — e Vi +y* = , cioè a — - = 0, e poiché 

Vi+y Vi+>'* 

e non può prendersi uguale a zero, dovrà essere ya infinito ; ma 
y a = ■ , cosiché dovrà essere ^ z^ 2^, quindi r^ = e e la 

4' 

prima delle (3) dà Cj = ; il nostro circolo é perciò 



•^f'-{' 



y = \2cx — x^ , 

e l'area che risulta massima è il semicircolo al di sopra dell'asse 
delle X, 

Rimane da determinare r, che si determina mediante i'inte- 

2c 



graie / \f \ -^^ y^ dx ^=l l che dà, come si può vedere senza ricorrere 



/ 
al calcolo dell* integrale stesso, e = 



71 

Senza provare che si ha efletti vamente sempre, un massimo ci 
limiteremo a provarlo supponendo di lasciare invariato il limite 2c 






'•?. 



,1 " 



6m 

dell'integrale. Invero, essendo 

2c 2c 

i) 






M - 



»•#*.' 



■jc 






u 



2r 












t 



1 1. 



la variazione seconda dell' integrale, 



-if 



i\-> 



(¥) 



- Ìj:, è ne- 



(1 +/*)••' 
gativa. 

Questo problema risolve immediatamente quello di determinare 
tra le curve isoperimetre quella che racchiude un* area massima. ^: 
riconosce subito che questa curva è un circolo. 

2) Tra i salidi di rotazione che hanno la stessa supertìcie troure 
quello di volume massimo. 

Essendo ^ =/ (jc) l'equazione della curva che ruotando intoroo 
all'asse delle x genera la superficie, le espressioni della superficie lì 

del volume sono 2t^ j y\/ì -^/^dx^Tz jy dx\ il problema che ci prò- 

poniamo risolvere è: determinare la funzione j' e i limiti a\, ,;f|del- 

»! 

l' integrale in modo che / ^^ dx riesca massimo , dovendo essere 



r. 



// V^ '+">'^ ^=2^', avendo indicato con Ar^a^ l'area della superficie. 



X(( 



Dovremo perciò rendere massimo l' integrale 



^"1 



I :fdx = j (f + CJ> VlTT") dx . 






Qui è Y-2>' + cVl+yS v,= 



cjyy 



vi+y 



y e poiché V 



DWl 



607 

contiene x abbiamo un integrale primo ?zi=yY, + ^j della K = 
(Vedi n. 241), ossia 

cyy^ 



Vi +y' 

Poiché x^ , *, ,^j ,yi non sono dati, l' equazione Tj — Po ;= 
si scinde nelle equazioni ijt =: , Kg' = , 9^ = , Ko" = , ed è 
quindi ancora 



?i 



-y Ko' = fy + cy VI -i-y« - /•^-^^ \ = o , 



Vi +y' -' 

ossia, in virtù della (4) , c^ ■=: 0, che riduce la equazione (4) alla 



cyy'^ , . , dbVc*— / 



jr + cy \/\ +y^ = — - , da cui y = 

che, integrata, dà 



X — ^2 = -♦- \/c^ — y ossia (;(f — Cj)* 4-^* = ^* -. 

la quale- rappresenta un circolo di raggio e col centro sull'asse 
delle X. 

Le equazioni Kq° = , K^^ = danno /q = ^i 7i = ^ > ® P^i' 
determinare at^ , x^ abbiamo le equazioni ;(fo = Cg rii: e , ^i = Cj =p ^ , 
nelle quali non dovremo prendere gli stessi segni per non avere 
Xq^=-Xi, Non abbiamo nessuna equazione per determinare c^ che ri- 
mane arbitraria. Ciò si spiega col fatto che trovato un arco di curva 
che risolva il problema e passante pei punti (a-^ , 0), {x^ , (.), qua- 
lunque altro arco, ottenuto dal primo facendolo scorrere sul piano 
(x ^y) in modo che i suoi punti percorrano delle rette parallele all'asse 
delle A, vi soddisfa pure. Potremo perciò, per semplicità, fare c^ = 0, 
ed allora, poiché supponiamo Xq<ìXi^ avremo x^=^ — c.^ x^z=^ e. 

\j3i curva che risolve il problema è quindi un circolo di raggio 
e col centro nell'origine delle coordinate e i punti x^ , Xi sono i 
suoi punti d' incontro coli' asse delle x. 






698 

Per determinare e abbiamo T equazione 



fyyx^y'^dx- f\!c^^x^ ^ dxz=z2c^ = 2a\ da cui e = j. 

.. ./ J X/c'-x 

!>>■• -e -e 

fj! Tra le superfici di rotazione, di area uguale, quella che racchiude 

;i;- il massimo volume è perciò la sfera. 

if, ■ 

ft 



Variazione di un integrale multiplo col campo di integrazione 
fisso e con valori dati delle funzioni sul contomo del 
campo stesso, e quando sotto il segno integrale compa- 
riscono le sole derivate prime. — Relativi problemi di 
massimo e minimo. 

244. Cominciamo coli' integrale 

lz=j \'^{x,y,i,p,q)dxdy, 

esteso ad un certo campo, essendo /> = — , <? = — ^ . Avremo 



avendo posto 



I = I |(Z?x + Vip + Qiq) dx dy 



a^ a/> 3? 



ma, poiché 



^ dx 9^ 



699. 

ovvero, osservando che nell' integrale 1 P5{ dy il t:^ si riferisce al 
contomo del campo di integrazione ed è perciò nullo, 

rrd? 



[fp^P dxdy = ^ì ì-j- 5^ dx dy. 



Analogamente avremo 



cosichè 



1 / 0.5^ dxdjf= — I I — ò;^dxdy^ 

avendo indicato con -— , — - le derivate totali di P , Q. rapporto ad 

dx dy 

X e ad ^. 

Sia ora 

\= j ., I qp(^j , ^« .. ^n j {,/>!, /^« .• /^J ^-Vl ^-^'2 • • <^n , 

dove pr =. — ^ y esteso ad un certo campo : posto Z = — , P^ = ~— 

CjXr 9^ Opr 

si trova, in modo completamente analogo, 

dove le -^ , -7 ;* ? • • indicano le derivate totali di P^ , Pj . . . rap- 

CtX T c2 A 2 

porto ad x^^x^ ^. . , 

Una formola analoga si trova facilmente se la funzione cp con- 
tiene, oltre alla ^ , altre funzioni « , r , . . . delle Xy^x^^, ,Xn e le 
loro derivate prime. 

Proposto il problema di determinare la funzione { che rende 
massimo o minimo l'integrale I, dovrà, qualunque sia S{, essere nulla 
la variazione prima 5l e perciò, procedendo in modo analogo a 
quello tenuto al n. 240, si troverà che la funzione ^ dovrà soddisfare 



700 

alla equazione a derivate parziali 

2 = () 

dx dy 

nel caso dell' integrale doppio, o alla equazione 

dxx dx^ " dxn 

nel caso dell'integrale multiplo; e queste equazioni servono alla 
determinazione della funzione { , che potrà poi venire completati 
dalle condizioni imposte a { sul contorno del campo di integrazione 
e da altre condizioni. 



Esempi 

1). Superficie i' area minima. Si tratta di determinare, tra tutte 
le superfìcie passanti per una data linea, quella di area minima, cioè 
di determinare la funzione \ che rende un minimo l' integrale 






esteso al campo limitato dalla proiezione della linea data sul piano 
delle X ^y colla condizione che ^ prenda sul contorno del campo 
tali valori, che la superficie passi per la linea data. 
La equazione a derivate parziali della ^ è qui 

A ^^^^L 1 =,0 

dx yi+^« + ^-; dy y^^pt^^x 
cioè, sviluppando le derivazioni e facendo astrazione dal fattore 

positivo - — r— , 

r (1 + q') - 2pq$ + /(l +/>*) = 



dove 



" cU- ' " 3/ ' ^ ~~ 3^ ~" V 



701 

Senza passare alla sua integrazione ci limiteremo a notare che 
essa esprime la proprietà, che le superficie d'area minima hanno in 
ogni loro punto i raggi principali di curvatura uguali e di segno 
contrario. (Vedi n. 44), 

2) Determinare la superficie che, passando per una data curva 

rende massimo o minimo V integrale / / \/p^ + q^ dx dy esteso ad un 

campo sul piano x ^y ^ limitato da una curva, che è la proiezione su 
esso della curva 

per la quale pure supponiamo debba passare la superficie richiesta. 
Qui è Z = , P = — ^ , 0,= — -^ e perciò la 

equazione a derivate parziali che serve a determinare -( è la 
(1) r^' — 'lpq$ + tp" = (ì 

Questa equazione si integra facilmente coi metodi conosciuti 
per integrare alcune equazioni a derivate parziali di secondo ordine. 
Noi la integreremo con un metodo indiretto e per tentativi. 

Osserviamo che se ;[ = ^x ^y) fosse un suo integrale, eguagliando 

;^ ad una costante c^ la equazione e = ^{x ^y) definirebbe y come una 

d}y 
funzione di x tale che -r-^ sarebbe zero, perchè il primo membro 

ax^ 

della (1) è, fatta estrazione dal segno, il numeratore della espres- 

, d^ 

ax^ 

dove c^ y c^ sono costanti ; perciò ;^ = '|(^ -|- C\x -f- c^ o semplicemente 
l =z ']>(y 4- cix) dove 4> indica una funzione arbitraria è integrale della 
(1), e quindi anche y -f CiX=i'^{;()^ dove ^ è funzione arbitraria. Ciò 
ci induce a provare se sostituendo in luogo di Ci una funzione arbi- 
traria della { sia ancora /4-a'|(^) =: <?({) integrale della (1). È ciò 
che effettivamente ha luogo, come si può verificare derivando la 
equazione precedente due volte rispetto ad x, rispetto ad y, rispetto 
X e ady., otteniamo cosi, indicando con cp' , cf " , y,... le derivate di 



sione di ^^ (Vedi voi. I, n. 113); cioè darebbe y^z^—CiX — r„ 



702 

<f(^)j +{•{) rispetto a ^, 

(<p' — *-+')r +/*(?" — «-I")- 21'/ = 0, 

(9' — xV)t + ^*(*' — ^r) = 0, 
dalle quali, eliminando le derivate di 7 e tj', si ottiene 



2p 



P9 



= — q(rq^ — 2pq5 + tq^}z=0. 



t q^ 
La superficie che risolve il problema è quindi quella di equazione 

nella quale le funzioni arbitrarie vengano determinate dalle alte 
condizioni del problema. La nostra superficie dovendo passare per la 
curva f{x ,^ , ^) = 0, F(a: ,^ , ^) = 0, dovremo avere 

dalle quali, eliminando or, otteniamo un' equazione della forma 

La superficie dovendo anche passare per la curva f^{x ,,r,{)=" 
Fi(ac ,jv , -() = 0, otterremo, in modo analogo, una equazione delh 
forma 

le due equazioni A = 0, Ai =0 determinano le due funzioni ?({). ri" 
3) Supposto i fissato ai limiti del campo di integrazione, tro- 
vare la funzione ^ che rende massimo o minimo l'integrale 

/ ì "\{xipi'\-^^P%+'* ' + x^pn — i)'^dxidx^,..dxn. 
La equazione a derivate parziali per determinare .^, posto 

A ~ ^I /l -h X^pt + . . . + Xnpn — ^, è 

d d d , 

ax^ ax^ aXft 



703 
cioè 

3> «4-1 
dove prs = ^ — , prs = psr ; Posto :;- = — «, avrcmo ancora, 

— a(*i/i +^tA +-+*«A — {) + I^^r{Xxpir + ^iPir+ - Xnpnr) = 0. 

Tenendo presente il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee, 
si trova facilmente l'integrale di questa equazione sotto la forma 

dove «Ti indica ima funzione .omogenea qualunque di primo, (fa una 
funzione omogenea qualunque di grado a delle XiyX^.,Xn. 

Esercizi 
1. La funzione^ di x che rende massimo o minimo l'integrale 



r y y 

I , dxy essendo fissi i limiti dell' integrale ed assegnati i valori 



^0 



A^>'i diy ];>eT x==x^ , x=:xi è ìaLy = \^-^ < ^ 

> -^i — «^0 



o-^o/i 



*i 



2. Essendo fissi i limiti dell'integrale ((x^ -hy^ +y^ + 2y')dx e 

non assegnati i valori di y nei limiti stessi, la funzione 
y = rende minimo T integrale. 

12 

3. La funzione ^ = — ;»:* —x-\- 1 rende minimo l' integrale 

5 5 

1 i 

jy'^dx^ colle condizioni ^^ = 1, j ~ dx = — 1 . 

ù 

4. La funzione che per x =^ — a, x =ia è zero, e che rende mi- 



704 



nimo l' int. / (/' — 2y)dx^ è li 



—a 



^ 2\ 4 24 

5. Essendo invariabili i limiti atq , ;if, , trovare la curva che rende 

minimo l' integrale / [ax — by^^dx. 

La parabola 'òhy^z=iax\ se ^>0 sì ha massimo pel ramo di 
parabola al di sopra, minimo per quello sotto all'asse delle jr; inver- 
samente se ^ < 0. 

6. Essendo invariabili i limiti x^^xx^ trovare la curva che rende 

•Vi 

massimo o minimo l' int. / (15ii^^^-15j'jrv-f-5tf!>'^-3y^)^, j>". 

Le parabole y^ = ax^ y^ =z a^ — ax. Per la prima si ha minimo 
pel ramo superiore e pei valori di x da ad ~, massimo per x'^ — - 
ed inversamente pel ramo inferiore^ per la seconda e pel ramo su- 
periore si ha massimo se jc < e da ^ = a ^ = — , minimo da 

x^: — a x^za^ ed inversamente pel ramo inferiore. 

7. Curva per la quale la dilBFerenza tra l'area del circolo co- 
struito sul raggio vettore come diametro e il rettangolo delle coor- 
dinate in ogni punto è mìnima rispetto alla stessa differenza in ogni 
punto, corrispondente alla stessa ascissa, di qualunque altra curva. 

2x 

La retta y := — . 

li: 

8. Curva per la quale è minima la sottonormale, le variazioni 
di y ^y essendo tali c\\q y yx ;-) non subisca variazione alcuna. 

La parabola cubica y = Cy^. 

-r, A] 

9. Sia l = lilj dove \^z=z\ -^^dx^ ]^=hp^dx; per determinare 



705 

la funzione y che rende massimo o minimo I dovremo trovare la 

fi x\ 

jy per la quale I, / dqp , i»? -4- 1, / 5cpgd!r = 0, dove Ij,Ij sono i valori 

costanti dei due integrali quando in essi si sostituisce la funzione 
cercata. Il problema è ridotto cosi al massimo o minimo dell' inte- 

graie / (cpi + cf^dx^ dove e = ~- . La e verrà poi determinata dalla 

J M 

-»'0 

precedente equazione. 

Cosi si voglia la curva passante pei punti (--^?,^), (a^b) per 
la quale è minimo il prodotto dell'area per Parco. Si trova il cir- 
colo^ = * + \A'* — '^^ — V^* — ■*'? dove e è derminato dalla equa- 



zione 2ab -4- à\/c^ — ^' = 3^^ are sen — . 

e 

In particolare se ^ = -— - si ha e = a. 



10. Si provi che per ottenere il massimo o minimo di ì^dxy 



*0 



X\ Xi 



sotto le condizioni / ^^dx = /,, / ^f^dx = i^^, . basta cercare il mas- 



^0 ^0 

XI 



Simo o minimo di /(^ -f- <Ji «Fi + «^jcfj-f- . . .)dxj dove ai ^a^,. * , sono 



-t'O 

delle costanti. 



Ad es. : si cerchi la funzione jf che per x=. — a e per xz=za 

a 

è uguale aie che rende minimo lydxj colle condizioni 



—a 



(yd. = 2h ''-'-\ fy^é.= ^'ie^'-e-^-^") . Si trova la 



—a —a 






706 

11. Superficie ^ = ^(;r,^) che rende minimo l'integrale / lp^dxd% 

esteso al campo limitato dal circolo ;r' -j-^*r= r*, dovendo essere 
l = a per ;r*-h^'=:r-, e dovendo inoltre la superficie passare pel 
circolo A* -h^* z= R*, ;^ = b. 

Si trova j{ = -^^ ^-^z=== . 

y^^^'^y _yR«-/